圓的有關(guān)概念及性質(zhì)運用

1、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)知識點一（圓的有關(guān)概念及性質(zhì)）1、圓的有關(guān)概念（1）圓的定義定義1在一個平面內(nèi)，一條直線繞著它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓。定義2圓是到定點的距離 的定長的所有點組成的圖形。（2）弦：連接圓上任意兩點的 叫做弦。（3）直徑：直徑是經(jīng)過圓心的，是圓內(nèi)最 的弦。（4）?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，弧有 之分，能夠完全重合的弧叫做 o（5）等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓。（6）同心圓：圓心相同的圓叫做同心圓。2、圓的對稱性（1）圓的對稱性1）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條經(jīng)過 的直線。2）圓是中心對稱圖形，其對稱中心是 a（2）垂徑定理1）定理：垂直于

2、弦的直徑 弦，并且平分弦所對的兩條 o2）推論：平分弦（不是直徑）的直徑 弦，并且 弦所對的兩條弧。3）圓心角、弧、弦之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧或兩條弦中有一組量,那么它們所對應(yīng) 的其余各組量也分別相等。3、圓周角（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且 都和圓相交的角叫做圓周角。（2）圓周角定理1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 o2）推論同弧或等弧所對的圓周角 o半圓（或直徑）所對的圓周角是, 90°的圓周角所對的弦是。圓內(nèi)接四邊形的對角。規(guī)律總結(jié)：（1）在解決與弦有關(guān)的問題時，作垂直于弦的直徑可以構(gòu)造直角三角形，從而將問題轉(zhuǎn)化為解直角三 角形的問

3、題：（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩個圓周角、兩條中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余 各組量也分別相等?！敬鸢浮?、相等，線段，弦，長，優(yōu)弧、半圓、劣弧，等弧；2、圓心，圓心，平分，弧，垂直于，平分, 相等：3、兩邊，一半，相等，直角，直徑，互補?！窘谭ā坎捎弥v述法，著重進(jìn)行定理及推論的推導(dǎo)論證，將與之前所學(xué)知識相互聯(lián)系?！緦W(xué)法】勾畫記錄，對于不理解的定理，詳細(xì)寫出證明過程，與以前所學(xué)的相聯(lián)系，分析運用了哪些知識。1例題精講例1、如圖，線段AB是。的直徑，弦CQ_LA8, NC4B=20° ,則NA。等于（）11A. 160° B. 150° C. 14

4、0° D. 120°【解析】利用垂徑定理得出&就，進(jìn)而求出N8OD=40。，再利用鄰補角的性質(zhì)得出答案.解：.線段A3是。的直徑，弦CO_L/W,.CB=BD,/ NCA8=20。,，NBOD=400,：.ZAOD= 140°.故選：C.例2、如圖，在半徑為6c,的。中，點A是劣弧部的中點，點。是優(yōu)弧前上一點，且/。=30。，下列四 個結(jié)論：OA_LBC： ®BC=6V3 cir：§加/4。8豈：四邊形ABOC是菱形. 乙其中正確結(jié)論的序號是（）A. ©B.C.®®D.A【解析】 解：二點A是劣弧商的中點，

5、。4過圓心,J.OALBC,故正確：ZD=30°,，/ABC=NO=30。，NA 08=60。，丁點A是點A是劣株BC的中點，：BC=2CE,；OA=OB,： OB=OB=AB=6cm,：.BE=AB-cos3&=6爍,：.BC=2BE=6yfy-m,故 8 正確：NA 08=60。，：.smZAOB=sin60Q=.2故正確； NA 08=60。，:.AB=OB, :點A是劣弧BC的中點，.AC=OC9：.AB=BO=OC=CA,.四邊形ABOC是菱形，故正確.故選民例3、如圖，在。中，己知半徑為5,弦A8的長為8,那么圓心。到A3的距離為【解析】作OCL4B于C,連結(jié)OA

6、,根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=XAB=3,然后在RtAAOC中利用勾股定理計算 20。即可.解：作。CL18于C,連結(jié)。4,如圖，X 、在小/。中，。45,"刃042 -慶儼在' 一產(chǎn)3，即圓心。到乂3的距離為3.故答案為：3.例4、已知。的直徑為10,點A,點8,點。在。上，/C4B的平分線交。于點D（I）如圖，若8。為OO的直徑，AB=6,求AC, BD, CD的長；（II ）如圖，若NCAB=60。，求3。的長.【解答】（I）利用圓周角定理可以判定CA8和OC8是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度：利用 圓心角、弧、弦的關(guān)系推知QCB也是等腰三角形，所以利用勾股

7、定理同樣得到歷：（II）如圖，連接08, OD.由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知。3。是等邊 三角形，則8Q=O3=OD=5.解答：解：（I）如圖，BC是。的直徑，NCAB=NBDC=90。.在直角68 中，BC=10, AB=6,由勾股定理得到：AC=JbC? -_ 64.Y。平分NCA反,-CD=BD»：.CD=BD,在直角BOC 中，8C=10, CDYBD'BC2,：.易求 5£>=CD=5V2：（II）如圖，連接。£ OD.A。平分NCA8,且NC4B=60。，:.NOABNC43=30。， 2:.NDOB=2/DAB=

8、6U又YOBHD,是等邊三角形，：.BD=OB=OD.的直徑為10,則08=5,：.BD=5.例5、如圖，A8是。的直徑，C圖圖P是定上兩點，A8=13, AC=5.（1）如圖（1）,若點P是配的中點,（2）如圖（2）,若點尸是筋的中點,圖（1 ）圖（2）求尸A的長;求小的長.*【解析】圖（2）（1）根據(jù)圓周角的定理，NAP5=90。，是弧A8的中點，所以三角形AP8是等腰三角形，利用勾股定理即可求得.（2）根據(jù)垂徑定理得出。尸垂直平分8C,得出。尸AC,從而得出ACBs4ONP,根據(jù)對應(yīng)邊成比例求得ON、AN的長，利用勾股定理求得NP的長，進(jìn)而求得PA.解：（1）如圖（1）所示,連接P&am

9、p;VAB是。O的直徑且P是菽的中點，/PA8=NPBA=45。，/AP8=90。，又在等腰三角形ABC中有八8二13,AB 13 13V2聯(lián)后歸于.（2）如圖（2）所示：連接3c.。尸相交于M點，作PN_LAB于點N,P點為弧8。的中點.J.OPLBC, NOMB=90。，又因為AB為直徑，NACB=90。，:.NACB=NOMB,:.op/ac9：./CAB=NPOB,又因為 N A C8= N ONP=90。，.AB xC A .人.，OP ON又,./W=13AC=5。匹竽代入得0N-1，:.AN=OA+ON=9：.在 RTb OPN 中,有 NPJOP2 - ONJ36在 rtanp

10、 中有 pa W an2 +np 2=VH7=WI：,PA=3y/13-【教法】講練結(jié)合，可先讓學(xué)生說說自己的想法，再指出其中不足的地方，當(dāng)沒有思路時，適當(dāng)?shù)亟o出一 些提示?！緦W(xué)法】嘗試著先分析其考查的知識內(nèi)容，再尋找圓中的邊角關(guān)系，利用輔助線，運用垂徑定理、圓周角 定理及K推論來解答課堂練習(xí)1、如圖，以A8為直徑的。與弦CO相交于點E,且A ©A返冗R小返冗a d c9g3【解析】C=2, AE=V 3. CE=.則弧 3。的長是（）n 2中 u 3連接0G先根據(jù)勾股定理判斷出aACE的形狀，再由垂徑定理得出CE=OE,故BC=BD,由銳角三角函數(shù)的定義求出NA的度數(shù)，故可得出N8

11、。的度數(shù)，求出OC的長，再根據(jù)弧長公式即可得出結(jié)論.解：連接。， ACE中，AC=2, AE=V3。石=1， :.ae2+ce2=ac2,ACE是直角三角形，即AE_LC。, NA=30°,，ZCOE=60°,.CE . /rnr Hl 1 yf3 AZ7ZH nr 23 .-rsmZCOE,即-盧，解f、于=,：AE 上 CD,BC=BD-百命_60冗X 岑也匣工 bLF DU-J _ C iso故選8.2、如圖，點A、B、C都在圓。上，如果NAO8+NAC8=84。，那么NAC8的大小是【解答】根據(jù)圓周角定理即可推出NA0N2NAC從再代入NAOB+NACB=84。通過

12、計算即可得出結(jié)果.解：V ZAOB=2ZACB. ZAOB+ZACB=S4QA3ZJC5=84°，ZACB=2S°.故答案為：28。.3、如圖，在。中，。是直徑，弦AB_LCD,垂足為旦連接BC,若AB=2®m, ZBCD=22°30則 。的半徑為。山【解答】先根據(jù)圓周角定理得到NBOO=2N3CD=45。，再根據(jù)垂徑定理得到BE斗B=® BOE為等腰直角三 乙他形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解.解答：連結(jié)如圖，V Z5CD=22°30; ，NBOD=2NBCD=45。, VAB±CD98七=八丘,48<2任企，&

13、quot;0七為等腰直角三角形,川勿E=2 (c?).故答案為2. 乙乙4、如圖，在。中，半徑0C與弦AB垂直，垂足為E,以0C為直徑的圓與弦A8的一個交點為F,。是CF延長線與。的交點.若0E=4, OF=,求。的半徑和CO的長.【解答】由OE±AB得到NO印=90。，再根據(jù)圓周角定理由0C為小圓的直徑得到NOFC=90。，則可證明 RAOEFsRAOFC,然后利用相似比可計算出。的半徑。=9；接著在對AOCF中，根據(jù)勾股定理可 計算出。=3f，由于OF_LCD,根據(jù)垂徑定理得CT=O凡 所以。=2。/=6F.解：-OELAB.：.NOEF=90。,oc為小圓的直徑，:./。?。=

14、90。，而 NEOF=NFOC,：./?/ OEFsRia OFC,：.OE： OF=OF： OC, HP 4： 6=6： OC,的半徑OC=9：在/。尸匚口， 0尸=6, 。=9, CF=VoC2 - OF 2=Vs.9： OF LCD.:.CF=DF,：.CD=2CF=6yj5-【教法】讓學(xué)生先進(jìn)行練習(xí)，再與學(xué)生針對不懂的地方進(jìn)行討論，出現(xiàn)問題的原因，正確書寫解答步驟?！緦W(xué)法】主動思考，結(jié)合這次課學(xué)習(xí)的概念、定理及推論，控制好解題方向及解答時間，利用錯題本，記 錄當(dāng)時做錯的地方。課后作業(yè)1、如圖，已知。的半徑為13,弦A8長為24,則點。到A8的距離是（）©4 6B. 5C. 4

15、D. 3【答案】過。作OCA.AB于C,根據(jù)垂徑定理求出AC,根據(jù)勾股定理求出。即可.解：過。作OC_LA8于C,過O,（.*.AC=BC=4B=12,在RaAOC中，由勾股定理得：0cHi 32 T22=5.故選：B.2、如圖是以ABC的邊A3為直徑的半圓。，點。恰好在半圓上，過。作CD_LA8交AB于O.已知cos3NAC。4，BC=4,則 AC 的長為（）5a 20-C 16A. 1B. C. 3D. 33【答案】由以A8C的邊A8為直徑的半圓0,點。恰好在半圓上，過C作CZ）_LA8交AB于。.易得NACD=NB,又由cosNACdT，BC=4,即可求得答案. 5解：.AB為直徑，A

16、NACB=90。，, NACD+NBCD=90c, CD LAB.：.NBCD+NB=90。,：./B=NACD,C.cosAB5二?/8=AC AC 4BC" 4-3'：.AC=,J故選。.3、如圖，在。中，AC/OB, ZBAO=25%則NBOC的度數(shù)為（）17A. 25° B. 50° C. 60° D. 80°【答案】 解：9：OA=OB.：.N8=NBAO=25。,:：.NBAC=NB=25。,:.ZBOC=2ZB4C=50°.故選從4、如圖，AB. CD是半徑為5的。0的兩條弦，AB=8, CD=6, MN是直徑,

17、A8_LMN于點E, CDLMN 于點F, P為七戶上的任意一點，則PA+PC的最小值為.【答案】A、8兩點關(guān)于對稱，因而PA+PC=P8+PC,即當(dāng)8、C、P在一條直線上時，P4+PC的最小，KP BC 的值就是PA+PC的最小值。解：連接04，OB, 0C,作CH垂直于A8于.4 根據(jù)垂徑定理，得至iJBE=A8=4, CF=CD=3,- BE Mb2 - 4，OF=/oc2 - cfMb2 -：.CH=OE+OF=3+4=7,BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7, 在直角ABC中根據(jù)勾股定理得到BC=1®, 則尸A+PC的最小值為7會.5、如圖，ABC為。的內(nèi)接三角形，AB

18、為。的直徑，點。在。上，乙4。=54。，則N3AC的度數(shù)等于21【答案】由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得N3的度數(shù)，又由直徑所對的圓周角是直角, 即可求得NAC3=90。，繼而求得答案.解：NA8C與NAOC是AC所對的圓周角，:.ZABC=ZADC=54%AB為。的直徑，N-0。,ZBAC=90° - ZABC=90Q - 54。=36。.故答案為：36。.6、已知在以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C, D （如圖）.(1)求證：AC=BDt（2 ）若大圓的半徑R=10,小圓的半徑=8,且圓。到直線A8的距離為6,求AC的 長.【答案】（1）過。作OELL5,根據(jù)垂徑定理得至iJJ£=8E, CE=QE,從而得到（2）由（1）可知，。上，48且OEtCD,連接0C,。4,再根據(jù)勾股定理求出CE及AE的長，根據(jù)AC=AE-CE即可得出結(jié)論.解答：（1）證明：作OELX&；AE=BE, CE=DE,：.BE - DE=AE -