2022年關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的教學(xué)——我的實(shí)踐(陶維林)

1、精品資料歡迎下載關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的教學(xué)我的反思與實(shí)踐南京師大附中陶維林這學(xué)期我也教高一，用新教材；從紹興回到學(xué)校，其次天，我就上“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”這節(jié)課；應(yīng)當(dāng)說(shuō)，通過(guò)“紹興會(huì)議”課題組老師們的爭(zhēng)論，我也已經(jīng)對(duì)“紹興的課”有了肯定的反思，是反思后的一次嘗試；1. 函數(shù)零點(diǎn)概念的教學(xué)我是這樣開(kāi)頭的；提出問(wèn)題 1：方程 3456x23458x 10有實(shí)數(shù)根嗎？大部分同學(xué)拿起運(yùn)算器開(kāi)頭運(yùn)算起來(lái)； 有少數(shù)同學(xué)并沒(méi)有這樣做， 而是看著黑板上的問(wèn)題在摸索，觀看系數(shù)特點(diǎn)； “系數(shù)怎么這么大？ 好玩，怪怪的，也算嗎？”我也沒(méi)說(shuō)更多的話(huà)；一會(huì)兒，就有同學(xué)說(shuō)“有實(shí)根； ” 他是運(yùn)算一元二次方程根的判別式的值， 通

2、過(guò)它的符號(hào)作出判定的； 雖然數(shù)字較大，但 運(yùn)算器并不在乎；“你的結(jié)論呢？” 我問(wèn)一位沒(méi)有用運(yùn)算器運(yùn)算的同學(xué)；“有；”他確定地說(shuō)；“你是怎么知道的？”“設(shè) f（ x） 3456x2 3458x 1，然后畫(huà)個(gè)圖；”這里至少有兩點(diǎn)是珍貴的： 一是把方程與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)函數(shù)來(lái)爭(zhēng)論方程；二 是想到了畫(huà)圖，數(shù)形結(jié)合！“圖是怎么畫(huà)的呢？”我追問(wèn)；“由于當(dāng) x0 時(shí)， f（0） 1；而當(dāng) x1 時(shí)， f（1） 1，因此，方程 3456x23458x 10 在區(qū)間（ 0，1）上肯定有一個(gè)實(shí)數(shù)根； ”看來(lái)，他已經(jīng)觀看出系數(shù)中的名堂；我應(yīng)著他在黑板上畫(huà)出示意圖；“你是怎么想到的呢？”“想到”是對(duì)“知道”的挖掘，

3、 老師妄想挖掘背后的思維過(guò)程；“我們?cè)谥袑W(xué)就講過(guò)（學(xué)過(guò)） ；” 開(kāi)頭把當(dāng)前的問(wèn)題與已有的學(xué)問(wèn)、體會(huì)聯(lián)系起來(lái)；“中學(xué)是怎么講的？” 這一問(wèn)題意在引導(dǎo)同學(xué)回憶，再現(xiàn)已有的相關(guān)學(xué)問(wèn)；同學(xué)把中學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)的有關(guān)一元二次方程、二次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的關(guān)系表達(dá)了一遍，基本上重復(fù)了教科書(shū)（ p87）上的內(nèi)容；教科書(shū)的編寫(xiě)是從同學(xué)已有的學(xué)問(wèn)出發(fā)，回憶中學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的關(guān)系引入函數(shù)零點(diǎn)的概念， 這是正確的； 但是，教學(xué)中如何處理？如何出現(xiàn)？是另一個(gè)值得爭(zhēng)論的教學(xué)處理的問(wèn) 題； 假如老師照本宣科，把教科書(shū)的內(nèi)容平鋪直敘地復(fù)述一遍，同學(xué)不會(huì)感愛(ài)好， 也感受不到老師講這些內(nèi)容的必要； 而由同學(xué)自

4、己精品資料歡迎下載把它作為解決問(wèn)題的理由表達(dá)出來(lái)就大不一樣了； 是老師引導(dǎo)下同學(xué)的主動(dòng)回憶， 是過(guò)去所學(xué)學(xué)問(wèn)、 體會(huì)的運(yùn)用； 也正是本節(jié)課所學(xué)概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”；實(shí)踐證明，“3456x2 3458x1 0 是否有實(shí)數(shù)解？”使得同學(xué)不至于用因式分解的方法去找方程的實(shí)數(shù)根； 很多同學(xué)想到用判別式的符號(hào)進(jìn)行判定也不古怪， 這是他已有的體會(huì)， 但是，究竟有一批同學(xué)（不是一兩個(gè)） 對(duì)老師提出的問(wèn)題不是簡(jiǎn)潔地去運(yùn)算， 而是試圖通過(guò)其他途徑來(lái)解決， 而且這個(gè)途徑是可以找到的， 當(dāng)然要仔細(xì)摸索一下（與函數(shù)聯(lián)系、 畫(huà)圖）才能找到， 符合才能“最近進(jìn)展區(qū)” 的要求；假如我們提出“方程 x2 2x3 0 是否有實(shí)數(shù)根

5、？”同學(xué)一下子就可以給出結(jié)論；一是同學(xué)知道，對(duì)方程ax2 bxc0（a 0），只要 a，c 異號(hào)，那么， b2 4ac 就肯定大于零；二是很簡(jiǎn)潔把 x22x 3 分解為（ x1）（ x 3），根是什么都知道了；這樣與本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容函數(shù)零點(diǎn)的聯(lián)系就不夠緊密；在同學(xué)用中學(xué)學(xué)問(wèn)，運(yùn)用函數(shù) f（ x） 3456x2 3458x 1 的圖象這個(gè)工具， 說(shuō)明方程 3456x23458x 1 0 有實(shí)數(shù)解后， 老師再提出函數(shù)零點(diǎn)的概念，同學(xué)是很簡(jiǎn)潔接受的；于是不難得到 “方程f（x）0 有實(shí)數(shù)根函數(shù) f（x）的圖象與 x 軸有交點(diǎn) 0函數(shù) f（x）有零點(diǎn)” 的結(jié)論；實(shí)際上， 函數(shù)的零點(diǎn)這個(gè)概念， 就是同學(xué)

6、中學(xué)所學(xué)習(xí)過(guò)的 “一元二次方程 ax2bxc 0（ a 0）的根就是相應(yīng)的二次函數(shù) f（ x） ax2 bx c 的圖象與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)” 的直接推廣； 同學(xué)經(jīng)受的是特殊問(wèn)題一般化的過(guò)程； 他們可以用這個(gè)舊學(xué)問(wèn)來(lái)同化新學(xué)問(wèn)； 而且這個(gè)新學(xué)問(wèn)與舊學(xué)問(wèn)之間也只有一層很薄的窗戶(hù)紙， 一捅就破；對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)概念的懂得，他們?nèi)耘f可以以二次方程為載體；不必把簡(jiǎn)潔的問(wèn)題搞復(fù)雜，清晰的問(wèn)題搞糊涂；函數(shù)零點(diǎn)的概念并不是這節(jié)課教學(xué)的重心，重心是“函數(shù)零點(diǎn)存在的條件”；2. 函數(shù)零點(diǎn)存在條件 的教學(xué)接著提問(wèn)題 2： 函數(shù) f（x）在區(qū)間（ a，b） 上有 f（a）·f（b） 0，那么函數(shù) f（x）

7、在區(qū)間（ a，b）上是否肯定存在零點(diǎn)？ 請(qǐng)舉例說(shuō)明；我特殊強(qiáng)調(diào)“請(qǐng)舉例說(shuō)明” ；同學(xué)們談?wù)撈饋?lái)；很快就有人說(shuō) “不肯定；” “請(qǐng)舉個(gè)例子；”我說(shuō)；“ f（ x1） x，在區(qū)間（1，1）上有 f（1）·f（ 1） 0，但是 f（ x） 0 在（ 1，1）上沒(méi)有實(shí)數(shù)根；”大家都覺(jué)得這個(gè)例子很出色； 的確， 舉反例經(jīng)常不是件簡(jiǎn)潔的事；再提出問(wèn)題 3：函數(shù) f（x）在區(qū)間（ a， b）上有 f（ a）·f（b）0，且有零點(diǎn) ，那么肯定只有一個(gè)嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明；有一個(gè)同學(xué)在黑板上畫(huà)出了圖 1，仍有人畫(huà)出圖 2；圖 1圖 2我有意地?cái)?shù)了數(shù)“ 3 個(gè)， 5 個(gè)，”圖 3圖 4“不肯定是奇數(shù)

8、個(gè)；”一個(gè)同學(xué)說(shuō)； 有同學(xué)聽(tīng)出我的話(huà)外音 “老師是說(shuō)肯定有奇數(shù)個(gè)嗎？”他到黑板上畫(huà)出圖3；這時(shí)一個(gè)同學(xué)未經(jīng)老師同意就主動(dòng)上黑板畫(huà)出了圖4；我真沒(méi)有想到同學(xué)會(huì)想出這個(gè)點(diǎn)子來(lái)， 我被他們奇思妙想所感動(dòng)， 我干脆說(shuō)“仍有嗎？”有同學(xué)又畫(huà)出間斷不連續(xù)的圖象來(lái)；同學(xué)們仔細(xì)摸索，積極參加，熱忱很高；這樣的教學(xué)可以達(dá)到促進(jìn)同學(xué)進(jìn)展的目的，特殊是進(jìn)展同學(xué)的思維才能！接著，我讓同學(xué)爭(zhēng)論問(wèn)題4：函數(shù) f（x）在區(qū)間（ a，b）上有 f（ a）f（ b） 0，仍需要滿(mǎn)意什么條件？就肯定有且只一個(gè)實(shí)數(shù)根； ” 又進(jìn)入熱鬧爭(zhēng)論 ；最終得到要滿(mǎn)意 3 個(gè)條件：（ 1）函數(shù) f（ x）（的圖象）在區(qū)間 a， b上“ 連續(xù)不

9、斷”；（ 2） f（ a）· f（ b） 0；（ 3）函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ a， b）上 單調(diào)；這就已經(jīng)獲得了函數(shù)零點(diǎn)存在條件 ：函數(shù) y f（ x）在區(qū)間 a， b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有 f（a）f（b） 0，那么函數(shù) y f（ x）在區(qū)間 a， b上有零點(diǎn)；即存在 c（ a， b），使得 f（ c） 0，這個(gè) c 就是方程 f（ c） 0 的根；接著讓同學(xué)爭(zhēng)論：方程 lnx 2x 60 是否有實(shí)數(shù)根，并估量根所在區(qū)間；大多數(shù)同學(xué)采納， 在同一個(gè)坐標(biāo)系中同時(shí)畫(huà)出函數(shù) y lnx 與函數(shù) y62x 的圖象（圖 5），估量出它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間是（ 1，3），這

10、并不困難；老師再用幾何畫(huà)板畫(huà)出函數(shù) f（ x） lnx2x6 的圖象，同樣判定函數(shù) f精品資料歡迎下載（ x） lnx2x 6 在區(qū)間（ 1， 3）上有一個(gè)零點(diǎn)；這為下一節(jié)課用“ 二分法” 縮小區(qū)間長(zhǎng)度查找這個(gè)解的 近似值打 下伏筆；圖 53. 幾點(diǎn)想法（1） 對(duì)于零點(diǎn)存在的條件，高中階段不行能也不必要加以證明； 本節(jié)課的重點(diǎn)就是讓同學(xué)通過(guò)函數(shù)圖象，直觀感受零點(diǎn)存在的條件； 如何讓同學(xué)查找這個(gè)條件呢？當(dāng)然不要直接把結(jié)論拋給同學(xué)，這就需要設(shè)計(jì)一個(gè)過(guò)程，設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈” ，“問(wèn)題”會(huì)引起同學(xué)的摸索，讓同學(xué)對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行爭(zhēng)論，參加到查找條件的過(guò)程中來(lái)；（2） 要留意高中同學(xué)的思維特點(diǎn)； 有爭(zhēng)論說(shuō)明，

11、人的才能進(jìn)展具有年齡特點(diǎn)， 中學(xué)階段以抽象規(guī)律思維占主導(dǎo)位置 中學(xué)階段主要是以體會(huì)型為主的抽象規(guī)律思維， 而高中階段主要是以理論型為主的抽象規(guī)律思維； 這些結(jié)論需要我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)中引起留意， 對(duì)于培育同學(xué)的理性精神是非常必要的； 既不要低估同學(xué)的才能， 也不必過(guò)高地估量， 正確把握同學(xué)才能的 “最近進(jìn)展區(qū)” 提出問(wèn)題是老師的基本功之一；從教學(xué)的實(shí)踐看，問(wèn)題3 雖然抽象，但是，同學(xué)們借助圖象是有才能爭(zhēng)論解決的；同學(xué)力所能及的事就讓同學(xué)自己去做；（3） 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，數(shù)學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)； 怎樣讓同學(xué)活動(dòng)起來(lái)呢， 這個(gè)動(dòng)力就是 “問(wèn)題”，有思維價(jià)值的問(wèn)題；問(wèn)題可以把同學(xué)帶入“憤”與

12、“悱”的境地；有思維價(jià)值就不會(huì)對(duì)答 如流，就需要有肯定的摸索的時(shí)間； 提出問(wèn)題后， 先讓同學(xué)嘗試嘗試， 看能否解決它； 比仿說(shuō)， 你提出讓同學(xué)去火車(chē)站的任務(wù)； 假如他不知道方向（在北面仍是南面） 可以提示一下； 至于他如何走到火車(chē)站應(yīng)當(dāng)先讓他走一走， 繞彎路也很正常； 但是， 也有可能他想到了老師仍沒(méi)有想到方法； 實(shí)在不會(huì)走就再啟示他一下； 我們不能說(shuō)， 拉著我的手，跟著我到火車(chē)站去， 究竟是他去仍是你去呢？對(duì)問(wèn)題引導(dǎo)得太細(xì)， 不費(fèi)勁氣就解決了， 對(duì)培育才能沒(méi)有好處； 思維有時(shí)需要寂靜！ 老師提出問(wèn)題后喋喋不休， 講個(gè)不停， 會(huì)干擾同學(xué)的思維； 要培育同學(xué)主動(dòng)摸索的習(xí)慣，有困難時(shí)，老師加以啟示