2022年函數(shù)對(duì)稱性、周期性和奇偶性規(guī)律總結(jié)

1、精品資料歡迎下載函數(shù)對(duì)稱性、周期性和奇偶性關(guān)嶺民中數(shù)學(xué)組 一 、同一函數(shù)的函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性： （奇偶性是一種特別的對(duì)稱性）1、奇偶性 : （1） 奇函數(shù)關(guān)于（ 0， 0）對(duì)稱，奇函數(shù)有關(guān)系式f xf x0（2）偶函數(shù)關(guān)于 y（即 x=0）軸對(duì)稱， 偶函數(shù)有關(guān)系式2 、奇偶性的拓展 :同一函數(shù)的對(duì)稱性（1）函數(shù)的軸對(duì)稱：f xf x函數(shù) yf x 關(guān)于 xa 對(duì)稱f axf axf axf ax 也可以寫成f xf 2ax或f xf 2ax如 寫 成 ：f axf bx， 就 函 數(shù)yf x關(guān) 于 直 線xaxbx 2ab對(duì)稱2證 明 ： 設(shè) 點(diǎn) x1,y1 在 yf x上 ， 通 過(guò)f x

2、f 2ax 可 知 ，y1f x1 f 2ax1 ，即點(diǎn)2ax1 , y1也在yf x 上，而點(diǎn)x1, y1 與點(diǎn) 2ax1, y1 關(guān)于 x=a 對(duì)稱；得證；說(shuō)明：關(guān)于 xa 對(duì)稱要求橫坐標(biāo)之和為 2a ，縱坐標(biāo)相等； ax1, y1與ax1,y1關(guān)于 xa 對(duì)稱，函數(shù) yf x 關(guān)于 xa 對(duì)稱f axf ax x1,y1與2ax1,y1關(guān)于 xa 對(duì)稱，函數(shù) yf x 關(guān)于 xa 對(duì)稱f xf 2ax x1, y1與2ax1, y1關(guān)于 xa 對(duì)稱，函數(shù) yf x 關(guān)于 xa 對(duì)稱f x（2） ）函數(shù)的點(diǎn)對(duì)稱：f 2ax函數(shù) yf x 關(guān)于點(diǎn) a, b對(duì)稱f axf ax2b上述關(guān)系也可

3、以寫成f 2axf x2b或f 2 axf x2b如寫成：f axf bxc ，函數(shù) yf x 關(guān)于點(diǎn) ab , c 對(duì)稱22證明：設(shè)點(diǎn)x1, y1 在 yf x 上，即 y1f x1 ，通過(guò)f 2 axf x2b可知，f 2 ax1 f x1 2b ，所以f 2ax12bf x12by1 ，所以點(diǎn) 2ax1 ,2by1 也在 yf x 上，而點(diǎn)2ax1 ,2by1 與x1, y1關(guān)于 a,b 對(duì)稱得證；說(shuō) 明:關(guān)于 點(diǎn)a,b對(duì) 稱 要求 橫坐 標(biāo)之 和 為 2a , 縱 坐標(biāo) 之 和 為 2b , 如 ax與（ ax之和為 2a ；（3） ）函數(shù)yf x 關(guān)于點(diǎn) yb 對(duì)稱: 假設(shè)函數(shù)關(guān)于

4、yb 對(duì)稱，即關(guān)于任一個(gè) x值，都有兩個(gè) y 值與其對(duì)應(yīng)， 明顯這不符合函數(shù)的定義， 故函數(shù)自身不行能關(guān)于yb 對(duì)稱；但在曲線cx,y=0，就有可能會(huì)顯現(xiàn)關(guān)于yb 對(duì)稱，比如圓c x, yx 2y 240 它會(huì)關(guān)于 y=0 對(duì)稱；（4） ）復(fù)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)定理：性質(zhì) 1、復(fù)數(shù)函數(shù) yfgx為偶函數(shù)，就 fg x fgx；復(fù)合函數(shù) yfgx為奇函數(shù)，就 fgx fgx；性質(zhì) 2、復(fù)合函數(shù) yfx a 為偶函數(shù)，就 fx a f xa ；復(fù)合函數(shù) yfx a 為奇函數(shù)，就 f xa fa x ；性質(zhì) 3、復(fù)合函數(shù) yfx a 為偶函數(shù)，就 yfx關(guān)于直線 xa 軸對(duì)稱；復(fù)合函數(shù) yfx a

5、為奇函數(shù)，就 yfx關(guān)于點(diǎn) a,0 中心對(duì)稱；總結(jié)： x 的系數(shù)一個(gè)為 1，一個(gè)為 -1 ，相加除以 2，可得對(duì)稱軸方程總結(jié)： x 的系數(shù)一個(gè)為 1，一個(gè)為 -1 ，fx 整理成兩邊，其中一個(gè)的系數(shù)是為1， 另一個(gè)為 -1 ，存在對(duì)稱中心；總結(jié)： x 的系數(shù)同為為 1，具有周期性； 二 、兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性1、 yf x 與 yf x 關(guān)于 x軸對(duì)稱；證明： 設(shè)yf x上任一 點(diǎn)為x1,y1就 y1f x1， 所以yf x經(jīng)過(guò)點(diǎn) x1,y1 x1, y1與 x1,y1 關(guān)于 x軸對(duì)稱， y1f x1 與yf x 關(guān)于 x軸對(duì)稱.注：換種說(shuō)法： yf x 與yg xf x如滿意f xg x，即

6、它們關(guān)于y0 對(duì)稱；2、 yf x 與yf x 關(guān)于 y軸對(duì)稱；證明：設(shè)yf x 上任一點(diǎn)為x1,y1 就 y1f x1 ，所以yf x 經(jīng)過(guò)點(diǎn) x1,y1 x1, y1 與稱；x1, y1 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，yf x與 yf x 關(guān)于 y 軸對(duì)注：由于 x1, y1 代入yf x 得 y1f x1 f x1 所以yf x 經(jīng)過(guò)點(diǎn)x1, y1換種說(shuō)法： yx0對(duì)稱；f x 與yg xf x如滿意f xg x ，即它們關(guān)于g xf xf x3、 yf x 與 yf 2 ax 關(guān)于直線 xa 對(duì)稱；證明：設(shè)yf x上任一點(diǎn)為 x1,y1 就 y1f x1 ，所以yf 2 ax經(jīng)過(guò)點(diǎn)2 ax1,y1

7、 x1, y1與 2 ax1, y1 關(guān)于 xa 軸對(duì)稱，yf x 與yf 2 ax 關(guān)于直線 xa 對(duì)稱；注：換種說(shuō)法： yf x 與yg xf 2 ax如滿意f xg 2ax ，即它們關(guān)于 xa 對(duì)稱；4、 yf x 與 y2af x 關(guān)于直線 ya 對(duì)稱；證明：設(shè)yf x上任一點(diǎn)為 x1, y1 就 y1f x1 ，所以 y2af x 經(jīng)過(guò)點(diǎn) x1, 2ay1 x1, y1 與 x1, 2ay1 關(guān)于 ya 軸對(duì)稱 ， yf x 與 y2af x 關(guān)于直線ya 對(duì)稱.注：換種說(shuō)法： yf x 與 ygx2af x 如滿意f xgx2a ，即它們關(guān)于 ya 對(duì)稱；5、 yf x與y2bf

8、2ax 關(guān)于點(diǎn) a,b 對(duì)稱；證明：設(shè)yf x 上任一點(diǎn)為 x1, y1 就 y1f x1 ，所以 y2bf2 ax 經(jīng)過(guò)點(diǎn)2 ax1, 2by1 x1, y1 與2 ax1, 2by1 關(guān)于點(diǎn) a,b 對(duì)稱， yf x與y2bf 2ax 關(guān)于點(diǎn)a,b 對(duì)稱.注：換種說(shuō)法： yf x 與yg x2bf2 ax 如滿意f xg 2 ax2b ，即它們關(guān)于點(diǎn) a,b 對(duì)稱；g 2ax2bf2 a2 ax2bf x6、 yf ax 與yf xb 關(guān)于直線 xab對(duì)稱；2證明：設(shè)yf x上任一點(diǎn)為x1,y1 就 y1f x1，所以yf ax經(jīng)過(guò)點(diǎn) ax1, y1 ,yf bx經(jīng) 過(guò)點(diǎn)bx1, y1 ,

9、 ax1,y1與 bx1, y1關(guān)于直線xab 2對(duì)稱， yf ax 與yf xb 關(guān)于直線 xab對(duì)稱；2三、總規(guī)律：定義在上的函數(shù) yfx ，在對(duì)稱性、周期性和奇偶性這三條性質(zhì)中，只要有兩條存在，就第三條肯定存在；一、同一函數(shù)的周期性、對(duì)稱性問(wèn)題 即函數(shù)自身 一 、函數(shù)的周期性：對(duì)于函數(shù) yf x ，假如存在一個(gè)不為零的常數(shù) t，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f xt f x都成立，那么就把函數(shù)yf x 叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù) t 叫做這個(gè)函數(shù)的周期；假如全部的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期；1、周期性：（1）函數(shù) yf x 滿意如下關(guān)系式，就f

10、 x的周期為 2ta 、 f xt f xb 、 f xt1f x或f xt 1f xc 、 f xt 21f x 或1f xf xt 21f x1f x（等式右邊加負(fù)號(hào)亦成立）d 、其他情形（ 2）函數(shù) yf x 滿意f axf ax 且f bxf bx ，就可推出f xf 2axf b 2axbf b2axbf x2ba 即可以得到 yf x 的周期為 2b-a ，即可以得到“假如函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于垂直于x軸兩條直線對(duì)稱，就函數(shù)肯定是周期函數(shù)”（3） ）假如奇函數(shù)滿意f xt f x 就可以推出其周期是 2t，且可以推出對(duì)稱軸為 xt2kt k2z ，依據(jù)f xf x2t 可以找出其對(duì)稱中

11、心為kt，0 kz （以上 t0 ）假如偶函數(shù)滿意f xtf x 就亦可以推出周期是 2t，且可以推出對(duì)稱中心為 t2kt,0k 2z， 根 據(jù)f xf x2t 可 以 推 出 對(duì) 稱 軸 為xt2kt kz（以上 t0 ）（4） ）假如奇函數(shù)yf x 滿意f txf tx （ t0 ），就函數(shù) yf x 是以 4t 為周期的周期性函數(shù)；假如偶函數(shù)yf x 滿意f txf tx（ t0 ），就函數(shù) yf x 是以 2t 為周期的周期性函數(shù)；定理 1：如函數(shù) fx 在 r上滿意f axf ax，且 f bxf bx （其中 ab），就函數(shù) yfx 以2 ab 為周期.定理 2：如函數(shù) fx 在

12、r上滿意f axf ax，且 f bxf bx（其中 ab），就函數(shù) yfx 以 2 ab 為周期.定理 3：如函數(shù) fx 在 r上滿意f axf ax，且 f bxf bx （其中 ab），就函數(shù) yfx 以4 ab 為周期.定理 4：如函數(shù) fx 的圖像關(guān)于直線 x=a 和 x=b 都對(duì)稱， 就 fx 是周期函數(shù)， 2（b-a）是它的一個(gè)周期（未必是最小正周期） ；定理 5：如函數(shù) fx 的圖像關(guān)于點(diǎn)（ a,c）和b,c都成中心對(duì)稱，就 fx是周期函數(shù)， 2（ b-a）是它的一個(gè)周期（未必是最小正周期） ；定理 6：如函數(shù) fx 關(guān)于點(diǎn)（ a,c）和 x=b 都對(duì)稱，就 fx 是周期，4（ b-a） 是它的一個(gè)周期（未必是最小正周期） ；定理 7：如函數(shù) fx 滿意 fx-a=fx+aa>0, 就 fx 是周期函數(shù)