橡膠配方設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)方法

1、第三章配方設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)方法1 隨機(jī)變量及其分布n什么是隨機(jī)變量，來(lái)看個(gè)例子：有一批產(chǎn)品共1000個(gè)，每個(gè)產(chǎn)品按質(zhì)量可分為一等、二等和次品，分別用“1”“2”和“0”表示，那么我們說(shuō)這1000個(gè)減速器的等級(jí)構(gòu)成一個(gè)母體（也叫總體）每個(gè)產(chǎn)品的等級(jí)是個(gè)體。其中“1”是721個(gè)，“2”是213個(gè)，“0”是66個(gè)。n從母體中隨意取得的一個(gè)個(gè)體，叫隨機(jī)變量，記為X。那么上例中，隨機(jī)變量的概率分布列是：x 1 2 0p721/1000 213/1000 66/1000n從這個(gè)分布列可看出，。以后把母體分布就稱為是相應(yīng)隨機(jī)變量X的概率分布。P用分布列、分布密度、分布函數(shù)具體表示母體分布的數(shù)字特征指的是相應(yīng)隨機(jī)

2、變量的數(shù)字特征。n實(shí)際中，我們不可能對(duì)所有的母體元素都進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，因此只能進(jìn)行隨機(jī)抽樣檢查或分析。就是說(shuō)從母體取得一部分的個(gè)體，這部分個(gè)體叫子樣。隨機(jī)抽取子樣有兩種方法。，取一樣品后又放回，這種抽法則每一個(gè)隨機(jī)變量都是獨(dú)立同分布，且與母體分布相同；，如母體無(wú)限，隨機(jī)變量仍是獨(dú)立同分布，如母體有限，就并非如此。如子樣容量為n，相對(duì)于母體容量N很小：n/N0.1 如隨機(jī)子樣用X(X1，X2，Xn)表示，近似可看成獨(dú)立同分布。同分布即指每一個(gè)隨機(jī)變量分布都是母體分布，與母體分布相同。因此我們可通過(guò)研究子樣的一些特點(diǎn)來(lái)推測(cè)或推導(dǎo)出母體函數(shù)分布的特征，以便于理解。2.子樣分布 類似于母體分布，有三種形式：

3、頻數(shù)分布和頻率分布，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和直方圖。2.1.子樣頻數(shù)和頻率分布：例：從橡膠車間取7種規(guī)格產(chǎn)品，檢查每種規(guī)格的次品數(shù)得到子樣(0，3，2，1，1，0，1)。把7個(gè)數(shù)從小到大依次排列，相同的數(shù)合并，得到下列頻數(shù)表：上表稱為子樣頻數(shù)分布。那么頻率分布可用下表給出：X 0 1 2 3頻數(shù)2/73/71/71/7X 0 1 2 3頻數(shù) 2 3 1 12.2 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) Rn*(x) 定義：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，子樣值中小于或等于x的個(gè)數(shù)記為m(x)， Rn*(x)m(x)/n（n為子樣容量），那么上例的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)表達(dá)式是： 0， 當(dāng)x0 2/7， 當(dāng)0 x1 R7*(x) 5/7， 當(dāng)1x2 6/7，

4、 當(dāng)2x3 1， 當(dāng)x3 因此， Rn*(x)可表示n次試驗(yàn)事件Xx發(fā)生的概率，它與分布函數(shù)具有相同的性質(zhì)：n非降性，右連續(xù)。nRn*(-)0 Rn*()1 那么Rn*(x)與我們所關(guān)心的母體函數(shù)分布F(x)有何關(guān)系呢？ 按W.Glivenko定理，當(dāng)n值很大時(shí)， Rn*(x)近似于F(x)，所以我們可以用Rn* (x)來(lái)近似理解F(x)的性質(zhì)。2.3 直方圖 進(jìn)行N次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)0且N，母體的數(shù)量指標(biāo)是離散量。 對(duì)于連續(xù)量，可用分布密度來(lái)表示。相應(yīng)的子樣“密度”需用直方圖來(lái)表示。在母體分布密度圖中，用曲邊梯形面積來(lái)表示此區(qū)間的分布幾率，同樣在直方圖中，用子樣在直方圖中一個(gè)區(qū)間的

5、面積代表此區(qū)間上的頻率。舉例 測(cè)200個(gè)圓柱狀橡膠件的直徑，最小13.09，最大13.69?，F(xiàn)把它們分成12個(gè)組，組距為0.05列表如下：各組范圍組中值頻數(shù)頻率直方圖縱坐標(biāo)13.09513.14513.1220.0100.213.14513.19513.1710.0050.113.39513.44513.42370.1853.713.64513.69514.6720.0100.2為了使面積等于組頻率，則縱坐標(biāo)頻率/組距若n愈大，直方圖越接近于子樣分布密度函數(shù)f(x)的圖像。那么分布密度f(wàn)(x)的性質(zhì)：1.f(x)0 2.Paxb=對(duì)開區(qū)間成立，或左閉右開，或左開右閉。( )1f x dx( )

6、baf x dx子樣的重要數(shù)字特征n子樣平均數(shù)：n子樣方差：11niixxnx2211()niisxxn作業(yè)：從母體中抽得容量為50的子樣，其頻數(shù)分布為X25710mi1612814計(jì)算x和s2。3. 正態(tài)分布（高斯分布）的分布密度概率中其中 0，正態(tài)分布記為N(u， 2)。舉例：如u=0， 1，f(x)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0，1)，其圖像為過(guò)0軸，其分布函數(shù)記為(x)，數(shù)值可查表。2221( )2x uf xe正態(tài)分布性質(zhì)n有頂峰。n有對(duì)稱軸。nx 或 x 時(shí)yn 區(qū)間上的部分占總面積的68.3 區(qū)間上的部分占總面積的99.5 區(qū)間上的部分占總面積的99.7 證明可用積分計(jì)算，也可查表

7、驗(yàn)證。 0 23 從上面的解釋中我們可了解到，對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，分布函數(shù)F(x)才是它最完善的描述。但在實(shí)際情況下，我們并不需要知道全部的概率性質(zhì)，只需要知道這個(gè)隨機(jī)變量x的幾個(gè)特征數(shù)字，能反映該變量的變化值的集中位置和離散度就夠了。其中最常用的數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和方差。4. 數(shù)學(xué)期望和方差 4.1 數(shù)學(xué)期望E(X) 表示的是隨機(jī)變量在數(shù)軸取值的集中位置，它說(shuō)明隨機(jī)變量x的值大多出現(xiàn)在哪里，可以說(shuō)E(X) 是隨機(jī)變量的平均值，但這一平均值概念與算術(shù)平均值概念不同。n離散型隨機(jī)變量的E(X)n連續(xù)型用分布密度f(wàn)(x)代表E(X)()iiiE Xx p()( )E Xxf x dxxX(1)，X

8、(2)，pP1，p2，4.2 方差 用來(lái)衡量隨機(jī)變量對(duì)E(X)的離散程度。 DX=EX- E(X) 2 隨機(jī)變量與E(X)之差的平方的數(shù)學(xué)期望。 DX= E(X2)- E(X) 2 離散型： 連續(xù)型：2()iiiXE XP2()()XE Xf X dX數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)nE(C)=C，其中C為常數(shù)。nE(CX)=CE(X)nE(X+Y)=E(X)+E(Y)推廣nX、Y相互獨(dú)立，E(XY)=E(X)E(Y)11()()nniiiiiiEC XC E X方差性質(zhì)nD(C)=0nD(CX)=C2D(X)n若X、Y相互獨(dú)立，D(X+Y)=D(X)+D(Y)推廣211()()nniiiiiiDC XC D

9、X 前面介紹了數(shù)學(xué)期望和方差的概念及性質(zhì)，我們來(lái)看一下，正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望是什么？ 令 ，得E(X)=u 同樣可算出D(X)= 222()21( )2x uf xe221()()( )22xuE Xxf x dxxdxxut( )Y 那么對(duì)于f(x)，只要知道u， 2，即E(X)和D(X)，就可以畫出其曲線。 正態(tài)分布表示為 ，往往需要對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。如令 ，則隨機(jī)變量Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，表示為 ，N(0，1)。 大家可計(jì)算E(Y)=0，D(Y)=1。 如2( ,)N uXuY2()01XuDXD5. 三種重要抽樣分布 三種重要抽樣分布 分布，t分布，F(xiàn)分布。它們?cè)谧鹘y(tǒng)計(jì)判斷時(shí)經(jīng)常使用。先來(lái)看

10、一下正態(tài)母體的子樣平均數(shù) 。 5.1 正態(tài)母體中的 的分布： 設(shè)x1，x2，xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且每個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 ，則平均數(shù) 是否服從？ 2xx2( ,)u11niixxn2( ,)N un大家可以用前面所學(xué)的計(jì)算一下：11( )niinuE xExunn222211( )niinD xDxnnn5.2 分布 設(shè)x1，x2，xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且每個(gè) 隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，則隨機(jī)變量 的分布密度是 ， x0 0 ， x0 是伽瑪函數(shù)在 處的值。 這種分布稱為自由度為n的 分布，記為 。2222212nXXX12221( )2( )2nxnf xxen()2

11、n2n22( )n性質(zhì) 設(shè)兩個(gè) 變量 和 相互獨(dú)立。 的自由度為n1， 的自由度為n2。則 是自由度為n1 n2的 變量，那么定義中的是 ，自由度為112，總共為n。 補(bǔ)充：自由度簡(jiǎn)單說(shuō)就是試驗(yàn)觀測(cè)個(gè)數(shù)減去加在上面的約束條件。 如：子樣方差 只有一個(gè)約束條件 ，自由度為n-1。2En22Dn22122212222122221222221111()nniiiisxxxxnn11niixxn那么 分布的密度圖象是22( )n 可以看出n取不同值時(shí)有不同圖像，若對(duì)于給定(01） 存在 使 。則稱 為 的上側(cè)分位 數(shù)。以后在參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)中常用到。 2( )n2( )( )nf x dx2( )n

12、2 22pnnn=0.9950.990.9750.75120.0100.0200.0510.5754550.98557.50561.65673.166n從橫排看，取值越大， 越小。n從縱排看，n越大， 越大 但是當(dāng)n45時(shí)，值從表中查不到。如何解決這一問(wèn)題？先看一條性質(zhì)。2( )n2( )nn 由中心極限定理，當(dāng) 時(shí)， 也就是說(shuō)性質(zhì)：設(shè)隨機(jī)變量x服從自由度為n的 分布，則對(duì)任意x有此性質(zhì)證明當(dāng)n很大時(shí)， 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即自由度n很大的 分布近似于正態(tài)分布N(n,2n)。再看當(dāng)n45時(shí)如何計(jì)算 ?22,N u(0,1)2XnNn2221lim22txnxnpxedtn2xnn22( )n

13、 按上側(cè)分位數(shù)定義， 因而 ，令 若Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，對(duì)于任意給定的， 式中的 可以查表得到。 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)。則 例：要求 ，由0.05，查 1.645 則 2p xn 222nnxnpnn2xnYnp Yuuu 22nunn20.05120u20.051201202 120 1.645145.55.3 t分布 設(shè)隨機(jī)變量x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，隨機(jī)變量Y服從自由度為n的 分布，且X與Y相互獨(dú)立，則 的分布密度為 這種分布稱為自由度為n的t分布。記為t(n)2XTYn12212( )1,2nntf ttunn 分布的密度圖象為 令t(n)為t分布的上側(cè)分位數(shù)

14、。從圖中可以看出當(dāng) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因此n45的t(n)可查表，n45時(shí)可查正態(tài)分布 的值。un t(n)5.4 F分布 設(shè)X和Y分別服從自由度為n1，n2的 分布，且與X與Y相 互獨(dú)立，則 ，分布密度為 0 ，z0 這種分布叫第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，記為F(n1，n2)。212XnFYn11212122111122222( )1,022nnnnnnnnf xzzznnnnn 其分布密度圖象：有一重要性質(zhì)：F服從F(n1，n2)時(shí)，則 服從F(n2，n1)1F參數(shù)估計(jì) 我們進(jìn)行一批實(shí)驗(yàn)，得到一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果（數(shù)據(jù)）。如測(cè)一物體長(zhǎng)度其得到五個(gè)值。假定測(cè)定長(zhǎng)度服從正態(tài)分布 很容易我

15、們會(huì)想到用實(shí)測(cè)值的 和s2來(lái)做為參數(shù)值u和2的估計(jì)值。 估計(jì)方法有矩法估計(jì)、點(diǎn)估計(jì)、最大似然估計(jì)等等。這里不做逐一介紹，我們所關(guān)心的是我們所估計(jì)的值與這些參數(shù)到底相差多少，即檢驗(yàn)它們的無(wú)偏性，先來(lái)下個(gè)定義：而對(duì)于上例， 和s2是否是u和2的無(wú)偏估計(jì)？2( ,)N uxE x因此s2不是2的無(wú)偏估計(jì)按E(X)性質(zhì) 2無(wú)偏估計(jì)，記為s*2Es*2=2，這里可看到，當(dāng)n很大時(shí)，s*2= s211111nniiiiExExExnuunnn222111niinEsExxnn22211nnEsnn即是2211*1niisxxn 前面我們所說(shuō)的估計(jì)可以說(shuō)是點(diǎn)的估計(jì)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的未知參數(shù)往往需要依靠一定的概

16、率在一定范圍內(nèi)進(jìn)行估計(jì)，這即是區(qū)間估計(jì)，例： 已知某橡膠試片的300定伸強(qiáng)度在正常情況下服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差0.108，現(xiàn)測(cè)五個(gè)試片，其300定伸是4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（MPa),試以概率95對(duì)母體平均u作區(qū)間估計(jì)。 解：母體X的分布為正態(tài) ，已知 （ 已知）從母體中隨機(jī)抽樣得子樣(X1，X2，Xn)，要求以概率1對(duì)母體平均u作區(qū)間估計(jì)。2( ,)N u00自然我們用 來(lái)估計(jì)u(因?yàn)槭瞧錈o(wú)偏估計(jì)） 標(biāo)準(zhǔn)化給定概率1(01)存在 使x20,xNun0(0,1)xuUNn2u21p Uu 201xupun則 稱為u的置信區(qū)間。對(duì)此題來(lái)講， 0.108，n=5, =4.

17、3641-=0.95，查表 1.96，代入后P4.269u4.4590.95置信區(qū)間（4.269，4.459），置信概率0.95就是落在（4.269，4.459）區(qū)間上的概率是0.9500221p xuuxunn 0022,xuxunn0 x2u三. 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)于今后要介紹的方差分析、回歸分析相當(dāng)重要。假設(shè)檢驗(yàn)是小概率事件，小概率本身是不應(yīng)發(fā)生或發(fā)生概率較小，如在假設(shè)情況下小概率發(fā)生，則假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗(yàn)可分為兩類：n參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)（即母體的數(shù)字特征作假設(shè)，再?gòu)哪阁w中 取得子樣檢驗(yàn)此假設(shè)是否成立）。n分布假設(shè)檢驗(yàn)。舉例 某膠鞋廠檢驗(yàn)鞋底，每只鞋底標(biāo)準(zhǔn)重量為500g，按以前生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差

18、為10g，每隔一定時(shí)間需要檢查設(shè)備工作情況，現(xiàn)取10雙，稱得其重量為（g): 495，510，505，498，503，492，502，512，497，506 假定重量服從正態(tài)分布，試問(wèn)這段時(shí)間設(shè)備工作是否正常？解：鞋底重量是一個(gè)正態(tài)母體，標(biāo)準(zhǔn)差10，可假設(shè)母體平均數(shù)為500，如 k(確定常數(shù))，則設(shè)備工作正常，否則不正常。假設(shè)H0：u=500給定小概率(5，1或10)有210(500,)xNn500(0,1)10 xUNn2p Uu500 x 若0.05，則 1.96 例中 502，則26.2，說(shuō)明小概率事件沒(méi)有發(fā)生，假設(shè)成立，即可以認(rèn)為這段時(shí)間平均重量仍為500g。25001010 xpu2

19、ux105001.966.2010 x 這個(gè)例子中是已知的，若未知，應(yīng)將換為s*。則上式可換為 ，經(jīng)證明Tt(n-1)。 可查表得上側(cè)分位數(shù) 的值，使 從一次抽樣的所得子樣值 計(jì)算出s*和 的數(shù)值。若 則拒絕H0，反之則接受，這種方法叫t檢驗(yàn)。 0*xuTsn2(1)tn2(1)p Ttn02(1)*xuptnsnx02*(1)sxutnn四 方差分析 在實(shí)驗(yàn)中，影響性能因素復(fù)雜，我們往往需要知道哪些因素是主要的。如C.B和S用量都會(huì)對(duì)膠料性能有影響，哪個(gè)是主要的，我們把這主要的因素就叫它對(duì)性能的影響是顯著的，這一章將重點(diǎn)介紹方差分析。 舉例：實(shí)驗(yàn)中做耐油制品，測(cè)耐油時(shí)間，四種配方設(shè)計(jì)。 取若

20、干個(gè)作壽命試驗(yàn)，得如下數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）耐油性A11600，1610，1650，1680，1700，1720，1800A21580，1640，1640，1700，1750A31460，1550，1600，1620，1640，1660，1740，1820A41570，1520，1530，1570，1600，1680每種配方構(gòu)成 題意：共四個(gè)母體，從母體中分別取一子樣，容量不等，本題考察配方方案對(duì)耐油壽命有無(wú)顯著影響，即檢驗(yàn)四個(gè)母體平均數(shù)是否相等。如相等，即無(wú)顯著影響?，F(xiàn)從這個(gè)例子抽象出一般數(shù)學(xué)模型。 設(shè)r個(gè)正態(tài)母體Xi,i1，2，r。Xi的分布為 這里r個(gè)母體方差相等，在r個(gè)母體上作假設(shè)H0：u

21、1=u2=ur?，F(xiàn)獨(dú)立從各母體中取出一個(gè)子樣，列成下表：2( ,)N u 題的目的：用r個(gè)子樣，檢驗(yàn)上述假設(shè)是否成立。 母體子樣子樣平均x1x11，x22，x1nx2x21，x22，x2nxrxr1，xr2，xr31x2xrx 本題是相等且已知，可用F檢驗(yàn)法。檢驗(yàn)任兩母體平均數(shù)相等就可，但要做r-1次很繁，用離差分解法。 組內(nèi)平均： 總平均： 總離差平方和為：11,1,2,iniijjiXXirn111inrijrjXXn 211()inrTijrjQXX iii經(jīng)分解得等式右邊部分的前一半是QE，后一半是QA。 QE表示組內(nèi)離差平方和， QA表示組間離差平方和。計(jì)算其中i=ui - u，i=

22、1，2，r 22111()()inrriTijiiijiQXXn XX2()EEQnr221(1)rAiiiEQnr2EQEnr221111rAiiiQEnrr 是相互獨(dú)立用F分布定義1AEQQEErnr22EQnr221AQr2211(1,)AAEEQQrrFF rnrQQnrnr令 ， 為組內(nèi)均方離差 為組間均方離差22,1EAEAQQSSnrr2ES2AS22AESFS 一次抽樣若FF(r-1，n-r)，說(shuō)明小概率事件發(fā)生，拒絕H0。即認(rèn)為有顯著影響。如FF(r-1，n-r)，則接受H0，無(wú)顯著影響。1,p FFrnr計(jì)算F的方差分析表來(lái)源離差平方和自由度均方離差F值組間r-1組內(nèi)n-r

23、總和n-1211rnriEi jrjQXX21riAiiQnXX211rnrri jrjQXX21AAQSr2EEQSnr22AESFSii作業(yè)：對(duì)上例，給定0.055，問(wèn)是否有顯著影響？F0.05(3，22)3.05F0.05(4，20)=2.87F0.05(3，20)=3.49 在這個(gè)例子中，假定 02是已知的，實(shí)際情況中，母體方差并不知道，檢驗(yàn)?zāi)阁w平均數(shù)。 假定母體XN（u， 2)， 2未知，在母體上作假設(shè)H0：u=u0(u0已知），上例的u0500可用t檢驗(yàn)。 給定查表 值。 若成立則拒絕H0 若不成立則接受H00(1)*xuTt nsn21tn21p Ttn 還有其它檢驗(yàn)?zāi)阁w平均數(shù)的

24、方法，比如u檢驗(yàn)等等。這里就不逐一介紹了。 而檢驗(yàn)?zāi)阁w方差用 檢驗(yàn)。假設(shè)H0 ：0 02(02已知) 還可對(duì)分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，這里也不介紹了。2五 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的回歸分析 對(duì)于R實(shí)驗(yàn)來(lái)講，我們希望通過(guò)回歸分析使得到的一批數(shù)據(jù)能較好地?cái)M合出性能與各影響因子間的經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)模型，這就需要用回歸的方法。 5.1 多項(xiàng)式回歸 只要取得一組數(shù)據(jù)(xi，yi)，就可以擬合成一個(gè)較逼近實(shí)驗(yàn)曲線的多項(xiàng)式函數(shù)。這種方法對(duì)回歸方程類型不易判斷的情形很實(shí)用 對(duì)于一次多項(xiàng)式將通過(guò)兩點(diǎn)，二次多項(xiàng)式將通過(guò)三點(diǎn)等。對(duì)于C.B用量對(duì)硬度的影響，有10個(gè)點(diǎn)，可用一個(gè)唯一的一個(gè)9次多項(xiàng)式擬合。一般來(lái)說(shuō)，我們采取連續(xù)最小二乘法去擬合次數(shù)為

25、1，2，3，的多項(xiàng)式，直到找出一個(gè)適當(dāng)次數(shù)的多項(xiàng)式為止，當(dāng)然，我們總希望其次數(shù)少一些，如2次3次就可得到好的擬合效果，就不必再進(jìn)行高次的了。先來(lái)了解一下最小二乘法的多項(xiàng)式回歸方程。最小二乘多項(xiàng)式回歸 給定一組數(shù)(xi，yi) i=1，2，n 這是一元函數(shù)關(guān)系， 先假定x和y之間是線性關(guān)系，即是一次的。 定義為Y=+X+，其中 N(0，2)分布 在X固定的情況下，計(jì)算E(Y)，則E(Y)+X (1) (1)式是我們希望得到的函數(shù)關(guān)系式，這種情況是0，但 不一定為0。計(jì)算及實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們說(shuō)達(dá)最小時(shí)得到的yx 其中 和 不是和真值，而是估計(jì)值, 因此我們的任務(wù)就是要計(jì)算出 和 。 具體計(jì)算： 作離差平

26、方和 使Q最小，即 2最小，來(lái)計(jì)算 和 。可令Q分別對(duì) 和 求偏導(dǎo)數(shù)，令一階導(dǎo)數(shù)為0。2211nniiiiiQyx120niiiQyx 120niiiiQyxx 經(jīng)變形令 或11nniiiinxy2111nnniiiiiiixxx y11niixxn11niiyyn 2211niixxn11niiixyx yn22xyxyxx121niiiniixxyyxxyx 代入原式則擬合的方程就得到了，叫經(jīng)驗(yàn)回歸方程 如果x，y不是線性關(guān)系，需進(jìn)行二次多項(xiàng)式回歸。 一般來(lái)講理論上 所以再繼續(xù)進(jìn)行高次回歸時(shí)，經(jīng)驗(yàn)上有個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，即 yx222111nniiii221111nnikikiinknk終止次數(shù)一般k

27、8。5.2 一元線性回歸 模型： 與一次多項(xiàng)式回歸是相同的相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)說(shuō)明兩變量之間的相關(guān)程度，通常用由上式可知，0|r|1，可分3種情況來(lái)說(shuō)明：YXyxxyxxll22xyxx yyxxyylrl lxxyy1. ，X與Y無(wú)線性關(guān)系；2. 0|r|1,大多數(shù)情況，X與Y存在一定的相關(guān)性，r0， ，是正相關(guān)，y隨x單調(diào)增加，r0則是負(fù)相關(guān)，|r| 越小，數(shù)據(jù)點(diǎn)越分散；3. |r|=1，所有點(diǎn)都在回歸直線上。x，y存在確定的線性關(guān)系。查相關(guān)系數(shù)表。與了樣容量n及置信度有關(guān)。 0,0,0 xyrl0 當(dāng)n=10，0.05時(shí) 則|r|0.632，說(shuō)明在0.95的水平上，相關(guān)或說(shuō)顯著。 |r|0

28、.765，在0.99水平上顯著。 n-20.050.01128n0.9970.9500.6321.000.9900.765相關(guān)系數(shù)與子樣容量和置信度（）有關(guān)5.4 一元非線線性回歸 若實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)，畫點(diǎn)圖，如不是線性的，這就要先把它配上相應(yīng)的曲線，再通過(guò)線性化按線性回歸的方法計(jì)算出它們的系數(shù)。 通常選取的曲線有6種類型：1. 雙曲線1bayx2. 冪函數(shù)曲線 ，其中x0，a0byax3. 指數(shù)曲線 ，其中a0bxyae4. 倒指數(shù)曲線 ，其中a0bxyae5. 對(duì)數(shù)曲線log ,0yabx x6. S型曲線1xyabe舉例：流變學(xué)中，混煉膠流動(dòng)曲線為 (b1)此式不過(guò)原點(diǎn)的冪函數(shù)方程

29、，令 先求出c值，利用拉格朗日差值法lglgbwwcalgwylgwxbycax 求出c后，將原式線性化，令 ， 得 ，再用一元線性回歸求出a，b。a和b確定后，牛頓流動(dòng)指數(shù)n201012y yycyyylgwylgwxbycaxln()lnlnycabxlnPabQ1lglglgbwwwdnabd5.5 多元線性回歸 實(shí)驗(yàn)中影響性能因素常常不只是一個(gè)，則需要進(jìn)行多元線性回歸。 首先建立模型： 為常數(shù)。 這就稱為p元線性回歸模型。 對(duì)隨機(jī)變量 作n次觀測(cè)得n組觀測(cè)值。 20,N12( , )px xx Y101 1121211ppYpxxx01 10,pppYpxxpp2012122222pp

30、Ypxxx01122nnnpnpnYpxxx0 0 0-p 為處理方便，用矩陣表示：令 則 ， 為計(jì)算 ，作離差平方和12nYYYY1112121111ppnnpxxxxXxx01rpppp12nYX p0ppp2011221niiipipiQyxxx0-p 將 換為 ，最后用矩陣（逆矩陣）法可解出011221020niiipipiQyxxx 0112211120niiipipiiQyxxxx 01122120niiipipipipQyxxxx p0p 回歸顯著檢驗(yàn)（哪個(gè)變量對(duì)y重要），如影響不重要那么哪個(gè)因素前面的系數(shù)j應(yīng)為0，所以可以假設(shè)H0：j=0，然后再用F檢驗(yàn)。多元非線性也是如此。（

31、可看參考書）5.6 試驗(yàn)優(yōu)化與設(shè)計(jì)方法 前面的幾章我們介紹了如何對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和模擬實(shí)驗(yàn)方程，這是實(shí)驗(yàn)后的工作。如果實(shí)驗(yàn)前所選擇的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不恰當(dāng)，那么計(jì)算的再精確也達(dá)不到預(yù)期的效果，因此實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的選擇非常重要。 配方設(shè)計(jì)可分為單因素變量設(shè)計(jì)和多因素變量設(shè)計(jì)。一、單因素變量設(shè)計(jì) 平分法 消去法 黃金分割法 kibonaci法 分批試驗(yàn)法 拋物線法 這里只介紹平分法： 條件：如果每作一次試驗(yàn)，可根據(jù)結(jié)果來(lái)決定下次試驗(yàn)的方向，就可用平分法。 例：選一R配方，要求硬度為70，確定C.B用量，按經(jīng)驗(yàn)先其試驗(yàn)范圍為4080份，由于硬度是C.B用量的單調(diào)增函數(shù)，因此可用平分法。 第一次：M1/2(4080）60

32、，結(jié)果硬度小于70， 應(yīng)劃去60以下的范圍，第二次為1/2(6080)=70。 如大于70，則劃去7080，如小于70則劃去70以下，繼續(xù)下去，直至得到最佳值。二、多因素配方設(shè)計(jì) 這里重點(diǎn)介紹等高線圖形法。 它表示當(dāng)有兩個(gè)或三個(gè)因素變量時(shí)，某一項(xiàng)性能指標(biāo)變化規(guī)律的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，這種方法簡(jiǎn)單、直觀。 2.1 等高線原理（z為性能）： 如Z=f(x，y)為空間曲面圖形，且Z有最大值，其圖形為： 圖中T點(diǎn)為最高點(diǎn)，即性能最高值，其在XOY平面上的投影為P點(diǎn)。如圖任一平行于XOY平面的平面去截此面圖形，再把所截曲線投影在XOY平面上，得曲線L1，則L1上任意一點(diǎn)所表達(dá)的性能值都是相同的。如用多個(gè)平

33、面去截此曲線，并進(jìn)行投影，則可得到多條曲線，如圖中L2越往外，則性能越小，根據(jù)等高線這些特點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)中如果我們能把兩變量所影響的性能的相同點(diǎn)畫出來(lái)，并把這些點(diǎn)用線連起來(lái)，畫出等高線，則以等高線的變化就可得到此函數(shù)的變化規(guī)律了。2.2 繪圖方法 先對(duì)兩因素來(lái)講，按經(jīng)驗(yàn)確定試驗(yàn)范圍。如促進(jìn)劑和活性劑對(duì)焦燒時(shí)間的影響。然后以中心點(diǎn)為圓心作圓，在圓周上取正多邊形點(diǎn)，顯然邊數(shù)越多，試驗(yàn)精確度高，這里我們選擇正五邊形，加上中點(diǎn)p點(diǎn)，做6次試驗(yàn)得到焦燒時(shí)間值，分別標(biāo)在各點(diǎn)上。 然后將這幾點(diǎn)與中心連線，并按性能來(lái)分，相同性能點(diǎn)的連上線，畫出等高線圖。50 如果我們需要焦燒時(shí)間30分鐘，那么這么多點(diǎn)到底選哪一點(diǎn)呢

34、？需要其它的性能等高線配合，如我要求300定伸強(qiáng)度10MPa?？僧嫵鰞梢蛩?00定伸強(qiáng)度的等高線，其與30分鐘曲線相等的點(diǎn)即為最佳點(diǎn)。如再配合其它性能測(cè)試，可得出一最佳實(shí)驗(yàn)點(diǎn)范圍。 上面我們介紹的是直角坐標(biāo)等高線圖作法。它適于兩因素的試驗(yàn)方法。50 再看一個(gè)三角坐標(biāo)等高線圖，它適合于三元硫化促進(jìn)劑和三元R并用體系。 具體畫法：取正三角形，每點(diǎn)表示不同變量，并且為100，將每邊10等分。如實(shí)驗(yàn)中我們?nèi)?0個(gè)點(diǎn)，包括中心點(diǎn)，則將得到的性能（焦燒時(shí)間）標(biāo)上。如畫焦燒時(shí)間13分鐘的等高線，看12.614.6之間按比例找。同樣12.613.2之間，12.613.1之間，12.614.7之間得四點(diǎn)，并連結(jié)

35、起來(lái)，得到等高線。2.3 正交設(shè)計(jì)給大家介紹一種重要的設(shè)計(jì)方法正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)。一種運(yùn)用于多因素試驗(yàn)的重要而且有效的方法。它的主要特點(diǎn)：能大幅度減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，結(jié)論準(zhǔn)確可靠，還分析因素間的相互作用。它能夠很好地解決以下幾個(gè)問(wèn)題：1. 影響性能的因素哪個(gè)重要，哪個(gè)不重要。2. 同一因子下不同水平哪個(gè)重要。3. 各因子依何水平搭配對(duì)性能影響顯著。一. 什么是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)？按正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法。二. 什么是正交表？我們來(lái)看這樣一個(gè)表 方法試驗(yàn)號(hào)1231234112212121221這里我們需要了解的有： 表達(dá)含義 L正交表4實(shí)驗(yàn)次數(shù)2兩個(gè)水平（表中的1和2表示不同的水平）33個(gè)因素（因子）那么 表示

36、的是9次試驗(yàn)，3個(gè)水平，4個(gè)因素34(2 )L34(2 )L49(3 )L 水平因素12S0.51CZ11.5防焦CTP11.5 的正交表列如下：49(3 )L方法試驗(yàn)號(hào)1234123456789111222333123123123123231312123312231這些表從手冊(cè)上都可以查到查的原則是依據(jù)你選擇實(shí)驗(yàn)的因子數(shù)和水平數(shù)來(lái)定。還有如其它的正交表。 ， 等。516(4 )L1327(3 )L 從正交表中可看出有兩個(gè)重要的數(shù)字特征：(1). 每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。(2). 任意兩列中，將同一橫行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對(duì)時(shí)，每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)相等。正交表的這些性質(zhì)決定了可用很少

37、的試驗(yàn)數(shù)就可準(zhǔn)確地進(jìn)行試驗(yàn) 三. 正交表運(yùn)用原則： 我們定義n水平數(shù)，m因素?cái)?shù)。 無(wú)交互作用時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)=m(n-1) 有交互作用時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)m(n-1)+(n-1)(n-1)。 如24，其中只有一對(duì)因素有交互作用，則計(jì)算最大試驗(yàn)次數(shù)為4(21)+(2-1)(2-1)=5，如有兩對(duì)有交互作用，為6次。 拿24來(lái)講在正交表中找不到與之相應(yīng)的正交表。怎么辦？。所以應(yīng)選L8(27)，如選L32(237)實(shí)驗(yàn)數(shù)就太多了。選定表為L(zhǎng)8(27)之后，還要安排表頭，即如A、B、C、D四種不同因素，哪個(gè)放在1、2、3、4的位置呢？ 順序：不考慮交互作用，將重要的因素A、B放在1、2列。然后由L8(27)的交互

38、作用表，查得AB應(yīng)放在第三列。應(yīng)當(dāng)說(shuō)明的是：不同的正交表有它自身的交互作用表。 接著把因子C放在4列， AC放于第5列， BC放于第6列，D放于第七列，這樣表頭就設(shè)計(jì)完了。列號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1 (7)表頭設(shè)計(jì)ABABCACBC D列號(hào)1234567接下來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析。舉例：考察S/促進(jìn)劑/C.B這三個(gè)因素對(duì)NR/BR膠料的300定伸強(qiáng)度的影響，同時(shí)考察交互作用。 水 平A 促CZ 0.7 0.9B S 1.2 1.4C HAF/ISAF 14/4

39、1 27/28計(jì)算最大試驗(yàn)次數(shù)：3(21)3(21)(21)=6L6(23)最接近的是L8(27)表頭ABABCACBCD試驗(yàn)結(jié)果平方值試驗(yàn)號(hào) 列號(hào)1234567300定伸kg/cm211111111Y1 86Y1221112222Y2 95Y2231221122Y3 91Y3241222211Y4 94Y4252121212Y5 91Y5262122121Y6 96Y6272211221Y7 83Y7282212112Y8 88Y82K1(水平1加和)K1AK1BK1ABK1CK1ACK1BCK=YiW =Yi2K2 (水平2加和)K2AK2BK2ABK2CK2ACK2BCUUAUBUABU

40、CUACUBCP=k2/8QQAQBQABQCQACQBCQi=Ui-P2211()4AAiiUkAAQUP 對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析分為直觀分析和方差分析，先看直觀分析。 經(jīng)計(jì)算： 若是不考慮交互作用，可選擇A1 B1 C2作為最佳配方。這里因子C的極差最大，是主要矛盾，其次是B和A。若A與B有交互作用，要考慮交互作用，看一下列表。k1366368352351361359k2358356372373363365(k1-k2 )/42.03.0-5.0-5.5-0.5-1.5表頭ABABCACBCD試驗(yàn)結(jié)果平方值試驗(yàn)號(hào) 列號(hào)1234567300定伸kg/cm211111111Y1 86Y12211122

41、22Y2 95Y2231221122Y3 91Y3241222211Y4 94Y4252121212Y5 91Y5262122121Y6 96Y6272211221Y7 83Y7282212112Y8 88Y82B AA1A2B1(86+95)/2=181/2(91+96)/2=187/2B2(91+94)/2=185/2(83+88)/2=171/2從這里可以看出AB交互作用對(duì)性能影響最顯著的是A2B1，所以最佳配方應(yīng)是A2B1C2。表頭ABABCACBCD試驗(yàn)結(jié)果平方值試驗(yàn)號(hào) 列號(hào)1234567300定伸kg/cm211111111Y1 86Y1221112222Y2 95Y2231221

42、122Y3 91Y3241222211Y4 94Y4252121212Y5 91Y5262122121Y6 96Y6272211221Y7 83Y7282212112Y8 88Y82因素A的離差總離差平方和為實(shí)驗(yàn)誤差。那么A、B、C、AB、AC、BC的F值如何呢？11234AkYYYY25678AkYYYY2211()4AAiiUk81iikY218pk821iiWYAAQUP,TABCABACBCEEQQQQQQQQQ再看一下方差分析以k1A為例表頭ABABCACBCD試驗(yàn)結(jié)果平方值試驗(yàn)號(hào) 列號(hào)1234567300定伸kg/cm211111111Y1 86Y1221112222Y2 95Y2

43、231221122Y3 91Y3241222211Y4 94Y4252121212Y5 91Y5262122121Y6 96Y6272211221Y7 83Y7282212112Y8 88Y82K1(水平1加和)K1AK1BK1ABK1CK1ACK1BCK=YiW =Yi2K2 (水平2加和)K2AK2BK2ABK2CK2ACK2BCUUAUBUABUCUACUBCP=k2/8QQAQBQABQCQACQBCQi=Ui-P來(lái)源離差自由度均方離差F值A(chǔ)QA1SA2QA/ 1FA= SA2/ SE2BQB1SB2QB/ 1FB= SB2/ SE2ABQAB1SAB2QAB/ 1FAB= SAB2/ SE2CQC1SC2QC/ 1FC= SC2/ SE2ACQAC1SAC2QAC/ 1FAC= SAC2/ SE2BCQBC1SBC2QBC/ 1FBC= SBC2/ SE2誤差QE1SE2QE/ 1總和QT7來(lái)源離差Q自由度A31B781AB31C7631AC2531BC31誤差281總和10717來(lái)源離差自由度均方離差F值B781788.3C763176375AC253125327