2022年初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑺

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，精心整編吐血推薦, 如若有用請(qǐng)打賞支持，感激不盡！初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第 7 講 立體圖形空間形體的想象能力是小學(xué)生的一種重要的數(shù)學(xué)能力，而立體圖形的學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)這種能力十分有效。我們雖然在課本上已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡(jiǎn)單的立體圖形，如正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體、圓錐體，但有關(guān)立體圖形的概念還需要深化，空間想象能力還需要提高。將空間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成平面的位置關(guān)系來(lái)處理，是解決立體圖形問(wèn)題的一種常用思路。一、立體圖形的表面積和體積計(jì)算例 1 一個(gè)圓柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72cm2，在這個(gè)杯中放進(jìn)棱長(zhǎng) 6cm的正方體鐵塊后，水面沒(méi)有淹沒(méi)鐵塊，這時(shí)水面高多少厘米

2、？解：水的體積為 722.5=180（cm3），放入鐵塊后可以將水看做是底面積為72-66=32（cm2）的柱體，所以它的高為18032=5（cm ）。例 2 下圖表示一個(gè)正方體，它的棱長(zhǎng)為4cm ，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的正方體，問(wèn)：此圖的表面積是多少？分析：正方體有 6 個(gè)面，而每個(gè)面中間有一個(gè)正方形的孔，在計(jì)算時(shí)要減去小正方形的面積。各面又挖去一個(gè)小正方體，這時(shí)要考慮兩頭小正方體是否接通，這與表面積有關(guān)系。由于大正方體的棱長(zhǎng)為4cm ，而小正方體的棱長(zhǎng)為 1cm ，所以沒(méi)有接通。每個(gè)小正方體孔共有5 個(gè)面，在計(jì)算表面積時(shí)都要考慮。解：大正方體每個(gè)面的面積為

3、44-11=15（cm2），6 個(gè)面的面積和為156=90（cm2）。小正方體的每個(gè)面的面積為11=1（cm2），5 個(gè)面的面積和為15=5（cm2），6 個(gè)小正方體孔的表面積之和為56=30（cm2），因此所求的表面積為9030=120（cm2 ）。想一想，當(dāng)挖去的小正方體的棱長(zhǎng)是2cm時(shí)，表面積是多少？請(qǐng)同學(xué)們把它計(jì)算出來(lái)。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -例 3 正方體的每一條棱長(zhǎng)是一個(gè)一位數(shù)，表面的每個(gè)正方形面積是一個(gè)兩位數(shù)，整個(gè)表面積是一個(gè)三位數(shù)。而且若將正方形面積的兩位

4、數(shù)中兩個(gè)數(shù)碼調(diào)過(guò)來(lái)則恰好是三位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)碼。求這個(gè)正方體的體積。解：根據(jù)“正方體的每一條棱長(zhǎng)是一個(gè)一位數(shù)，表面的每個(gè)正方形面積是一個(gè)兩位數(shù)，整個(gè)表面積是一個(gè)三位數(shù)”的條件，可知正方體的棱長(zhǎng)有5，6，7，8，9 這五種可能性。根據(jù)“將正方形面積的兩位數(shù)中兩個(gè)數(shù)碼調(diào)過(guò)來(lái)恰好是三位數(shù)的十位上與個(gè)位上的數(shù)碼”，可知這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是 7。如右表：因此這個(gè)正方體的體積是777=343。例 4 一個(gè)長(zhǎng)、寬和高分別為21cm ，15cm和 12cm的長(zhǎng)方體，現(xiàn)從它的上面盡可能大地切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個(gè)正方體，最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大地切下一個(gè)正方體，剩下的體積

5、是多少立方厘米？解：根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為21cm ，15cm和 12cm的條件，可知第一次切下盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是 12cm ，其體積是 121212=1728（cm3 ）。這時(shí)剩余立體圖形的底面形狀如圖1，其高是 12cm 。這樣，第二次切下盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是 9cm ，其體積是 999=729（cm3）。這時(shí)剩余立體圖形可分割為兩部分：一部分的底面形狀如圖2，高是 12cm ；另一部分的底面形狀如圖 3， 高是 3cm 。 這樣， 第三次切下盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是6cm ， 其體積是 666=216 （cm3） 。因此，剩下的體積是211512-（1239363）=37

6、80-2673=1107（cm3）。說(shuō)明：如果手頭有一個(gè)泥塑的長(zhǎng)方體和小刀，那么做出這道題并不難。但實(shí)際上，我們并沒(méi)有依賴于具體的模型和工具，這就是想象力的作用。我們正是在原有感性經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，想象出切割后立體的形狀，并通過(guò)它們各個(gè)側(cè)面的形狀和大小表示出來(lái)。因此，對(duì)一個(gè)立體圖形，應(yīng)該盡可能地想到它的原型。例 5 右圖是一個(gè)長(zhǎng) 27cm ，寬 8cm ，高 8cm的長(zhǎng)方體?，F(xiàn)將它分為 4 部分，然后將這 4 部分重新組拼，能重組為一個(gè)棱長(zhǎng)為12cm的正方體。請(qǐng)問(wèn)該怎么分？解：重組成的正方體的棱長(zhǎng)是12cm ，而已知長(zhǎng)方精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

7、 - - 第 2 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -體的寬是 8cm ，所以要把寬增加4cm ，為此可按右圖 1 中的粗線分開(kāi)，分開(kāi)重組成圖 2 的形狀；圖 2 的高是 8cm ，也應(yīng)增加 4cm ，為此可按圖 2 中的虛線分開(kāi)，分開(kāi)后重組成圖3 的形狀。圖 3 就是所組成的棱長(zhǎng)為12cm的正方體。說(shuō)明：這里有一個(gè)樸素的思想，就是設(shè)法把不足 12cm的寬和高補(bǔ)成 12cm 的棱長(zhǎng)，同時(shí)按照某種對(duì)稱的方式分割。在解關(guān)于立體圖形的問(wèn)題時(shí)，需要有較豐富的想象力，要能把平面圖形在頭腦中“立”起來(lái)，另外還應(yīng)有一定的作圖本領(lǐng)和看圖能力。例 6 雨嘩嘩地不停地下著，如在雨地里放一個(gè)如右圖那

8、樣的長(zhǎng)方體的容器（單位：厘米），雨水將它下滿要用 1 時(shí)。有下列（ 1）（5）不同的容器，雨水下滿各需多長(zhǎng)時(shí)間？解：根據(jù)題意知雨均勻地下，即單位面積內(nèi)的降雨量相同。所以雨水下滿某容器所需的時(shí)間與該容器的容積和接水面（敞開(kāi)部分）的面積之比有關(guān)。因?yàn)樵诶龍D所示容器中：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -需 1 時(shí)接滿，所以二、立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖例 7 右圖是一個(gè)立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖（單位： cm ），求這個(gè)立體圖形的表面積和體積。解：這個(gè)立體圖形是一個(gè)圓柱的四分之一（如右上圖），圓柱的

9、底面半徑為 10cm ，高為 8cm 。它的表面積為例 8 右圖是一個(gè)正方體，四邊形 apqc 表示用平面截正方體的截面。請(qǐng)?jiān)谟蚁路降恼归_(kāi)圖中畫(huà)出四邊形 apqc 的四條邊。解：把空間圖形表面的線條畫(huà)在平面展開(kāi)圖上，只要抓住四邊形apqc 四個(gè)頂點(diǎn)所在的位置這個(gè)關(guān)鍵，再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫(huà)出。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -（1）考慮到展開(kāi)圖上有六個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有標(biāo)出，可想象將展開(kāi)圖折成立體形，并在頂點(diǎn)上標(biāo)出對(duì)應(yīng)的符號(hào)，見(jiàn)右圖。（2）根據(jù)四邊形所在立體圖形上的

10、位置，確定其頂點(diǎn)所在的點(diǎn)和棱，以及四條邊所在的平面：頂點(diǎn)：aa，cc，p在 ef邊上，q在 gf邊上。邊 ac在 abcd 面上，ap在 abfe面上，qc在 bcgf面上，pq在 efgh 面上。（3）將上面確定的位置標(biāo)在展開(kāi)圖上，并在對(duì)應(yīng)平面上連線。需要注意的是，立體圖上的a，c點(diǎn)在展開(kāi)圖上有三個(gè)， b，d點(diǎn)在展開(kāi)圖上有二個(gè)，所以在標(biāo)點(diǎn)連線時(shí)必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如右上圖。例 9 如右圖所示，剪一塊硬紙片可以做成一個(gè)多面體的紙模型（沿虛線折，沿實(shí)線粘）。這個(gè)多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)的總和是多少？解：從展開(kāi)圖可以看出，粘合后的多面體有 12 個(gè)正方形和 8 個(gè)三角形，共 20

11、 個(gè)面。這個(gè)多面體上部的中間是一個(gè)正三角形，這個(gè)正三角形的三邊與三個(gè)正方形相連，這樣上部共有9 個(gè)頂點(diǎn)，下部也一樣。因此，多面體的頂點(diǎn)總數(shù)為 9 2=18（個(gè)）。在 20 個(gè)面的邊中，虛線有19 條，實(shí)線有 34 條。因?yàn)槊織l虛線表示一條棱，兩條實(shí)線表示一條棱，所以多面體的總棱數(shù)為19342=36（條）。綜上所述，多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)之和為20+183674。說(shuō)明：數(shù)學(xué)家歐拉曾給出一個(gè)公式：vf-e2。公式中的 v表示頂點(diǎn)數(shù)， e表示棱數(shù)， f 表示面數(shù)。根據(jù)歐拉公式，知道上例多面體的面數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)之后，棱數(shù)便可求得：e=v f-2=2018-2=36（條）。三、立體圖形的截面與投影例 1

12、0 用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，可以得到幾邊形？解：如下圖，可得到三角形、四邊形、五邊形和六邊形。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -例 11 一個(gè)棱長(zhǎng)為 6cm的正方體，把它切開(kāi)成49 個(gè)小正方體。小正方體的大小不必都相同，而小正方體的棱長(zhǎng)以厘米作單位必須是整數(shù)。問(wèn)：可切出幾種不同尺寸的正方體？每種正方體的個(gè)數(shù)各是多少？解：13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216。如果能切出 1 個(gè)棱長(zhǎng)為 5cm的正方體，那么其余的只能是棱長(zhǎng)為1cm的正體體，共切出小正

13、方體：1（63-53）1=92（個(gè)）。因?yàn)?9249，所以不可能切出棱長(zhǎng)為5cm的正方體。如果能切出 1 個(gè)棱長(zhǎng)為 4cm的正方體，那么其余的只能是棱長(zhǎng)為1cm或 2cm的正方體。設(shè)切出棱長(zhǎng)為 1cm的正方體有 a 個(gè)，切出棱長(zhǎng)為 2cm的正方體有 b 個(gè)，則有設(shè)切出棱長(zhǎng)為 1cm的正方體有 a 個(gè)，棱長(zhǎng)為 2cm的正方體有 b 個(gè)，棱長(zhǎng)為 3cm的正方體有 c 個(gè)，則解之得 a=36，b=9，c=4。所以可切出棱長(zhǎng)分別為1cm ，2cm和 3cm的正方體，其個(gè)數(shù)依次為36，9 和 4。例 12 現(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)為 1cm的正方體，一個(gè)長(zhǎng)寬為 1cm高為 2cm的長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)寬為 1cm高為3c

14、m的長(zhǎng)方體。右側(cè)圖形是把這五個(gè)圖形合并成某一立體圖形時(shí)，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試?yán)孟旅嫒齻€(gè)圖形把合并成的立體圖形（如上圖）的樣子畫(huà)出來(lái)，并求出其表面積。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -解：立體圖形的形狀如右圖所示。從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2，共 18cm2；從兩個(gè)側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2，共 14cm2；從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2，共 12cm2；隱藏著的面積有 2cm2。一共有 181612246（cm2）。練習(xí) 71一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從

15、里面量得長(zhǎng)40cm ，寬 30cm ，深 35cm ，里面的水深 10cm 。放進(jìn)一個(gè)棱長(zhǎng) 20cm的正方體鐵塊后，水面高多少厘米？2王師傅將木塊刨成橫截面如右圖（單位：cm ）那樣的高 40cm的一個(gè)棱柱。虛線把橫截面分成大小兩部分，較大的那部分的面積占整個(gè)底面的60。這個(gè)棱柱的體積是多少立方厘米？3在底面為邊長(zhǎng) 60cm的正方形的一個(gè)長(zhǎng)方體的容器里，直立著一根高1m ，底面為邊長(zhǎng) 15cm的正方形的四棱柱鐵棍。這時(shí)容器里的水半米深?，F(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24cm ，露出水面的四棱柱鐵棍浸濕部分長(zhǎng)多少厘米？4下列各圖形中，有的是正方體的展開(kāi)圖，寫(xiě)出這些圖形的編號(hào)。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p

16、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -5小玲有兩種不同形狀的紙板，一種是正方形，一種是長(zhǎng)方形。正方形紙板的總數(shù)與長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)之比是 12。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無(wú)蓋紙盒（如右圖），正好將紙板用完。在小玲所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少？6請(qǐng)你在下面圖（ 2）中畫(huà)出 3 種和圖（1）不一樣的設(shè)計(jì)圖，使它們折起來(lái)后都成為下圖所示的長(zhǎng)方形盒子（直線段與各棱交于棱的中點(diǎn)）。7在桌面上擺有一些大小一樣的正方體木塊，從正南方向看如下左圖， 從正東方向看如下右圖， 要擺出這樣的圖形至多

17、用多少塊正方體木塊？至少需要多少塊正方體木塊？8有一個(gè)正方體，它的6 個(gè)面被分別涂上了不同的顏色，并且在每個(gè)面上至少貼有一張紙條。用不同的方法來(lái)擺放這個(gè)正方體，并從不同的角度拍下照片。（1）洗出照片后，把所拍攝的面的顏色種類不同的照片全部挑選出來(lái)，最多可以選出多少?gòu)堈掌?？?）觀察（ 1）中選出的照片，發(fā)現(xiàn)各張照片里的紙條數(shù)各不相同。問(wèn)：整個(gè)正方體最少貼有多少?gòu)埣垪l？練習(xí) 7 答案115cm 。解：若鐵塊完全浸入水中，則水面將提高精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -此時(shí)水面的高小于2

18、0cm ，與鐵塊完全浸入水中矛盾，所以鐵塊頂面仍然高于水面。此時(shí)水深與容器底面積的乘積應(yīng)等于原有水量的體積與鐵塊浸入水中體積之和。設(shè)放進(jìn)鐵塊后，水深為xcm ，則 4030 x403010+2020 x，解得 x=15，即放進(jìn)鐵塊后，水深15cm 。219200cm3。解得 x=16。這個(gè)棱柱的體積是 （12+24）162 604019200（cm3）。325.6 cm 。解：容器里的水共有（ 6060-1515）50168750（cm3）。當(dāng)把鐵棍提起 24cm時(shí)，鐵棍仍浸在水中的部分的長(zhǎng)是（168750-606024）（ 6060-1515）=24.4（cm ），所以露出水面的浸濕部分長(zhǎng)50-24.4=25.6 （cm ）。4（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）