第19課四邊形和平行四邊形

1、1(2013浙江寧波)一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于 72， 則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為()A5B6C7D8【解析】該多邊形的邊數(shù)是：360725.【答案】A2(2013浙江杭州)如圖 191，在ABCD 中，下列結(jié)論一定正確的是()AACBDBAB180CABADDAC【解析】四邊形 ABCD 是平行四邊形，ADBC，AB180.故選 B.【答案】B3(2013貴州六盤水)下列圖形中，單獨(dú)選用一種圖形不能進(jìn)行平面鑲嵌的是()A正三角形B正六邊形C正方形D正五邊形【解析】正三角形、正方形、正六邊形均能單獨(dú)鑲嵌平面，排除 A，B，C.D正五邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為 1803605108，不是360的約數(shù)，不能

2、鑲嵌平面，故選 D.【答案】D4(2013四川瀘州)如圖 192，四邊形 ABCD 中，對角線 AC，BD 交于點(diǎn) O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是()AABDC，ADBCBABDC，ADBCCAOCO，BODODABDC，ADBC圖 192【解析】A，B，C 均能判定 ABCD 是平行四邊形，故排除D一組對邊平行，另一組對邊相等，據(jù)此不能判定該四邊形是平行四邊形，也可能是梯形故選 D.【答案】D5(2013福建三明)如圖 193，在四邊形 ABCD 中，ABCD，請你添加一個(gè)條件，使得四邊形 ABCD 成為平行四邊形，你添加的條件是圖 193【解析】答案不唯一，以 ABDC 為

3、例在四邊形ABCD 中，ABCD，ABDC，四邊形 ABCD 是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)【答案】答案不唯一，如：ABCD 或 ADBC 或AC或BD或AB180或CD180等考點(diǎn)一多邊形的有關(guān)概念和鑲嵌考點(diǎn)一多邊形的有關(guān)概念和鑲嵌1n 邊形(n3)的內(nèi)角和(n2)180，外角和3602連結(jié)多邊形不相鄰兩頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引 n3 條對角線3用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱作平面圖形的鑲嵌4四邊形不具有穩(wěn)定性，如可拉伸的大門就利用了該性質(zhì)考點(diǎn)點(diǎn)撥1多邊形問題

4、常通過連結(jié)對角線轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決2多邊形的邊數(shù)、每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)、內(nèi)角和之間可以互相轉(zhuǎn)化，已知其中兩個(gè)可以求第三個(gè)3能密鋪的圖形在一個(gè)拼接點(diǎn)處的特點(diǎn)：幾個(gè)圖形的內(nèi)角拼接在一起時(shí)，其和等于 360，并使相等的邊互相重合【精選考題 11】 (2013江蘇揚(yáng)州)一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為 108，則這個(gè)多邊形是()A七邊形B六邊形C五邊形D四邊形點(diǎn)評： (1)本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，難度較小(2)解決本題的關(guān)鍵是要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、 變形和數(shù)據(jù)處理解析：每個(gè)外角的度數(shù)是：18010872，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是：360725.故選 C.答案：C點(diǎn)評：(1)本題考查四邊

5、形和五邊形的內(nèi)角和，難度較小(2)熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解決本題的關(guān)鍵， 整體思想的利用也很重要解析：A45，BCD360A36045315.12BCD(52)180，12225.答案：225【精選考題 12】(2013四川樂山)如圖194，在四邊形 ABCD 中，A45.直線 l 與邊 AB，AD 分別交于點(diǎn) M，N，則12【預(yù)測演練 1】現(xiàn)要選用兩種不同的正多邊形地磚鋪地板，若已選擇了正方形，可以再選擇正 n 邊形搭配，則 n(填寫一種即可)解析：答案不唯一，只要同一拼接點(diǎn)處能組成一個(gè)周角就行， 如： 2 個(gè)四邊形和 3 個(gè)正三角形， 290360360.答案：3(答案不唯一)考點(diǎn)二正多

6、邊形考點(diǎn)二正多邊形正多邊形：各邊相等，各內(nèi)角也相等的多邊形是正多邊形考點(diǎn)點(diǎn)撥1正多邊形都是軸對稱圖形，正偶數(shù)邊形也是中心對稱圖形2求正多邊形外角(或邊數(shù))時(shí)常利用外角和除以邊數(shù)(或一個(gè)外角的度數(shù))【精選考題 2】 (2013浙江臺(tái)州)如圖 195，已知邊長為 2 的正三角形 ABC 頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(0，6)，BC 的中點(diǎn) D 在 y 軸上， 且在 A 的下方，點(diǎn) E 是邊長為 2，中心在原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，把這個(gè)正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中 DE 的最小值為()A3B4 3C4D62 3點(diǎn)評： (1)本題主要考查正多邊形的計(jì)算及等邊三角形的性質(zhì)，難度中等(2)解決本題的關(guān)鍵是從

7、圖形中提取直角三角形解析：如解圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)至 y 軸上時(shí)，DE 最小ABC 是等邊三角形，D 為 BC 的中點(diǎn)，ADBC，B60.ABBC2，ADABsinB 3.正六邊形的邊長為 2，易得 OEOE2.點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(0，6)，OA6，DEOAADOE4 3.答案：B【預(yù)測演練 2】如圖 196，兩個(gè)正六邊形的邊長均為 1，其中一個(gè)正六邊形的一邊恰好在另一個(gè)正六邊形的對角線上，則這個(gè)圖形(陰影部分)外輪廓線的周長是()A7B8C9D10(說明： (1)(2)的計(jì)算結(jié)果精確到 0.1 m， 參考數(shù)據(jù)：21.41，31.73， 52.24， 62.45.)解析： 正六邊形每個(gè)內(nèi)角都是

8、 120， 對角線平分一組對角，因此ACBABCEFGEGF60，所以ABC 與EFG 都是等邊三角形，因此 ABAC，EGEF，因此這個(gè)圖形外輪廓線的周長相當(dāng)于 8 條邊長答案：B考點(diǎn)三平行四邊形的性質(zhì)考點(diǎn)三平行四邊形的性質(zhì)1有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形2平行四邊形的性質(zhì)：(1)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對角相等；(2)平行四邊形的兩組對邊分別相等；(3)平行四邊形的對角線互相平分；(4)平行四邊形是中心對稱圖形考點(diǎn)點(diǎn)撥1研究四邊形的相關(guān)問題時(shí)，常從邊、角、對角線三個(gè)角度考慮2平行四邊形的性質(zhì)常用于證線段相等、角相等或計(jì)算邊長、角度等，在應(yīng)用時(shí)注意分清對邊、鄰邊、對角、鄰角等3平行四

9、邊形的對角線互相平分，這一性質(zhì)常用來證線段相等或互相平分或求對角線長4連結(jié)對角線是平行四邊形中最常用的輔助線【精選考題 3】(2013浙江臺(tái)州)如圖 197，在ABCD 中，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊DC，AB 上，DEBF，把平行四邊形沿直線 EF 折疊，使得點(diǎn) B，C 分別落在點(diǎn)B，C處，線段 EC與線段 AF 交于點(diǎn)G，連結(jié) DG，BG.求證：(1)12；(2)DGBG.點(diǎn)評： (1)本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定，難度中等(2)解決本題(2)的關(guān)鍵是證DEGBFG.解析：(1)在ABCD 中，DCAB，2FEC.由折疊，得1FEC，12.(2)12，EGGF.ABDC，DEG

10、EGF.由折疊，得 ECBF，BFGEGF.BFGDEG.DEBF，BFBF，DEBF，DEGBFG(SAS)，DGBG.【預(yù)測演練3】 如圖198， 已知ABCD，DE 是ADC 的角平分線，交 BC 于點(diǎn)E，連結(jié) AE.(1)求證：CDCE；(2)若 BECE，B66，求DAE 的度數(shù)解析：(1)在ABCD 中，ADBC，ADECED.又ADECDE，CDECED，CDCE.(2)在ABCD 中，ABCD.又CDCE，BECE，ABBE，BAEBEA.B66，BEA12(18060)57.ADBC，DAEBEA57.考點(diǎn)四平行四邊形的判定考點(diǎn)四平行四邊形的判定1兩組對角分別相等的四邊形是平

11、行四邊形2一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形3兩組對邊分別相等(或平行)的四邊形是平行四邊形4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形考點(diǎn)點(diǎn)撥平行四邊形的判定方法較多，但基本上是用角、邊、對角線的關(guān)系來判定，如：(1)若條件中涉及角， 試著用“兩組對角分別相等”或“兩組對邊分別平行”來證明；(2)若條件中涉及對角線， 試著用“對角線互相平分”來證明；(3)若條件中涉及邊，試著用“兩組對邊分別平行(或相等)”或“一組對邊平行且相等”來證明也可以添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建平行四邊形，其中最常用的輔助線是連結(jié)對角線【精選考題 4】(2013湖南郴州)如圖 199，已知BEDF，ADFCBE，AFCE，求證

12、：四邊形DEBF 是平行四邊形圖 199點(diǎn)評：(1)本題主要考查平行四邊形的判定，難度中等(2)解決本題的關(guān)鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解析：BEDF，CEBAFD.在ADF 和CBE 中，ADFCBE，AFDCEB，AFCE，ADFCBE(AAS)，BEDF.又BEDF，四邊形 DEBF 是平行四邊形【預(yù)測演練 4】如圖 1910，請?jiān)谙铝兴膫€(gè)關(guān)系中，選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件，推出四邊形 ABCD 是平行四邊形，并予以證明(寫出一種即可)關(guān)系：ADBC；ABCD；AC；BC180.已知：在四邊形 ABCD 中，_，_；求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形解析：如選.證明：

13、ADBC，AB180.AC，CB180，ABDC.四邊形 ABCD 是平行四邊形(選，均可)1.平行四邊形中常用輔助線的添法：(1)連對角線把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題；(2)有平行線時(shí)，作平行線構(gòu)造平行四邊形；(3)有中線時(shí)，作加倍中線構(gòu)造平行四邊形；(4)圖形具有等鄰邊特征時(shí)(如等腰三角形，等邊三角形等)，可以通過引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置2 本課時(shí)常見的誤區(qū)在于不能正確的判定一個(gè)四邊形是平行四邊形， 如：(1)一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；(2)一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；(3)一組對邊相等，一條對角線平分另一條對角線

14、的四邊形是平行四邊形；(4)一組對角相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形這四種判定都是錯(cuò)誤的，不能憑主觀印象判定一個(gè)四邊形是平行四邊形1(2013山東煙臺(tái))一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為 720，那么原多邊形的邊數(shù)為()A5B5 或 6C5 或 7D5 或 6 或 7點(diǎn)評：(1)本題考查多邊形的內(nèi)角和定理，難度中等(2)分情況討論是解決本題的關(guān)鍵解析：設(shè)內(nèi)角和為 720的多邊形的邊數(shù)是 n，則(n2)180720，解得 n6.多邊形截去一個(gè)角可能使該多邊形少一個(gè)角，也可能角不變，也可能多一個(gè)角，原多邊形的邊數(shù)為 5 或 6 或 7.故選 D.答案：D2(20

15、12河北)用 4 個(gè)全等的正八邊形進(jìn)行拼接，使相等的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個(gè)正方形，如圖 1911，用 n 個(gè)全等的正六邊形按這種方式進(jìn)行拼接，如圖 1911，若圍成一圈后中間形成一個(gè)正多邊形，則 n 的值為點(diǎn)評：(1)本題主要考查平面密鋪的知識(shí)，難度中等(2)解決本題的關(guān)鍵是求出在密鋪條件下需要的正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)解析：兩個(gè)正六邊形結(jié)合，一個(gè)公共點(diǎn)處組成的角度為240， 故如果要密鋪， 則需要一個(gè)內(nèi)角為 120的正多邊形，而正六邊形的內(nèi)角為 120，故答案為 6.答案：63(2012福建廈門)如圖 1912，在ABCD 中，對角線AC 與 BD 交于點(diǎn) O，點(diǎn)

16、P 在邊 AD 上，過點(diǎn) P 分別作PEAC，PFBD，垂足分別為 E，F(xiàn)，PEPF.(1)若 PE 3，EO1，求EPF 的度數(shù)；(2)若點(diǎn) P 是 AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 是 DO 的中點(diǎn)，BFBC324，求 BC 的長點(diǎn)評： (1)本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，難度中等(2)解答本題第(2)小題的關(guān)鍵在于當(dāng) F 為 DO 中點(diǎn)時(shí)，判斷出ABCD 是正方形解析：(1)連結(jié) PO，如解圖 2.（解圖 2）PEPF，POPO，PEAC，PFBD，RtPEORtPFO.EPOFPO.在 RtPEO 中，tanEPOEOPE33，EPO30，EPF60.(2)點(diǎn) P 是 A

17、D 的中點(diǎn)，APDP.又PEPF，RtPEARtPFD.OADODA.OAOD.AC2OA2ODBD.ABCD 是矩形點(diǎn) P 是 AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 是 DO 的中點(diǎn)，AOPF.PFBD，ACBD.ABCD 是菱形ABCD 是正方形BD 2BC.BF34BD，BC3 243 24BC，解得 BC4.4(2011四川成都)如圖 1913，已知線段ABCD，AD 與 BC 交于點(diǎn) K，E 是線段AD 上一動(dòng)點(diǎn)(1)若 BK52KC，求CDAB的值；(2)連結(jié) BE，若 BE 平分ABC，則當(dāng) AE12AD 時(shí)，猜想線段 AB，BC，CD 三者之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明再探究：當(dāng) AE1nAD(n2)，而其余條件不變時(shí)，線段 AB，BC，CD 三者之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不必證明點(diǎn)評： (1)本題既考查平行四邊形的判定， 又考查相似三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大(2)本題設(shè)計(jì)較靈活，求解時(shí)需由特殊到一般，結(jié)論逐層遞進(jìn)(3)本題(2)思路較難，可以猜想一條線段等于兩條線段的和，試用截長補(bǔ)短法解析：(1)ABCD，