從數(shù)據(jù)到結(jié)論12時(shí)間序列分析教材

1、時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析橫截面數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)橫截面數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù) 人們對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往可以根據(jù)其特點(diǎn)從兩人們對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往可以根據(jù)其特點(diǎn)從兩個(gè)方面來(lái)切入，以簡(jiǎn)化分析過(guò)程。一個(gè)是個(gè)方面來(lái)切入，以簡(jiǎn)化分析過(guò)程。一個(gè)是研究所謂橫截面研究所謂橫截面(cross section)數(shù)據(jù)，也就數(shù)據(jù)，也就是對(duì)大體上同時(shí)，或者和時(shí)間無(wú)關(guān)的不同是對(duì)大體上同時(shí)，或者和時(shí)間無(wú)關(guān)的不同對(duì)象的觀測(cè)值組成的數(shù)據(jù)。對(duì)象的觀測(cè)值組成的數(shù)據(jù)。 另一個(gè)稱為時(shí)間序列另一個(gè)稱為時(shí)間序列(time series)，也就是也就是由對(duì)象在不同時(shí)間的觀測(cè)值形成的數(shù)據(jù)。由對(duì)象在不同時(shí)間的觀測(cè)值形成的數(shù)據(jù)。 前面討論的模型多是和橫截面數(shù)據(jù)有關(guān)。

2、前面討論的模型多是和橫截面數(shù)據(jù)有關(guān)。這里將討論時(shí)間序列的分析。我們將不討這里將討論時(shí)間序列的分析。我們將不討論更加復(fù)雜的包含這兩方面的數(shù)據(jù)。論更加復(fù)雜的包含這兩方面的數(shù)據(jù)。 時(shí)間序列和回歸時(shí)間序列和回歸 時(shí)間序列分析也是一種回歸。時(shí)間序列分析也是一種回歸。 回歸分析的目的是建立因變量和自變量之間關(guān)系回歸分析的目的是建立因變量和自變量之間關(guān)系的模型；并且可以用自變量來(lái)對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。的模型；并且可以用自變量來(lái)對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。通常線性回歸分析因變量的觀測(cè)值假定是互相獨(dú)通常線性回歸分析因變量的觀測(cè)值假定是互相獨(dú)立并且有同樣分布。立并且有同樣分布。 而時(shí)間序列的最大特點(diǎn)是觀測(cè)值并不獨(dú)立。時(shí)間而時(shí)間

3、序列的最大特點(diǎn)是觀測(cè)值并不獨(dú)立。時(shí)間序列的一個(gè)目的是用變量過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)預(yù)測(cè)同序列的一個(gè)目的是用變量過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)預(yù)測(cè)同一變量的未來(lái)值。也就是說(shuō)，時(shí)間序列的因變量一變量的未來(lái)值。也就是說(shuō)，時(shí)間序列的因變量為變量未來(lái)的可能值，而用來(lái)預(yù)測(cè)的自變量中就為變量未來(lái)的可能值，而用來(lái)預(yù)測(cè)的自變量中就包含該變量的一系列歷史觀測(cè)值。包含該變量的一系列歷史觀測(cè)值。 當(dāng)然時(shí)間序列的自變量也可能包含隨著時(shí)間度量當(dāng)然時(shí)間序列的自變量也可能包含隨著時(shí)間度量的獨(dú)立變量。的獨(dú)立變量。例例tssales.sav 下面看一個(gè)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)例子。這下面看一個(gè)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)例子。這是某企業(yè)從是某企業(yè)從1990年年1月到月到2002

4、年年12月的月的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)銷(xiāo)售數(shù)據(jù)(tssales.sav)。我們希望能夠我們希望能夠從這個(gè)數(shù)據(jù)找出一些規(guī)律，并且建立從這個(gè)數(shù)據(jù)找出一些規(guī)律，并且建立可以對(duì)未來(lái)的銷(xiāo)售額進(jìn)行預(yù)測(cè)的時(shí)間可以對(duì)未來(lái)的銷(xiāo)售額進(jìn)行預(yù)測(cè)的時(shí)間序列模型。序列模型。從該表格中的眾多的數(shù)據(jù)只能夠看出個(gè)大概；從該表格中的眾多的數(shù)據(jù)只能夠看出個(gè)大概；即總的趨勢(shì)是增長(zhǎng)，但有起伏。即總的趨勢(shì)是增長(zhǎng)，但有起伏。例例tssales.savDateSEP 2002JAN 2002MAY 2001SEP 2000JAN 2000MAY 1999SEP 1998JAN 1998MAY 1997SEP 1996JAN 1996MAY 1995SEP

5、 1994JAN 1994MAY 1993SEP 1992JAN 1992MAY 1991SEP 1990JAN 1990SALES12010080604020 利用點(diǎn)圖則可以得到對(duì)該數(shù)據(jù)更加直觀的印象：利用點(diǎn)圖則可以得到對(duì)該數(shù)據(jù)更加直觀的印象：某企業(yè)從某企業(yè)從1990年年1月到月到2002年年12月的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)圖（單位：百萬(wàn)元）月的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)圖（單位：百萬(wàn)元） 例例tssales.sav 從這個(gè)點(diǎn)圖可以看出?？偟内厔?shì)是增長(zhǎng)的，但增長(zhǎng)并不是單調(diào)上從這個(gè)點(diǎn)圖可以看出。總的趨勢(shì)是增長(zhǎng)的，但增長(zhǎng)并不是單調(diào)上升的；有漲有落。大體上看，這種升降不是雜亂無(wú)章的，和季節(jié)升的；有漲有落。大體上看，這種升降不是雜亂

6、無(wú)章的，和季節(jié)或月份的周期有關(guān)系。當(dāng)然，除了增長(zhǎng)的趨勢(shì)和季節(jié)影響之外，或月份的周期有關(guān)系。當(dāng)然，除了增長(zhǎng)的趨勢(shì)和季節(jié)影響之外，還有些無(wú)規(guī)律的隨機(jī)因素的作用。還有些無(wú)規(guī)律的隨機(jī)因素的作用。DateSEP 2002JAN 2002MAY 2001SEP 2000JAN 2000MAY 1999SEP 1998JAN 1998MAY 1997SEP 1996JAN 1996MAY 1995SEP 1994JAN 1994MAY 1993SEP 1992JAN 1992MAY 1991SEP 1990JAN 1990SALES12010080604020SPSS的的實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn): :時(shí)間序列數(shù)據(jù)的產(chǎn)生時(shí)間

7、序列數(shù)據(jù)的產(chǎn)生 SPSS并不會(huì)自動(dòng)把某些變量看成帶有某些并不會(huì)自動(dòng)把某些變量看成帶有某些周期的時(shí)間序列；需要對(duì)該變量的觀測(cè)值周期的時(shí)間序列；需要對(duì)該變量的觀測(cè)值附加上時(shí)間因素。附加上時(shí)間因素。 例數(shù)據(jù)例數(shù)據(jù)tasales.sav原本只有一個(gè)變量原本只有一個(gè)變量sales。這樣就需要附加帶有周期信息的時(shí)間。這樣就需要附加帶有周期信息的時(shí)間。 方法是通過(guò)選項(xiàng)方法是通過(guò)選項(xiàng)DataDefine Dates， 然后在然后在Cases Are選擇選擇years, months (年月年月), 并指定第一個(gè)觀測(cè)值（并指定第一個(gè)觀測(cè)值（First Case Is）是是1990年年1月。月。 SPSS的的實(shí)現(xiàn)

8、實(shí)現(xiàn): :時(shí)間序列數(shù)據(jù)的點(diǎn)圖時(shí)間序列數(shù)據(jù)的點(diǎn)圖對(duì)時(shí)間序列點(diǎn)圖可以選擇對(duì)時(shí)間序列點(diǎn)圖可以選擇GraphsSequence，對(duì)本對(duì)本例選擇例選擇sales為變量，為變量，months為時(shí)間軸的標(biāo)記即為時(shí)間軸的標(biāo)記即可?？?。時(shí)間序列的組成部分時(shí)間序列的組成部分 從該例可以看出，該時(shí)間序列可以有三部從該例可以看出，該時(shí)間序列可以有三部分組成：趨勢(shì)分組成：趨勢(shì)(trend)、季節(jié)季節(jié)(seasonal)成分成分和無(wú)法用趨勢(shì)和季節(jié)模式解釋的隨機(jī)干擾和無(wú)法用趨勢(shì)和季節(jié)模式解釋的隨機(jī)干擾(disturbance）。）。 例中數(shù)據(jù)的銷(xiāo)售就就可以用這三個(gè)成分疊例中數(shù)據(jù)的銷(xiāo)售就就可以用這三個(gè)成分疊加而成的模型來(lái)描述

9、。加而成的模型來(lái)描述。 一般的時(shí)間序列還可能有循環(huán)或波動(dòng)一般的時(shí)間序列還可能有循環(huán)或波動(dòng)(Cyclic, or fluctuations)成分；循環(huán)模式和成分；循環(huán)模式和有規(guī)律的季節(jié)模式不同，周期長(zhǎng)短不一定有規(guī)律的季節(jié)模式不同，周期長(zhǎng)短不一定固定。比如經(jīng)濟(jì)危機(jī)周期，金融危機(jī)周期固定。比如經(jīng)濟(jì)危機(jī)周期，金融危機(jī)周期等等。等等。時(shí)間序列的組成部分時(shí)間序列的組成部分 一個(gè)時(shí)間序列可能有趨勢(shì)、季節(jié)、循環(huán)這一個(gè)時(shí)間序列可能有趨勢(shì)、季節(jié)、循環(huán)這三個(gè)成分中的某些或全部再加上隨機(jī)成分。三個(gè)成分中的某些或全部再加上隨機(jī)成分。因此，因此， 如果要想對(duì)一個(gè)時(shí)間序列本身進(jìn)行較深入如果要想對(duì)一個(gè)時(shí)間序列本身進(jìn)行較深入的

10、研究，把序列的這些成分分解出來(lái)、或的研究，把序列的這些成分分解出來(lái)、或者把它們過(guò)慮掉則會(huì)有很大的幫助。者把它們過(guò)慮掉則會(huì)有很大的幫助。 如果要進(jìn)行預(yù)測(cè)，則最好把模型中的與這如果要進(jìn)行預(yù)測(cè)，則最好把模型中的與這些成分有關(guān)的參數(shù)估計(jì)出來(lái)。些成分有關(guān)的參數(shù)估計(jì)出來(lái)。 就例就例中中的時(shí)間序列的分解，通過(guò)的時(shí)間序列的分解，通過(guò)SPSS軟件，軟件，可以很輕而易舉地得到該序列的趨勢(shì)、季可以很輕而易舉地得到該序列的趨勢(shì)、季節(jié)和誤差成分。節(jié)和誤差成分。時(shí)間序列的組成部分時(shí)間序列的組成部分 下圖表示了去掉季節(jié)成分，只有趨勢(shì)和誤差成分的序列。下圖表示了去掉季節(jié)成分，只有趨勢(shì)和誤差成分的序列。DateSEP 2002

11、JAN 2002MAY 2001SEP 2000JAN 2000MAY 1999SEP 1998JAN 1998MAY 1997SEP 1996JAN 1996MAY 1995SEP 1994JAN 1994MAY 1993SEP 1992JAN 1992MAY 1991SEP 1990JAN 1990Seasonal adjusted SALES12010080604020時(shí)間序列的組成部分時(shí)間序列的組成部分 下圖用兩條曲線分別描繪了趨勢(shì)成分和季節(jié)成分。下圖用兩條曲線分別描繪了趨勢(shì)成分和季節(jié)成分。DateSEP 2002JAN 2002MAY 2001SEP 2000JAN 2000MAY

12、1999SEP 1998JAN 1998MAY 1997SEP 1996JAN 1996MAY 1995SEP 1994JAN 1994MAY 1993SEP 1992JAN 1992MAY 1991SEP 1990JAN 1990120100806040200-20Trend-cycle for SALES from SEASON, MOD_1Seas factors for SALES from SEASON, MOD_時(shí)間序列的組成部分時(shí)間序列的組成部分 下圖用兩條曲線分別描繪了趨勢(shì)成分和誤差成分。下圖用兩條曲線分別描繪了趨勢(shì)成分和誤差成分。 DateSEP 2002JAN 2002MA

13、Y 2001SEP 2000JAN 2000MAY 1999SEP 1998JAN 1998MAY 1997SEP 1996JAN 1996MAY 1995SEP 1994JAN 1994MAY 1993SEP 1992JAN 1992MAY 1991SEP 1990JAN 1990120100806040200-20Trend-cycle for SALES from SEASON, MOD_1Error for SALES from SEASON, MOD_1 ADD SPSS的的實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn): :時(shí)間序列的分解時(shí)間序列的分解 前面前面對(duì)例對(duì)例tssales.sav數(shù)據(jù)進(jìn)行分解利用數(shù)據(jù)進(jìn)行分解

14、利用SPSS的選的選項(xiàng)項(xiàng)Analyze- -Time Series- -Seasonal Decomposition， 然后在然后在Variable(s)(變量變量)處選擇處選擇sales， 在在Model選擇選擇Additive (可加模型，也可以試可乘可加模型，也可以試可乘模型模型Multiplicative)， 最后得到四個(gè)附加變量，它們是：最后得到四個(gè)附加變量，它們是： 誤差（誤差（err_1）、）、 季節(jié)調(diào)整后的序列（季節(jié)調(diào)整后的序列（sas_1）、）、 季節(jié)因素（季節(jié)因素（saf_1） 去掉季節(jié)后的趨勢(shì)循環(huán)因素（去掉季節(jié)后的趨勢(shì)循環(huán)因素（stc_1）。）。 前面圖都是利用前面圖都是

15、利用GraphsSequence選項(xiàng)所做的。選項(xiàng)所做的。 指數(shù)平滑指數(shù)平滑 如果我們不僅僅滿足于分解現(xiàn)有的時(shí)間序列，而如果我們不僅僅滿足于分解現(xiàn)有的時(shí)間序列，而且想要對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，就需要建立模型。首先，且想要對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，就需要建立模型。首先，這里介紹比較簡(jiǎn)單的這里介紹比較簡(jiǎn)單的指數(shù)平滑指數(shù)平滑(exponential smoothing)。 指數(shù)平滑指數(shù)平滑只能用于純粹時(shí)間序列只能用于純粹時(shí)間序列的情況，而不能的情況，而不能用于含有獨(dú)立變量時(shí)間序列的因果關(guān)系的研究。用于含有獨(dú)立變量時(shí)間序列的因果關(guān)系的研究。 指數(shù)平滑的原理為：當(dāng)利用過(guò)去觀測(cè)值的加權(quán)平指數(shù)平滑的原理為：當(dāng)利用過(guò)去觀測(cè)值的加

16、權(quán)平均來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的觀測(cè)值時(shí)（這個(gè)過(guò)程稱為平滑），均來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的觀測(cè)值時(shí)（這個(gè)過(guò)程稱為平滑），離得越近的觀測(cè)值要給以更多的權(quán)。離得越近的觀測(cè)值要給以更多的權(quán)。 而而“指數(shù)指數(shù)”意味著：按照已有觀測(cè)值意味著：按照已有觀測(cè)值“老老”的程的程度，其上的權(quán)數(shù)按指數(shù)速度遞減。度，其上的權(quán)數(shù)按指數(shù)速度遞減。指數(shù)平滑指數(shù)平滑 以簡(jiǎn)單的沒(méi)有趨勢(shì)和沒(méi)有季節(jié)成分的純粹以簡(jiǎn)單的沒(méi)有趨勢(shì)和沒(méi)有季節(jié)成分的純粹時(shí)間序列為例，指數(shù)平滑在數(shù)學(xué)上這實(shí)際時(shí)間序列為例，指數(shù)平滑在數(shù)學(xué)上這實(shí)際上是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)。這時(shí)，如果用上是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)。這時(shí)，如果用Yt表示表示在在t時(shí)間的平滑后的數(shù)據(jù)（或預(yù)測(cè)值），而時(shí)間的平滑后的數(shù)據(jù)（或預(yù)測(cè)值），

17、而用用X1, X2, , Xt表示原始的時(shí)間序列。那么表示原始的時(shí)間序列。那么指數(shù)平滑模型為指數(shù)平滑模型為 1(1), (01)tttYXY或者，等價(jià)地，或者，等價(jià)地，0(1)ktt kkYX這里的系數(shù)為幾何級(jí)數(shù)。因此稱之為這里的系數(shù)為幾何級(jí)數(shù)。因此稱之為“幾何幾何平滑平滑”比使人不解的比使人不解的“指數(shù)平滑指數(shù)平滑”似乎更有似乎更有道理。道理。 指數(shù)平滑指數(shù)平滑 自然，這種在簡(jiǎn)單情況下導(dǎo)出的公式（如上面的自然，這種在簡(jiǎn)單情況下導(dǎo)出的公式（如上面的公式）無(wú)法應(yīng)對(duì)具有各種成分的復(fù)雜情況。公式）無(wú)法應(yīng)對(duì)具有各種成分的復(fù)雜情況。 后面將給出各種實(shí)用的指數(shù)平滑模型的公式。后面將給出各種實(shí)用的指數(shù)平滑模

18、型的公式。 根據(jù)數(shù)據(jù)，可以得到這些模型參數(shù)的估計(jì)以及對(duì)根據(jù)數(shù)據(jù)，可以得到這些模型參數(shù)的估計(jì)以及對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)。在和我們例子有關(guān)的指數(shù)平滑模型未來(lái)的預(yù)測(cè)。在和我們例子有關(guān)的指數(shù)平滑模型中，需要估計(jì)中，需要估計(jì)1212個(gè)季節(jié)指標(biāo)和三個(gè)參數(shù)（包含前個(gè)季節(jié)指標(biāo)和三個(gè)參數(shù)（包含前面公式權(quán)重中的面公式權(quán)重中的 ，和趨勢(shì)有關(guān)的和趨勢(shì)有關(guān)的g g，以及和季節(jié)以及和季節(jié)指標(biāo)有關(guān)的指標(biāo)有關(guān)的d d）。）。 在簡(jiǎn)單的選項(xiàng)之后，在簡(jiǎn)單的選項(xiàng)之后，SPSSSPSS通過(guò)指數(shù)平滑產(chǎn)生了對(duì)通過(guò)指數(shù)平滑產(chǎn)生了對(duì)20032003年一年的預(yù)測(cè)。下圖為原始的時(shí)間序列和預(yù)年一年的預(yù)測(cè)。下圖為原始的時(shí)間序列和預(yù)測(cè)的時(shí)間序列（光滑后的），其

19、中包括對(duì)測(cè)的時(shí)間序列（光滑后的），其中包括對(duì)20032003年年1212個(gè)月的預(yù)測(cè)。圖下面為誤差。個(gè)月的預(yù)測(cè)。圖下面為誤差。 DateJUL 2003OCT 2002JAN 2002APR 2001JUL 2000OCT 1999JAN 1999APR 1998JUL 1997OCT 1996JAN 1996APR 1995JUL 1994OCT 1993JAN 1993APR 1992JUL 1991OCT 1990JAN 1990140120100806040200-20SALESFit for SALES Error for SALES我們例中時(shí)間序列數(shù)據(jù)的指數(shù)平滑和對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)我們例中

20、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的指數(shù)平滑和對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè) SPSS的的實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn): :指數(shù)平滑指數(shù)平滑: :tssales.sav數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) 用選項(xiàng)用選項(xiàng)AnalyzeTime SeriesExponential Smoothing，然后在然后在Variable(s)(變量變量)處選擇處選擇sales，在在Model選擇選擇custom (自選模型自選模型)，再點(diǎn)，再點(diǎn)Custom之后再在之后再在Trend Component選選Exponential(這主要是因?yàn)榭吹叫蛄性歼@主要是因?yàn)榭吹叫蛄性键c(diǎn)圖趨勢(shì)不象直線點(diǎn)圖趨勢(shì)不象直線,其實(shí)選其實(shí)選Linear也差不多也差不多;此外還有此外還有Damped(減幅減幅)選

21、項(xiàng)選項(xiàng)) 在在Seasonal Component選選Additive(這是可加模型，也可這是可加模型，也可以試選可乘模型：以試選可乘模型：Multiplicative，細(xì)節(jié)可參看公式細(xì)節(jié)可參看公式) Continue之后，再點(diǎn)擊之后，再點(diǎn)擊Parameters來(lái)估計(jì)參數(shù)，在三個(gè)來(lái)估計(jì)參數(shù)，在三個(gè)有關(guān)參數(shù)選項(xiàng)上：有關(guān)參數(shù)選項(xiàng)上：General(Alpha)、Trend(Gamma)和和Seasonal(Delta)可均選可均選Grid Search（搜尋，這是因?yàn)椴凰褜?，這是因?yàn)椴恢绤?shù)是多少合適，參數(shù)意義參見(jiàn)后面公式），然后知道參數(shù)是多少合適，參數(shù)意義參見(jiàn)后面公式），然后Continue。

22、最后如果要預(yù)測(cè)新觀測(cè)值，在主對(duì)話框點(diǎn)擊最后如果要預(yù)測(cè)新觀測(cè)值，在主對(duì)話框點(diǎn)擊Save，在在Predict Cases中選擇中選擇Predict through下面的截下面的截止年月（這里選了止年月（這里選了2003年年12月）。這樣就可以得到各種月）。這樣就可以得到各種結(jié)果了。結(jié)果了。SPSS的的實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn): :指數(shù)平滑指數(shù)平滑結(jié)果中增加的變量有誤差結(jié)果中增加的變量有誤差（err_1）和擬合（預(yù)測(cè)）和擬合（預(yù)測(cè)）值值fit_1。這在前面圖中繪這在前面圖中繪出。在出。在SPSS輸出文件中輸出文件中還有那些估計(jì)的參數(shù)值還有那些估計(jì)的參數(shù)值（三個(gè)參數(shù)加上季節(jié)因（三個(gè)參數(shù)加上季節(jié)因子）。子）。 Box-

23、Jenkins 方法：方法：ARIMA模型模型 如果要對(duì)比較復(fù)雜的純粹時(shí)間序列進(jìn)如果要對(duì)比較復(fù)雜的純粹時(shí)間序列進(jìn)行細(xì)致的分析，指數(shù)平滑往往是無(wú)法行細(xì)致的分析，指數(shù)平滑往往是無(wú)法滿足要求的。滿足要求的。 而若想對(duì)有獨(dú)立變量的時(shí)間序列進(jìn)行而若想對(duì)有獨(dú)立變量的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，指數(shù)平滑更是無(wú)能為力。預(yù)測(cè)，指數(shù)平滑更是無(wú)能為力。 于是需要更加強(qiáng)有力的模型。這就是于是需要更加強(qiáng)有力的模型。這就是下面要介紹的下面要介紹的Box-Jenkins ARIMA模模型。型。 數(shù)學(xué)上，指數(shù)平滑僅僅是數(shù)學(xué)上，指數(shù)平滑僅僅是ARIMA模型模型的特例。的特例。 ARIMA模型模型 ：AR模型模型 比指數(shù)平滑要有用和精細(xì)得

24、多的模型是比指數(shù)平滑要有用和精細(xì)得多的模型是Box-Jenkins引引入的入的ARIMA模型?；蚍Q為整合自回歸移動(dòng)平均模型模型?；蚍Q為整合自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA 為為Autoregressive Integrated Moving Average一些關(guān)鍵字母的縮寫(xiě)一些關(guān)鍵字母的縮寫(xiě))。該模型的基礎(chǔ)是自回歸和移動(dòng)。該模型的基礎(chǔ)是自回歸和移動(dòng)平均模型或平均模型或ARMA(Autoregressive and Moving Average) 模型。模型。 它由兩個(gè)特殊模型發(fā)展而成，一個(gè)特例是自回歸模型或它由兩個(gè)特殊模型發(fā)展而成，一個(gè)特例是自回歸模型或AR (Autoregressive) 模

25、型。假定時(shí)間序列用模型。假定時(shí)間序列用X1, X2, , Xt表示，則一個(gè)純粹的表示，則一個(gè)純粹的AR (p)模型意味著變量的一個(gè)觀模型意味著變量的一個(gè)觀測(cè)值由其以前的測(cè)值由其以前的p個(gè)觀測(cè)值的線性組合加上隨機(jī)誤差項(xiàng)個(gè)觀測(cè)值的線性組合加上隨機(jī)誤差項(xiàng)at（該誤差為獨(dú)立無(wú)關(guān)的）而得：該誤差為獨(dú)立無(wú)關(guān)的）而得： 11ttptptXXXa這看上去象自己對(duì)自己回歸一樣，所以稱為自回歸模型；這看上去象自己對(duì)自己回歸一樣，所以稱為自回歸模型；它牽涉到過(guò)去它牽涉到過(guò)去p個(gè)觀測(cè)值（相關(guān)的觀測(cè)值間隔最多為個(gè)觀測(cè)值（相關(guān)的觀測(cè)值間隔最多為p個(gè)）。個(gè)）。 ARIMA模型模型 ：MA模型模型 ARMA模型的另一個(gè)特例為

26、移動(dòng)平均模型或模型的另一個(gè)特例為移動(dòng)平均模型或MA (Moving Average) 模型，一個(gè)純粹的模型，一個(gè)純粹的MA (q)模型意味著模型意味著變量的一個(gè)觀測(cè)值由目前的和先前的變量的一個(gè)觀測(cè)值由目前的和先前的q個(gè)隨機(jī)誤差的線個(gè)隨機(jī)誤差的線性的組合：性的組合： 由于右邊系數(shù)的和不為由于右邊系數(shù)的和不為1（q q 甚至不一定是正數(shù)），因此甚至不一定是正數(shù)），因此叫做叫做“移動(dòng)平均移動(dòng)平均”不如叫做不如叫做“移動(dòng)線性組合移動(dòng)線性組合”更確切；雖更確切；雖然行家已經(jīng)習(xí)慣于叫然行家已經(jīng)習(xí)慣于叫“平均平均”了，但初學(xué)者還是因此可能了，但初學(xué)者還是因此可能和初等平滑方法中的什么和初等平滑方法中的什么“

27、三點(diǎn)平均三點(diǎn)平均”之類的術(shù)語(yǔ)混淆。之類的術(shù)語(yǔ)混淆。 11tttqt qXaaaqqARIMA模型模型 ：ARMA模型模型 顯然顯然ARMA(p,q)模型應(yīng)該為模型應(yīng)該為AR (p)模型和模型和MA(q)模型的模型的組合了：組合了：顯然顯然ARMA(p,0)模型就是模型就是AR (p)模型，而模型，而ARMA(0,q)模型模型就是就是MA(q)模型。這個(gè)一般模型有模型。這個(gè)一般模型有p+q個(gè)參數(shù)要估計(jì)，看個(gè)參數(shù)要估計(jì)，看起來(lái)很繁瑣，但利用計(jì)算機(jī)軟件則是常規(guī)運(yùn)算；并不復(fù)雜。起來(lái)很繁瑣，但利用計(jì)算機(jī)軟件則是常規(guī)運(yùn)算；并不復(fù)雜。 1111ttptpttqt qXXXaaaqqARIMA模型：平穩(wěn)性和可

28、逆性模型：平穩(wěn)性和可逆性 但是要想但是要想ARMA(p,q)模型有意義則要求時(shí)間序列滿足平模型有意義則要求時(shí)間序列滿足平穩(wěn)性穩(wěn)性(stationarity)和可逆性和可逆性(invertibility)的條件，的條件， 這意味著序列均值不隨著時(shí)間增加或減少，序列的方差這意味著序列均值不隨著時(shí)間增加或減少，序列的方差不隨時(shí)間變化，另外序列本身相關(guān)的模式不改變等。不隨時(shí)間變化，另外序列本身相關(guān)的模式不改變等。 一個(gè)實(shí)際的時(shí)間序列是否滿足這些條件是無(wú)法在數(shù)學(xué)上一個(gè)實(shí)際的時(shí)間序列是否滿足這些條件是無(wú)法在數(shù)學(xué)上驗(yàn)證的，驗(yàn)證的， 這沒(méi)有關(guān)系，但可以從下面要介紹的時(shí)間序列的自相關(guān)這沒(méi)有關(guān)系，但可以從下面要介

29、紹的時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖中可以識(shí)別出來(lái)。函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖中可以識(shí)別出來(lái)。 一般人們所關(guān)注的的有趨勢(shì)和季節(jié)一般人們所關(guān)注的的有趨勢(shì)和季節(jié)/循環(huán)成分的時(shí)間序循環(huán)成分的時(shí)間序列都不是平穩(wěn)的。這時(shí)就需要對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行差分列都不是平穩(wěn)的。這時(shí)就需要對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行差分(difference)來(lái)消除這些使序列不平穩(wěn)的成分，而使其變來(lái)消除這些使序列不平穩(wěn)的成分，而使其變成平穩(wěn)的時(shí)間序列，并估計(jì)成平穩(wěn)的時(shí)間序列，并估計(jì)ARMA模型，估計(jì)之后再轉(zhuǎn)模型，估計(jì)之后再轉(zhuǎn)變?cè)撃Ｐ停怪m應(yīng)于差分之前的序列（這個(gè)過(guò)程和差變?cè)撃Ｐ?，使之適應(yīng)于差分之前的序列（這個(gè)過(guò)程和差分相反，所以稱為整合的分相反，所以稱為整

30、合的(integrated)ARMA模型），模型），得到的模型于是稱為得到的模型于是稱為ARIMA模型。模型。ARIMA模型：差分模型：差分 差分是什么意思呢？差分可以是每一個(gè)觀差分是什么意思呢？差分可以是每一個(gè)觀測(cè)值減去其前面的一個(gè)觀測(cè)值，即測(cè)值減去其前面的一個(gè)觀測(cè)值，即Xt-Xt-1。這樣，如果時(shí)間序列有一個(gè)斜率不變的趨這樣，如果時(shí)間序列有一個(gè)斜率不變的趨勢(shì)，經(jīng)過(guò)這樣的差分之后，該趨勢(shì)就會(huì)被勢(shì)，經(jīng)過(guò)這樣的差分之后，該趨勢(shì)就會(huì)被消除了。消除了。 當(dāng)然差分也可以是每一個(gè)觀測(cè)值減去其前當(dāng)然差分也可以是每一個(gè)觀測(cè)值減去其前面任意間隔的一個(gè)觀測(cè)值；比如存在周期面任意間隔的一個(gè)觀測(cè)值；比如存在周期固定

31、為固定為s的季節(jié)成分，的季節(jié)成分， 那么相隔那么相隔s的差分的差分 為為Xt-Xt-s就可以把這種以就可以把這種以s為周期的季節(jié)成分消除。為周期的季節(jié)成分消除。 對(duì)于復(fù)雜情況，可能要進(jìn)行多次差分，才對(duì)于復(fù)雜情況，可能要進(jìn)行多次差分，才能夠使得變換后的時(shí)間序列平穩(wěn)。能夠使得變換后的時(shí)間序列平穩(wěn)。 ARMA模型的識(shí)別和估計(jì)模型的識(shí)別和估計(jì) 上面引進(jìn)了一些必要的術(shù)語(yǔ)和概念。上面引進(jìn)了一些必要的術(shù)語(yǔ)和概念。下面就如何識(shí)別模型進(jìn)行說(shuō)明。下面就如何識(shí)別模型進(jìn)行說(shuō)明。要想擬合要想擬合ARIMA模型，必須先把它利模型，必須先把它利用差分變成用差分變成ARMA(p,q)模型，并確定模型，并確定是否平穩(wěn)，然后確定

32、參數(shù)是否平穩(wěn)，然后確定參數(shù)p,q?，F(xiàn)在利用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何識(shí)別一現(xiàn)在利用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何識(shí)別一個(gè)個(gè)AR(p)模型和參數(shù)模型和參數(shù)p。由此由此MA(q)及及ARMA(p,q)模型模型可用模型模型可用類似的方法來(lái)識(shí)別。類似的方法來(lái)識(shí)別。ARMA模型的識(shí)別和估計(jì)模型的識(shí)別和估計(jì) 根據(jù)根據(jù)ARMA(p,q)模型的定義模型的定義,它的參數(shù)它的參數(shù)p,q和和自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)(acf，autocorrelations function)及偏自相關(guān)函數(shù)及偏自相關(guān)函數(shù)(pacf，partial autocorrelations function)有關(guān)。有關(guān)。 自相關(guān)函數(shù)描述觀測(cè)值和前面的觀測(cè)值的自相關(guān)函

33、數(shù)描述觀測(cè)值和前面的觀測(cè)值的相關(guān)系數(shù)；相關(guān)系數(shù)； 而偏自相關(guān)函數(shù)為在給定中間觀測(cè)值的條而偏自相關(guān)函數(shù)為在給定中間觀測(cè)值的條件下觀測(cè)值和前面某間隔的觀測(cè)值的相關(guān)件下觀測(cè)值和前面某間隔的觀測(cè)值的相關(guān)系數(shù)。系數(shù)。 這里當(dāng)然不打算討論這兩個(gè)概念的細(xì)節(jié)。這里當(dāng)然不打算討論這兩個(gè)概念的細(xì)節(jié)。引進(jìn)這兩個(gè)概念主要是為了能夠引進(jìn)這兩個(gè)概念主要是為了能夠了解如何了解如何通過(guò)研究關(guān)于這兩個(gè)函數(shù)的通過(guò)研究關(guān)于這兩個(gè)函數(shù)的acf和和pacf圖來(lái)圖來(lái)識(shí)別模型。識(shí)別模型。 Sequence number5855524946434037343128252219161310741Z3210-1-2例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR1.sav

34、 為了直觀地理解上面的概念，下面利用一個(gè)數(shù)據(jù)例子來(lái)描述。為了直觀地理解上面的概念，下面利用一個(gè)數(shù)據(jù)例子來(lái)描述。ZLag Number16151413121110987654321ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficientZLag Number16151413121110987654321Partial ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficient例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR1.sav；拖尾和截尾拖尾和截尾先來(lái)看該時(shí)間序列的先來(lái)看該時(shí)間序列的acf(左左)和和pacf圖圖( (右右) ) 左邊的左邊的acf

35、條形圖是衰減的正弦型的波動(dòng)；這種圖形稱為條形圖是衰減的正弦型的波動(dòng)；這種圖形稱為拖尾拖尾。而右邊的。而右邊的pacf條形圖是在第一個(gè)條條形圖是在第一個(gè)條(p=1)之后就很小，之后就很小，而且沒(méi)有什么模式；這種圖形稱為在在而且沒(méi)有什么模式；這種圖形稱為在在p=1后后截尾截尾。這說(shuō)。這說(shuō)明該數(shù)據(jù)滿足是平穩(wěn)的明該數(shù)據(jù)滿足是平穩(wěn)的AR(1)模型。模型。例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR1.sav；拖尾和截尾拖尾和截尾 注意，所謂拖尾圖形模式也可能不是正弦形式，注意，所謂拖尾圖形模式也可能不是正弦形式，但以指數(shù)率衰減。類似地，如果但以指數(shù)率衰減。類似地，如果acf圖形是在第圖形是在第q=k個(gè)條后截尾，而個(gè)條后截尾，而

36、pacf圖形為拖尾，則數(shù)據(jù)滿圖形為拖尾，則數(shù)據(jù)滿足足MA(q)模型。如果兩個(gè)圖形都拖尾則可能滿足模型。如果兩個(gè)圖形都拖尾則可能滿足ARMA(p,q)模型。具體判別法總結(jié)在下面表中：模型。具體判別法總結(jié)在下面表中：acf和和pacf圖圖 如如acf和和pacf圖中至少一個(gè)不是以指數(shù)圖中至少一個(gè)不是以指數(shù)形式或正弦形式衰減，那么說(shuō)明該序形式或正弦形式衰減，那么說(shuō)明該序列不是平穩(wěn)序列，必須進(jìn)行差分變換列不是平穩(wěn)序列，必須進(jìn)行差分變換來(lái) 得 到 一 個(gè) 可 以 估 計(jì) 參 數(shù) 的 滿 足來(lái) 得 到 一 個(gè) 可 以 估 計(jì) 參 數(shù) 的 滿 足ARMA(p,q)模型的序列。模型的序列。 如一個(gè)時(shí)間序列的如

37、一個(gè)時(shí)間序列的acf和和pacf圖沒(méi)有任圖沒(méi)有任何模式，而且數(shù)值很小，那么這個(gè)序何模式，而且數(shù)值很小，那么這個(gè)序列可能就是一些互相獨(dú)立的無(wú)關(guān)的隨列可能就是一些互相獨(dú)立的無(wú)關(guān)的隨機(jī)變量。一個(gè)很好擬合的時(shí)間序列模機(jī)變量。一個(gè)很好擬合的時(shí)間序列模型的殘差就應(yīng)該有這樣的型的殘差就應(yīng)該有這樣的acf和和pacf圖。圖。例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR1.sav 根據(jù)根據(jù)acf和和pacf圖圖的形態(tài)，不用進(jìn)行任何差分就可的形態(tài)，不用進(jìn)行任何差分就可以直接用以直接用AR(1)模型擬合。利用模型擬合。利用SPSS軟件，選擇軟件，選擇AR(1)模型模型( (等價(jià)地等價(jià)地ARIMA(1,0,0)(0,0,0)模型模型),),

38、得得到參數(shù)估計(jì)為到參數(shù)估計(jì)為1 1=0.86;=0.86;也就是說(shuō)該也就是說(shuō)該AR(1)模型為模型為 10.86tttXXa例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR1.savSequence number6965615753494541373329252117139513210-1-2ZFit and Prediction 下圖為下圖為ar1.sav數(shù)據(jù)的原始序列和由模型得到的擬合值以數(shù)據(jù)的原始序列和由模型得到的擬合值以及對(duì)未來(lái)及對(duì)未來(lái)10個(gè)觀測(cè)的預(yù)測(cè)圖；看來(lái)擬合得還不錯(cuò)。個(gè)觀測(cè)的預(yù)測(cè)圖；看來(lái)擬合得還不錯(cuò)。例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR1.sav 下面再看剩下的殘差序列是否還有什么模式。這還可以由殘差的下面再看剩下的殘差序

39、列是否還有什么模式。這還可以由殘差的pacf(左左)和和acf(右右)圖來(lái)判斷?？梢钥闯觯鼈儧](méi)有什么模式；這圖來(lái)判斷?？梢钥闯觯鼈儧](méi)有什么模式；這說(shuō)明擬合比較成功。說(shuō)明擬合比較成功。 Error for Z from ARIMALag Number16151413121110987654321ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficientError for Z from ARIMALag Number16151413121110987654321Partial ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoeffic

40、ient例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR1.sav 下圖為殘差對(duì)擬合值的散點(diǎn)圖。看不出任何模式。說(shuō)明殘差的確下圖為殘差對(duì)擬合值的散點(diǎn)圖。看不出任何模式。說(shuō)明殘差的確是獨(dú)立的和隨機(jī)的。是獨(dú)立的和隨機(jī)的。Fit for Z from ARIMA2.01.51.0.50.0-.5-1.0-1.5Error for Z from ARIMA1.0.50.0-.5-1.0-1.5ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s模型模型 在對(duì)含有季節(jié)和趨勢(shì)在對(duì)含有季節(jié)和趨勢(shì)/循環(huán)等成分的時(shí)間序列進(jìn)循環(huán)等成分的時(shí)間序列進(jìn)行行ARIMA模型的擬合研究和預(yù)測(cè)時(shí)，就不象對(duì)模型的擬合研究和預(yù)測(cè)時(shí)，就不象對(duì)純粹的滿足可解條件的純粹的滿

41、足可解條件的ARMA模型那么簡(jiǎn)單了。模型那么簡(jiǎn)單了。 一般的一般的ARIMA模型有多個(gè)參數(shù)，沒(méi)有季節(jié)成分模型有多個(gè)參數(shù)，沒(méi)有季節(jié)成分的可以記為的可以記為ARIMA(p,d,q)，如果沒(méi)有必要利用如果沒(méi)有必要利用差分來(lái)消除趨勢(shì)或循環(huán)成分時(shí)，差分階數(shù)差分來(lái)消除趨勢(shì)或循環(huán)成分時(shí)，差分階數(shù)d=0，模型為模型為ARIMA(p,0,q)，即即ARMA(p, q)。 在有已知的固定周期在有已知的固定周期s時(shí)，模型多了時(shí)，模型多了4個(gè)參數(shù)，可個(gè)參數(shù)，可記為記為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s。這里增加的除了周這里增加的除了周期期 s 已 知 之 外 ， 還 有 描 述 季 節(jié) 本 身 的已 知 之 外

42、 ， 還 有 描 述 季 節(jié) 本 身 的ARIMA(P,D,Q)的模型識(shí)別問(wèn)題。因此，實(shí)際建的模型識(shí)別問(wèn)題。因此，實(shí)際建模要復(fù)雜得多。需要經(jīng)過(guò)反復(fù)比較。模要復(fù)雜得多。需要經(jīng)過(guò)反復(fù)比較。用用ARIMA模型擬合例模型擬合例tssalestssales. .savsav 先前對(duì)數(shù)據(jù)先前對(duì)數(shù)據(jù)tssales.sav序列序列進(jìn)行了分解，并且用指數(shù)平進(jìn)行了分解，并且用指數(shù)平滑做了預(yù)測(cè)。知其有季節(jié)和趨勢(shì)成分。滑做了預(yù)測(cè)。知其有季節(jié)和趨勢(shì)成分。 下面試圖對(duì)其進(jìn)行下面試圖對(duì)其進(jìn)行ARIMA模型擬合。先試圖對(duì)該序列模型擬合。先試圖對(duì)該序列做做acf和和pacf條形圖。其中條形圖。其中acf圖顯然不是拖尾（不是以圖

43、顯然不是拖尾（不是以指數(shù)速率遞減），因此說(shuō)明需要進(jìn)行差分。指數(shù)速率遞減），因此說(shuō)明需要進(jìn)行差分。SALESLag Number16151413121110987654321ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficient用用ARIMA模型擬合例模型擬合例tssalestssales. .savsav 關(guān)于于參數(shù)，不要選得過(guò)大；每次擬合之后要檢關(guān)于于參數(shù)，不要選得過(guò)大；每次擬合之后要檢查殘差的查殘差的acf和和pacf圖，看是否為無(wú)關(guān)隨機(jī)序列。圖，看是否為無(wú)關(guān)隨機(jī)序列。 在在SPSS軟件中還有類似于回歸系數(shù)的檢驗(yàn)以及軟件中還有類似于回歸系數(shù)的檢驗(yàn)以及其

44、他一些判別標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算機(jī)輸出可做參考（這里其他一些判別標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算機(jī)輸出可做參考（這里不細(xì)說(shuō)）。不細(xì)說(shuō)）。 經(jīng)過(guò)幾次對(duì)比之后，對(duì)于例經(jīng)過(guò)幾次對(duì)比之后，對(duì)于例16.1數(shù)據(jù)我們最后選數(shù)據(jù)我們最后選中了中了ARIMA(0,1,1)( 0,1,1)12模型來(lái)擬合。擬合的模型來(lái)擬合。擬合的結(jié)果和對(duì)結(jié)果和對(duì)2003年年12個(gè)月的預(yù)測(cè)在下圖中。個(gè)月的預(yù)測(cè)在下圖中。 DateJUL 2003OCT 2002JAN 2002APR 2001JUL 2000OCT 1999JAN 1999APR 1998JUL 1997OCT 1996JAN 1996APR 1995JUL 1994OCT 1993JAN 1993A

45、PR 1992JUL 1991OCT 1990JAN 199012010080604020SALESFit and Prediction例例tssales.sav的原始序列和由模型得到的擬合值及對(duì)未來(lái)的原始序列和由模型得到的擬合值及對(duì)未來(lái)12個(gè)月的預(yù)測(cè)圖。個(gè)月的預(yù)測(cè)圖。 例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR1.sav 為了核對(duì)，當(dāng)然要畫(huà)出殘差的為了核對(duì)，當(dāng)然要畫(huà)出殘差的acf和和pacf的條形圖來(lái)看是否還有什的條形圖來(lái)看是否還有什么非隨機(jī)的因素存在。下圖為這兩個(gè)點(diǎn)圖，看來(lái)我們的模型選擇么非隨機(jī)的因素存在。下圖為這兩個(gè)點(diǎn)圖，看來(lái)我們的模型選擇還是適當(dāng)?shù)?。還是適當(dāng)?shù)摹?Error for SALES from A

46、RIMALag Number16151413121110987654321ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficient Error for SALES from ARIMALag Number16151413121110987654321Partial ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficient用用ARIMA模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列 DAY, period 746135724613572461SALES7060504030 例例：數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)tsadds2.sav

47、是一個(gè)銷(xiāo)售時(shí)間序列，以每周七天是一個(gè)銷(xiāo)售時(shí)間序列，以每周七天為一個(gè)季節(jié)周期，除了銷(xiāo)售額序列為一個(gè)季節(jié)周期，除了銷(xiāo)售額序列sales之外，還有一個(gè)之外，還有一個(gè)廣告花費(fèi)的獨(dú)立變量廣告花費(fèi)的獨(dú)立變量adds。先不理睬這個(gè)獨(dú)立變量，把先不理睬這個(gè)獨(dú)立變量，把該序列當(dāng)成純粹時(shí)間序列來(lái)用該序列當(dāng)成純粹時(shí)間序列來(lái)用ARIMAARIMA模型擬合。右圖為模型擬合。右圖為該序列的點(diǎn)圖。該序列的點(diǎn)圖。數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)tsadds2.sav再首先點(diǎn)出其再首先點(diǎn)出其acfacf和和pacfpacf條形圖條形圖 SALESLag Number16151413121110987654321ACF1.0.50.0-.5-1.0Co

48、nfidence LimitsCoefficientSALESLag Number16151413121110987654321Partial ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficientacf圖顯然不是拖尾模式，因此，必須進(jìn)行差分以圖顯然不是拖尾模式，因此，必須進(jìn)行差分以消除季節(jié)影響。試驗(yàn)多次之后，看上去消除季節(jié)影響。試驗(yàn)多次之后，看上去ARIMA(2,1,2)( 0,1,1)7的結(jié)果還可以接受。殘差的的結(jié)果還可以接受。殘差的pacfpacf和和acfacf條形圖在下一頁(yè)圖中條形圖在下一頁(yè)圖中 用用ARIMA模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列模型擬

49、合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列 繼續(xù)改進(jìn)我們的模型，再把獨(dú)立變量廣告支出加入模型，最后得繼續(xù)改進(jìn)我們的模型，再把獨(dú)立變量廣告支出加入模型，最后得到的帶有獨(dú)立變量到的帶有獨(dú)立變量addsadds的的ARIMA(2,1,2)( 0,1,1)ARIMA(2,1,2)( 0,1,1)7 7模型。擬合后模型。擬合后的殘差圖在下圖中。的殘差圖在下圖中。 Error for SALES from ARIMALag Number16151413121110987654321ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficientError for SALES from ARIMA

50、Lag Number16151413121110987654321Partial ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficient用用ARIMA模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列 從各種角度來(lái)看擬合帶獨(dú)立變量平方從各種角度來(lái)看擬合帶獨(dú)立變量平方的的ARIMA(2,1,2)( 0,1,1)ARIMA(2,1,2)( 0,1,1)7 7模型給出更模型給出更好的結(jié)果。好的結(jié)果。雖然從上面的雖然從上面的acfacf和和pacfpacf圖看不出（一圖看不出（一般也不應(yīng)該看出）獨(dú)立變量對(duì)序列的般也不應(yīng)該看出）獨(dú)立變量對(duì)序列的自相關(guān)性的影

51、響，但是根據(jù)另外的一自相關(guān)性的影響，但是根據(jù)另外的一些判別準(zhǔn)則，獨(dú)立變量的影響是顯著些判別準(zhǔn)則，獨(dú)立變量的影響是顯著的，而且加入獨(dú)立變量使得模型更加的，而且加入獨(dú)立變量使得模型更加有效。有效。 用用ARIMA模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列 要注意，一些獨(dú)立變量的效果也可能要注意，一些獨(dú)立變量的效果也可能是滿足某些時(shí)間序列模型的，也可能是滿足某些時(shí)間序列模型的，也可能會(huì)和季節(jié)、趨勢(shì)等效應(yīng)混雜起來(lái)不易會(huì)和季節(jié)、趨勢(shì)等效應(yīng)混雜起來(lái)不易分辯。這時(shí)，模型選擇可能就比較困分辯。這時(shí)，模型選擇可能就比較困難。也可能不同模型會(huì)有類似的效果。難。也可能不同模型會(huì)有類似的效果。 一個(gè)

52、時(shí)間序列在各種相關(guān)的因素影響一個(gè)時(shí)間序列在各種相關(guān)的因素影響下的模型選擇并不是一件簡(jiǎn)單明了的下的模型選擇并不是一件簡(jiǎn)單明了的事情。實(shí)際上沒(méi)有任何統(tǒng)計(jì)模型是絕事情。實(shí)際上沒(méi)有任何統(tǒng)計(jì)模型是絕對(duì)正確的，它們的區(qū)別在于，在某種對(duì)正確的，它們的區(qū)別在于，在某種意義上，一些模型的某些性質(zhì)可能要意義上，一些模型的某些性質(zhì)可能要優(yōu)于另外一些。優(yōu)于另外一些。SPSS的的實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn): :ARIMA模型模型 時(shí)間序列的時(shí)間序列的acf和和pacf圖：可以用選項(xiàng)圖：可以用選項(xiàng)GraphsTime SeriesAutocorrelations， 然后把變量選入然后把變量選入Variables中中(對(duì)于數(shù)據(jù)對(duì)于數(shù)據(jù)AR1

53、.sav，把時(shí)間序列把時(shí)間序列Z選入選入)。 在在Display中中(默認(rèn)地默認(rèn)地)有選項(xiàng)有選項(xiàng)Autocorrelations和和Partial autocorrelations導(dǎo)致導(dǎo)致acf和和pacf圖。圖。 人們還經(jīng)常對(duì)殘差項(xiàng)繪人們還經(jīng)常對(duì)殘差項(xiàng)繪acf和和pacf圖。圖。SPSS的的實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn): :ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型擬合模型擬合 選擇選擇AnalyzeTime SeriesARIMA，然后把數(shù)然后把數(shù)據(jù)中的時(shí)間序列選入據(jù)中的時(shí)間序列選入Dependent(在數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)AR1.sav中中,選選Z,對(duì)數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)tssales.sav時(shí)選時(shí)選sales,而對(duì)數(shù)據(jù)而對(duì)

54、數(shù)據(jù)tsadds2.sav時(shí)選時(shí)選sales),對(duì)于對(duì)于Independent,僅在使用僅在使用數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)tsadds2.sav時(shí)選了時(shí)選了adds。 在在Model的第一列為的第一列為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型模型的前三個(gè)參數(shù)的前三個(gè)參數(shù)(p,d,q),第二列第二列(sp,sd,sq)為為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的后三個(gè)參數(shù)模型的后三個(gè)參數(shù)(P,D,Q)。這樣只要選定我們所希望嘗試的模型參數(shù)即可。這樣只要選定我們所希望嘗試的模型參數(shù)即可。 周期周期s由于在定義序列時(shí)已經(jīng)有了由于在定義序列時(shí)已經(jīng)有了(見(jiàn)對(duì)話框中注見(jiàn)對(duì)話框中注明的明的Current Perio

55、dicity后面的數(shù)字后面的數(shù)字),就不用另外就不用另外輸入了。在輸出的變量中有誤差和擬合輸入了。在輸出的變量中有誤差和擬合(預(yù)測(cè)預(yù)測(cè))的的序列，在輸出文件中還有各個(gè)參數(shù)和一些判別準(zhǔn)序列，在輸出文件中還有各個(gè)參數(shù)和一些判別準(zhǔn)則等。則等。公式：公式：指數(shù)平滑模型指數(shù)平滑模型這些模型中有這些模型中有 ，g g，d d，f f為待估為待估計(jì)參數(shù)，計(jì)參數(shù)，g g0意味著斜率為常數(shù)意味著斜率為常數(shù)（趨勢(shì)無(wú)變化），而（趨勢(shì)無(wú)變化），而d d0意味著意味著沒(méi)有季節(jié)成分，沒(méi)有季節(jié)成分，f f和減幅趨勢(shì)有和減幅趨勢(shì)有關(guān)；對(duì)于時(shí)間序列關(guān)；對(duì)于時(shí)間序列Xt，趨勢(shì)、光趨勢(shì)、光滑后的序列、季節(jié)因子和預(yù)測(cè)的滑后的序列、季

56、節(jié)因子和預(yù)測(cè)的序列分別用序列分別用Tt、St、It 和和 表表示；另外，示；另外，p表示周期，表示周期，et為殘為殘差差 tX1ttXX指數(shù)平滑模型指數(shù)平滑模型: :線性趨勢(shì)可加季節(jié)模型線性趨勢(shì)可加季節(jié)模型（Linear trend, additive seasonality modelLinear trend, additive seasonality model） 01tttXbbtI1111,(1) ,tttttttttptttttpTTeSSTeIIeXSTIgd 指數(shù)平滑模型指數(shù)平滑模型: :線性趨勢(shì)可乘季節(jié)模型線性趨勢(shì)可乘季節(jié)模型（Linear trend, multiplicat

57、ive seasonality modelLinear trend, multiplicative seasonality model） 01()tttXbbt I1111,(1),()ttttptttttptttptttttpeTTIeSSTIeIISXST Igd 指數(shù)平滑模型指數(shù)平滑模型: :指數(shù)趨勢(shì)可加季節(jié)模型指數(shù)趨勢(shì)可加季節(jié)模型（Exponential trend, additive seasonality modelExponential trend, additive seasonality model） 0 1ttttXb bI11111,(1) ,ttttttttttpttt

58、ttpeTTSSS TeIIeXS TIgd 指數(shù)平滑模型指數(shù)平滑模型: :指數(shù)趨勢(shì)可乘季節(jié)模型指數(shù)趨勢(shì)可乘季節(jié)模型( (Exponential trend, multiplicative seasonality model)Exponential trend, multiplicative seasonality model)0 1()ttttXb b I11111,(1),()ttttpttttttptttptttttpeTTISeSS TIeIISXST Igd 指數(shù)平滑模型指數(shù)平滑模型: :減幅趨勢(shì)可加季節(jié)模型減幅趨勢(shì)可加季節(jié)模型（Damped trend, additive seasonality modelDamped trend, additive seasonality model） 01tttXbbtIf1111(1) ,(2) ,1(2) ,tttttttttptttttpTTeSSTeIIeXSTIf ffdf 指數(shù)平滑模型指數(shù)平滑模型: :減幅趨勢(shì)可乘季