函數與極限答案

1、函數與極限答案第一章 函數與極限第一節(jié) 映射與函數1.填空題: （1）函數與其反函數的圖形關于 對稱.（2）函數的定義域為_； （3）若的定義域是0，1，則的定義域是 0 . （4）設，則 a . （5）若則 ， x .（6）函數的反函數為 。（7）函數的定義域: x0，值域: 0y<1 ，反函數: x=-ln(1-y2), 0y<12. 選擇題: （1）下列正確的是：(B，C )A.與是同一函數. B.設為定義在上的任意函數，則必為偶函數，必為奇函數. C.是的奇函數. D.由任意的及必定可以復合成為的函數. . （2）是( A ).A.有界函數； B. 周期函數； C. 奇函數

2、； D. 偶函數. （3）設，若，則b為( B ).A.1； B.1； C.2； D.2.（4）函數的定義域是（ ）(A)； (B)； (C)； (D).（5）函數的定義域是（ ）(A)； (B);(C); (D).（6）函數是（ ）(A)偶函數； (B)奇函數； (C)非奇非偶函數； (D)奇偶函數.（7）函數的最小正周期是（ ） (A)2； (B)； (C) 4 ； (D) .（8）函數在定義域為（ ）(A)有上界無下界； (B)有下界無上界； (C)有界，且 ； (D)有界，且 .（9）與等價的函數是（ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) .3設（1） 試確定的值使 ；（2）

3、 求的表達式 解. 4求的反函數.解：5設，求的定義域及。6已知，求.解：；7設的定義域是，求下列函數的定義域： （1） 解：由的定義域為. （2）解：由的定義域為. （3） 解：由的定義域為. （4）解：由的定義域為.8設 -，求解：. ，而，故. ，而，故. .9.設，求和，并作出這兩個函數的圖形.解： 10.設,求解： 即：11，。求，解：=；=，12 求=13設滿足，求解： （1）令 得 （2）由（1）和（2）得； 14把半徑為的一圓形鐵皮，自中心處剪去中心角為的一扇形后圍成一無底圓錐. 試將這圓錐的體積表為的函數. 解：設圓錐的半徑與高分別為，則由圖知R，即 . 從而， 故15 利用

4、的圖形作出下列圖形：（1）； （2）； （3）. 16設由復合而成的，證明：（1） 若是偶函數，則是偶函數。（2） 若單調增加，單調減少，則單調減少。第二節(jié) 數列的極限1.填空題: （1） 設數列的一般項，則 0 . （3） 0 . （4）已知，則= 0 ，= 6 .（5）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內：數列有界是數列收斂的必要條件. 數列收斂是數列有界的充分條件. 2選擇題: （1）若數列有極限，則在的鄰域之外，數列中的項(B).A.必不存在； B.至多只有有限多個； C.必定有無窮多個；D.可以有有限個， 也可以有無限多個. （2）“對任意給定的e&#

5、206;（0，1），總存在正整數N，當時，恒有”是數列收斂于的(D).A. 充分但非必要條件； B.必要但非充分條件； C. 既非充分也非必要條件； D.充分必要條件.（3）下列正確的是(B. D. )A.若數列和都發(fā)散，則數列也發(fā)散. B.在數列中任意去掉或增加有限項，不影響的斂散性. C.發(fā)散數列必定無界. D.若從數列中可選出一個發(fā)散的子數列，則該數列必發(fā)散. 3. 根據數列極限的定義證明: （1）； （2）.4. 若，證明.并舉例說明反之不成立.5. 設數列有界，又，證明:.第三節(jié) 函數的極限 1填空題: （1）設，則 b ， 1 . 當 1 時，. （2）設，當 時，是無窮小量，當

6、1 時，是無窮大量。 （3），當且僅當是無窮小 . （4）當時的右極限及左極限都存在且相等 是存在的 充分必要 條件. （5）在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為 無窮小 .（6）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內：在的某一去心鄰域內有界是存在的必要條件. 存在是在的某一去心鄰域內有界的充分條件. 在的某一去心鄰域內無界是的必要條件. 是在的某一去心鄰域內無界的充分條件. 當時的右極限及左極限都存在且相等是存在的充分必要條件.2選擇題: （1）若存在，則(A ).A.必在的某一去心鄰域內有界； B.在的某一鄰域內一定無界； C.必在的任一鄰域內有界；

7、D.在的任一鄰域內無界 （2）若，則( C ).A.在的函數值必存在且等于； B.在的函數值必存在但不一定等于； C.在的函數值可以不存在； D.如果在的函數值存在，則.（3）下列正確的是：(D. ).A. 無界變量必為無窮大. B.若且，則必有. C.若，且，則在的某鄰域內，恒有.D. 無窮大必為無界變量.（4）（ ）A.1； B.-1； C.0； D.不存在.（5）當時，變量是（ ）A.無窮小量 B.無窮大量 C.有界但非無窮小量 D.無界但非無窮大量 (6)設，則存在，當時有（ C ）成立。A. B. C. D. 3.根據函數極限的定義證明: （1）； （2）； （3）； （4） . 4

8、求，當時的左右極限，并說明它們在 時的極限是否存在?解：不存在， 5證明不存在.6.函數在（-¥，+¥）內是否有界，這個函數是否為x® +¥ 時的無窮大？為什么？第四節(jié) 極限運算法則1 選擇題: （1） 設數列收斂，發(fā)散，則下列斷言正確的是(B ).A. 必收斂； B. 必發(fā)散；C. 必收斂； D. 必發(fā)散. （2） 已知x® ¥ 時，發(fā)散，則x® ¥ 時(D ).A. 若發(fā)散，則必發(fā)散； B. 若發(fā)散，則必收斂；C. 若收斂，則必收斂； D. 若收斂，則必發(fā)散. （3） 若，則下列斷言正確的是( C ).A.當為

9、任意函數時，有；B.僅當時，才有；C.當為有界函數時，有；D.僅當為常數時，才能使成立.（4）下列正確的是(E ).A.若在某個過程中，與都無極限，則+必無極限.( ) B. ( ) C.若，則必有或者. ( ) D. ( )D. ( )E.若在某個過程中，無極限，有極限，則+必無極限.( )（5）設則= ( ) A-1 ； B.1 ； C.0 ； D.不存在 .（6）當時。函數的極限是（ ）A0 ； B. ； C. ； D.不存在但不是無窮 .2計算下列極限: （1）解：-1（2）解：0（3）解： （4）解：0（5）解： （6）解：-1（7）解：（8）解：（9）解：1（10）解：43證明解：

10、不存在4證明不存在.5若，求的值.解：a=1， b= 1.6 第五節(jié) 兩個重要極限 無窮小比較1 選擇題:（1） 下列正確的是（A，E ） A.若，且時，時 ，則.B.若數列單調上升且有下界，則數列必收斂. C.數列收斂的充分必要條件是數列為單調有界. D. E.因為，所以當時，是關于的二階無窮小.（2） 設，則當時（ B. ）. A.與是等價無窮小. B.與同階但非等價無窮小. C.是比高階的無窮小. D.是比低階的無窮小.（3）當時，下列函數哪一個是其它三個的高階無窮?。?） A.； B.； C.； D. （4）當時，與等價的無窮?。?） A.； B.； C. 2； D. 2計算下列極限:

11、 （1）解： （2）（k為正整數）解： （3）解：（4）解：e （5）解： （6）解：1 （7）解： （8）（為正整數）解： （9）解：左極限為： ，右極限為： 。所以原極限不存在。 （10）3利用等價無窮小性質求極限. （1）；解： （2）；解： （3） ； 解： . (4) 解： .(5) 解：(6) 解：(7) 解：（8）原式=（9）解：2（10）解：（11）解：（12）解：1（13）已知，求解：（14）解：（15）解：4（16）4.利用極限存在準則證明下列各題 （1） .（2）設， 則.第六節(jié) 函數的連續(xù)性與間斷點1.填空題:（1）是函數的第 類間斷點. （2）是函數的第 類型間斷點.

12、 （3）設，若定義 1 ，則在處連續(xù). （4）若函數在處連續(xù)，則必等于 2 .2選擇題：（1）下列正確的是（A， C ）A.若在連續(xù)，則必有. B.若在連續(xù)，則在必連續(xù). C.若在連續(xù)，在不連續(xù)，則+在必不連續(xù). D.若與在點處均不連續(xù)，則在必不連續(xù). E.若在內連續(xù)，則在必有界. （2）是 的 （ B. ）A. 連續(xù)點, B. 可去間斷點,C. 第一類間斷點、但不是可去間斷點, D.第二類間斷點. （3）設 則是的（ B. ）A. 連續(xù)點, B. 可去間斷點,C. 第一類間斷點、但不是可去間斷點, D.第二類間斷點. 3.研究在處的連續(xù)性，并畫出該函數的圖形.解：在連續(xù).4.要使連續(xù)，常數應

13、取什么數值 解：5.研究在點處的左連續(xù)性與右連續(xù)性.解：左不連續(xù)，右連續(xù).6.設有函數試確定的值使在連續(xù) . 第七節(jié) 初等函數的連續(xù)性 閉區(qū)間連續(xù)函數的性質1.填空題:（1）， 0 ；若無間斷點，則 0 .（2）的連續(xù)區(qū)間 .（3） 的連續(xù)區(qū)間 .2選擇題：下列正確的是（ C， D. ）A.設在上有定義，在內連續(xù)，且，則至少存 在一點使. B.設在內連續(xù)，則在內可取到最大值和最小值. C.在上連續(xù)，且無零點，則在上恒為正或恒為負. D.在內單調，則在內至多有一個零點.3.求下列極限: (1)解： (2)解： 0 (3)解： 1 (4) 解：.4證明方程至少有一個介于1和2之間的實根。5.證明方

14、程(其中)至少有一個正根，并且不超 過.6設在上連續(xù)，且，.證明至少存在一點，使得.7證明:若在內連續(xù)，且存在，則必在內有界.第一章 自測題一、填空題：1. 設函數f (x) = ，則f (f (x) = =1 。2. f (x) = 的定義域是 。3. 設f (x) 單調減少，且f (x) < g (x)，若f (x)與g (x)可以相互復合及自己復合，則f g (x)與g f (x)的大小關系是 < 。4. 設f(x) =是上的連續(xù)函數，則a = 1 。5. f (x) =的間斷點是 0，1，-1 ，其中可去間斷點是 1 。二、單項選擇題：1. 設f(x)是定義在(¥

15、， +¥)內的奇函數，g(x)是定義在(¥， +¥)內的偶函數，則：（B）(A) f g (x)與g f (x)都是奇函數。(B) f g (x)與g f (x)都是偶函數。(C) f g (x)與g f (x)都是非奇非偶函數。(D)g f (x)是奇函數，f g (x)是非奇非偶函數。2. 當時，是（ D ）：(A)無窮小。 (B)無窮大。 (C)有界但不是無窮小。 (D)無界但不是無窮大。3. ，則（ C ）(A).0 (B).不存在 (C). 2 (D).14. 對任意的x，總有，且，則 (D)(A)存在且等于零。 (B)存在但不一定為零。(C)一定不存在

16、。(D)不一定存在。5. 設函數f (x)在a， b上連續(xù)，則f (a) f (b) < 0是方程f (x) = 0在 (a， b)內至少有一個根的( A )。(A)充分條件。 (B)必要條件。 (C)充分必要條件。(D)既非充分條件又非必要條件。6. ，它的連續(xù)區(qū)間為( C )。(A)| x | > 1。 (B)| x | > 2。 (C)。(D)。三、求y =的定義域。解：或四、已知， ，求f g (x) 與g f (x)。解：，。五、設函數f (x)在x = 0點連續(xù)， 且f (0) = 0， 已知| g (x) | £ | f (x) |， 試證函數g (x)在x = 0點也連續(xù)。解：是六、求下列極限：