2022年必修五-基本不等式-教案

1、學習必備歡迎下載3.4 基本不等式2abab第 1 課時授課類型： 新授課【教學目標】1知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；2過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；3情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣【教學重點】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式2abab的證明過程；【教學難點】基本不等式2abab等號成立條件【教學過程】1.課題導入基本不等式2abab的幾何背景：如圖是在北京召開的第24 界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)

2、計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？教師引導學生從面積 的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2. 講授新課1探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd 中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b 那么正方形的邊長為22ab。這樣， 4 個直角三角形的面積的和是 2ab，正方形的面積為22ab。由于4 個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：222abab。當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b 時，正方形efgh縮為一個點，這時有222abab。2得到結(jié)論：一般的，如果)

3、(2r,22號時取當且僅當那么baabbaba3思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因為222)(2baabba當22,()0,()0,abababab時當時精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載所以，0)(2ba，即.2)(22abba41）從幾何圖形的面積關(guān)系認識基本不等式2abab特別的，如果a0,b0, 我們用分別代替a、b ，可得2abab，通常我們把上式寫作：(a0,b0)2abab 2 ）從不等式的性質(zhì)推導基本不等式2abab用分析法證明：要證2abab (

4、1) 只要證 a+b (2) 要證（ 2），只要證 a+b- 0 （3）要證（ 3），只要證（ - ）2（4）顯然，（ 4）是成立的。當且僅當a=b 時，（ 4）中的等號成立。3）理解基本不等式2abab的幾何意義探究： 課本第 110 頁的“探究”在右圖中， ab是圓的直徑，點c 是 ab上的一點， ac=a,bc=b 。過點 c作垂直于ab的弦 de ，連接 ad 、bd。你能利用這個圖形得出基本不等式2abab的幾何解釋嗎？易證tadtd b，那么d2ab 即dab. 這個圓的半徑為2ba，顯然，它大于或等于cd，即abba2，其中當且僅當點c與圓心重合，即ab時，等號成立. 因此：基本

5、不等式2abab幾何意義是“ 半徑不小于半弦”評述： 1. 如果把2ba看作是正數(shù)a、b的等差中項，ab看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項. 2. 在數(shù)學中，我們稱2ba為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a、b的幾何平均數(shù) . 本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 補充例題 例 1 已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)yxxy2；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載(2) （xy）（x2y2）（x

6、3y3）x3y3. 分析：在運用定理：abba2時，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)( 把握好每條性質(zhì)成立的條件) ，進行變形 . 解：x，y都是正數(shù)yx0，xy 0，x20，y20，x30，y30 (1)xyyxxyyx22 即xyyx2. (2)xy2xy0 x2y2222yx 0 x3y3233yx0 （xy）（x2y2）（x3y3） 2xy222yx233yxx3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3. 3. 隨堂練習1. 已知a、b、c都是正數(shù)，求證（ab）（bc）（ca）abc分析：對于此類題目，選擇定理：abba2（a0，b0）靈活變形，可求得結(jié)果. 解：a，b，

7、c都是正數(shù)ab2ab 0 bc2bc 0 ca2ac 0 （ab）（bc）（ca） 2ab2bc2acabc即（ab）（bc）（ca）abc. 4. 課時小結(jié)本節(jié)課，我們學習了重要不等式a2b22ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（2ba），幾何平均數(shù) （ab）及它們的關(guān)系 （2baab）. 它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù) . 它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具( 下一節(jié)我們將學習它們的應(yīng)用). 我們還可以用它們下面的等價變形來解決問題：ab222ba，ab（2ba）2. 5. 評價設(shè)計精品學習資料 可選擇p d f - - - - -

8、- - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載課本第 113 頁習題 a 組的第 1 題課題 : 3.4 基本不等式2abab第 2 課時授課類型： 新授課【教學目標】1知識與技能： 進一步掌握基本不等式2abab；會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實際問題2過程與方法：通過兩個例題的研究，進一步掌握基本不等式2abab，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。3情態(tài)與價值：引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學態(tài)度和科學道德。【教學重點】基本不等式2abab的應(yīng)用【教學

9、難點】利用基本不等式2abab求最大值、最小值?！窘虒W過程】1.課題導入1重要不等式：如果)(2r,22號時取當且僅當那么baabbaba2基本不等式：如果a,b 是正數(shù)，那么).(2號時取當且僅當baabba我們稱baba,2為的算術(shù)平均數(shù)，稱baab,為的幾何平均數(shù)abbaabba2222和成立的條件是不同的：前者只要求a,b 都是實數(shù)，而后者要求 a,b 都是正數(shù)。2. 講授新課例 1（1）用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？（2）段長為 36 m 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面

10、積最大，最大面積是多少? 解：（ 1）設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為 y m，則 xy=100，籬笆的長為2（x+y） m。由2xyxy，可得2 100 xy，2()40 xy。等號當且僅當x=y 時成立， 此時 x=y=10. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m. （2）解法一：設(shè)矩形菜園的寬為xm ，則長為（ 362x）m ，其中0 x21，其面積sx（36 2x）21 2x（362x）21222

11、36236()28xx當且僅當2x362x，即 x9 時菜園面積最大，即菜園長9m，寬為 9 m 時菜園面積最大為 81 m2解法二：設(shè)矩形菜園的長為x m.,寬為 y m ,則 2(x+y)=36, x+y=18, 矩形菜園的面積為xy m2。由18922xyxy，可得81xy當且僅當x=y,即 x=y=9 時，等號成立。因此，這個矩形的長、寬都為9m 時，菜園的面積最大，最大面積是81m2歸納： 1. 兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，br，且abm，m為定值，則ab42m，等號當且僅當ab時成立 . 2. 兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，br，且abp，p為

12、定值，則ab 2p，等號當且僅當ab時成立 . 例 2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為 3m，如果池底每1m2的造價為150 元，池壁每 1m2的造價為120 元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析： 此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l 元，根據(jù)題意，得)1600(720240000 xxl29760040272024000016002720240000 xx當.2976000,40,1600有最小值時即lxxx因此，當水池的底面是

13、邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元評述 ：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。歸納： 用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：(1) 先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2) 建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3) 在定義域內(nèi)，求出函

14、數(shù)的最大值或最小值；(4) 正確寫出答案 . 3. 隨堂練習1. 已知x0，當x取什么值時，x2281x的值最小 ?最小值是多少 ? 2課本第113 頁的練習1、2、3、4 4. 課時小結(jié)本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。 在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件：(1) 函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2) 函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3) 函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取 等。5. 評價設(shè)計課本第

15、 113 頁習題 a 組的第 2、 4 題課題 : 3.4 基本不等式2abab第 3 課時授課類型： 習題課【教學目標】1知識與技能： 進一步掌握基本不等式2abab；會用此不等式證明不等式, 會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值, 能夠解決一些簡單的實際問題；2過程與方法：通過例題的研究，進一步掌握基本不等式2abab，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。3情態(tài)與價值：引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學態(tài)度和科學道德?！窘虒W重點】掌握基本不等式2abab，會用此不等式證明不等式，會用此不等式求某些函數(shù)的最值【教學難點】利用此不等式求函數(shù)的最大、

16、最小值?！窘虒W過程】1.課題導入1基本不等式：如果a,b 是正數(shù)，那么).(2號時取當且僅當baabba精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載2用基本不等式2abab求最大（小）值的步驟。2. 講授新課1）利用基本不等式證明不等式例 1 已知 m0,求證24624mm。 思維切入 因為 m0,所以可把24m和6m分別看作基本不等式中的a 和 b, 直接利用基本不等式。 證明 因為 m0, ，由基本不等式得24246262 2462 1224mmmm當且僅當24m=6m，即

17、 m=2時，取等號。規(guī)律技巧總結(jié)注意： m0 這一前提條件和246mm=144 為定值的前提條件。3. 隨堂練習 1 思維拓展1 已知 a,b,c,d都是正數(shù)，求證()()4abcdacbdabcd. 思維拓展2 求證22222()()()abcdacbd. 例 2 求證 :473aa. 思維切入 由于不等式左邊含有字母a, 右邊無字母 , 直接使用基本不等式, 無法約掉字母a, 而左邊44(3)333aaaa.這樣變形后 , 在用基本不等式即可得證. 證明 4443(3)32(3)32437333aaaaa當且僅當43a=a-3 即 a=5 時, 等號成立 . 規(guī)律技巧總結(jié)通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例 3 (1) 若 x0, 求9( )4f xxx的最小值 ; (2)若 x0和94xx=36 兩個前提條件;(2) 中 x0 來轉(zhuǎn)化 . 解1) 因為 x0 由基本不等式得99( )42 42 3612f xxxxx, 當且僅當94xx即 x=32時 , 9( )4f xxx取最小值 12. (2) 因為 x0, 由基本不等式得: 999( )(4)( 4 )()2 ( 4 ) ()2 3612fxxxxxxx, 所以( )12f x. 當且僅當94xx即 x=-32時, 9(