2022年數(shù)學(xué)練習(xí)題考試題高考題教案最新普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷

1、2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類） （北京卷）本試卷分第i 卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第i 卷 1 至 2 頁，第卷3 至9 頁，共 150 分?？荚嚂r間120 分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第 i 卷（選擇題共 40 分）注意事項(xiàng)：1答第 i 卷前，考生務(wù)必將答題卡上的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆填寫，用2b鉛筆將準(zhǔn)考證號對應(yīng)的信息點(diǎn)涂黑。2每小題選出答案后，將答題卡上對應(yīng)題目的答案選中涂滿涂黑，黑度以蓋住框內(nèi)字母為準(zhǔn)，修改時用橡皮擦除干凈。在試卷上作答無效。一、本大題共8 小題，每小題5 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出

2、符合題目要求的一項(xiàng)。1 在復(fù)平面內(nèi)， 復(fù)數(shù)(12 )zii對應(yīng)的點(diǎn)位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】 b 【解析】 本題主要考查復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系數(shù)內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系. 屬于基礎(chǔ)知識的考查. (12 )22ziiiii，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為2,1，故選 b. 2 已知向量 a、 b不共線，ckab(kr), dab, 如果 c/d， 那么（）a1k且 c 與 d同向b1k且 c 與 d 反向c1k且 c與 d 同向d1k且 c與 d 反向【答案】 d 【解析】 本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. 取 a1,0，b0,1，若1k，則 c

3、ab1,1，dab1, 1，顯然， a 與 b不平行，排除a、 b. 若1k，則 cab1,1，dab1,1，即 c/d 且 c 與 d 反向，排除c，故選 d.3 為了得到函數(shù)3lg10 xy的圖像，只需把函數(shù)lgyx的圖像上所有的點(diǎn)（）a向左平移3 個單位長度，再向上平移1 個單位長度b向右平移3 個單位長度，再向上平移1 個單位長度c向左平移3 個單位長度，再向下平移1 個單位長度d向右平移3 個單位長度，再向下平移1 個單位長度【答案】 c 【解析】 本題主要考查函數(shù)圖象的平移變換. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查.精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

4、- - - - 第 1 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -alg31lg103yxx，blg31lg103yxx，c3lg31lg10 xyx，d3lg31lg10 xyx. 故應(yīng)選 c. 4若正四棱柱1111abcdabc d的底面邊長為1，1ab與底面abcd成 60角，則11ac到底面abcd的距離為（）a33b1 c2d3【答案】 d 【解析】 本題主要考查正四棱柱的概念、直線與平面所成的角以及直線與平面的距離等概念. （第 4 題解答圖）屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. 依題意，160b ab，如圖，11 tan603bb，故選 d. 5“2 ()6k k z” 是

5、“1c o s 22” 的（）a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件【答案】 a 【解析】 本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查.當(dāng)2()6kkz時，1cos2cos 4cos332k，反之，當(dāng)1cos22時，有2236kkkz，或2236kkkz，故應(yīng)選a . 6若5(12)2( ,aba b為有理數(shù)），則ab（）a 45 b55 c70 d80 【答案】 c 【解析】 本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查.精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

6、- - - - 第 2 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -501234501234555555512222222cccccc15 22020 2204 24129 2，由已知，得4129 22ab，412970ab. 故選 c. 7 用 0 到 9 這 10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）a 324 b328 c360 d648 【答案】 b 【解析】 本題主要考查排列組合知識以及分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理知識. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. 首先應(yīng)考慮“0”是特殊元素，當(dāng)0 排在末位時，有299 872a（個），當(dāng) 0 不排在末位時，有1114884 8

7、 8256aaa（個） ，于是由分類計數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有72256328（個） . 故選 b. 8點(diǎn)p在直線:1lyx上，若存在過p的直線交拋物線2yx于,a b兩點(diǎn)，且|paab， 則稱點(diǎn)p為 “點(diǎn)” ， 那么下列結(jié)論中正確的是（）a直線l上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”b直線l上僅有有限個點(diǎn)是“點(diǎn)”c直線l上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)”d直線l上有無窮多個點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)”【答案】 a 【解析】 本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力, 考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力 . 屬于創(chuàng)新題型 . 本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖，設(shè),1a m np x x，則2,22bmxnx，2

8、,a byx在上，2221(2)nmnxmx（第 8 題解答圖）消去 n,整理得關(guān)于x的方程22(41)210 xmxm（1）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -222(41)4(21)8850mmmm恒成立，方程（ 1）恒有實(shí)數(shù)解，應(yīng)選a. 2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類） （北京卷）第卷（共 110 分）注意事項(xiàng)：1用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。2答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。題號二三總分15 16 17 18 19 20 分?jǐn)?shù)二、填空題：本大題

9、共6 小題，每小題5 分，共 30 分。把答案填在題中橫線上。91lim1xxxxx_. 【答案】12【解析】 本題主要考極限的基本運(yùn)算，其中重點(diǎn)考查如何約去“零因子”. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. 2111111limlimlimlim121111xxxxxxxxxx xxxxxxxx，故應(yīng)填12. 10若實(shí)數(shù), x y滿足2045xyxy則syx的最小值為 _. 【答案】6【解析】 本題主要考查線性規(guī)劃方面的基礎(chǔ)知 . 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查 . 如圖，當(dāng)4,2xy時，246syx為最小值 . 故應(yīng)填6.（第 10 題解答圖）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

10、 - - - - - - - - 第 4 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -11設(shè)( )f x是偶函數(shù)，若曲線( )yf x在點(diǎn)(1,(1)f處的切線的斜率為1，則該曲線在( 1,( 1)f處的切線的斜率為_. 【答案】1【解析】 本題主要考查導(dǎo)數(shù)與曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率的概念. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查 . 取2fxx，如圖，采用數(shù)形結(jié)合法，易得該曲線在( 1,( 1)f處的切線的斜率為1. 故應(yīng)填1.12橢圓22192xy的焦點(diǎn)為12,f f，點(diǎn)p在橢圓上，若1|4pf，則2|pf_；12f pf的小大為 _. （第 11 題解答圖）【答案】2, 120【解析】 本

11、題主要考查橢圓的定義、焦點(diǎn)、長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. 229,3ab，22927cab，122 7f f，又1124,26pfpfpfa，（第 12 題解答圖）22pf，又由余弦定理，得22212242 71cos2242f pf，12120f pf，故應(yīng)填2, 120.13若函數(shù)1,0( )1( ) ,03xxxf xx則不等式1|( ) |3fx的解集為 _. 【答案】3,1精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -【解析】 本題主要考查

12、分段函數(shù)和簡單絕對值不等式的解法. 屬于基礎(chǔ)知識、 基本運(yùn)算的考查. （1）由01|( )|301133xf xxx.（2）由001|( )|01111133333xxxxf xx. 不等式1|( ) |3f x的解集為| 31xx，應(yīng)填3,1. 14已知數(shù)列na滿足：434121,0,n ,nnnnaaaa n則2009a_；2014a=_. 【答案】 1，0 【解析】 本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識. 屬于創(chuàng)新題型 . 依題意，得20094 503 31aa，20142 100710074 252 10aaaa. 應(yīng)填 1，0. 三 、解答題：本大題共6 小題，共80 分。解答應(yīng)寫出文字說

13、明，演算步驟或證明過程。15 （本小題共13 分）在abc中，角,a b c的對邊分別為, , ,3a b c b，4cos,35ab.（）求sin c的值；（）求abc的面積 . 【解析】 本題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識，主要考查基本運(yùn)算能力（） a、 b、c 為 abc 的內(nèi)角，且4,cos35ba，23,sin35caa，23134 3sinsincossin32210caaa.（）由（）知334 3sin,sin510ac，又,33bb，在 abc 中，由正弦定理，得sin6sin5baab. abc 的面積11634 3369 3sin

14、32251050sabc.精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -16 （本小題共14 分）如圖，在三棱錐pabc中，pa底面,60 ,90abc paababcbca，點(diǎn)d，e分別在棱,pb pc上，且/debc（）求證：bc平面pac；（）當(dāng)d為pb的中點(diǎn)時，求ad與平面pac所成的角的大?。唬ǎ┦欠翊嬖邳c(diǎn)e使得二面角adep為直二面角？并說明理由. 【解法 1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力（） pa底面

15、abc ， pabc. 又90bca， ac bc. bc平面 pac. （） d 為 pb 的中點(diǎn)， de/bc ，12debc，又由（）知，bc平面 pac，de平面 pac，垂足為點(diǎn)e. dae 是 ad 與平面 pac 所成的角，pa底面 abc ， paab ，又 pa=a b， abp 為等腰直角三角形，12adab，在 rtabc 中，60abc，12bcab. 在 rtade 中，2sin24debcdaeadad，ad與平面pac所成的角的大小2arcsin4. （） ae/bc，又由（）知，bc平面 pac， de平面 pac，又 ae平面 pac，pe平面 pac， de

16、ae，depe， aep 為二面角adep的平面角， pa底面 abc ， paac，90pac.在棱 pc 上存在一點(diǎn)e，使得 aepc，這時90aep，故存在點(diǎn)e 使得二面角adep是直二面角 . 【解法 2】 如圖，以 a 為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系axyz，設(shè)paa，由已知可得精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -1330,0,0 ,0,0,0 ,0,0,222abaacapa. （）10,0,0,02apabca，0bc ap， bcap. 又90bca， bcac ， bc

17、平面 pac. （） d 為 pb 的中點(diǎn)， de/bc ， e 為 pc 的中點(diǎn)，13131,0,44242daaaeaa，又由（）知，bc平面 pac， de平面 pac，垂足為點(diǎn)e. dae 是 ad 與平面 pac 所成的角，13131,0,44242adaaaaeaa，14cos4ad aedaeadae. ad與平面pac所成的角的大小14arccos4. （）同解法1. 17 （本小題共13 分）某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4 個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是13，遇到紅燈時停留的時間都是2min. （）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概

18、率；（）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望. 【解析】 本題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率知識、考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計知識解決實(shí)際問題的能力.（）設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件a，因?yàn)槭录 等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事件a 的概率為11141133327p a. （）由題意，可得可能取的值為0，2，4，6， 8（單位： min） .事件“2k”等價于事件“該學(xué)生在路上遇到k次紅燈”（k0，1，2，3，4） ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -

19、 - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -441220,1,2,3,433kkkpkck，即的分布列是0 2 4 6 8 p16813281827881181的期望是163288180246881812781813e.18 （本小題共13 分）設(shè)函數(shù)( )(0)kxf xxek（）求曲線( )yfx在點(diǎn)(0,(0)f處的切線方程；（）求函數(shù)( )fx的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)( )fx在區(qū)間( 1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍 . 【解析】 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問

20、題的能力（）1,01,00kxfxkx eff, 曲線( )yfx在點(diǎn)(0,(0)f處的切線方程為yx. （）由10kxfxkx e，得10 xkk，若0k，則當(dāng)1,xk時，0fx，函數(shù)fx單調(diào)遞減，當(dāng)1,xk時，0fx，函數(shù)fx單調(diào)遞增，若0k，則當(dāng)1,xk時，0fx，函數(shù)fx單調(diào)遞增，當(dāng)1,xk時，0fx，函數(shù)fx單調(diào)遞減，（）由（）知，若0k，則當(dāng)且僅當(dāng)11k，即1k時，函數(shù)fx1,1內(nèi)單調(diào)遞增，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -若0k，則當(dāng)且僅當(dāng)11k，即1k時，函數(shù)fx1

21、,1內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)fx1,1內(nèi)單調(diào)遞增時，k的取值范圍是1,00,1. 19 （本小題共14 分）已知雙曲線2222:1(0,0)xycabab的離心率為3，右準(zhǔn)線方程為33x（）求雙曲線c的方程；（）設(shè)直線l是圓22:2o xy上動點(diǎn)0000(,)(0)p xyx y處的切線，l與雙曲線c交于不同的兩點(diǎn),a b，證明aob的大小為定值.【解法 1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力（）由題意，得2333acca，解得1,3ac，2222bca，所求雙曲線c的方程為2212yx. （）點(diǎn)0000,0

22、p xyx y在圓222xy上，圓在點(diǎn)00,p xy處的切線方程為0000 xyyxxy，化簡得002x xy y.由2200122yxx xy y及22002xy得222000344820 xxx xx，切線l與雙曲線c 交于不同的兩點(diǎn)a、b，且2002x，20340 x，且222000164 34820 xxx，設(shè) a、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為1122,xyxy，則20012122200482,3434xxxxx xxx，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -cosoa obaobo

23、aob，且121212010220122oa obx xy yx xx xx xy，212012012201422x xxxxx x xx222200002222000082828143423434xxxxxxxx22002200828203434xxxx. aob的大小為90. 【解法 2】 （）同解法1. （）點(diǎn)0000,0p xyx y在圓222xy上，圓在點(diǎn)00,p xy處的切線方程為0000 xyyxxy，化簡得002x xy y. 由2200122yxx xy y及22002xy得222000344820 xxx xx222000348820 xyy xx切線l與雙曲線 c 交于不

24、同的兩點(diǎn)a、b，且2002x，20340 x，設(shè) a、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為1122,xyxy，則2200121222008228,3434xxx xy yxx，12120oa obx xy y，aob的大小為90. （22002xy且000 x y，220002,02xy，從而當(dāng)20340 x時，方程和方程的判別式均大于零）. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -20 （本小題共13 分）已知數(shù)集1212,1,2nnaa aaaaan具有性質(zhì)p；對任意的,1i jijn，ija a與jiaa兩數(shù)中至少有一個屬于a.（）分別判斷數(shù)集1,3