簡支梁彎曲強(qiáng)度的分析

1、簡支梁彎曲強(qiáng)度的分析正應(yīng)力只與橫截面上的彎矩有關(guān)，而與剪力無關(guān)。這里以橫截面上只有彎矩，而無剪力 作用的彎曲情況來討論彎曲正應(yīng)力問題。在梁的各橫截面上只有彎矩，而剪力為零的彎曲，稱為純彎曲。如果在梁的各橫截面上, 同時存在著剪力和彎矩兩種內(nèi)力，這種彎曲稱為橫力彎曲或剪切彎曲。例如在圖1所示的簡 支梁中,bc段為純彎曲，ab段和cd段為橫力彎曲。f3)rmn<b)/a(c)圖1純彎曲分析純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的方法、步驟與分析圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應(yīng)力一樣，需 要綜合考慮問題的變形方血、物理方血和靜力學(xué)方血。變形方面為了研究與橫截面上正應(yīng)力相應(yīng)的縱向線應(yīng)變，首先觀察梁在純彎曲時的變 形現(xiàn)象。

2、為此，取一根具有縱向?qū)ΨQ面的等直梁，例如圖2所示的矩形截而梁，并在梁的 側(cè)面上畫出垂直于軸線的橫向線m-m. n-n和平行于軸線的縱向線d-d、b-b。然后在梁的兩 端加一對大小相等、方向相反的力偶使梁產(chǎn)生純彎曲。此時可以觀察到如下的變形現(xiàn) 彖?？v向線彎曲后變成了弧線“匕、/,靠頂面的施線縮短了，靠底面的bb線仲長了。橫向線m-m>在梁變形后仍為直線，但相對轉(zhuǎn)過了一定的角度，且仍與彎曲了的縱向線保持正交，如圖2(b)所示。梁內(nèi)部的變形情況無法直接觀察，但根據(jù)梁表面的變形現(xiàn)彖對梁內(nèi)部的變形進(jìn)行如下假 設(shè)：(1)平面假設(shè)梁所有的橫截面變形后仍為平面.且仍垂直于變形后的梁的軸線。(2)單向受力

3、假設(shè) 認(rèn)為梁由許許多多根縱向纖維組成，各纖維z間沒有相互擠壓，每 根纖維均處于拉伸或壓縮的單向受力狀態(tài)。根據(jù)平面假設(shè)，前面由實驗觀察到的變形現(xiàn)象已經(jīng)可以推廣到梁的內(nèi)部。即梁在純彎曲 變形吋，橫截血保持平血并作相對轉(zhuǎn)動，靠近上面部分的縱向纖維縮短，靠近下面部分的縱 向纖維伸反。由于變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短，這層纖維稱為 中性層(圖2)。屮性層與橫截面的交線稱為屮性軸。由于外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)因 此梁的變形也應(yīng)該對稱于此平面，在橫截面上就是對稱于對稱軸。所以中性軸必然垂直于對 稱軸。m圖2純彎曲變形圖3中性層市物理及靜力學(xué)關(guān)系可導(dǎo)出橫截面上的彎曲止應(yīng)力公式為o =

4、式中，m為橫截面上的彎矩，i?為橫截面對中性軸的慣性矩，y為橫截面上待求應(yīng)力的 y坐標(biāo)。應(yīng)用此公式時，也可將m、y均代入絕對值，o是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可根據(jù)梁的變 形情況直接判斷。以中性軸為界，梁的凸出一側(cè)為拉應(yīng)力，凹入一側(cè)為壓應(yīng)力。由式(1)可見，橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的點上。用九和表 示最遠(yuǎn)點至中性軸的距離，則最大彎曲正應(yīng)力為max上式可改寫為"max(3)其中max叱為抗彎截面系數(shù)，是僅與截面形狀及尺寸有關(guān)的兒何量，量綱為長度f。高度為h、 寬度為b的矩形截面梁，其抗彎截面系數(shù)為t1/blf/ 2 blrkvt =2h/26直徑為d的圓形截面梁的抗彎截面系數(shù)為工程中常用的各種型鋼，其抗彎截面系數(shù)可從附錄的型鋼表中查得。當(dāng)橫截面對中性軸 不對稱吋.其最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力將不相等。用式(3)計算最大拉應(yīng)力吋