高級中學(xué)競賽教學(xué)教程2.3.4磁場對運(yùn)動電荷的作用

1、_ 3。4 磁場對運(yùn)動電荷的作用341、洛倫 茲力載流導(dǎo)線所受的安培力，我們可看為是磁場作用給運(yùn)動電荷即自由電子的力，經(jīng)自由電子與導(dǎo)體晶格的碰撞而傳遞給導(dǎo)線的。根據(jù)安培定律sinlibf，而電流強(qiáng)度與運(yùn)動電荷有關(guān)系qnvsi， 角既是電流元li與b 的夾角，也可視為帶電粒子的速度v與b之間的夾角，l長導(dǎo)線中有粒子數(shù)lsnn，則每個電子受到的力即洛倫茲力為sinsinqvblsnlqnvsbnff洛倫茲力總是與粒子速度垂直， 因此洛倫茲力不作功， 不能改變運(yùn)動電荷速度的大小，只能改變速度的方向，使路徑發(fā)生彎曲。洛倫茲力的方向從圖3-4-1 可以看出，它一定與磁場 (b)的方向垂直，也與粒子運(yùn)動

2、(v)方向垂直，即與v、 b 所在的平面垂直， 具體方向可用左手定則判定。但應(yīng)注意，這里所說的粒子運(yùn)動方向是指正電荷運(yùn)動的方向，它恰與負(fù)電荷沿相反方向運(yùn)動等效。o xyzvfqbv圖 3-4-1_ 342、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動規(guī)律帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動規(guī)律與粒子的初始狀態(tài)有關(guān)具體如下：如果帶電粒子原來靜止， 它即使在磁場中也不會受洛倫磁力的作用，因而保持靜止。如果帶電粒子運(yùn)動的方向恰與磁場方向在一條直線上，該粒子仍不受洛倫磁力的作用，粒子就以這個速度在磁場中做勻速直線運(yùn)動。帶電粒子速度方向與磁場方向垂直，帶電粒子在垂直于磁場方向的平面內(nèi)以入射速度v作勻速圓周運(yùn)動。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中

3、作勻速圓周運(yùn)動的四個基本公式。(1)向心力公式：rvmqvb2(2)軌道半徑公式：bqmvr(3)周期、頻率和角頻率公式，即：bqmvrt22，mbqtf21，mbqft22(4) 動能公式：mbqrmpmvek2)(221222如圖 3-4-2 所示，在洛倫茲力作用下，一個作勻速圓周運(yùn)動的粒子，不論a b o ff圖 3-4-2_ 沿順時針方向運(yùn)動還是沿逆時針方向運(yùn)動，從a 點到 b 點，均具有下述特點：(1)軌道圓心 (o)總是位于 a、b 兩點洛倫茲力 (f)的交點上或 ab 弦的中垂線oo與任一個 f 的交點上。(2)粒子的速度偏向角等于回旋角a， 并等于 ab 弦與切線的夾角 (弦切

4、角)的兩倍，即ta2。磁場中帶電粒子運(yùn)動的方向一般是任意的，但任何一個帶電粒子運(yùn)動的速度(v)都可以在垂直于磁場方向和平行于磁場方向進(jìn)行分解，得到v和/v兩個分速度。根據(jù)運(yùn)動的獨立性可知，這樣的帶電粒子一方面以/v在磁場方向上作勻速運(yùn)動，一方面又在垂直于磁場的方向上作速率為v的勻速圓周運(yùn)動。實際上粒子作螺旋線運(yùn)動(如圖 3-4-3) ，這種螺旋線運(yùn)動的周期和螺距大小讀者自己分析并不難解決。其螺旋運(yùn)動的周期qbmt/2，其運(yùn)動規(guī)律：螺旋運(yùn)動回旋半徑：qbmvrsin螺旋運(yùn)動螺距：qbmvtvh/cos2/343、霍爾效應(yīng)vvvfbr圖 3-4-3_ 將一載流導(dǎo)體放在磁場中，由于洛倫茲力的作用，會

5、使帶電粒子 (或別的載流子 )發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)，在磁場和電流二者垂直的方向上出現(xiàn)橫向電勢差，這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。如圖 3-4-4 所示，電流 i 在導(dǎo)體中流動，設(shè)導(dǎo)體橫截面高h(yuǎn)、寬為 d 勻強(qiáng)磁場方向垂直與導(dǎo)線前、 后兩表面向外， 磁感強(qiáng)度為 b，導(dǎo)體內(nèi)自由電子密度為n，定向移動速度vdnevhi由于洛倫茲力作用， 自由電子向上表面聚集， 下表面留下正離子， 結(jié)果上下表面間形成電場，存在電勢差u，這個電場對電子的作用力方向向下，大小為hueeef當(dāng) f 與洛倫磁力 f 相平衡時，上、下表面電荷達(dá)到穩(wěn)定，則有evbhuenedibu如果導(dǎo)電的載流子是正電荷，則上表面聚集正電荷，下表面為負(fù)電勢，電勢

6、差正、負(fù)也正好相反。hdei圖 3-4-4bliaad圖 3-4-5_ 下面來分析霍爾電勢差，求出霍爾系數(shù)。在圖 3-4-5 中，設(shè)大塊導(dǎo)體的長和寬分別為l 和 d，單位體積自由電荷密度為 n，電荷定向移動速率為v，則電流nqldvi。假定形成電流的電荷是正電荷， 其定向移動方向就是電流方向。 根據(jù)左手定則，正電荷向上積聚， 下表面附近缺少正電荷則呈現(xiàn)負(fù)電荷積聚，上正下負(fù)電壓為aua，正電荷受到跟磁場力反向的電場力lauaqqef的作用。電場對正電荷向上的偏移積聚起阻礙作用，當(dāng)最后達(dá)到平衡時qbvlauaq，可得nqdbinqldiblblvaua1?？梢姡碚撏茖?dǎo)的結(jié)果跟實驗結(jié)果完全一致，系

7、數(shù)nqk1。既然 k 跟 n 有關(guān)，n 表征電荷濃度， 那么通過實驗測定k 值可以確定導(dǎo)體或半導(dǎo)體的電荷濃度n，半導(dǎo)體的 n 值比金屬導(dǎo)體小得多， 所以 k 值也大得多。 此外根據(jù)左手定則還可知， 即使電流 i 就是圖 3-4-6 中的流向， 如果參與流動的是正電荷，那么電壓就是上正下負(fù)； 如果參與定向移動的是自由電子，那么電壓就是上負(fù)下正了?；魻栯妱莸母叩透雽?dǎo)體是p 型的還是 n 型的有如此的關(guān)系：上正下負(fù)的是 p 型半導(dǎo)體，定向載流子是帶正電的空穴：上負(fù)下正的是n 型半導(dǎo)體，如果 k 值小得多就是金屬導(dǎo)體，定向載流子是自由電子。_ 344、磁聚焦運(yùn)動電荷在磁場中的螺旋運(yùn)動被應(yīng)用于“磁聚焦

8、技術(shù)”。如圖 3-4-7 ，電子束經(jīng)過 a、b 板上恒定電場加速后，進(jìn)入c、d 極板之間電場，c、d 板上加交變電壓，所以飛出c、d 板后粒子速度v方向不同，從 a 孔穿入螺線管磁場中，由于v大小差不多，且v與 b夾角很小，則vvvcos/vvvsin由于速度分量v不同，在磁場中它們將沿不同半徑的螺旋線運(yùn)動。 但由于它們速度/v分量近似相等，經(jīng)過qbmvqbmvh22/后又相聚于a點，這與光束經(jīng)透鏡后聚焦的現(xiàn)象有些類似，所以叫做磁聚焦現(xiàn)象。磁聚焦原理被廣泛地應(yīng)用于電真空器件如電子顯微鏡。345、復(fù)合場中離子的運(yùn)動1電場和磁場區(qū)域獨立abdaaii圖 3-4-7x y p q 圖 3-4-8 _

9、 磁場與電場不同， 磁場中，洛倫磁力對運(yùn)動電荷不做功，只改變帶電粒子速度方向，所以在勻強(qiáng)磁場中帶電粒子的運(yùn)動主要表現(xiàn)為：勻速圓周運(yùn)動、 螺旋運(yùn)動、勻速直線運(yùn)動。而電場中，電荷受到電場力作用，電場力可能對電荷做功，因而改變速度大小和方向， 但電場是保守場， 電場力做功與運(yùn)動路徑無關(guān)。處理獨立的電場和磁場中運(yùn)動電荷問題，是分開獨立處理。例：如圖 3-3-8 所示，在xoy平面內(nèi)， yo 區(qū)域有勻強(qiáng)電場，方向沿-y 方向，大小為 e，yo 區(qū)域有勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向里，大小為b，一帶電+q 、質(zhì)量為 m 的粒子從 y 軸上一點 p 由靜止釋放，要求粒子能經(jīng)過x 軸上 q點，q 坐標(biāo)為 (l，o)

10、，試求粒子最初釋放點p 的坐標(biāo)。分析：解決上述問題關(guān)鍵是明確帶電粒子的受力和運(yùn)動特點。從 y 軸上釋放后，只受電場力加速做直線運(yùn)動，從o 點射入磁場，然后做勻速圓周運(yùn)動，半圈后可能恰好擊中q 點，也可能返回電場中，再減速、加速做直線運(yùn)動，然后又返回磁場中，再經(jīng)半圓有可能擊中q 點， 。 那么擊中 q 點應(yīng)滿足lrn 2的條件。2空間區(qū)域同時存在電場和磁場（1） 電場和磁場正交如圖 3-4-9 所示，空間存在著正交的電場和磁場區(qū)域，電場平行于紙面平_ 面向下，大小為 e，磁場垂直于紙面向內(nèi)， 磁感強(qiáng)度為 b，一帶電粒子以初速0v進(jìn)入磁場，ev0，bv0，設(shè)粒子電量 +q ，則受力：f洛=bqv0

11、方向向上， f電=qe 方向向下。若滿足：bqv0=qe 0v=e/b 則帶電粒子將受平衡力作用做勻速直線運(yùn)動，這是一個速度選擇器模型。若粒子進(jìn)入正交電磁場速度0vv，則可將v分解為10vvv，粒子的運(yùn)動可看成是0v與1v兩個運(yùn)動的合運(yùn)動，因而粒子受到的洛倫茲力可看成是bqv0與bqv1的合力，而bqv0與電場力 qe 平衡，粒子在電場中所受合力為bqv1，結(jié)果粒子的運(yùn)動是以0v的勻速直線運(yùn)動和以速度1v所做勻速圓周運(yùn)動的合運(yùn)動。例：如圖 3-4-10正交電磁場中，質(zhì)量m、帶電量 +q 粒子由一點 p 靜止釋放，分析它的運(yùn)動。分析：粒子初速為零釋放，它的運(yùn)動軌跡是如圖3-4-10所示的周期性的

12、曲線。初速為零，亦可看成是向右的0v與向左 -0v兩個運(yùn)動的合運(yùn)動，其中0v大小為：0v=e/b b0e圖 3-4-9_ 所以+q 粒子可看成是向右0v勻速直線運(yùn)動和逆時針的勻速圓周運(yùn)動的合運(yùn)動。電場方向上向下最大位移rdm220qbmeqbmvr22qbmedm一個周期向右移動距離l 即 pp1之距為tvl0qbmt2代入，得：22qbmel最低點 q 點速度02vvq（2） 電場和磁場平行如圖 3-4-11 所示的空間區(qū)域有相互平行的電場和磁場e、 b 一帶電 +q 粒子以初速0v射入場區(qū)ev0(或 b)。則帶電粒子在磁場力作用下將做圓周運(yùn)動，電場力作用下向上做加速運(yùn)動，由于向上運(yùn)動速度分

13、量1v始終與 b 平行，故粒子p1p2p3pqm圖 3-4-10eb0圖 3-4-11_ 受洛倫磁力大小恒為bqv0，結(jié)果粒子運(yùn)動是垂直于e(或 b)平面的半徑r=m0v/qb 的勻速圓周運(yùn)動和沿e 方向勻加速直線運(yùn)動的合運(yùn)動，即一個螺距逐漸增大的螺旋運(yùn)動。（3） 電場力、洛倫磁力都與0v方向垂直，粒子做勻速圓周運(yùn)動。例如電子繞原子核做勻速圓周運(yùn)動，電子質(zhì)量 m ，電量為 e，現(xiàn)在垂直軌道平面方向加一勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度大小為b，而電子軌道半徑不變，已知電場力3 倍與洛倫磁力，試確定電子的角速度。在這里電子繞核旋轉(zhuǎn)，電場力、洛倫磁力提供運(yùn)動所需向心力，即f電+f洛=rmv /2而 f洛可能指向圓

14、心，也可能沿半徑向外的，因而可能是rmvevbevb/32rmvevbevb/32meb21或meb42典型例題_ 例 1在如圖 3-4-12 所示的直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點 o 固定電量為 q 的正點電荷，另有指向 y 軸正方向 (豎直向上方向 )，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b 的勻強(qiáng)磁場，因而另一個質(zhì)量為 m、電量力為 q 的正點電荷微粒恰好能以y軸上的o點為圓心作勻速圓周運(yùn)動， 其軌道平面 (水平面 )與xoz平面平行，角速度為，試求圓心o的坐標(biāo)值。分析：帶電微粒作勻速圓周運(yùn)動， 可以確定在只有洛倫磁力和庫侖力的情況下除非o與 o 不重合，必須要考慮第三個力即重力。只有這樣，才能使三者的合力保證它繞

15、o在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動。解：設(shè)帶電微粒作勻速圓周運(yùn)動半徑為r，圓心的o縱坐標(biāo)為 y，圓周上一點與坐標(biāo)原點的連線和y 軸夾角為，那么有yrtg帶電粒子受力如圖3-4-13所示，列出動力學(xué)方程為mg=f電cos(1) f洛-f電rm2sin(2) f洛=rbq(3) 將(2)式變換得yxzoqob圖 3-4-12yxzoqobmg電f洛f圖 3-4-13_ f洛-rm2f電sin(4) 將(3)代入(4)，且(1)(4)得ryrmrbqmg2消去 r 得2mbqmgy例 2如圖 3-4-14所示，被 1000v 的電勢差加速的電子從電子槍發(fā)射出來，沿直線a方向運(yùn)動，要求電子擊中在a方向、距離槍

16、口 5cm 的靶 m ，對以下兩種情形求出所用的均勻磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度b（1）磁場垂直于由直線a與點 m 所確定的平面。（2）磁場平行于 tm 。解：（1）從幾何考慮得出電子的圓軌道的半徑為(如圖 3-4-15) adrsin2按能量守恒定律，電荷q 通過電勢差 u 后的速度 v為uqmv221即muqv2amdt圖 3-4-14mba2dt圖 3-4-15_ 作用在電荷 q 上的洛倫磁力為qbvf這個力等于向心力qbvrmv2故所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度為rqmvb用上面的半徑和速度值，得到qudabm2sin2由于kgm311011.9，cq19106 .1，所以b=0.0037t （2）在磁場施加的

17、力與速度垂直，所以均勻恒定磁場只改變電子速度的方向，不改變速度的大小。我們把電子槍發(fā)射的電子速度分解成兩個直線分量：沿磁場 b 方向的av cos和垂直磁場的avsin，因為avcos在磁場的方向上，磁場對它沒有作用力(圖3-4-16) 。電子經(jīng)過 d/avcos時間后到達(dá)目標(biāo)m 。由于磁場 b和垂直的速度分量avsin，電子在圓軌道上運(yùn)動，由abqvramvsinsin22得到圓半徑為mdtbcoscos圖 3-4-16_ qbamvrsin電子在目標(biāo) m 的方向上也具有速度avcos，結(jié)果是電子繞 b 方向作螺旋線運(yùn)動。電在在 d/avcos時間內(nèi)，在繞了 k 圈后擊中目標(biāo)。 k 是一個整

18、數(shù)。圓的周長為qbamvr/sin22由于繞圓周運(yùn)動的速度是avsin，故繞一周的時間是qbmaqbvamv2sinsin2這個值乘上整數(shù) k，應(yīng)等于d/avcoskqbmavd2cos因此，所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度為qudakvqdamkbm2cos2cos2k=1 時，電子轉(zhuǎn)一圈后擊中目標(biāo)：k=2 時，電子轉(zhuǎn)兩圈后擊中目標(biāo)，等等。只要角度a相同，磁場方向相反與否，無關(guān)緊要。用給出的數(shù)據(jù)代入，得b=k 0.0067t 例 3一根邊長為 a、b、c(abc)的矩形截面長棒，如圖 3-4-17 所示，由半導(dǎo)體銻化銦制成，棒中有平行于 a 邊的電流 i 通過， 該棒放在垂直于 c 邊向外的磁場 b 中，電

19、流 i 所產(chǎn)生的磁場忽略不計。該電流的載流子為電子，在abcb圖 3-4-17_ 只有電場存在時，電子在半導(dǎo)體中的平均速度ev，其中為遷移率。（1） 確定棒中所產(chǎn)生上述電流的總電場的大小和方向。（2） 計算夾 c 邊的兩表面上相對兩點之間的電勢差。（3） 如果電流和磁場都是交變的，且分別為tiisin0，tbbsin(0)，求(2)中電勢差的直流分量的表達(dá)式。已知數(shù)據(jù)：電子遷移率svm /8 .72， 電子密度322/105 .2mn， i=1. 0a ，b=0.1t ，b=1.0cm ，c=1.0mm ，e=1.6 10-19c 分析：這是一個有關(guān)霍爾效應(yīng)的問題，沿電流方向，導(dǎo)體內(nèi)存在電場，

20、又因為霍爾效應(yīng)， 使得電子偏轉(zhuǎn)， 在垂直電流方向產(chǎn)生電場， 兩側(cè)面間有電勢差的存在解：(1)因為cnevbismnebcv/251所以電場沿a方向分量mvve/2.3/沿 c 方向的分量qeqvbmvvbe/5. 2總電場大小：_ mveee/06.422/電場方向與a邊夾角a，a=38)2.35 .2()(1/1tgeetg(2) 上、下兩表面電勢差vceu3105 .2(3)加上交變電流和交變磁場后，有前面討論的上、下表面電勢差表達(dá)式necibu，可得：)sin(sin00ttnecbinecibu=cos21)2cos(2100tnecbi因此u的直流分量為u直=cos200necbi例

21、 4如圖 3-4-18所示，空間有互相正交的勻強(qiáng)電場e和勻強(qiáng)磁場 b，e沿+y 方向， b 沿+z 方向，一個帶正電+q 、質(zhì)量為 m 的粒子 (設(shè)重力可以忽略 )，從坐標(biāo)圓點 o 開始無初速出發(fā)，求粒子坐標(biāo)和時間的函數(shù)關(guān)系，以及粒子的運(yùn)動軌跡。分析：正離子以 o 點起無初速出發(fā)，受恒定電場力yxzoeb圖 3-4-18yboxtc),(yx圖 3-4-19 _ 作用沿 +y 方向運(yùn)動，因為速度v 的大小、方向都改變，洛倫茲力僅在xoy 平面上起作用，粒子軌跡一定不會離開xoy 平面且一定以 o 為起點。既然粒子僅受的兩個力中一個是恒力一個是變力，作為解題思路， 利用獨立性與疊加原理， 我們設(shè)想把洛倫茲力分解為兩個分力，使一個分力跟恒電場力抵消， 就把這個實際受力簡化為只受一個洛倫茲力分力的問題。注意此處不是場的分解和抵消， 而是通過先分解速度達(dá)到對力進(jìn)行分解和疊加。我們都知道，符合一定大小要求的彼此正交的勻強(qiáng)復(fù)合電磁場能起速度選擇器作用。受其原理啟發(fā)，設(shè)想正離子從o 點起(此處00v)就有一個沿 x 軸正方向、大小為bev0的始終不變的速度，當(dāng)然在o 點同時應(yīng)有一個沿 -x 方向的大小也是be的速度，保證在 o 點00v，則qeqbvc，cqbv沿-y 方向，qe 沿+y方向，彼此抵消，可寫成)()(efvfcb。因任一時刻vvvct，所以)()()(vfvfvfbcbtb