微分方程及其應用

1、第九章微分方程及其應用§ 9.1微分方程及其相關概念所謂微分方程，就是含有自變量、自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)(或微分)的方程。 例如，以下各式都是微分方程：ay 2(2)m 空dx“dt2 hx kx = f (t).dxdt史+ P(x)y =Q(x). dx與drdt I(5) F(x, y, y-嚴)=0.只含一個自變量的微分方程，稱為常微分方程，自變量多于一個的稱為偏微分方程。本章只研究常微分方程， 因而以后各節(jié)提到微分方程時均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，稱為該微分方程的階。例如，(1)、為一階方程，(2)、為 二階方程，而為n階方程。微

2、分方程中可以不含有自變量或未知函數(shù)，但不能不含有導數(shù)，否則就不成為微分方程。微分方程與普通代數(shù)方程有著很大的差別，建立微分方程的目的是尋找未知函數(shù)本身。如果P196有一個函數(shù)滿足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程變成(對自變量的)恒等式，這個1 3函數(shù)就叫做微分方程的解。例如y二-?顯然是的解因為3dx若方程解中含有獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解，1 3女口 y x-就是的通解。31從通解中取定任意常數(shù)的一組值所得到的解，稱為微分方程的特解。例如y x3 二就是3的一個特解。用來確定通解中任意常數(shù)值的條件稱為定解條件，當自變量取某個值時，給出未知函數(shù)及其導

3、數(shù)的相應值的條件稱為初始條件。在本章中，我們遇到的用來確定任意常數(shù)值的條件一般為初始條“1 3件。例如,如果的初始條件為y 0二二，則在代入到通解y x3 c后，可以求得c二”：，從31 3而得到特解y x3 *二。3一般的，因為n階微分方程的通解中含有n個獨立的任意常數(shù)。需要有n個(一組)定解條件，所以n階方程的初始條件為：y (x" ) =y“，y (x° )二力y(x0)= y?,，0)= yA其中y°y,y2,，yz為n個給定常數(shù)。微分方程的解所對應的幾何圖形叫做微分方程的積分曲線。通解的幾何圖形是一族積分曲線，特解所對應的幾何圖形是一族積分曲線中的某一條

4、。就是滿足初始條件yo =二的例如，方程的積分曲線族如圖9 1所示。其中y x 二3特解。§9.2微分方程的經(jīng)典案例例1自由落體運動的規(guī)律自由落體運動是指物體在僅受到地球引力的作用下，初速度為零的運動。根據(jù)經(jīng)典力學的牛頓第二定律：物體動量變化的大小與它所受到的外力成正比，其方向與外力的方向一致。當物體的運一5動速度U的絕對值不大（與光速=3 10km/s相比較）時，其質(zhì)量m可以是一恒量。于是這一運動定律能表達成ddvmv = F,或 m F（ 1）dtdt其中F表示物體所受外力的合力。對于僅受到地球引力作用的自由落體的運動，則有：- dS -2- 二mg”這里g表示重力加速度，其大小

5、一般取為：g = 9.8m/s ;dtS表示自由落體運動的路程，其大小以S表示之。- _ dS注意到S的方向匕9的方向一致，將口mg,v = dS代入式后得到自由落體運動立場大小22變化的規(guī)律：d2s十d2s（2）下一亍=019或-二%運動規(guī)律式（2俵示一個微分方程問題。等式；2）的左端區(qū)路程大小S的二次微商它的右端是常數(shù)g。這里S和g之間不是普通的函數(shù)關系，而是二微商的關系。例2單擺運動單擺又稱為鐘擺或數(shù)學擺。所謂單擺運動是指一質(zhì)量為m>o的小球，用長度為I的柔軟細繩拴住，細繩的一端固定在某點0處。小球在鉛垂平面內(nèi)運動，略去空氣的阻力和細繩在0點處的摩擦力。并且認為細繩的長度I不變，僅

6、考慮地球的引力和細繩對小球的拉力（見圖9 2）。在鉛垂平面內(nèi)引進以0為坐標原點的極坐標系統(tǒng)，由于細繩長度不變且細繩總是直的，所以小球的位置用一個坐標t就能表示。這里二表示細繩I和鉛垂方向之間的夾角。鉛垂方向即是小球的平衡方向，它對應的二為零。作用在小球上的地球引力的大小f為mg，其方向鉛垂向下。重力沿細繩方向的分力的大小為mg cos二，其方向沿細繩指向外。這個力與小球運動所需要的向心力剛好平衡。所以小球沿細mgsi，它的方向與角 二增加的方向相根據(jù)圓周運動規(guī)律有:llvdt繩方向沒有運動。重力在垂直于細繩方向的分力的大小為反。根據(jù)牛頓第二定律得到單擺運動的規(guī)律為：d mv 二mgsinr于是

7、從式（3 ）得出：二-g sin v（4）dt2關系式（4）是包含r及其二接微商的方程，并且二不是線性而是非線性地出現(xiàn)在方程中（以sin=這種非線性 形式）。從方程（4）來求出二隨著時間變化規(guī)律的分析表達式是困難的。當I二比較小時，對微分方程（4）能夠進行線性化出處理，即用 二代替sin,，或者說，用-來近似si nr。這樣得到式（4）的線性化微分方程：在相同初始條件下服從微分方程5 ”求得的二隨時間t變化的規(guī)律二t是單擺運動的近似規(guī)律。通常將式5 ”寫成如下的規(guī)范形式:dt2其中卜2。I例3真空中的拋射體運動在真空中運動的拋射體，它的運動規(guī)律十分復雜。這里僅考慮在真空中拋射體的運動規(guī)律。即忽

8、略拋射體所受的空氣阻力，而僅考慮質(zhì)量為m的拋射體受地球引力作用而引起的運動。取一直角坐標系Oxyz， Ox軸沿水平方向；Oy軸垂直于Ox軸；Oz軸垂直于xOy平面，并與Ox軸、Oy軸一起組成右手坐標系。依牛頓第二定律，拋射體的運動規(guī)律為：d2xm2= 0dt2mgd2zm恭d2y小m2= 0 dt2拋射體的初始狀態(tài)取為:xO 二 yO 二 zO =0;dxy = Vo cos ,t=o 二 Vo sinm 史u v mg dt鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)M成正比。已知t=0時鈾的含量為Mo，求在衰變過程中鈾含量Mt隨時間t變化的規(guī)律。其中V。是拋射體的初始速度，位于xOy平面內(nèi)，V。表示V。的大

9、??；表示V。與水平方向（即Ox軸）之間的夾角（見圖94）。例4深水炸彈的水下運動一質(zhì)量為m的深水炸彈，從高為h m處自由下落到海中。這里不考慮深水炸彈在水平方向的運動，而僅考慮它在鉛直方向的運動。由經(jīng)典力學知：物體由高為h m處自由下落至海平面時，其鉛垂方向的速度V。為：V° = . 2gh這里g為重力加速度。按如下方式取定坐標系：坐標原點0取在海平面上某處，Ox軸沿鉛垂向下，（見圖95）。深水炸彈m自高度為h m處自由下落至海平面的時間為to。于是深水炸彈的初始狀態(tài)為：dx|_x to= 0, It = to= Vo = . 2gh dt深水炸彈在海中運動時，我們不考慮海水對它的浮

10、力，這時炸彈受到兩個力的作用，：一是地球引力mg，其方向鉛垂向下；另一個是海水對炸彈的摩擦力。這個摩擦力是很復雜的，它和炸彈的形狀、速度等因 素有關，這里近似的認為摩擦力的大小和炸彈的速度v成正比，比例系數(shù)即摩擦f能表示系數(shù)u為常數(shù)。摩擦力的方向與炸彈的速度方向相反，因而是鉛垂向上的。于是摩擦力dx為： f 二一 u v = "u dt根據(jù)牛頓第二定律知深水炸彈在水下運動的規(guī)律為：2d x u dx 小2dt2 m dt例5放射性元素的衰變放射性元素鈾由于不斷的有原子放射出微粒 子而變成其他元素， 象叫做衰變。由原子物理學知道，鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量解鈾的衰變速度就是M

11、 t對時間t的導數(shù)釗，由于鈾的衰變速度與其含量成正比，故得dt微分方程型dt 二一幾 M其中 0是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前置符號是由于當t增加時M單調(diào)減少，即型：0的緣故。按題意，初始條件為M |t=o 二 M odt例6指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）英國人口學家馬爾薩斯（Malthus，:1766/834）根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計資料，于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長模型。這個模型的基本假設是：人口的增長率是常數(shù)，或者說，單位時間內(nèi)人口的增長量與當時的人口成正比。記時刻t的人口為Xt，當考察一個國家或一個很大地區(qū)的人口時，Xt是很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學工具，將 Xt視為連續(xù)、可微函

12、數(shù)。記初始時刻 t = 0的人口為X。，人口增長率為r，r是單位時間內(nèi)Xt的增量與X t的比例系數(shù)。于是，Xt滿足如下的微分方程:dxrx« dtiA（0 ） =XoeM表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長r0。例7阻滯增長模型（Logistic模型）例6中的指數(shù)增長模型在19世紀前比較符合人口增長情況，但從19世紀以后，就與人口事實上的增長情況產(chǎn)生了較大的差異。產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是，隨著人口的增加，自然資源，環(huán)境條件等因素對人口繼續(xù)增長的阻滯作用越來越顯著。如果當人口較少時（相對于資源而言）人口增長率還可以看作常數(shù)的話，那么當人口增加到 一定數(shù)量后，增長率就會隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減

13、少。為了使人口預報特別是長期預報更好的符合實際情況，必須修改指數(shù)增長模型關于人口增長率是常數(shù)這個基本假設。將增長率r表示為人口 x t的函數(shù)r x，按照前面的分析，r x應該是X的減函數(shù)。一個最簡單的假定是設r x為x的線性函數(shù)r x =r-sx，（ r, s 0）這里r相當于X=0時的增長率，稱固有增長率。它與指數(shù)模型中的增長率r不同（雖然用了相同的符號）。顯然對于任意的X 0,增長率rx :： : r，為了確定系數(shù)s的意義，弓i人自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量常微分方程在數(shù)學建模中的應用摘要隨著科學技術的發(fā)展，國內(nèi)資金積累量在不斷增加，但是中國人口近幾年還是呈增加的趨勢，這樣就會

14、影響人均收入。由于國民收入是資金積累的一部分， 國民收入變化可以反映資金積累的變化。因此研究資金積累、國民收入與人口增長的關系可以轉化成研究資金積累與人口增長的關系。若國民平均收入與按人口平均資金積累成正比，說明僅當資金積累的相對增長率大于人口的相對增長率時，國民平均收入才是增長的。本文通過微分方程建立 有關人口 增長與資金積累、國民收入的關系的模型。關鍵詞：總資金積累人口平均資金積累國民平均收入 資金積累增長 人口增長一、人口預測模型由于資源的有限性，當今世界各國都注意有計劃地控制人口的增長，為了得到 人口預測模型，必須首先搞清影響人口增長的因素，而影響人口增長的因素很多， 如人口的自然出生

15、率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災害、戰(zhàn)爭等諸多因 素，如果一開始就把所有因素都考慮進去，則無從下手.因此，先把問題簡化，建立 比較粗糙的模型，再逐步修改，得到較完善的模型.而此次討論的則是資金積累、 國民收入與人口增長的關系。在人口自然增長過程中，凈相對增長(出生率與死亡率之差)是常數(shù)，即單位 時間內(nèi)人口的增長量與人口成正比，比例系數(shù)設為r,而若國民平均收入x與按人口 平均資金積累y成正比，說明反當總資金積累的相對增長率k大于 人口的相對增長 率r時，國民平均收入才是增長的。在此假設下，推導并求解人口增長與資金積 累、國民收入的關系。二、問題的重述資金積累、國民收入、與人口增長的關系：

16、(1)若國民平均收入x與按人口平均資金積累y成正比，說明僅當總資金積累的相對 增長率k大于人口的相對增長率r時，國民平均收入才是增長的.(2)作出k(x)和r(x)的示意圖，分析人口激增會引起什么后果.三、問題分析人均國民收入主要與國家資金總積累量和總人口數(shù)有關，若總人口數(shù)的增長率 大于資金積累增長率，則增長的資金不能使每一位國民增加收入，只能使少量國民收 入增加，因此，總體來說，國家人均收入實際上是減少的。四、模型假設假設總資金增長和人口增長均為指數(shù)增長，資金積累增長率和人口增長率為二 次曲線模型。五、符號說明a為國民收入在總資金積累中所占比例；y(t)為總資金積累量；N(t)為總人口數(shù)；N

17、m為人口的峰值；x(t)為人均國民收入；r為人口增長率； k為資金積累增長率。解：若國民平均收入x與按人口平均資金積累y成正比，說明反當總資金積累的相對增長率k大于人口的相對增長率t時，國民平均收入才是增長的N(t)e： J 106X(t)二幽dX(t 簞)dty(t)kN(t) rN(t)y(t .：t) y(t)所以，當k大于r時，國民收入才會增加總資金積累的相對增長率示意圖人口相對增長示意圖0.180.0219800.160.140.120.10.080.06 r0.04 一198519901995200020052010可見，當人口激增時，在一定程度上，人口資金積累和人均國民收入相對減 少，人們生活水平就會下降。因此，國家應該實施宏觀調(diào)控，以控制人口增長， 以保證人們的生活水平進一步提高。分析人口