第三章向量組的線性關(guān)系與秩

1、 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院第三講第三講 向量組的線性關(guān)系與秩向量組的線性關(guān)系與秩 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院考試大綱要求考試大綱要求（一）考試內(nèi)容（一）考試內(nèi)容向量的概念；向量的概念； 向量的線性組合和線性表示；向量的線性組合和線性表示；向量組的等價；向量組的等價； 向量組的線性相關(guān)性；向量組的線性相關(guān)性；向量組的極大無關(guān)組和秩；向量組的極大無關(guān)組和秩； 矩陣的秩。矩陣的秩。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教

2、案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院（二）考試要求（二）考試要求1、理解理解n維向量的概念，向量的線性組合和線性維向量的概念，向量的線性組合和線性表示。表示。了解了解向量組等價的概念。向量組等價的概念。2、理解理解向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義，向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義，了解了解并會用向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)的有關(guān)并會用向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。性質(zhì)及判別法。3、理解理解向量組的極大無關(guān)組和秩的概念，向量組的極大無關(guān)組和秩的概念，理解理解矩陣矩陣的秩的概念及其行列向量組的秩的關(guān)系。的秩的概念及其行列向量組的秩的關(guān)系。會會求矩陣的求矩陣的秩及向量組的極大無

3、關(guān)組和秩。秩及向量組的極大無關(guān)組和秩。本章的理論本章的理論基礎(chǔ)基礎(chǔ) 線性表示線性表示 線性相關(guān)性線性相關(guān)性 極大無關(guān)組和秩極大無關(guān)組和秩 矩陣的秩矩陣的秩4、理解理解向量組等價的概念，向量組等價的概念，理解理解矩陣的秩與其行矩陣的秩與其行(列列)向量組的秩之間的關(guān)系。向量組的秩之間的關(guān)系。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院1、向量、向量 由由n個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個n維向量維向量，這，這些數(shù)為它的些數(shù)為它的分量分量。向量可表示成向量可表示成12,na aa12naaa或或作為作為向量向量，它們沒有，它們沒有區(qū)別區(qū)別，但

4、是作為，但是作為矩陣矩陣它們是它們是不不同的同的！ 通常把它們分別稱為通常把它們分別稱為行向量行向量和和列向量列向量。一、基本概念一、基本概念 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院一個一個 的矩陣的每一行是一個的矩陣的每一行是一個n維向量，稱為維向量，稱為它的它的行向量行向量；每一列是一個；每一列是一個m維向量，稱為它的維向量，稱為它的列列向量向量。常常用矩陣的。常常用矩陣的列向量列向量組來寫出矩陣。組來寫出矩陣。m n111212122212nnnnnnaaaaaaaaa例如當(dāng)矩陣的列向量為例如當(dāng)矩陣的列向量為 時，記為時，記為12,n 12,nA

5、矩陣的許多概念也可對向量規(guī)定，如向量相等，矩陣的許多概念也可對向量規(guī)定，如向量相等，零向量等等。零向量等等。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院2、線性運算和線性組合、線性運算和線性組合向量組的線性組合向量組的線性組合s,21 設(shè)設(shè) 是一組是一組n維向量，維向量， 是一是一組數(shù)，則稱組數(shù)，則稱12,sc ccssccc2211為為 的的線性組合線性組合，它也是，它也是n維向量。維向量。s,21 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院二、二、 線性表示線性表示 設(shè)設(shè) 是一個是一個n維向量組維向量組.12,s 1.

6、 n維向量維向量 可用可用 表示，即表示，即 是是 的一個線性組合，也就是說存在數(shù)組的一個線性組合，也就是說存在數(shù)組 使得使得12,s 12,s 12,sc cc1122ssccc例如例如 cba1100 2010 3001 則則123abc 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院又如又如 cba1100 2010 3110 看看c,c 0,則不能表示則不能表示, c=0, 則則 12ab或或13abb 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院問題是問題是:判斷判斷 可否用可否用 線性表示線性表示? 表示表示方式是否

7、唯一？方式是否唯一？”這也就是問：向量方程這也就是問：向量方程12,s 1122ssxxx是否有解？解是否唯一？是否有解？解是否唯一？ 設(shè)設(shè) 則此向量方程就是則此向量方程就是 .12,sA AX反過來反過來,判別判別“以以 為增廣矩陣的線性方程組是否為增廣矩陣的線性方程組是否有解？解是否唯一？有解？解是否唯一？”的問題又可轉(zhuǎn)化為的問題又可轉(zhuǎn)化為“ 是否可是否可以用以用A的列向量組線性表示的列向量組線性表示? 表示方式是否唯一？表示方式是否唯一？”的問題的問題.A 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 如果向量組如果向量組 可以用可以用 線性線性表示表示

8、,則矩陣則矩陣 可可分解分解為為矩陣矩陣 和和一個一個矩陣矩陣C的的乘積乘積。 12,s 12,t 12,s 12,t 2.如果如果n維向量組維向量組 中的每一個都可以用中的每一個都可以用12,s 12,s 12,s 12,s 線性表示線性表示,就說向量組就說向量組 可以可以用用 線性表示線性表示. 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院例如例如 1122233312,23,3則則 (b1,b2,b3)=(a1,a2,a3) 330022101 一般地一般地C可以這樣構(gòu)造可以這樣構(gòu)造: 它的第它的第i個列向量個列向量 就是對就是對i12,s 12,t 的

9、分解系數(shù)的分解系數(shù).稱稱C為為 對對12,s 的一個表示矩陣的一個表示矩陣. (C不是唯一的不是唯一的)記號記號: 可以表示可以表示 不可以表示不可以表示 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 3等價關(guān)系等價關(guān)系：如果：如果 與與 互相可互相可表示表示s,21t,21ts,2121就稱它們就稱它們等價等價，記作，記作 ts,2121 向量組的線性表示關(guān)系有傳遞性向量組的線性表示關(guān)系有傳遞性,即如果向量組即如果向量組12,s 12,t 12,r 12,s 12,t 可以用可以用 線性表示線性表示,而而 可以用可以用 線性表示線性表示,則則 可以用可以用1

10、2,r 線性表示線性表示.等價關(guān)系也有傳遞性等價關(guān)系也有傳遞性. 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院三、三、 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1 意義和定義意義和定義-從三個方面看線性相關(guān)性從三個方面看線性相關(guān)性 如果向量組如果向量組 中有向量可以用其它的中有向量可以用其它的s-1個向量線性表示個向量線性表示,就說就說 線性相關(guān)線性相關(guān). 12,s 12,s 如果向量組如果向量組 中每個向量都不可以用其中每個向量都不可以用其它的它的s-1個向量線性表示個向量線性表示,就說就說 線性無關(guān)線性無關(guān).12,s 12,s 0011a0102a1003a如

11、如線性無關(guān)。線性無關(guān)。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 兩個向量線性相關(guān)就是它們的對應(yīng)分量成比例兩個向量線性相關(guān)就是它們的對應(yīng)分量成比例.如如123123,aa a abb b b112233,bca bca bca線性相關(guān)線性相關(guān),不妨設(shè)不妨設(shè) ，即，即bca0011a0102a1003a1014a線性相關(guān)。線性相關(guān)。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 2、定義、定義 設(shè)設(shè) 是是n維向量組維向量組,如果存在不如果存在不全為全為0的一組數(shù)的一組數(shù) 使得使得 s,21sccc,2102211ssccc則

12、說則說 線性相關(guān)線性相關(guān),否則就說它們線性無關(guān)否則就說它們線性無關(guān).12,s 說明說明: 意義和定義是一致的意義和定義是一致的.比如設(shè)比如設(shè) 不為不為0,則則sc112121sssssscccccc 當(dāng)向量組中只有一個向量當(dāng)向量組中只有一個向量(s=1)時時,它相關(guān)它相關(guān)(無關(guān)無關(guān))就就是它是是它是(不是不是)零向量零向量. 線性無關(guān)即要使得線性無關(guān)即要使得 必須必須 全為全為0.12,s sccc,2102211ssccc 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院02211ssccc3、 “線性相關(guān)還是無關(guān)線性相關(guān)還是無關(guān)”就是向量方程就是向量方程s,2

13、1“有沒有非零解有沒有非零解”.如果令如果令 ，則，則12,sA 線性相關(guān)線性相關(guān)(無關(guān)無關(guān)) 齊次方程組齊次方程組 AX=0有有非零解非零解(無非零解無非零解(只有零解只有零解).12,s n個個n維向量維向量 線性相關(guān)線性相關(guān)12,n 12,0n n個個n維向量維向量 線性無關(guān)線性無關(guān)12,n 12,0n 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院與線性相關(guān)性有關(guān)的性質(zhì)：與線性相關(guān)性有關(guān)的性質(zhì)： 線性相關(guān)線性相關(guān) 至少有一個至少有一個 可以用其可以用其他向量線性表示。他向量線性表示。12,s i線性無關(guān)向量組的每個部分組都無關(guān)。線性無關(guān)向量組的每個部分組

14、都無關(guān)。當(dāng)向量的個數(shù)當(dāng)向量的個數(shù)s大于維數(shù)大于維數(shù)n時，時， 一定線一定線性相關(guān)。性相關(guān)。12,s 例如若例如若 無關(guān)，則無關(guān)，則 一定無關(guān)。一定無關(guān)。 54321,421,如果如果 無關(guān)，而無關(guān)，而 相關(guān)，則相關(guān)，則s,21,21ss,21 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院當(dāng)當(dāng) 時，表示方式唯一時，表示方式唯一 無無關(guān)。（有唯一解）關(guān)。（有唯一解） s,1s1如果如果 可以用可以用 線性表示，并且線性表示，并且t s,則則 線性相關(guān)。線性相關(guān)。12,t s,2112,t 推論推論 如果兩個線性無關(guān)的向量組互相等價，則它如果兩個線性無關(guān)的向量組互相

15、等價，則它們包含的向量個數(shù)相等。們包含的向量個數(shù)相等。12,0s 表示方式不唯一表示方式不唯一 （有無窮解）（有無窮解） 相關(guān)相關(guān)s112,0s 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院A. 線性相關(guān)。線性相關(guān)。 C. 線性相關(guān)。線性相關(guān)。D. 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 例例1設(shè)設(shè) 線性無關(guān)，而線性無關(guān)，而 線線性相關(guān)，性相關(guān)，C是任一常數(shù)，則（是任一常數(shù)，則（ ）,321,321c ,321B. 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 c ,321c,321c,321D 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院例例2（07）設(shè)向量組）設(shè)向

16、量組 線性無關(guān)，則下列向線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是量組線性相關(guān)的是( )(A) (B)(C) (D) 123, 122331, 122331, 1223312,2,2 1223312,2,2 A 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院四、向量組的四、向量組的極大無關(guān)組極大無關(guān)組和和秩秩 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 1定義定義 的一個部分組的一個部分組 稱為它的一個稱為它的一個極大極大無關(guān)組無關(guān)組，如果滿足：，如果滿足：s,21 I i） 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 ii） 再擴大就相關(guān)。再擴大就相關(guān)。

17、 I I就稱就稱(I)為為 的一個的一個極大無關(guān)組極大無關(guān)組.稱稱(I) 中所包中所包含向量的個數(shù)為含向量的個數(shù)為 的的秩秩。記作。記作s,21s,2112 ,sr 條件條件ii）可換為：任何）可換為：任何 都可用都可用 線性表示。也就線性表示。也就是是 與與 等價。等價。i I Is,21 如果如果 每個元素都是零向量，則規(guī)定其每個元素都是零向量，則規(guī)定其秩為秩為0。s,21 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院由定義可以看出，如果由定義可以看出，如果 ，則，則12,srk i ） 的每個含有的每個含有多于多于k個向量的部分組個向量的部分組相相關(guān)關(guān)。

18、12,s ii） 的每個含有的每個含有k個個向量的向量的無關(guān)無關(guān)部分組部分組一定是一定是極大無關(guān)極大無關(guān)組。組。12,s 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院秩有以下秩有以下性質(zhì)性質(zhì)： 無關(guān)無關(guān) 。s,2112 ,srs 12121, , ,sssrr 11111, , ,tsstsrr 11, ,tsrr ts,111111 , , ,ssttrrr 向量組的秩的計算方法：向量組的秩的計算方法： 階梯形矩陣階梯形矩陣B 行s,211 ,srB的非零行數(shù)。的非零行數(shù)。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院階梯形

19、矩陣階梯形矩陣 41020012510002300000如果有零行，則都在下面。如果有零行，則都在下面。各非零行的第一個非各非零行的第一個非0元素的列號自上而下嚴(yán)格元素的列號自上而下嚴(yán)格單調(diào)上升。（或各行左邊連續(xù)出現(xiàn)單調(diào)上升。（或各行左邊連續(xù)出現(xiàn)0的個數(shù)自上而的個數(shù)自上而下嚴(yán)格下嚴(yán)格單調(diào)上升單調(diào)上升，直到全為，直到全為0。）。）臺角臺角：各非零行第一個非：各非零行第一個非0元素所在位置。元素所在位置。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院簡單階梯形矩陣簡單階梯形矩陣（最簡形矩陣）：（最簡形矩陣）：（1）臺角位置的元素都為）臺角位置的元素都為1；是特殊的

20、階梯形矩陣，是特殊的階梯形矩陣，特點特點為：為：（2）臺角正上方的元素都為）臺角正上方的元素都為0。 每個矩陣都可用初等行變換化為階梯形矩陣和每個矩陣都可用初等行變換化為階梯形矩陣和簡單階梯形矩陣。簡單階梯形矩陣。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院0000023100015210020140000032000152100201419410034020213130120012022330001000122000000000000000231000213021081902101一個矩陣用一個矩陣用行初等變換行初等變換化得化得的的階梯形矩陣不是唯一的階梯

21、形矩陣不是唯一的，化出的化出的簡單階梯形矩陣是唯簡單階梯形矩陣是唯一的一的。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院例例3 (03四四)給定向量組給定向量組() a1=(1,0,2)，a2=(1,1,3)，a3=(1,-1,a+2)和和()b1=(1,2, a+3)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4)當(dāng)當(dāng)a為何值時為何值時()和和()等價等價? a為何值時為何值時()和和()不等價不等價? 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院例例4（06）設(shè)）設(shè) 均為均為n維列向量，維列向量，A為為 矩矩陣，

22、下列選項正確的是（陣，下列選項正確的是（ ）(A)若若 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則 線性相關(guān)線性相關(guān). (B)若若 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則 線性無關(guān)線性無關(guān). (C) 若若 線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則 線性相關(guān)線性相關(guān). (D) 若若 線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則 線性無關(guān)線性無關(guān). 12,s m n12,s 12,s 12,s 12,s 12,sAAA12,sAAA12,sAAA12,sAAAA 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 例例5（05）已知）已知 ， ， ， 線性相關(guān)，并且線性相關(guān)，并且 ，求，求 。 1 , 1 , 1 , 2aa, 1 ,

23、2a, 1 , 2 , 31 , 2 , 3 , 4a1a12a 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院例例6（10）設(shè)）設(shè) ，若由，若由 形形成的向量組的秩為，則成的向量組的秩為，則 。 a112,2011,0121321321,_a6 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 3有相同線性關(guān)系的向量組有相同線性關(guān)系的向量組 兩個向量組若有相同個數(shù)的向量：兩個向量組若有相同個數(shù)的向量：ss,2121并且向量方程并且向量方程0,2211ssxxx02211ssxxx同解同解，則稱它們有，則稱它們有相同的線性關(guān)系相同的

24、線性關(guān)系。 例如，當(dāng)例如，當(dāng)A經(jīng)過經(jīng)過初等行變換初等行變換化為化為B時，時，A的列向的列向量和量和B的列向量組有的列向量組有相同線性關(guān)系相同線性關(guān)系。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院它們它們對應(yīng)的部分組對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性。有一樣的線性相關(guān)性。 的對應(yīng)部分組是的對應(yīng)部分組是 ， 421,421,當(dāng)兩個向量組有當(dāng)兩個向量組有 相同的線性關(guān)相同的線性關(guān)系時，系時，1212,;,ss 若若 相關(guān)，有不全為相關(guān)，有不全為0的的 使得使得421,421,ccc0442211ccc 即即 是是 的解，的解，從而也是從而也是 的解，則有的解，則有0

25、, 0 , 0 ,421ccc02211ssxxx02211ssxxx0442211ccc124, 也相關(guān)。也相關(guān)。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 極大無關(guān)組相對應(yīng)，從而極大無關(guān)組相對應(yīng)，從而秩相等秩相等。 有相同的內(nèi)在有相同的內(nèi)在線性表示關(guān)系線性表示關(guān)系。 如如 421342132323 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院例例7設(shè)設(shè)1232,1,2,3,1,1,5,3,0, 1, 4, 3,TTT 451,0, 2, 1,1,2,9,8TT求求 ，找出一個極大無關(guān)組，找出一個極大無關(guān)組，并將其余向量

26、用線性無關(guān)組表示。并將其余向量用線性無關(guān)組表示。12345,r 21011111022542933318A極大無關(guān)組：極大無關(guān)組：1234512345124, 134, 125, 135, 或或或或或或11102032130001200000B 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院2101111102111020321325429000123331800000AB151003321010330001200000BC31212,33 51245123331212,33 512451233 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工

27、大學(xué)廣州學(xué)院例例8（11）123,(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)TTT不能由不能由123,(1, ,1)(1,2,3)(1,3,5),TTTa線性表示。線性表示。（1）求）求 。a（2）將）將 由由 線性表出。線性表出。123, 123, 1a 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院五、矩陣的秩五、矩陣的秩1. 定義定義 一個矩陣一個矩陣A的的行行向量組的秩和向量組的秩和列列向量組的向量組的秩相秩相等等,稱此數(shù)為矩陣稱此數(shù)為矩陣A的秩的秩,記作記作r(A). 在在mn矩陣矩陣A中，任取中，任取k行行k列列( )，位于這些行列交叉處的位于這些行

28、列交叉處的 個元素，不改變它們在個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣階行列式，稱為矩陣A的的k階子式階子式。,km kn2k 設(shè)在矩陣設(shè)在矩陣A中有一個不等于中有一個不等于0的的r階子式階子式D，且，且所有所有r+1階子式（如果存在的話）全等于階子式（如果存在的話）全等于0，那么，那么D稱為矩陣稱為矩陣A的的最高階非零子最高階非零子式，數(shù)式，數(shù)r稱為矩陣稱為矩陣A的的秩秩，記作，記作r(A)。并規(guī)定。并規(guī)定零矩陣的秩等于零矩陣的秩等于0。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院10312130212172

29、54214010A 行0000001000313302130110302011010001000000C 行 A的的行行向量組的向量組的秩秩=C的的行行向量組的向量組的秩秩= C的的列列向量組的向量組的秩秩=A的列向量組的的列向量組的秩秩 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 2矩陣的秩的簡單矩陣的秩的簡單性質(zhì)性質(zhì) nmAr,min0 00AAr若矩陣若矩陣A為為m n 矩陣，則矩陣，則 mAr如果如果 ，則，則A行滿秩行滿秩；如果如果 ，則，則A列滿秩列滿秩； nAr對于對于n階矩陣階矩陣A，如果，如果 ，則，則A滿秩滿秩。 nArA滿秩滿秩 的行（

30、列）向量組的行（列）向量組線性無關(guān)線性無關(guān)。 A0 AA可逆可逆 只有零解只有零解， 唯一唯一解。解。 0 AxAx命題命題 初等變換初等變換保持保持矩陣的矩陣的秩秩。 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 3矩陣秩的矩陣秩的性質(zhì)性質(zhì) ArArT 時，時， 0c ArcAr BrArBAr BrArABr,minA可逆時，可逆時， BrABrB可逆時，可逆時， ArABr BrABrABAB1 ABrBrA可逆時，可逆時，于是于是 BrABr證：證： 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院例例9(99) 設(shè)設(shè)A是

31、是mn矩陣，矩陣，B是是nm矩陣，則（矩陣，則（ ）A. 當(dāng)當(dāng) 時，時，B.當(dāng)當(dāng) 時，時，C.當(dāng)當(dāng) 時，時，D.當(dāng)當(dāng) 時，時，mnnm0AB 0AB 0AB mnnm0AB B例例10（08數(shù)一數(shù)一）設(shè)）設(shè) 為為3維列向量，矩陣維列向量，矩陣證明：證明：()秩秩 ；()若若 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則 。, TTA =+ ( )2rA, ( )2rA 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院若若 ，則，則 （A的列數(shù)，的列數(shù)，B的行的行數(shù)）數(shù)）ABO r Ar Bn矩陣的矩陣的等價等價 兩個矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化兩個矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化,就

32、稱就稱它們它們等價等價. 矩陣的矩陣的等價等價的充分必要條件為它們的充分必要條件為它們類類型相同型相同,秩相等秩相等. 聯(lián)合班聯(lián)合班線性代數(shù)教案線性代數(shù)教案 華南理工大學(xué)廣州學(xué)院華南理工大學(xué)廣州學(xué)院例例11（04）設(shè)）設(shè)A,B為滿足為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，的任意兩個非零矩陣，則必有則必有( )(A)A的列向量組線性相關(guān)，的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān). (B)A的列向量組線性相關(guān)，的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān). (C)A的行向量組線性相關(guān)，的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān). (D)A的行向量組線性相關(guān)，的行向