人教版正弦余弦定理習題課編號6

1、編號6 1.21.2應用舉例（應用舉例（5 5） 2018/2/8 2018/2/8 復習：復習： 正弦定理正弦定理： abc?2R（R是三角形外接圓半徑是三角形外接圓半徑） sinAsinBsinC余弦定理余弦定理： a ? b?c?2bccos A222b ?a?c?2accosB222c ?a?b?2abcosC2018/2/8 222正正弦弦定定理理的的變變形形?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC,余余弦弦定定理理的的變變形形?asin A?,2Rbsin B?,2Rcsin C?.2R2222018/2/8 b?c?acosA?,2 bc222a?c?bcosB?,

2、2 ac222a?b?ccosC?.2 ab?實實現(xiàn)現(xiàn)邊邊角角互互化化 ? ABC在在 中，以下的三角關系式，在解答有關三角形問題時，中，以下的三角關系式，在解答有關三角形問題時，經(jīng)常用到，要記熟并靈活地加以運用：經(jīng)常用到，要記熟并靈活地加以運用： A? ?B? ?C? ? ?;sin(A? ?B)? ?sinC,cos(A? ?B)? ? ? ?cosC2018/2/8 探究問題一 正余弦定理的綜合應用 例 1 在ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且 b2c2a2bc. (1)求角 A 的大小； (2)若a3，b1，求角B的大小 2018/2/8 解：(1)由題知： 2

3、22b cabc1cosA ， 2 bc2 bc2又A是ABC的內(nèi)角，A3. ab(2)由正弦定理：sinAsin B， 312bsin A1sin Ba2. 3又ba，BA.又B是ABC的內(nèi)角， B6. 2018/2/8 變式：在?ABC 中，已知sin B?sin C?sin A?3sinAsinC,求B222又又0B180， B150. 2018/2/8 探究問題二：探究問題二：三角形中的化簡求值三角形中的化簡求值 例例3：ABC中，已知中，已知a=2，求，求bcosCccosB的值。的值。 解解:（化（化角角為為邊邊）由由余弦定理余弦定理得：得： a?b?cbcosCccosB b 2

4、 ab22222a?c?bc 2ac222222a?b?ca?c?b?2 a2a2? a ? 22018/2/8 例例3：ABC中，已知中，已知a=2，求，求bcosCccosB的值。的值。 解法二解法二:（化（化邊邊為為角角） 由由正弦定理正弦定理得：得： bcosCccosB 2RsinB?cosC?2RsinC?cosB?2Rsin(B?C)?2Rsin(?A)?2RsinA?a?22018/2/8 a、b、c,例例4：? ABC中，?A、?B、?C所對的邊分別為cos Bb且? ?,求B。cosC2a?c解法一：解法一： 由由正弦定理正弦定理得：得： （化（化邊邊為為角角） a?2Rs

5、inA, b?2RsinB, c?2RsinC,cosBsinBcosBb? ?,? ?代入代入 得：得： cosC2sinA?sinCcosC2a?c即2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB?0?2sinAcosB?sin(B?C)?0 ,又? A?B?C?sin(B?C)?sinA,?2sinAcosB?sinA?01?sinA?0?cosB? ?22? ?B為三角形的內(nèi)角，故B?32018/2/8 a、b、c,例例4： ?ABC中，?A、?B、?C所對的邊分別為cosBb 且? ?,求?B的大小。222cosC2a?c222a?b?c a?c?b,cosC?解法二：解法二

6、：由由余弦定理得余弦定理得 cosB?2ab2 ac cosBb? ?代入代入 得：得： cosC2 a?c2abba?c?b?2? ?（化（化角角為為邊邊） 22a?b?c2a?c2ac222整理得整理得 a?c?b? ?ac,222a?c?b?ac1?cosB? ?2 ac2 ac22? ?B為三角形的內(nèi)角，故B?32018/2/8 222探究問題三探究問題三: 證明三角恒等式證明三角恒等式 例3：在三角形 ABC中，三個內(nèi)角為 A、B、C，對應邊例5 為a、b、ccosB c?bcosA 求證：?cosC b?ccosA方法一方法一:邊化角邊化角; 方法二方法二:角化邊角化邊; 2018

7、/2/8 變式：在變式：在ABC中，中，a、b、c分別是分別是A、B、C的對的對邊，試證明：邊，試證明：a=bcosC+ccosB a?b?cc?a?b證明：由余弦定理知：證明：由余弦定理知： ， B?cos C?cos2 ab2 ca222222a?b?cc?a?b右邊右邊= b?c?2ab2 caa?b?cc?a?b?2 a2 a2222222222222A b D a c 2 a? a ? 左邊?2018/2/8 2 aB C 探究問題四 判斷三角形的形狀 邊分別為 a，b，c.若 bcosCccosBasinA，則ABC 的形狀為 例6：設ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的 ( ) A

8、直角三角形 B銳角三角形 C鈍角三角形 D不確定 zxx k 2018/2/8 a bc解 析 ： 方 法 一 ：bcosCccosBb2 aba cb2 a2caasinA， 2 ac2 asinA1，A2.ABC為直角三角形故選A. 方法二：bcosCccosBsinBcosCsinCcosBsin( BC)sinAsinAsinA， 222222 sinA1，A2.ABC為直角三角形故選A. 答案：A zxx k 2018/2/8 ABC中，中，a、b、c分別表示三個內(nèi)角分別表示三個內(nèi)角 變式變式1：在在 A、B、C的對邊，如果（的對邊，如果（a2 2+ +b2 2）sinsin（A-

9、-B）= = （a2 2- -b2 2）sinsin（A+ +B），判斷三角形的形狀），判斷三角形的形狀. . 利用正弦定理、余弦定理進行邊角利用正弦定理、余弦定理進行邊角 思維啟迪思維啟迪 互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關系或角角關系互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關系或角角關系. . 解解 方法一方法一 已知等式可化為已知等式可化為 a2 2sinsin（A- -B）-sin-sin（A+ +B） = =b2 2-sin-sin（A+ +B）-sin(-sin(A- -B) ) 2 2a2 2cos cos Asin sin B=2=2b2 2cos cos Bsin sin A 由正弦定理可知上式可化為：由正弦定理可

10、知上式可化為： sin sin2 2Acos cos Asin sin B=sin=sin2 2Bcos cos Bsin sin A 2018/2/8 sin sin Asin sin B(sin (sin Acos cos A-sin -sin Bcos cos B)=0 )=0 sin 2sin 2A=sin 2=sin 2B, ,由由0202A,2,2B22 得得2 2A=2=2B或或2 2A= = -2-2B, , ? ABC為等腰或直角三角形為等腰或直角三角形. . 方法二方法二 同方法一可得同方法一可得 2 2a2 2cos cos Asin sin B=2=2b2 2sin s

11、in Acos cos B 由正、余弦定理由正、余弦定理, ,可得可得 a2bb?c?a?b2aa?c?b2 bc2 aca2 2( (b2 2+ +c2 2- -a2 2)=)=b2 2( (a2 2+ +c2 2- -b2 2) ) 即即( (a2 2- -b2 2)()(a2 2+ +b2 2- -c2 2)=0 )=0 a= =b或或a2 2+ +b2 2= =c2 2 ABC為等腰或直角三角形為等腰或直角三角形. . 2018/2/8 即A?B或A?2?B222222變式2：根據(jù)所給的條件，判 斷?ABC的形狀。（1）acosB? ?bcosA（2）acosA? ?bcosBB? ?

12、bcosA解：解：（ 1 ）?acos222222a? ?c? ?bb? ?c? ?a? ?a? ?()? ?b? ?()2 ac2 bc2222222? ?a? ?c? ?b? ?b? ?c? ?a? ?2 a? ?2 b? ?a? ?b? ? ? ?ABC為等腰三角形。為等腰三角形。法二：由法二：由acosB? ?bcosA得得22RsinAcosB? ?2RsinBcosA? ?sinAcosB? ?sinBcosA? ?0即即sin（A? ?B） ? ?0? ?A? ?B2018/2/8 （2）acosA? ?bcosB?acosA? ?bcosB解：解：（ 2 ）222b? ?c? ?aa? ?c? ?b? ?a? ?()? ?b? ?()2 bc2 ac224224222? ?a c? ?a? ?b c? ?b? ? 022222? ?(a? ?b )(c? ?a? ?b )? ?022222222? ?a? ?b或或c? ?a? ?b? ? 0 ? ?a? ?b或或c? ?a? ?b? ? ? ?ABC為等腰三角形或直角三為等腰三角形或直角三角形。角形。2RsinAcosA? ?2RsinBcosB? ?sin2A? ?sin2B法二：由法二：由acosA? ?bcosB得得? ?