人教版編號(hào)70第二講證明不等式的基本方法一比較法

1、我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“”，“”，“0?ab，欲證，欲證ab只需證只需證ab0. . 證明證明:(a? ?b )? ?(a b? ?ab )? ?(a? ?a b)? ?(ab? ?b )332232233322? ?a (a? ?b)? ?b (a? ?b)? ?(a? ?b )(a? ?b)2222? ?(a? ?b)(a? ?b)? a,b? ?0 ,? ?a? ?b? ?02又又?a? ?b? ?(a? ?b)? ?0故故(a? ?b)(a? ?b)? ?0即即(a? ?b )? ?(a b? ?ab )? ?0233222? ?a? ?b? ?a b? ?ab3322 歸納領(lǐng)悟歸納領(lǐng)悟 比較

2、法證明不等式最常用的是作差法，其基本步驟是：比較法證明不等式最常用的是作差法，其基本步驟是：(1)(1)作差；作差；(2)(2)變形；變形；(3)(3)判斷差的符號(hào)；判斷差的符號(hào)；(4)(4)下結(jié)論下結(jié)論其中其中“變形變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù)負(fù)a例例2 如果用如果用akg白糖制出白糖制出 bkg糖溶液糖溶液,則其濃度為則其濃度為,b若在上述溶液中再添加若在上述溶液中再添加 mkg 白糖白糖,此時(shí)溶液的濃度此時(shí)溶液的濃度a? ?m增加到增加到,將

3、這個(gè)事實(shí)抽象為數(shù)學(xué)將這個(gè)事實(shí)抽象為數(shù)學(xué) 問題問題,并給出證明并給出證明.b? ?m解解 : 可以把上述事實(shí)抽象成可以把上述事實(shí)抽象成如下不等式問題如下不等式問題:a? ?ma已知已知a,b,m都是正數(shù)都是正數(shù),并并a? ?b且且,則則? ?b? ?mb下面給出證明：下面給出證明：a? ?mam(b? ?a)? ? ?b? ?mbb(b? ?m)? b? ?a? ?b? ?a? ?0 ,又又? a,b,m都是正數(shù)都是正數(shù),? ?m (b? ?a)? ?0 ,b(b? ?m)? ?0m(b? ?a)a? ?maa? ?ma? ? ?0 即即? ? ?0? ? ?b(b? ?m)b? ?mbb? ?

4、mb練習(xí)1. 已知a1a2，b1b2，則Pa1b1a2b2，Qa1b2a2b1的大小關(guān)系是()A. PQB. PQ解析：(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(b1b2) (a1a2)a1a2，b1b2(b1b2) (a1a2)0a1b1a2b2a1b2a2b1. 答案：C練習(xí)2222求證：a babab1.22證明：(ab )(abab1) ababab1 1222(2 a 2 b2 ab2 a2 b2) 122222(a 2 abb )(a 2 a1)(b2 b1) 12222(ab) (a1)(b1)0， ababab1. 222(2)作商比較法：作商比較法：例3、已知a,b是正數(shù),求

5、證a b當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí),等號(hào)成立.證明證明:a ba ba bb aab?a b,ba? ?aa? ?b b? ?ab? ?a? ? ? ? ? ? ?b? ?a? ?b根據(jù)要證的不等式的特根據(jù)要證的不等式的特 點(diǎn)點(diǎn)(交換交換a,b的位置的位置 ,不等式不變不等式不變 )a? ?a? ?不妨設(shè)不妨設(shè) a? ?b? ?0,則則? ?1 ,a? ?b? ?0 ,? ? ? ? ?b? ?b? ?當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a? ?b時(shí)時(shí),等號(hào)成立等號(hào)成立 .a bb aa? ?b? ?1? ?a b? ?a b ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a? ?b時(shí)時(shí),等號(hào)成立等號(hào)成立.變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：當(dāng)當(dāng) a,ba,b(0,+(0,+) )時(shí)時(shí),a,a b b ?ab?. . 證明證明 : : a bbaa ab ba?b2?ab?a?b2= =aa?b2bb?a2?a?= =?b?a?b2, , 當(dāng)當(dāng) a=ba=b?a?時(shí)時(shí), , ?b?a?b2=1; =1; a?b2?a? 0, 0, ?b?a?b2當(dāng)當(dāng) ab0ab0 時(shí)時(shí), , 1,1,abab1; 1; 1.1. 當(dāng)當(dāng) ba0ba0 時(shí)時(shí),0,01, 1, 所以所以 a a b b ?ab?. . a ab ba?b2a?b2?a?0,0,?b?a?b2小結(jié)：比較法證明不等式的方法與步驟：(1)作差比較法:作差、變形、判號(hào)、下結(jié)論.(2