如如何寫數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽答卷及的案例

1、n第一部分第一部分 如何寫好數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽答如何寫好數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽答卷卷n第二部分第二部分 數(shù)學(xué)建模案例（奧運(yùn)場(chǎng)館數(shù)學(xué)建模案例（奧運(yùn)場(chǎng)館問(wèn)題問(wèn)題）第一部分第一部分 如何寫好數(shù)學(xué)建如何寫好數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽答卷模競(jìng)賽答卷例1：本文獲2004年全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽一等獎(jiǎng)。摘要：本文所要討論的問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)二元整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。首先，我們根據(jù)三次預(yù)演運(yùn)動(dòng)會(huì)的調(diào)查結(jié)果推斷出奧運(yùn)會(huì)期間觀眾在出行方式、餐飲、消費(fèi)水平三個(gè)方面的行為規(guī)律以及不同性別、年齡的人群在這三個(gè)方面上的差異，然后根據(jù)這些規(guī)律估計(jì)了奧運(yùn)會(huì)期間各主要場(chǎng)館周圍商業(yè)區(qū)的人流分布情況。為了更好地反映商業(yè)區(qū)的商業(yè)價(jià)值，本文在人流分布的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了各商區(qū)的

2、消費(fèi)潛力的分布并據(jù)此設(shè)計(jì)商業(yè)區(qū)的超市群：首先，我們從招租方（組委會(huì)）、經(jīng)營(yíng)商和顧客三個(gè)不同角度討論了大、小規(guī)模ms 對(duì)各自利益的影響，并分別以地租總收入、單位面積上的平均利潤(rùn)和安全經(jīng)營(yíng)率、顧客滿意度等量化指標(biāo)來(lái)衡量三者的各自的利益。此時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題：為各個(gè)商區(qū)確立大ms 數(shù)目和小ms 的數(shù)目，使得模型在滿足經(jīng)營(yíng)商和顧客的一定的利益的前提下（約束條件），組委會(huì)獲得的利益最大。通過(guò)計(jì)算，我們求解得到了全部商區(qū)的規(guī)劃設(shè)計(jì)方案，比如在a6 區(qū)（面積約為15; 000 m2）中需要建設(shè)5 個(gè)大ms和17 個(gè)小ms（面積為150 m2），該商業(yè)區(qū)內(nèi)的超市的總建筑面積為4; 800 m2，約

3、占整個(gè)商業(yè)區(qū)面積的三分之一。為了說(shuō)明我們方案的合理性和貼近實(shí)際的特性，我們從顧客滿意度、零售單位與人口分布的一致性指數(shù)、公平競(jìng)爭(zhēng)原則和共同盈利原則四個(gè)方面對(duì)模型的合理性進(jìn)行了分析說(shuō)明。在模型的進(jìn)一步討論中，我們討論了經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、旅游人口等因素對(duì)設(shè)計(jì)方案可能產(chǎn)生的影響。另外，為了使同一商區(qū)內(nèi)的超市間避免盲目競(jìng)爭(zhēng)，同時(shí)也是為了奧運(yùn)會(huì)結(jié)束后能更好地現(xiàn)有的臨時(shí)商業(yè)點(diǎn)地面進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，我們利用商圈理論對(duì)商區(qū)內(nèi)超市的布局原則做了討論并得出“大店分散，小店聚集”的規(guī)律。最后，我們根據(jù)模型求解的結(jié)果給北京奧組委提出幾點(diǎn)建議：關(guān)注市場(chǎng)規(guī)模的增長(zhǎng)、流動(dòng)人口對(duì)市場(chǎng)的影響以及及時(shí)制定臨時(shí)商業(yè)用地的二次開(kāi)發(fā)方案例2：本文

4、獲2004年全國(guó)數(shù)學(xué)建模一等獎(jiǎng)。摘要：本文首先對(duì)三次問(wèn)卷調(diào)查的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，以年齡結(jié)構(gòu)、出行方式、用餐習(xí)慣以及消費(fèi)水平為不同劃分標(biāo)準(zhǔn)，得出人群的分布規(guī)律以及各規(guī)律間的內(nèi)在聯(lián)系： 1. 選擇不同出行方式的各類人群在消費(fèi)水平方面的分布是相似的。 2. 選擇不同用餐習(xí)慣的各類人群在消費(fèi)水平方面的分布是相似的。在對(duì)人流量分布問(wèn)題的處理上，我們根據(jù)題目給出的假設(shè)，在保證每位觀眾的“最短路徑”前提下，模擬出觀眾的行進(jìn)路線，從而跟蹤計(jì)算出各商區(qū)的人流量比例。結(jié)果見(jiàn)表1。對(duì)各商區(qū)的ms 設(shè)置的方案設(shè)計(jì)，是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)為：滿足觀眾購(gòu)物需求、分布均衡以及商業(yè)上盈利。我們首先根據(jù)基于網(wǎng)絡(luò)的hu&

5、amp;reg; 模型，研究了人群進(jìn)入商區(qū)的購(gòu)物欲望曲線，計(jì)算出每個(gè)商區(qū)的總消費(fèi)量，從而得到每個(gè)商區(qū)需要的ms 的大致數(shù)目。為了得到最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案，我們定義了飽和指數(shù)指標(biāo) ¾2，來(lái)衡量整個(gè)商業(yè)區(qū)的ms 分布情況，再通過(guò)改進(jìn)的模擬退火算法求出各商區(qū)間ms 分布方差最小的設(shè)計(jì)方案，即為所求的最優(yōu)解。由于存在兩種不同規(guī)模的ms，我們嚴(yán)格討論了其性質(zhì)與特征，并根據(jù)不同情況，在滿足目標(biāo)函數(shù)的前提下，對(duì)ms 和lms 在商區(qū)內(nèi)的數(shù)量分布進(jìn)行了設(shè)計(jì)，結(jié)果見(jiàn)表2。最后，我們對(duì)模型的科學(xué)性與現(xiàn)實(shí)性進(jìn)行了闡述。根據(jù)雅典奧運(yùn)體育場(chǎng)的構(gòu)造圖，驗(yàn)證了各商區(qū)的ms 個(gè)數(shù)比例是符合實(shí)際的。 3 200

6、8年北京奧運(yùn)會(huì)地區(qū)臨時(shí)超市點(diǎn)網(wǎng)設(shè)計(jì)年北京奧運(yùn)會(huì)地區(qū)臨時(shí)超市點(diǎn)網(wǎng)設(shè)計(jì) （2004年全國(guó)大學(xué)生建模比賽年全國(guó)大學(xué)生建模比賽a題）題）n第二部分第二部分 數(shù)學(xué)建模案例（奧運(yùn)場(chǎng)館問(wèn)題）數(shù)學(xué)建模案例（奧運(yùn)場(chǎng)館問(wèn)題）比賽題目：比賽題目：2008年北京奧運(yùn)會(huì)主館場(chǎng)周邊臨時(shí)商亭網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)年北京奧運(yùn)會(huì)主館場(chǎng)周邊臨時(shí)商亭網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì) 為了了解觀眾的購(gòu)物需求和人流量的規(guī)律，假設(shè)我們?cè)谝呀?jīng)建設(shè)好的某運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，舉辦了三次運(yùn)動(dòng)會(huì)，對(duì)觀眾發(fā)放問(wèn)卷調(diào)查，采集相關(guān)數(shù)據(jù)，供解題者使用。 2008年北京奧運(yùn)會(huì)的建設(shè)工作已經(jīng)進(jìn)入全面設(shè)計(jì)和實(shí)施階段。奧運(yùn)會(huì)期間，在比賽場(chǎng)館的周邊地區(qū)必須建設(shè)一個(gè)由小型商亭構(gòu)建的臨時(shí)商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)。我們稱之為迷你超市（

7、ms）網(wǎng)，主要滿足運(yùn)動(dòng)員，觀眾，游客，工作人員在奧運(yùn)會(huì)期間購(gòu)物需求，經(jīng)營(yíng)食品、旅游用品、奧運(yùn)紀(jì)念品、文體用品和小日用品等等。在比賽場(chǎng)館周邊地區(qū)設(shè)置這種ms，在地點(diǎn)、大小類型和總量方面，必須滿足三個(gè)基本要求：滿足奧運(yùn)會(huì)期間的購(gòu)物需求滿足奧運(yùn)會(huì)期間的購(gòu)物需求、分布基本均衡分布基本均衡和商商業(yè)上贏利業(yè)上贏利。顯然，這是一個(gè)必須用科學(xué)的方法解決的問(wèn)題。 在本題卷中給出了奧運(yùn)會(huì)主要比賽場(chǎng)館的規(guī)劃圖，是解決上述問(wèn)題的地理平臺(tái)。作為真實(shí)地圖的簡(jiǎn)化，在本頁(yè)結(jié)構(gòu)圖中僅保留了與上述問(wèn)題有關(guān)的地區(qū)，以及相關(guān)內(nèi)容：道路、公交車站、出租車站、自駕車停車場(chǎng)、地鐵、餐飲部門等。并在答卷論文中明確回答以下必答問(wèn)題： 1. 假

8、定每位觀眾出行平均兩次，一次為進(jìn)出場(chǎng)館，一次為餐飲。并且出行均采取最短路徑。請(qǐng)你依據(jù)附錄中給出的問(wèn)卷調(diào)查數(shù)據(jù)所反映的規(guī)律，測(cè)算圖中20個(gè)商區(qū)內(nèi)人流量分布（用百分比）。 2. 請(qǐng)你設(shè)計(jì)ms類型（可以分兩種大小不同規(guī)模）， 在20個(gè)商區(qū)內(nèi)的分布（每個(gè)商區(qū)內(nèi)不同類型ms的個(gè)數(shù)），以滿足“題目描述”中的三個(gè)基本要求。 3闡明你的方法的科學(xué)性和結(jié)果是貼近實(shí)際的。 問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 對(duì)結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)明的比賽場(chǎng)館周邊地區(qū)規(guī)定的商區(qū)（地圖上標(biāo)有a、b、c及編號(hào)的黃色填充的區(qū)域）內(nèi)設(shè)計(jì)網(wǎng)點(diǎn)。原型的目的：原型的目的：在奧運(yùn)館場(chǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)臨時(shí)小超市（ms）分析結(jié)構(gòu)并抽象出專業(yè)模型：分析結(jié)構(gòu)并抽象出專業(yè)模型：1）對(duì)于設(shè)計(jì)環(huán)境抽

9、象出與目的有關(guān)的館場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖。2）抽取影響設(shè)計(jì)ms的主要因素：人流量，因此在以上館場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖中，應(yīng)該存在一個(gè)人流分布結(jié)構(gòu)。3）理解設(shè)計(jì)的三條原則：滿足購(gòu)物需求、商業(yè)上贏利、分布均衡。實(shí)質(zhì)上是在以上兩種結(jié)構(gòu)之上加上限制性結(jié)構(gòu)約束。用自然語(yǔ)言表述了原型及目的涉及的結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，這種專業(yè)模型實(shí)際上在題目中已經(jīng)給出，只要理解并再清楚地表述。建立數(shù)學(xué)模型：建立數(shù)學(xué)模型：總體模型和每個(gè)部分的具體模型總體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型：總體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型：調(diào)查數(shù)據(jù) 人流動(dòng)的一般規(guī)律（數(shù)據(jù)模型）規(guī)律發(fā)現(xiàn)+館場(chǎng)平面結(jié)構(gòu)人流量在館場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖中的分布 （網(wǎng)絡(luò)流模型）三條原則的數(shù)學(xué)模型（約束條件）+有約束的整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題各個(gè)部分的

10、數(shù)學(xué)模型各個(gè)部分的數(shù)學(xué)模型1）人流動(dòng)的一般規(guī)律的數(shù)據(jù)模型：用數(shù)據(jù)挖掘方法，可以找出全部二維和三維關(guān)聯(lián)規(guī)則，得到數(shù)據(jù)模型。2）將館場(chǎng)平面結(jié)構(gòu)圖和數(shù)據(jù)模型可以建立由連通道路組成的網(wǎng)絡(luò)流模型，進(jìn)而計(jì)算出每個(gè)商區(qū)的人流量分布。3）建立三項(xiàng)原則的數(shù)學(xué)模型：滿足需求和商業(yè)贏利都容易用數(shù)學(xué)表示。均衡性是十分靈活的特別體現(xiàn)“淺無(wú)邊，深無(wú)底”的命題指導(dǎo)思想。4）最后給出整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。本問(wèn)題的解決過(guò)程基本上劃分為三個(gè)部分： a出行規(guī)律的數(shù)據(jù)模型的建立出行規(guī)律的數(shù)據(jù)模型的建立 這一部分的目的是通過(guò)對(duì)三次問(wèn)卷調(diào)查給出的一萬(wàn)條記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、匯總計(jì)算，給出出行與不同類型人流的分布關(guān)系，將這些關(guān)系數(shù)據(jù)組成盡可能全面反

11、應(yīng)相關(guān)規(guī)律的數(shù)據(jù)系統(tǒng)。對(duì)三次調(diào)查的規(guī)律一致性給予充分關(guān)注，認(rèn)為一致性規(guī)律才是一般性規(guī)律，這是很重要的一步分析。 在分析不同的出行與不同類型的人流相關(guān)聯(lián)時(shí)，最簡(jiǎn)單的是采用直觀選擇可能的相關(guān)性使用統(tǒng)計(jì)相關(guān)分析進(jìn)行計(jì)算。主要的關(guān)系都能計(jì)算出，但往往不夠完整，其中性別與年齡段對(duì)出行方式的考慮不足，由于性別對(duì)與出行方式中存在著相關(guān)性（例如女性乘出租與私車比例較高），這一條比較容易忽略的規(guī)則對(duì)計(jì)算結(jié)果是有影響的。因?yàn)橐话愕慕y(tǒng)計(jì)方法需要確定相關(guān)性的對(duì)象，依賴直觀的相關(guān)屬性的選擇，是造成不夠完善的一個(gè)原因。使用系統(tǒng)的數(shù)據(jù)挖掘方法，挖掘出所有二維屬性相關(guān)值，計(jì)算出支持度與置性度，才給出完整的數(shù)據(jù)模型。 共106

12、00條記錄，分三次獲得。第一次為3500條；第二次為3200條；第三次為3900條。與人流量相關(guān)的規(guī)則，其平均比率如下：1、性別男：5549條 （52.3） 女：5051 條（47.7）2、年齡：（男女比例基本上為1：1）20以下：1174人（11.1),2030：6150人（58%）,3050：2139人（20.2%）50以上：1137人（10.7）3、交通數(shù)據(jù)公交：3602人（34）,公交（南北）：1774人； 公交（東西）：1828人 地鐵：4030人（38）, 地鐵（東）：2006人； 地鐵（西）：2024人 出租車：2010人（19）(男：女1：2) 私車：958人（9）(男：女1：

13、2) 20歲以下（1174）2 0 3 0（6150）3 1 5 0（2139）5 0 歲 以 下（1137）中餐123人（10.5）992（16.2）807（37.7）460（40.5）西餐552人（47）3809（61.9）894（41.8）312（27.4）超 市 （ 購(gòu)物）499人（42.5）1349（21.9）438（20.5）365（32.1）就餐數(shù)據(jù)： 購(gòu)物欲：消費(fèi)額20歲以下（1174）2 0 3 0（6150）3 1 5 0（2139）5 0 歲 以 上（1137）0-50040（3.4%）69（1.1%）44（2.1%）53（4.7%）500-1000101（8.6%）22

14、2（3.6%）118（5.5%）551（48.5%）1000-1500478（40.6%）445（7.2%）119（5.6%）332（29.2%）1500-2000394（33.6%）372（6.1%）199（9.3%）139（12.2%）2000-2500131（11.2%）2316（37.7%）1344（62.8%）42（3.7%）2500-300030（2.6%）2726（44.3%）315（14.7%）20（1.8%）性別與消費(fèi)額：消費(fèi)額男（5549）女（5051） 0-500105（1.9%）101（2%）500-1000734（13.2%）258（5.1%）1000-1500823

15、（14.8%）551（10.9%）1500-2000726（13.1%）378（7.5%）2000-25003034（54.7%）799（15.8%）2500-3000127（2.3%）2964（58.7%）b、建立數(shù)學(xué)模型來(lái)確定人流量分布數(shù)據(jù)模型數(shù)學(xué)建模中概念的清楚的定義是很重要的，是否注意到人流量是與購(gòu)物量是不同的概念，可以通過(guò)購(gòu)物欲的數(shù)據(jù)，把人流量轉(zhuǎn)變?yōu)橘?gòu)物量。但是“人流”本身也應(yīng)該有明確的定義，因?yàn)樾詣e不同和年齡段不同造成出行方式的差別和購(gòu)物欲的差別。因此，將男女性別的人不加區(qū)分地統(tǒng)稱為“人”的理解造成計(jì)算上的誤差。在計(jì)算人流分布（或購(gòu)物量分布）的方法上，可以構(gòu)造許多創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)模型。

16、例如畫出路徑的網(wǎng)絡(luò)圖，確定最短路徑是最普遍使用的方法；對(duì)路口節(jié)點(diǎn)的分析是很貼近人們出行與購(gòu)物習(xí)慣的；利用了矩陣表示商區(qū)節(jié)點(diǎn)與出行目標(biāo)之間關(guān)系數(shù)據(jù)，從而使計(jì)算變得簡(jiǎn)便等等。特別是構(gòu)造電路模型或水流模型，用于計(jì)算人流分布，這種方法實(shí)際上就是網(wǎng)絡(luò)流模型的一些變形和形象化，也可以取得很好的效果。還可以特色地引入購(gòu)物心理學(xué)，適當(dāng)?shù)匦拚齼H用商圈概念的簡(jiǎn)單模型，得到一些求人流量的公式，對(duì)于更廣泛的應(yīng)用是有意義的。人流分布概率的方法也是普遍有用的，應(yīng)當(dāng)說(shuō)是取得好效果的重要方法。使用直觀的圖形與表格進(jìn)行分析也是很重要的方法等等。項(xiàng)目地區(qū)12345678910合計(jì)a區(qū)（男）6%3.33.74.35.5135.54

17、.33.73.352.6a區(qū)（女）6.33.33.53.94.610.54.63.93.53.347.4b區(qū)（男）7.35.68.66.37.317.3 52.4b區(qū)（女）6.45.4966.414.4 47.6c區(qū)（男）9.199.325.1 52.5c區(qū)（女）8.49.68.620.9 47.5 假設(shè)不考慮年齡段的因素，簡(jiǎn)化地只考慮性別、飲食習(xí)慣、出行方式三維關(guān)聯(lián)規(guī)則，從而確定各商區(qū)的人流分布百分比如下： 這一部分的目標(biāo)很明確，根據(jù)人流量分布，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)規(guī)劃模型，解出商店的最優(yōu)分布。但是，建模的方法很多，思想也各不相同?？梢杂蒙虡I(yè)盈利的要求設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)使其達(dá)到最大。也可以先計(jì)算出每個(gè)商

18、區(qū)的最大消費(fèi)額，然后在達(dá)到最大消費(fèi)額條件下求成本最小作為優(yōu)化目標(biāo)。在目標(biāo)函數(shù)選擇上，這兩類方法各有千秋。在建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型中，最困難的是如在建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型中，最困難的是如何為滿足何為滿足“均衡均衡”性要求而表達(dá)約束條件，這是本題在設(shè)計(jì)時(shí)性要求而表達(dá)約束條件，這是本題在設(shè)計(jì)時(shí)留下的難點(diǎn)，反映留下的難點(diǎn)，反映“深無(wú)底深無(wú)底”的命題特色。的命題特色。在眾多參賽論文中主要使用的是限制性約束條件，例如限制在每個(gè)商區(qū)的ms最多個(gè)數(shù)與最少個(gè)數(shù)之差達(dá)到極小的約束，這樣的規(guī)劃問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，也能得到比較符合實(shí)際的分布，但是對(duì)于商圈數(shù)量較大或情況比較復(fù)雜的問(wèn)題，這類約束的想法顯得過(guò)于簡(jiǎn)單。 c、建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 原始分布改變后分布沙堆模型的平衡效果沙堆模型的平衡效果分布均衡改變后分布原始分布沙堆模型的平衡效果沙堆模型的平衡效果改變后分布原始分布沙堆模型的平衡效果沙堆模型的平衡效果沙堆模型的規(guī)劃模型沙堆模型的規(guī)劃模型1min( 1* 12* 2 )n