2015年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教案：2.11導(dǎo)數(shù)的概念與運算

1、第二章函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第11課時導(dǎo)數(shù)的概念與運算(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)2829頁)考情分析考點新知 導(dǎo)數(shù)的概念及其運算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考重點考查的對象，主要考查求導(dǎo)數(shù)的基本公式和法則. 對導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查幾乎年年都有，往往以導(dǎo)數(shù)幾何意義為背景設(shè)置成導(dǎo)數(shù)與解析幾何的簡單綜合 了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 能根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1. (選修22P7例4改編)已知函數(shù)f(x)1，則f(x)在區(qū)間1，2，上的平均變化率分別為_答案：，2解析：；2.2. (選修22P12練習(xí)2改編)一個物體的運動方程為s1tt2，其中s的單位是m，t的

2、單位是s，那么物體在3 s末的瞬時速度是_m/s.答案：5解析：s(t)2t1，s(3)2×315.3. (選修22P26習(xí)題5)曲線yxcosx在x處的切線方程為_答案：xy0解析：設(shè)f(x)xcosx，則fsin1，故切線方程為yx，化簡可得xy0.4. (選修22P26習(xí)題8)已知函數(shù)f(x)，則f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)_答案：- 1 - / 11解析：由f(x)，得f(x).5. (選修22P20練習(xí)7)若直線yxb是曲線ylnx(x>0)的一條切線，則實數(shù)b_答案：ln21解析：設(shè)切點(x0，lnx0)，則切線斜率k，所以x02.又切點(2，ln2)在切線yxb上，所

3、以bln21.1. 平均變化率一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率為2. 函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0(a，b)，當x無限趨近于0時，比值_，無限趨近于一個常數(shù)A，則稱f(x)在點xx0處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在點xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義就是曲線f(x)在點(x0，f(x0)的切線的斜率4. 導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))若f(x)對于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點都可導(dǎo)，則f(x)在各點的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f(x)5. 基本初等函

4、數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1) C0 (C為常數(shù))；(2) (xn)nxn1；(3) (sinx)cosx；(4) (cosx)sinx；(5) (ax)axlna(a>0且a1)；(6) (ex)ex；(7) (logax)logae_(a>0，且a1)；(8) (lnx).6. 導(dǎo)數(shù)的四則運算法則若u(x)，v(x)的導(dǎo)數(shù)都存在，則(1) (u±v)u±v；(2) (uv)uvuv；(3) ；(4) (mu)mu (m為常數(shù))備課札記題型1平均變化率與瞬時變化率例1某一運動物體，在x(s)時離出發(fā)點的距離(單位：m)是f(x)x3x22x.(1) 求在第1s內(nèi)的平均速度

5、；(2) 求在1s末的瞬時速度；(3) 經(jīng)過多少時間該物體的運動速度達到14m/s ?解：(1) 物體在第1 s內(nèi)的平均變化率(即平均速度)為 m/s.(2) 63x(x)2.當x0時，6，所以物體在1 s末的瞬時速度為6m/s.(3) 2x22x2(x)22x·xx.當x0時，2x22x2，令2x22x214，解得x2 s，即經(jīng)過2 s該物體的運動速度達到14 m/s.在F1賽車中，賽車位移與比賽時間t存在函數(shù)關(guān)系s10t5t2(s的單位為m，t的單位為s)求：(1) t20s，t0.1s時的s與；(2) t20s時的瞬時速度解：(1) ss(20t)s(20)10(200.1)5

6、(200.1)210×205×20221.05 m.210.5 m/s.(2) 由導(dǎo)數(shù)的定義，知在t20s的瞬時速度為v(t)5t10t10.當t0，t20 s時，v 10×2010210 m/s.答：t20s，t0.1 s時的s為21.05 m，為210.5 m/s，即在t20s時瞬時速度為210 m/s.題型2利用導(dǎo)數(shù)公式、求導(dǎo)法則求導(dǎo)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) yx3；(2) yexlnx；(3) ytanx；(4) yx；(理)(5) y.解：(1) yx3x2.(2) yex.(3) y.(4) y3x2.(5) y.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y(2x23

7、)(3x2)；(2) y；(3) y；(4) yxsincos；(理)(5) y2xln(15x)解：(1) y18x28x9；(2) y；(3) y；(4) y1cosx；(5) y2xlnx.題型3利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題例3已知函數(shù)f(x)，且f(x)的圖象在x1處與直線y2相切(1) 求函數(shù)f(x)的解析式；(2) 若P(x0，y0)為f(x)圖象上的任意一點，直線l與f(x)的圖象切于P點，求直線l的斜率k的取值范圍解：(1) 對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f(x). f(x)的圖象在x1處與直線y2相切， 即 a4，b1， f(x).(2) f(x)， 直線l的斜率kf(x0)4，令t，t(

8、0，1，則k4(2t2t)82， k.(1) 已知曲線yx3，求曲線過點P(2，4)的切線方程；(2) 求拋物線yx2上點到直線xy20的最短距離解：(1) 設(shè)曲線yx3與過點P(2，4)的切線相切于點A，則切線的斜率kx，切線方程為yx(xx0)，即yxxx.因為點P(2，4)在切線上，所以42xx，即x3x40，解得x01或x02，故所求的切線方程為4xy40或xy20.(2) 由題意得，與直線xy20平行的拋物線yx2的切線對應(yīng)的切點到直線xy20距離最短，設(shè)切點為(x0，x)，則切線的斜率為2x01，所以x0，切點為，切點到直線xy20的距離為d.1. (2013·大綱)已知

9、曲線yx4ax21在點(1，a2)處切線的斜率為8，則a_答案：6解析：y4x32ax，由題意，ky|x142a8，所以a6.2. (2013·南通一模)曲線f(x)exf(0)xx2在點(1，f(1)處的切線方程為_答案：yex解析：由已知得f(0)， f(x)exxx2， f(x)exx， f(1)e1，即f(1)e，從而f(x)exxx2，f(x)ex1x， f(1)e，f(1)e，故切線方程為ye(x1)，即yex.3. (2013·南京三模)記定義在R上的函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)如果存在x0a，b，使得f(b)f(a)f(x0)(ba)成立，則稱x0為函數(shù)

10、f(x)在區(qū)間a，b上的“中值點”，那么函數(shù)f(x)x33x在區(qū)間2，2上“中值點”的個數(shù)為_答案：2解析：f(2)2，f(2)2，1，f(x)3x231，得x±2，2，故有2個4. (2013·鹽城二模)若實數(shù)a、b、c、d滿足1，則(ac)2(bd)2的最小值為_答案：(1ln2)2解析： 1， ba22lna，d3c4， 點(a，b)在曲線yx22lnx上，點(c，d)在曲線y3x4上，(ac)2(bd)2的幾何意義就是曲線yx22lnx到曲線y3x4上點的距離最小值的平方考查曲線yx22lnx(x>0)平行于直線y3x4的切線， y2x，令y2x3，解得x2，

11、 切點為(2，42ln2)，該切點到直線y3x4的距離d就是所要求的兩曲線間的最小距離，故(ac)2(bd)2的最小值為d2(1ln2)2.1. 已知函數(shù)f(x)exf(0)xx2，則f(1)_答案：e解析：由條件，f(0)e0f(0)×0×021，則f(x)exxx2，所以f(x)ex1x，所以f(1)e111e.2. 已知曲線C1：yx2與C2：y(x2)2，直線l與C1、C2都相切，則直線l的方程是_答案：y0或y4x4解析：設(shè)兩個切點的坐標依次為(x1，x)，(x2，(x22)2)，由條件，得解得或從而可求直線方程為y0或y4x4.3. 已知函數(shù)f(x)xlnx，過

12、點A作函數(shù)yf(x)圖象的切線，則切線的方程為_答案：xy0解析：設(shè)切點T(x0，y0)，則kATf(x0)， lnx01，即e2x0lnx010，設(shè)h(x)e2xlnx1，當x>0時h(x)>0， h(x)是單調(diào)遞增函數(shù)， h(x)0最多只有一個根又he2×ln10， x0.由f(x0)1得切線方程是xy0.4. 已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)ax2bx(a0)，設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于兩點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸垂線分別交C1、C2于點M、N，問是否存在點R，使C1在點M處的切線與C2在點N處的切線互相平行？若存在，求出點R的橫坐

13、標；若不存在，請說明理由解：設(shè)點P、Q的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，且0x2x1，則點M、N的橫坐標均為. C1在點M處的切線斜率為k1|x，C2在點N處的切線斜率為k2axb|xb，假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線互相平行，則k1k2，即b. P、Q是曲線C1、C2的交點， 兩式相減，得lnx1lnx2，即lnx1lnx2(x1x2)， lnx1lnx2，即ln.設(shè)u1，則lnu，u1(*)令r(u)lnu，u1，則r(u). u1， r(u)0， r(u)在(1，)上單調(diào)遞增，故r(u)r(1)0，則lnu，這與上面(*)相矛盾，所以，故假設(shè)不成立故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有兩種方法，一是利用導(dǎo)數(shù)定義，這種方法雖然比較復(fù)雜，但需要了解；二是利用導(dǎo)數(shù)公式和運算法則求導(dǎo)數(shù)，這是求函數(shù)導(dǎo)數(shù)