加菲爾德構(gòu)圖在中考中的應(yīng)用

1、加菲爾德圖形在中考中的應(yīng)用記一節(jié)中考第二輪專題復(fù)習(xí)課我很有幸在2012年5月下旬接到通知參加浙江省溫嶺市教育局組織的優(yōu)秀教師送教下鄉(xiāng)活動(dòng)，活動(dòng)的主題是“如何提高初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試水平之復(fù)習(xí)課例研究”，溫嶺市數(shù)學(xué)教研員丁老師要求我上一節(jié)中考復(fù)習(xí)課。眾所周知，上好一節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是比較困難的，尤其是中考復(fù)習(xí)課，我平時(shí)開公開課也是盡量避免選擇復(fù)習(xí)課，在接到通知時(shí)，我雖然很是猶豫、內(nèi)心底氣不足，但我覺得這也是鍛煉自己的絕佳機(jī)會(huì)。這次活動(dòng)讓我直面如何上好中考復(fù)習(xí)課，經(jīng)歷了選課題、備課、磨課、上課、評(píng)課，讓我頗有心得收獲，于是我把在當(dāng)時(shí)的備課和磨課的過程特作以下記錄。1 選題到每年的5月中旬，根據(jù)各個(gè)學(xué)校九年

2、級(jí)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)第二輪的復(fù)習(xí)教學(xué)已經(jīng)到了尾聲，還有三至四個(gè)星期的時(shí)間即將迎來中考。當(dāng)我接到通知的時(shí)候，感覺最困難棘手的事情就是：第二輪專題復(fù)習(xí)都差不多結(jié)束了，在大量中考復(fù)習(xí)用書中編訂的第二輪復(fù)習(xí)內(nèi)容之外，還可以選什么內(nèi)容當(dāng)復(fù)習(xí)主題呢？ 首先我翻閱各種版本的中考復(fù)習(xí)用書，很失望地發(fā)現(xiàn)這些書中第二輪復(fù)習(xí)的專題課題基本上都一樣，該上的內(nèi)容當(dāng)時(shí)九年級(jí)的數(shù)學(xué)老師也已經(jīng)都上過了，我實(shí)在不知道該選什么內(nèi)容好。于是我又去學(xué)校圖書室翻閱數(shù)學(xué)期刊，期望在那里發(fā)現(xiàn)同行們有關(guān)中考復(fù)習(xí)的一些新觀點(diǎn)。結(jié)果沒有讓我失望，我在一本數(shù)學(xué)雜志中發(fā)現(xiàn)了一篇文章，題目就是：加菲爾德圖形在中考中的應(yīng)用。一些同行會(huì)在數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表自己

3、獨(dú)特的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、教學(xué)構(gòu)思等等，我覺得平時(shí)翻看總會(huì)有些收獲。這次我也算是應(yīng)了“柳暗花明又一村”這句詩(shī)了，從這篇文章中得到了啟發(fā)后，我再在學(xué)校數(shù)學(xué)組長(zhǎng)和備課組長(zhǎng)的提醒下，發(fā)現(xiàn)加菲爾德證明勾股定理時(shí)采用的構(gòu)圖（見ppt1），不僅在書本（新人教版八年級(jí)第18章、第19章，九年級(jí)第27章）中的習(xí)題中出現(xiàn),還在課外習(xí)題、甚至在中考題中常會(huì)以顯性或者隱形地存在，依據(jù)這個(gè)幾何構(gòu)圖所編的數(shù)學(xué)題基本上都是要求學(xué)生用“相似”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)加以解決的。細(xì)想教材改革后的中考試卷的變化，圓部分的考題被大大地削弱，“相似”現(xiàn)在已成了數(shù)學(xué)中考里的考試熱點(diǎn)，近幾年中考卷中“相似”都占較大的分值。我認(rèn)為在當(dāng)前的中考形式下，很有必要將

4、這個(gè)幾何構(gòu)圖形成一個(gè)中考復(fù)習(xí)專題。而且，這個(gè)內(nèi)容在任何的中考復(fù)習(xí)用書中都是沒有的，也算是極具新意又切合中考熱點(diǎn)的一個(gè)專題。因?yàn)樵摌?gòu)圖來自于加菲爾德證明勾股定理時(shí)所采用的圖形，所以我就定送教下鄉(xiāng)的中考復(fù)習(xí)課題為：加菲爾德圖形在中考中的應(yīng)用。2 教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介確定了課題之后，我就著手設(shè)計(jì)教學(xué)過程。我把經(jīng)過多次磨課修改后的教學(xué)設(shè)計(jì)作一下簡(jiǎn)單介紹。 關(guān)于這節(jié)專題課，我將教學(xué)目標(biāo)定位在：1、 學(xué)生認(rèn)識(shí)加菲爾德圖形、掌握加菲爾德圖形的基本結(jié)論。2、 學(xué)生會(huì)提取加菲爾德圖形，構(gòu)造加菲爾德圖形，利用它的基本結(jié)論作為解題突破口。3、 學(xué)生要善于總結(jié)并靈活運(yùn)用中考題中常見的基本構(gòu)圖及其結(jié)論。 教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)生認(rèn)識(shí)加菲

5、爾德圖形及其基本結(jié)論，體驗(yàn)其在中考中的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：當(dāng)數(shù)學(xué)題中沒有顯性的加菲爾德圖形時(shí)，學(xué)生要會(huì)依據(jù)加菲爾德圖形的特征去構(gòu)造加菲爾德圖形再解題。（見ppt2） 在課堂設(shè)計(jì)中，我首先由數(shù)學(xué)史背景引入，師生先一起回顧勾股定理的加菲爾德證法，讓學(xué)生知道課題的來源。再教師點(diǎn)明課堂主題：學(xué)習(xí)加菲爾德證明勾股定理時(shí)采用的圖形,以及它在中考中的應(yīng)用。(見ppt3-4)接著，為了方便課堂教學(xué)，我給這個(gè)構(gòu)圖一個(gè)名稱：加菲爾德圖形。然后，我讓學(xué)生說說這個(gè)圖形的特點(diǎn)。接著，教師帶領(lǐng)學(xué)生探究加菲爾德圖形能推出哪些結(jié)論，將最初的ABC與BED全等推廣到ABC與BED相似，進(jìn)而得到am=bn ，可讓學(xué)生適當(dāng)?shù)挠洃洖閮韶Q

6、線段之積等于兩橫線段之積。(見ppt5-6)在學(xué)生認(rèn)識(shí)加菲爾德圖形、掌握加菲爾德圖形的基本結(jié)論之后，我設(shè)計(jì)了例題和練習(xí)來鍛煉學(xué)生的應(yīng)用能力。(見ppt7-13) 例題1翻折問題經(jīng)常在中考題中出現(xiàn)，這個(gè)例題以翻折為背景，先引導(dǎo)學(xué)生抓住加菲爾德圖形的特征在題中的圖形中提煉出加菲爾德圖形，再運(yùn)用加菲爾德圖形的結(jié)論解題。例題2是動(dòng)點(diǎn)問題,也是中考熱點(diǎn)考題,再次訓(xùn)練學(xué)生提煉加菲爾德圖形解題。接下來是思考,該思考題是在前面兩題的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入探究：在ABBC，EC BC的構(gòu)圖基礎(chǔ)上，是否總在BC上存在點(diǎn)F,使AFE=900，若存在，則有幾個(gè)這樣的點(diǎn)F?通過思考解決由加菲爾德圖形延伸出的一些問題，可更好地讓

7、學(xué)生掌握加菲爾德圖形的相關(guān)知識(shí)。例題之后，我再挑選了幾題中考題作為實(shí)戰(zhàn)演練。練習(xí)1和練習(xí)2中存在顯性的加菲爾德圖形，繼續(xù)訓(xùn)練學(xué)生提煉加菲爾德圖形再解題，練習(xí)3是這三題練習(xí)中最為重要的，它要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)分析過程中的隱性的加菲爾德圖形，會(huì)構(gòu)造加菲爾德圖形從而解題。如果學(xué)生在練習(xí)中能快速根據(jù)加菲爾德圖形的特征去構(gòu)造加菲爾德圖形解題，那么本節(jié)課的學(xué)習(xí)就是成功的。最后是課堂小節(jié)。(見ppt14)3 磨課過程這節(jié)課我總共進(jìn)行了三次課堂教學(xué)，前兩次試上課，最后一次正式送教上課，每一次總是有著缺陷和遺憾，但是每一次都有著進(jìn)步與收獲。第一次試上課我的同事們來聽課，這是我第一次對(duì)同事展示以復(fù)習(xí)課為主題的公開課，當(dāng)時(shí)

8、我上的一塌糊涂。我的課堂講解拖沓、繁瑣，課堂設(shè)計(jì)的個(gè)別環(huán)節(jié)時(shí)間安排不夠合理，我在課堂中就題而題，沒有強(qiáng)調(diào)突出解題數(shù)學(xué)思想，根本沒有意識(shí)到復(fù)習(xí)課里應(yīng)該讓學(xué)生在做題的基礎(chǔ)上上升一個(gè)臺(tái)階。第一次試上課的失敗就是因?yàn)槲移綍r(shí)怕上復(fù)習(xí)課，自己刻意回避著，也沒有好好去琢磨如何去上好復(fù)習(xí)課，這樣的經(jīng)歷不得不鞭策著我前進(jìn)。同事們對(duì)我提出了很多指正意見，我自己作了思考和調(diào)整，然后請(qǐng)數(shù)學(xué)教研員丁老師來聽我的第二次試上課。第二次試上課雖然不象第一次試上課那樣糟糕，但是我無論在設(shè)計(jì)上還是講課上還是存在很多的問題。丁老師在聽課后很耐心地指出如何改正教案設(shè)計(jì)上的不足，關(guān)于如何上好一節(jié)復(fù)習(xí)課，講課教師該注意什么,他提出了很多

9、寶貴的意見，對(duì)于平時(shí)缺乏思考的我真的收益匪淺、學(xué)到了很多。之后我又進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)上的修改,主要有三處： 1、在第二次試上課的時(shí)候（見ppt15），我在回顧勾股定理的加菲爾德證法后，對(duì)學(xué)生介紹加菲爾德圖形，直接就在課件上給出：ABBD，ED BD，AC CE，然后問學(xué)生該圖形能得出什么結(jié)論？最終的教學(xué)安排是（見ppt5-6）：我在回顧勾股定理的加菲爾德證法后，對(duì)學(xué)生介紹加菲爾德圖形，然后我讓學(xué)生在此處作一個(gè)停頓思考，思考這個(gè)圖形有何特征？這個(gè)環(huán)節(jié)其實(shí)是例題之前知識(shí)點(diǎn)講解的重中之重，要想讓學(xué)生學(xué)會(huì)在幾何題中提煉或構(gòu)造加菲爾德圖形，必須深刻地認(rèn)識(shí)它的結(jié)構(gòu)特征，而我最早的設(shè)計(jì)就直接地塞給了學(xué)生三垂足共

10、線的特征，根本沒有讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)去思考，這對(duì)于學(xué)生把握加菲爾德圖形特征進(jìn)行知識(shí)遷移解例題和練習(xí)會(huì)帶來障礙，這是我在試上課的課堂設(shè)計(jì)中最不合理之處。2、我在試上課的時(shí)候準(zhǔn)備的練習(xí)比最后正式上課的量多，最后教學(xué)設(shè)計(jì)里就例題1是翻折型的考題（見ppt7），但是我在第一次試上課的時(shí)候比最后上課多一個(gè)翻折型的選擇題（見ppt16），第一、二次試上課的還都有一個(gè)挑戰(zhàn)題（見ppt17），當(dāng)時(shí)覺得想讓學(xué)生多接觸中考題就不舍得扔。其實(shí)在兩次試上課的時(shí)候我是該講的沒好好講，不該講的倒是講得很辛苦，學(xué)生聽得也累，就這個(gè)挑戰(zhàn)題，難度比較大，在課堂最后講，效果約為零。3、我在第一、二次試上課的時(shí)候，例題是沒有分例1和例2

11、的（見ppt18），當(dāng)時(shí)想在解決完翻折型的這個(gè)例題后讓學(xué)生繼續(xù)思考，在原圖案上，讓點(diǎn)F 動(dòng)起來，再讓學(xué)生思考探討AFE能否成為90度的存在性問題。于是我在下一張ppt就這樣設(shè)計(jì)（見ppt19），但是試上課的結(jié)果讓我十分尷尬，學(xué)生因?yàn)槭艿角懊娣鄣挠绊?，?dāng)我問：當(dāng)點(diǎn)F在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí), AFE的大小會(huì)發(fā)生變化嗎?絕大部分學(xué)生就說沒有變化，使得我再三強(qiáng)調(diào)：同學(xué)們，我現(xiàn)在的條件改了!但很多學(xué)生仍很茫然。而且AFE能否成為90度的存在性問題探討得也不徹底。于是在和丁老師反復(fù)磨課討論后，我最后的設(shè)計(jì)就第一個(gè)例題就翻折型問題，第二個(gè)例題就動(dòng)點(diǎn)問題，兩者涇渭分明，免得學(xué)生分不清楚，之后的思考就結(jié)合方程思想、

12、數(shù)形結(jié)合思想分別從代數(shù)和幾何兩方面專門探討AFE能否成為90度的存在性問題（見ppt7-9）。最后正式送教的時(shí)候，我的上課還是留下較大的遺憾。我送教的學(xué)校是鄉(xiāng)下薄弱學(xué)校，這個(gè)我事先就知道，但是學(xué)生對(duì)于例題和練習(xí)的解決能力比我預(yù)期的還要低，使得課堂節(jié)奏不得不放慢，這樣就讓我講解練習(xí)3（見ppt13）的時(shí)間不夠多，大部分學(xué)生沒有足夠的時(shí)間去發(fā)現(xiàn)隱性的加菲爾德圖形，上來板演輔助線的優(yōu)秀的學(xué)生也沒有能將所有的情況寫出，令人遺憾。本來，能發(fā)現(xiàn)隱性的加菲爾德圖形、從而解出練習(xí)3該是檢驗(yàn)本節(jié)課是否成功的練習(xí)題，最終課堂出現(xiàn)這樣的情況讓我十分遺憾。這讓我又認(rèn)識(shí)到：即使是內(nèi)容一樣的一節(jié)課，也應(yīng)該因?yàn)榻淌趯?duì)象的不

13、同而有所不同的設(shè)計(jì)，因?yàn)榻處焸湔n要備的不僅是教材還要備學(xué)生。在整個(gè)磨課、上課、評(píng)課的過程中，我真學(xué)到了很多。說實(shí)話，整個(gè)備課和磨課過程很痛苦，讓我絞盡腦汁、思前想后，但同事和教研員的傾囊而授、同行的意見讓我體驗(yàn)到茅塞頓開的興奮。交流產(chǎn)生進(jìn)步，令我感激萬分。4 教后反思一般的教師對(duì)于一節(jié)的新授課會(huì)有明確的教學(xué)目標(biāo)，對(duì)于復(fù)習(xí)課，卻沒有作太多的設(shè)計(jì)與思考，往往就是讓復(fù)習(xí)課成為一節(jié)習(xí)題課，講講題目做做題目，雖然有量但是質(zhì)卻不高。我其實(shí)也是在說我自己，之前的很多復(fù)習(xí)課我都是這樣過的。經(jīng)過這次的送教活動(dòng)，我有以下的體會(huì)：首先在備復(fù)習(xí)課的時(shí)候，講課教師必須清楚這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重、難點(diǎn)，尤其是中考復(fù)習(xí)課

14、，更要結(jié)合考點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)，參考往年中考題設(shè)計(jì)課堂例題和練習(xí)。在例題和練習(xí)講解的時(shí)候，一定要注重解題方法和數(shù)學(xué)思想的總結(jié)，教師要思考如何有效地在課堂中提高學(xué)生的學(xué)業(yè)考試水平。其次，我以前和很多老師一樣，總是覺得在中考復(fù)習(xí)的課堂里，盡量讓學(xué)生多做題，覺得這道題不錯(cuò)，那道題也好，不舍得扔，沒有抓好典型例題的設(shè)計(jì)，為了多說題而盡量壓縮復(fù)習(xí)課堂開始時(shí)對(duì)要回顧或者教授的知識(shí)點(diǎn)的講解，有時(shí)候甚至匆匆一帶而過。這里我深深地記得丁老師在磨課的時(shí)候?qū)ξ艺f的話：知識(shí)的生成與教授不可急，學(xué)生若是沒有切實(shí)地理解和掌握好它，那么教師設(shè)計(jì)再多的例題和練習(xí)也是徒勞的。確實(shí)，復(fù)習(xí)課的知識(shí)點(diǎn)若是沒有講透，學(xué)生腦中對(duì)它就

15、不會(huì)產(chǎn)生深刻的印象，在課堂中學(xué)生遇到各種類型的練習(xí)也不容易產(chǎn)生思維遷移。故在課堂中，知識(shí)要講透，例題要精不要多。最后，針對(duì)我的這節(jié)課，當(dāng)時(shí)評(píng)課的時(shí)候，就有同行提出：是否圖形太過單調(diào)，三垂足共線還可以拓展到三等角頂點(diǎn)共線，為什么不在課堂上再作拓展呢？該同行說的，我在實(shí)際教學(xué)中是思考過的，三垂足共線和三等角頂點(diǎn)共線的中考題都是以相似為基礎(chǔ)，以它們?yōu)楸尘暗闹锌碱}是很多的。我認(rèn)為這既是一個(gè)中考熱點(diǎn)，就要細(xì)講， 我在實(shí)際教學(xué)中，編排了兩個(gè)課時(shí)，在第一課時(shí)（加菲爾德圖形在中考中的應(yīng)用）上完之后，第2課時(shí)專門講（m型圖形在中考中的應(yīng)用）（見ppt20），讓學(xué)生體會(huì)圖形的變式和解題思想的不變。在上半年的中考模擬考中，有幾題壓軸題是以m型圖形作為背景的，一些學(xué)生在考后都紛紛和我說：老師，這道題又可以用加菲貓解決的，真是太簡(jiǎn)單了。他們?cè)谖抑v課后已經(jīng)把加菲爾德圖形起了個(gè)綽號(hào)叫加菲貓。聽了他們的話我感覺十分的