2022年輔導(dǎo)八：銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)銳角 三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與訓(xùn)練1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。222cba2、如下圖，在rtabc中， c為直角，則 a的銳角三角函數(shù)為( a可換成 b)：定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦斜邊的對(duì)邊aasincaasin1sin0a(a為銳角 ) bacossinbasincos1cossin22aa余弦斜邊的鄰邊aacoscbacos1cos0a(a為銳角 ) 正切的鄰邊的對(duì)邊atanaabaatan0tana(a為銳角 ) sina=cosa tana 3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、0、30、

2、 45、60、90特殊角的三角函數(shù)值( 重要)三角函數(shù)030456090sin02122231 cos12322210tan0 331 3- 5、正弦、余弦的增減性：當(dāng) 090時(shí)， sin隨的增大而增大， cos隨的增大而減小。 6、正切的增減性：當(dāng) 090時(shí)， tan隨的增大而增大，7、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個(gè)，其中必有一邊）所有未知的邊和角。依據(jù)：邊的關(guān)系：222cba；角的關(guān)系：a+b=90 ；邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。 (注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法) 8、應(yīng)用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。)90cos(sinaa)90sin(co

3、saabacossinbasincosa90b90得由ba對(duì)邊鄰邊斜邊a c b bac精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)仰角鉛垂線水平線視線視線俯角(2)坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做 坡度 (坡比 )。用字母i表示，即hil。坡度一般寫成1: m的形式，如1:5i等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做 坡角 )，那么tanhil。3、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。 如圖 3，oa 、 ob、oc、od 的方向角分別是：45、 13

4、5、 225。4、 指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角， 叫做方向角。 如圖 4,oa、ob、oc、od 的方向角分別是：北偏東45（東北方向），南偏東 45（東南方向） ，南偏西 45（西南方向） ，北偏西 45（西北方向） 。:ihlhl精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)類型一：直角三角形求值例 1已知 rtabc 中，,12,43tan,90bcac求 ac、ab 和 cosb例 2已知：如圖，o 的半徑 oa16cm，ocab 于 c 點(diǎn)，

5、43sinaoc求： ab 及 oc 的長例 3.已知a是銳角，178sin a，求acos，atan的值對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：1在 rtabc 中， c90 ，若 bc 1，ab=5，則 tana 的值為a55b2 55c12d2 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)2在abc 中， c=90 ，sina=53，那么 tana 的值等于（）. a35b. 45c. 34d. 43類型二 . 利用角度轉(zhuǎn)化求值：例 1已知：如圖，rt abc 中， c90 d 是 ac 邊上一點(diǎn)

6、， de ab 于 e 點(diǎn)deae12求： sinb、cosb、tanb例 2 如圖，直徑為10 的 a 經(jīng)過點(diǎn)(0 5)c，和點(diǎn)(0 0)o，與 x 軸的正半軸交于點(diǎn)d，b是 y 軸右側(cè)圓弧上一點(diǎn)，則cosobc 的值為（）a12b32c35d45對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 : 3.如圖，o是abc的外接圓，ad是o的直徑，若o的半徑為32，2ac，則sin b的值是（）adecbfa23b32c34d434. 如圖4，沿ae折疊矩形紙片abcd，使點(diǎn)d落在bc邊的點(diǎn)f處已知8ab，10bc，ab=8,則tanefc的值為 ( ) 34433545類型三 . 化斜三角形為直角三角形例 1 如圖，在 abc 中

7、， a=30 ， b=45 ，ac=23，求 ab 的長dcbaoyx第8題圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)例 2已知：如圖，在abc 中， bac120， ab10，ac5求： sinabc 的值對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1 如圖，在 rtabc 中，bac=90， 點(diǎn) d 在 bc 邊上，且 abd 是等邊三角形 若 ab=2 ，求 abc 的周長（結(jié)果保留根號(hào)）2已知：如圖，abc 中， ab9，bc 6， abc 的面積等于9，求 sinb3. abc 中， a=60，

8、 ab=6 cm，ac=4 cm，則 abc 的面積是a.23cm2b.43cm2 c.63cm2d.12 cm2 類型四：利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形例 1 如圖所示，abc 的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sina 的值為（）a12b55c1010d2 55對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)1如圖， abc 的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sin a =_. 2正方形網(wǎng)格中，aob如圖放置，則tanaob的值是（）a5 5b. 2 5 5c.12d. 2 類型五

9、:取特殊角三角函數(shù)的值1）. 計(jì)算：60tan45sin230cos22）計(jì)算：30cos245sin60tan2. 3)計(jì)算： 31+(2 1)033tan30 tan45 4)計(jì)算：030tan2345sin60cos2215)計(jì)算：tan45sin301cos60；類型六：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用例 1如圖，從熱氣球c 處測得地面a、b 兩點(diǎn)的俯角分別是30 、45 ，如果此時(shí)熱氣球c處的高度 cd 為 100 米，點(diǎn) a、d、b 在同一直線上，則ab 兩點(diǎn)的距離是（）a200 米b200米c220米d100（）米例 2已知：如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在a 點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，

10、梯子的頂端在 b 點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在d 點(diǎn)已知 bac60， daecbaa b o 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)45點(diǎn) d 到地面的垂直距離m23de，求點(diǎn) b 到地面的垂直距離bc例 3 如圖，一風(fēng)力發(fā)電裝置豎立在小山頂上，小山的高bd=30m 從水平面上一點(diǎn)c 測得風(fēng)力發(fā)電裝置的頂端a 的仰角 dca=60，測得山頂 b 的仰角 dcb=30，求風(fēng)力發(fā)電裝置的高ab 的長對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 : 1.如圖，為測量某物體ab 的高度，在 d 點(diǎn)測

11、得 a 點(diǎn)的仰角為30 ，朝物體 ab 方向前進(jìn)20米，到達(dá)點(diǎn)c，再次測得點(diǎn)a 的仰角為60 ，則物體 ab 的高度為（）a10米b10 米c20米d米2如圖，一艘海輪位于燈塔p 的南偏東45 方向，距離燈塔100 海里的 a 處，它 計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔p 的北偏東30方向上的 b 處. （1）b 處距離燈塔p 有多遠(yuǎn)？（2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于pb 的延長線上，距離燈塔200海里的o 處已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50 海里，進(jìn)入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險(xiǎn)請(qǐng)判斷若海輪到達(dá)b 處是否有觸礁的危險(xiǎn)，并說明理由精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

12、- - - 第 7 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)類型七 :三角函數(shù)與圓：例 1已知：如圖，bc是o的直徑，ac切o于點(diǎn)c，ab交o于點(diǎn)d，若addb2 3，ac 10，求 sinb的值例 2. 已知：在 o 中,ab 是直徑， cb 是 o 的切線，連接ac 與 o 交于點(diǎn) d,(1) 求證： aod= 2c (2) 若 ad=8 ，tanc=34，求 o 的半徑。對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 : 1.如圖， de 是 o 的直徑， ce 與 o 相切， e 為切點(diǎn) .連接 cd 交 o 于點(diǎn) b，在 ec 上取一個(gè)點(diǎn) f，使 ef=bf. （1）求證 :bf 是 o 的

13、切線 ;（2）若54ccos, de=9，求 bf 的長2已知：如圖，abc內(nèi)接于o，過點(diǎn)b作o的切線，交ca的延長線于點(diǎn)e，ebc2c求證：abac；若tan abe21， （）求bcab的值； （）求當(dāng)ac2 時(shí)，ae的長dboaccfdobe精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)題1.如圖4，沿ae折疊矩形紙片abcd，使點(diǎn)d落在bc邊的點(diǎn)f處已知8ab，10bc，ab=8,則tanefc的值為 ( ) 34433545圖 4 圖 5 圖 6 2.如圖5，在

14、直角坐標(biāo)系中，將矩形oabc沿ob對(duì)折，使點(diǎn)a落在1a處，已知3oa，1ab，則點(diǎn)1a的坐標(biāo)是（）3.如圖6，在等腰直角三角形abc中，90c，6ac，d為ac上一點(diǎn)，若1tan5dba，則ad的長為 ( ) a2 b2 c 1 d2 24.如圖 8，rt abc中，90c,d是直角邊ac上的點(diǎn)，且2addba, 15a，則bc邊的長為5.如圖 10，在矩形abcd中，e、f、g、h分別為ab、bc、cd、da的中點(diǎn)，若4tan3aeh，四邊形efgh的周長為40，則矩形abcd的面積為 _ 圖 8 6.如圖 12 所示，abc中，abac，bdac于d，6bc，12dcad，則cosc_7.

15、等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，則底角的余弦值為_. 8.等腰三角形的三邊的長分別為1、 1、3，那么它的底角為a.15b.30c.45d.609.abc 中， a=60， ab=6 cm，ac=4 cm，則 abc 的面積是a.23cm2 b.43cm2 c.63cm2d.12 cm2 圖 10 圖 12 adecbf精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)10.在菱形 abcd中，60abc，ac=4,則 bd的長是（）8 3a、4 3b、2 3c、8d、11.如圖，在 rt abc 中， c=90，ac=8， a 的平分線ad=3316求 b 的度數(shù)及邊 bc、ab 的長 . 12.在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，海桂學(xué)校初三數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)學(xué)生去測萬泉河河寬，如圖 13 所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)a處觀測到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn)c， 測得c在a北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20 米到達(dá)b處，測得c在b北偏西45的方向上， 請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助該同學(xué)計(jì)算出這條河的寬度（參考數(shù)值： tan