例談圓與圓的位置關(guān)系中輔助線的作法

1、1例談圓與圓的位置關(guān)系中輔助線的作法湯慧圓與圓的位置關(guān)系是初中幾何的重要內(nèi)容，解題中常需要添加一些必要的輔助線，通過作輔助線，往往能使問題化繁為簡(jiǎn)，化難為易。那么，添加輔助線有哪些規(guī)律呢？現(xiàn)以中考題為例進(jìn)行說明，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。一. 兩圓相交作公共弦，利用公共圓周角或圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)架設(shè)兩圓角的關(guān)系的橋梁，實(shí)現(xiàn)角的等量代換。例 1. （2003 年重慶市中考題）如圖1，已知 o1與 o2相交于a、 b 兩點(diǎn)， p 是o1上一點(diǎn)， pb 的延長(zhǎng)線交o2于 c，pa 交 o2于 d， cd 的延長(zhǎng)線交 o1于 n。過點(diǎn) a 作 ae/cn 交 o1于 e，求證 pape 連結(jié) pn，若 pb4

2、，bc2，求 pn 的長(zhǎng)。圖 1 分析：欲證pa pe，即證paee，連結(jié) ab，則 aepb 是 o1的內(nèi)接四邊形，故cbae又cbacdapdn因?yàn)?ae/cn 所以pdnpae因此paee，故papepbc，pda 為 o2的兩條割線，正好與pb、pc 有關(guān)，故找pd、pa、pn 的關(guān)系，連結(jié) an ，利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可證pdnpna得pnpbpc2故pn462 6二. 作相交兩圓的連心線，利用連心線垂直平分公共弦，通過構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)計(jì)算問題例 2. （ 1999 年錫山市中考題）o1和 o2相交于 a、b 兩點(diǎn)，兩圓半徑分別為6 2和4 3，公共弦長(zhǎng)為12，求o ao12的

3、度數(shù)。分析：圓心o1、o2可位于公共弦ab 的同側(cè)或異側(cè)。要求o ao12的度數(shù)，可利用角的和或差來求。（1）當(dāng)o1、o2位于 ab 異側(cè)時(shí)，如圖2，連結(jié) o1o2交 ab 于 c，則o oab12，分別在rt ao c1和rt ao c2中，利用銳角三角函數(shù)可求得o ac145，o ac2302圖 2 故o aoo aco ac121275（2）當(dāng) o1、o2位于 ab 同側(cè)時(shí)，如圖3，則圖 3 o aoo aco ac121215綜上可知，o ao1275或15三. 兩圓相切，作過切點(diǎn)的公切線，利用弦切角架設(shè)兩圓角的關(guān)系的橋梁例 3. （ 2004 年武漢市中考題）如圖4， o1和 o2內(nèi)

4、切于p 點(diǎn)，過 p 作直線交 o1于 a 點(diǎn)，交 o2于 b 點(diǎn)， c 為 o1上一點(diǎn)，過b 作 o2的切線交直線ac 于 q 點(diǎn)。（1）求證：ac aqap ab（2）若將兩圓內(nèi)切改為外切，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？畫出圖形并證明你的結(jié)論。圖 4 分析：（ 1）欲證ac aqap ab須證aqbacp，過 p 作內(nèi)公切線pt，連結(jié) pc 得3c，31，又12，從而可得2c，故abqacp，從而得證。（2）當(dāng) o1與 o2外切時(shí)，其他條件不變，（1）中結(jié)論仍然成立，方法是過p 作外公切線，推理過程類似，請(qǐng)同學(xué)們自己完成。點(diǎn)評(píng)：變換題設(shè)形成探索型試題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索得出結(jié)論是新課程

5、對(duì)學(xué)生的要求，也是中考命題的方向。其中第一問的證明方法是解決第二問的基礎(chǔ)，為第二問的證明提供了方向和方法，望同學(xué)們掌握這類題的證明方法。四. 有關(guān)公切線的計(jì)算，常平移公切線，組成以公切線，圓心距兩圓半徑差（或和）為三邊的直角三角形，通過解直角三角形來解決。例 4. （ 2004 年云南省中考題）如圖5， o1的半徑r16， o2的半徑r22，且兩3圓外切， ab 和 ac 是兩圓的外公切線，點(diǎn)b、c、d、e 分別是切點(diǎn)。求bac的度數(shù)；在線段o a2上存在以點(diǎn)o3為圓心，半徑為r3的圓，若o3與o2外切且ab和ac 是它們的外公切線，則稱o3為點(diǎn)o3圓，求o3圓的半徑。同上，設(shè)在線段o a3上的點(diǎn)o4圓的半徑為r4，線段o a4上的點(diǎn)o5圓的半徑為r5線段oan 1上的點(diǎn)on的圓的半徑為rn，求rn（用 n 表示）圖 5 分析：連結(jié)bo1和eo2，過o2作o fo b21于 f 則o o fbac1212在rt o o f12中，sinfo oo fo o21112所以sin126262121121212baco fo orrrr所以123060bacbac，同