2022年量子力學(xué)考試知識點

1、1 量子力學(xué)考試知識點第一章：緒論經(jīng)典物理學(xué)的困難考核知識點：（一） 、經(jīng)典物理學(xué)困難的實例（二） 、微觀粒子波粒二象性考核要求：（一） 、經(jīng)典物理困難的實例1. 識記：紫外災(zāi)難、能量子、光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)。2. 領(lǐng)會：微觀粒子的波粒二象性、德布羅意波。第二章：波函數(shù)和薛定諤方程考核知識點：（一） 、波函數(shù)及波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（二） 、含時薛定諤方程（三） 、不含時薛定諤方程考核要求：（一） 、波函數(shù)及波函數(shù)的統(tǒng)計解釋1. 識記：波函數(shù)、波函數(shù)的自然條件、自由粒子平面波2. 領(lǐng)會：微觀粒子狀態(tài)的描述、 born 幾率解釋、幾率波、 態(tài)疊精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - -

2、 - - - - - - - 第 1 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -2 加原理（二） 、含時薛定諤方程1. 領(lǐng)會：薛定諤方程的建立、幾率流密度，粒子數(shù)守恒定理2. 簡明應(yīng)用：量子力學(xué)的初值問題（三） 、不含時薛定諤方程 1. 領(lǐng)會：定態(tài)、定態(tài)性質(zhì)2. 簡明應(yīng)用：定態(tài)薛定諤方程第三章：一維定態(tài)問題一、考核知識點：（一） 、一維定態(tài)的一般性質(zhì)（二） 、實例二、考核要求：1. 領(lǐng)會：一維定態(tài)問題的一般性質(zhì)、束縛態(tài)、波函數(shù)的連續(xù)性條件

3、、反射系數(shù)、透射系數(shù)、完全透射、勢壘貫穿、共振2. 簡明應(yīng)用：定態(tài)薛定諤方程的求解、無限深方勢阱、線性諧第四章 量子力學(xué)中的力學(xué)量一、考核知識點：（一） 、表示力學(xué)量算符的性質(zhì)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -3 （二） 、厄密算符的本征值和本征函數(shù)（三） 、連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”（四） 、算符的共同本征函數(shù)（五） 、力學(xué)量的平均值隨

4、時間的變化二、考核要求：（一） 、表示力學(xué)量算符的性質(zhì)1. 識記：算符、力學(xué)量算符、對易關(guān)系2. 領(lǐng)會：算符的運算規(guī)則、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性質(zhì)、基本力學(xué)量算符的對易關(guān)系（二） 、厄密算符的本征值和本征函數(shù)1. 識記：本征方程、本征值、本征函數(shù)、正交歸一完備性2. 領(lǐng)會：厄密算符的本征值和本征函數(shù)性質(zhì)、坐標(biāo)算符和動量算符的本征值問題、力學(xué)量可取值及測量幾率、幾率振幅。（三） 、連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”1. 領(lǐng)會：連續(xù)譜的歸一化、箱歸一化、本征函數(shù)的封閉性關(guān)系（四） 、力學(xué)量的平均值隨時間的變化1. 識記：好量子數(shù)、能量時間測不準(zhǔn)關(guān)系2. 簡明應(yīng)用：力學(xué)量平均值隨時間變化第五章

5、態(tài)和力學(xué)量的表象精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -4 一、考核知識點：（一） 、表象變換，幺正變換（二） 、平均值，本征方程和schrodinger equation的矩陣形式（三） 、量子態(tài)的不同描述二、考核要求：（一） 、表象變換，幺正變換1. 領(lǐng)會：幺正變換及其性質(zhì)2. 簡明應(yīng)用：表象變換（二） 、平均值，本征方程和schrodi

6、nger equation的矩陣形式1. 簡明應(yīng)用：平均值、本征方程和schrodinger equation的矩陣形式2. 綜合應(yīng)用：利用算符矩陣表示求本征值和本征函數(shù)（三） 、量子態(tài)的不同描述第六章：微擾理論一、考核知識點 : （一） 、定態(tài)微擾論（二） 、變分法（三） 、量子躍遷二、考核要求 : 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -

7、5 （一） 、定態(tài)微擾論1. 識記：微擾2. 領(lǐng)會：微擾論的思想3. 簡明應(yīng)用：簡并態(tài)能級的一級，二級修正及零級近似波函數(shù)4. 綜合應(yīng)用：非簡并定態(tài)能級的一級，二級修正、波函數(shù)的一級修正。（二） 、變分法1. 領(lǐng)會：變分原理2. 簡明應(yīng)用：用 ritz 變分法求體系基態(tài)能級及近似波函數(shù)（三） 、量子躍遷1. 識記：躍遷、躍遷幾率、自發(fā)輻射、受激輻射、費米黃金規(guī)則2. 領(lǐng)會：躍遷理論與不含時微擾的關(guān)系3. 簡明應(yīng)用：簡單微擾體系躍遷幾率的計算、常微擾、周期微擾第七章 自旋與全同粒子一、考核知識點：（一） 、電子自旋（二） 、總角動量精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

8、- - - - - - 第 5 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -6 （三） 、堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)（四） 、自旋單態(tài)和三重態(tài)（五） 、全同粒子交換不變性二、考核要求：（一） 、電子自旋1. 識記：自旋存在的實驗事實、二分量波函數(shù)2. 領(lǐng)會：電子自旋的內(nèi)稟磁矩、對易關(guān)系、泡利表象、矩陣表示（泡利矩陣）、自旋態(tài)的表示3. 簡明應(yīng)用：考慮自旋后，狀態(tài)和力學(xué)量的描述、考慮自旋后，電子在中心勢場中的薛定諤方程（二） 、總角動量1. 識記：自旋

9、軌道耦合2. 領(lǐng)會：總角動量、力學(xué)量完全集22(,)zh ljj的共同本征值問題（三） 、堿金屬的雙線結(jié)構(gòu) 1.領(lǐng)會：堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)及反常塞曼效應(yīng)的現(xiàn)象及形成原因（四） 、自旋單態(tài)和三重態(tài) 1.領(lǐng)會：自旋單態(tài)和三重態(tài)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -7 2. 簡明應(yīng)用：在)s,s(z2z1和)s?,s?(z2表象中兩自旋為21

10、的粒子的自旋波函數(shù)（五） 、全同粒子交換不變性1. 領(lǐng)會：全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性、費米子和玻色子體系的描述、泡利不相容原理2. 簡明應(yīng)用：兩全同粒子體系、全同粒子體系波函數(shù)的結(jié)構(gòu)1、波函數(shù)與薛定諤方程理解波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，態(tài)迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律定態(tài)薛定諤方程。掌握一維無限深勢阱，線性諧振子。2、力學(xué)量的算符表示理解算符與力學(xué)量的關(guān)系。掌握動量算符和角動量算符，厄米算符本征函數(shù)的正交性，算符的對易關(guān)系，兩力學(xué)量同時有確定值的條件測不準(zhǔn)關(guān)系，力學(xué)量平均值隨時間的變化守恒定律。氫原子3、態(tài)和力學(xué)量的表象理解態(tài)的表象，掌握算符的矩陣表示，量子力學(xué)公式的矩陣表述么正

11、變換，了解狄喇克符號，線性諧振子與占有數(shù)表象。4、定態(tài)近似方法掌握非簡并定態(tài)微擾理論，簡并情況下的微擾理論，理解薛定鄂方程的變分原理及變分法。5、含時微擾論掌握與時間有關(guān)的微擾理論，躍遷幾率，光的發(fā)散和吸收及精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -8 選擇定則。6、自旋與角動量理解電子自旋，掌握電子的自旋算符和自旋函數(shù)。7、全同粒子體系理解兩

12、個角動量的耦合，光譜的精細結(jié)構(gòu)和全同粒子的特性。掌握全同粒子體系的波函數(shù)，泡利原理，兩個電子的自旋函數(shù)。了解氦原子（微擾法）。周世勛， 量子力學(xué)教程，高等教育出版社， 1979 年第 1 版曾謹(jǐn)言， 量子力學(xué)教程，科學(xué)出版社， 2003年版參考書目：量子力學(xué)導(dǎo)論，北京大學(xué)出版社，曾謹(jǐn)言我認(rèn)為考試前要清楚報考單位對量子力學(xué)這門課的基本要求以及主要考查內(nèi)容是什么，應(yīng)當(dāng)按照其要求出發(fā)，有目的性、針對性的進行的復(fù)習(xí)。中科院量子力學(xué)考試的重點是要求熟練把握波函數(shù)的物理解釋，薛定諤方程的建立、基本性質(zhì)和精確的以及一些重要的近似求解方法，理解這些解的物理意義，熟悉其實際的應(yīng)用。把握量子力學(xué)中一些非凡的現(xiàn)象和

13、問題的處理方法，包括力學(xué)量的算符表示、對易關(guān)系、不確定度關(guān)系、態(tài)和力學(xué)量的表象、電子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子躍遷及光的發(fā)射與吸收的半經(jīng)典處理方法等， 并具有綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。再者，中科院對量子力學(xué)這門課考查主要包括以下9大內(nèi)容：波函數(shù)和薛定諤方程一維勢場中的粒子力學(xué)量用算精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 37 頁 - - - - - - - -

14、 -9 符表示中心力場量子力學(xué)的自旋定態(tài)問題的近似方法量子躍遷多體問題，復(fù)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)主要對這些內(nèi)容下功夫。第一階段：首先按照中科院碩士研究生入學(xué)考試量子力學(xué)考試大綱中的要求將參考書目看了一遍。中科院量子力學(xué)考試大綱中指定的參考書目是量子力學(xué)教程，這本書是由曾謹(jǐn)言編著的。此階段看書以理解為主，不必糾纏于細節(jié)，將不懂的知識點做上記號。第二階段：我對大綱中要求了解的內(nèi)容，熟練把握的內(nèi)容以及理解的內(nèi)容進行了分類， 并且按相關(guān)要求對將這門課進行了第二輪復(fù)習(xí)。另外我認(rèn)為在這一遍復(fù)習(xí)中一定要把歷年試題弄到手并且仔細分析，因為真題體現(xiàn)了命題單位的出題特點以及出題趨勢等。另外，我認(rèn)為真題要比大綱更有用，因為從

15、大綱中看不出的有價值的東西可以從真題中得到。當(dāng)然，需要注重的是，單純把握真題也是不理智的做法， 假如一個考生僅僅把握了歷年真題的內(nèi)容，那么考試后他會得出這樣一個結(jié)論：今年的題真偏。其實，不是題偏，而是他沒有把參考書上的東西完全把握好。所以在這個階段中我仍然以看指定的參考書為主， 著重解決了在第一遍復(fù)習(xí)中留下的疑問和精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 37 頁 - - - - - -

16、 - - -10 在做真題中自己不會的題目。對了，此輪復(fù)習(xí)一定要做一份筆記，將主要內(nèi)容歸納出一份比較簡潔的提綱，以便于下輪復(fù)習(xí)。第三階段：將專業(yè)課過第三遍，這一輪注重結(jié)合上一輪的筆記和提綱有重點的，系統(tǒng)的理解和記憶，由于專業(yè)課要求答的深入，所以可以找一些專業(yè)方面的期刊雜志來看下，擴大下自己的視野范圍。這一階段大家也可以找些習(xí)題集來做下，不斷鞏固自己把握了的知識點。第四階段：這一輪要將參考書快速翻幾遍，以便對整個知識體系有全面的把握并且牢記于心，同時要進行查缺補漏，不要放過一個疑點，要注重的是此時不能執(zhí)著于細小的知識點，要懂得抓大放小，把握最重要的知識點。 另外可以根據(jù)對歷年試題的分析以及對本年

17、度的專業(yè)考試做出一些猜測， 并對考試的時間安排及如何進行考中心理調(diào)節(jié)做下演練。（中科大 2003）一、試證明：（1）投影算符|nnp是厄密算符；它在任意態(tài)|中的平均值是正定的，即0| p。（2）設(shè)|是歸一化波函數(shù)，對于線性厄密算符a以下等式成精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -11 立taihadtadi,。證明： （1）因為pnnn

18、np|)(|所以p是厄密算符或*|pnnnnp0|2nnnp（2）因為aa,則tataatdtad,再由 s-eq 得taihadtadi,或因為dxaa*所以dxtadxhaahidxtadxahidxhaidxtadxtadxatdtad*)(111即taihadtadi,二、對于一維諧振子，求消滅算符a的本征態(tài)|，將其表示成各能量本征態(tài)n|的線性疊加。已知1|.|nnna。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

19、- - - - - 第 11 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -12 解：設(shè)0|nnnc由于|a且利用1|.|nnna得001|nnnnnncnaca0|nnnc以|1n左乘上式并利用nnnn |得1nncnc依次遞推得0!cncnn由歸一化條件nnnnncc1!|2202因為2!2ennnieec2210為實數(shù)，可取為0所以021|!|2nnnne三、給定),(方向的單位矢量)cos,sinsin,cos(sinn，在z表象中求nn的本征值和歸一化本征矢。解：因為cossinsincossinzyxn所以cossinsincosiineenn的本征值為1由本征方程cossi

20、nsincosiieebaba求得精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -13 對于1ie2sin2cos1或2/2/12sin2cosiiee對于1ie2cos2sin1或2/2/12cos2siniiee四、設(shè)一定域電子（作為近似模型，不考慮軌道運動），處于沿x方向的均勻磁場b中，哈密頓量為xlxcbeh2cebl2拉莫爾（ larm

21、or）頻率設(shè)0t時，電子自旋“向上”（2/zs） 。求0t時（1）電子自旋態(tài))(t；（2）電子自旋s的平均值。解： （1） 方法一令)()()(tbtat初始條件01)0()0()0(ba由薛定諤方程babadtdil得aibbiall)(baibal)(baibal積分得titilleebatbta)0()0()()(精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 37 頁 - - -

22、- - - - - -14 titilleebatbta)0()0()()(由此可得titbttallsin)(cos)(tittllsincos)(方法二體系能量本征態(tài)即x的本征態(tài)，本征值和本征態(tài)分別為11211lxee11211lxee電子自旋初態(tài))(2101)0( t時刻電子自旋態(tài)為titeetlltitillsincos)(21)(（2）電子自旋各分量的平均值0sincos0110sincos2)()(tittittstsllllxxttitiitittstslllllyy2sin2sincos00sincos2)()(精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

23、 - - - - - 第 14 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -15 ttittittstslllllzz2cos2sincos1001sincos2)()(五、已知系統(tǒng)的哈密頓量為2002002h求能量至二級近似，波函數(shù)至一級近似。解： （1）hhh020020020h00000000h可見所設(shè)表象為非0h表象，為將0h對角化，先由0h的本征方程求其本征值和本征矢。求得結(jié)果為：本征值)0(1e2)0(2e3)0(3e相應(yīng)本征

24、矢101211|0102|101213|精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -16 （2）利用10102010121s轉(zhuǎn)到0h表象（將0h對角化）shsh0030002000shsh202000202在0h表象中nnnhe)1(nmmnnmneehe)0()0(2)2(|)1(nnmmmnnmeeh)0()0()0(則2/)1(1e0)

25、1(2e2/)1(3e82)2(1e0)2(2e82)2(3e)0(3)1(140)1(2)0(1)1(34量子力學(xué)測試題（ 2）1、 一質(zhì)量為 m的粒子沿 x 正方向以能量 e向 x=0處勢壘運動。當(dāng)0 x時，勢能為零；當(dāng)0 x時，勢能為ev430。問在 x=0處粒子被反射的幾率多大？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -17 解：s

26、-eq 為000022221211xkxk其中221/2mek4/)(2212022kvemk由題意知0 x區(qū)域 既有入射波，又有反射波；0 x區(qū)域僅有透射波故方程的解為xikxikree1110 xxikte220 x在 x=0處，及都連續(xù)，得到tr1tkrk2)1(11由此解得912rr注意透射率2tt因為12kk將xike1，xikre1，xikte2分別代入幾率流密度公式*2xxmij得入射粒子流密度mkj10反射粒子流密度21rmkjr透射粒子流密度22tmkjt由此得反射率9120rjjrr透射率982120tkkjjtt1tr精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

27、 - - - - - - - - 第 17 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -18 2、計算（1）?,2rl（2）設(shè)),(pxf是px,的整函數(shù)，則?,fp解：（1）0,2xxixxixxlxlxxxlrl因為將第二項啞標(biāo)作更換xxixxixxi所以0,2rl（2）先由歸納法證明nnnxxinxixp1,（ ）式1n上式顯然成立；設(shè)kn時上式成立，即1,kkkxixp則kkkkkkxkixikxixpxxxpxp)1(,1顯然，

28、1kn時上式也成立，（ ）式得證。因為0,),(nmnmmnpxcpxf則fxipmxcipxpcpxpcfpnmnmnmnmmnnmmnnmmn,1,3、試在氫原子的能量本征態(tài)nlm下，計算1r和2r的平均值。解：處于束縛態(tài)nlm下的氫原子的能量22224122naeneen22ea1lnnr（1）計算1r精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 37 頁 - - - - - -

29、- - -19 方法 1 相應(yīng)的維里定理為nlmnlmvt21nlmnve21所以22112aneern方法 2 選z為參量相應(yīng)的 f-h定理nlmnehee22reh2222nlmran112211anr（2）計算2r等效的一維哈密頓量2222222) 1(2rllredrdh取l為參量相應(yīng)的 f-h定理nlmlnlhle注意1lnnr22322)12(rlane322)2/1(1nalr4、有一個二能級體系， 哈密頓量為hhh0，0h和微擾算符h的矩陣表示為21000eeh0110h其中表征微擾強度，21ee。用微擾法求h的本征值和本征態(tài)。解：由于是對角化的，可見選用表象為0h表象精品學(xué)習(xí)

30、資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -20 對于21ee，由非簡并微擾論計算公式)0()0()0()0()0()0(2)0(|mmnmnmnnmnnmmnnnneeheehhee得0)1(1e212)0(2)0(1212)2(1eeeehe1021)0(2)0(2)0(121)1(1eeeeh0)1(2e122)0(1)0(2212)2(2ee

31、eehe0112)0(1)0(1)0(212)1(2eeeeh所以 ，二級近似能量和一級近似態(tài)矢為2121eee，100121ee；1222eee，011021ee。對于21ee，由簡并微擾論計算得一級近似能量和零級近似態(tài)矢為1e，1121；1e，1121。5、自旋投影算符nsn2，為泡利矩陣，n為單位矢量（cos,sinsin,cossin） 。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁

32、，共 37 頁 - - - - - - - - -21 （1） 對電子自旋向上態(tài))2/(zs， 求ns的可能值及相應(yīng)幾率；（2）對n的本征值為 1 的本征態(tài)，求y的可能值及相應(yīng)幾率。解： （1）由cossinsincos2iineesbambaeesiicossinsincos2得ines2sin2cos)(21ines2cos2sin)(21對于電子自旋向上態(tài)01)2/(zs，ns取值2的幾率分別為2cos012sin2cos22221ie2sin012cos2sin22221ie（2）y的本征值和本征態(tài)1，iy121)(；1，iy121)(電子處于n的本征值為 1 的本征態(tài) (即ns的本征

33、值為2的本征態(tài))(21ns)，則y的可能值及相應(yīng)幾率為1精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -22 )sinsin1(212sin2cos121)()(2221inyei1)sinsin1(212sin2cos121)()(2221inyei6、設(shè)質(zhì)量為m的兩個全同粒子作一維運動，它們之間的相互作用能為)0()(21221axxa。（1

34、）若粒子自旋為0，寫出它們的相對運動態(tài)的能量和波函數(shù)；（2）若粒子自旋2/1s，寫出它們的相對運動基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量和波函數(shù)。解：體系的哈密頓量為22122222122)(2122xxaxmxmh引入質(zhì)心坐標(biāo)x和相對坐標(biāo)x：)(2121xxx21xxx在坐標(biāo)變換xxxx,21下，體系的哈密頓量變?yōu)?2222222122axxxmh2/2mmm相對運動哈密頓量為精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

35、- 第 22 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -23 222222222212212xdxdaxdxdhra（1）若粒子自旋為 0，則相對運動態(tài)的能量和波函數(shù)為21nen)()(2221xhenxnxnn,4 ,2,0n限定, 4,2, 0n是為了保證波函數(shù)對交換1x和2x是對稱的。（2）若粒子自旋2/1s，則相對運動態(tài)的能量和波函數(shù)為21nen,2, 1 ,0n00|)(),(2221xhensxnxnz,4,2,0n11|10|11|)(),(2221xhensxnxnz, 5,3 , 1n其中)1()2()2()1(2110|)2() 1(11|)1()2()2()1(

36、2100|)2()1(11|體系基態(tài)能量和波函數(shù)21e00|),(22210 xzensx體系第一激發(fā)態(tài)能量和波函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -24 23e11|10|11|)(),(121122xhensxxz量子力學(xué)測試題（ 4）（復(fù)旦 2002）1、已知一維運動的粒子在態(tài))(x中坐標(biāo)x和動量xp的平均值分別為0 x和0p

37、，求在態(tài))()(0/0 xxexxip中坐標(biāo)x和動量xp的平均值。解：已知粒子在態(tài))(x中坐標(biāo)x和動量xp的平均值分別為0*)()(xdxxxxx0*)()(pdxxxixpx現(xiàn)粒子處在)(x態(tài)，坐標(biāo)x和動量xp的平均值0)()()()()()(000*00*xxxdxxxxdxxxxxxdxxxxx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 37 頁 - - - - - - - -

38、-25 0)()()()()()()()()(00*00/0/00*/0/0*/*00000ppxdxxixpdxxxxiexxepxxedxxxexixxedxxxixpxipxipxipxipxipx2、一體系服從薛定諤方程),(),(21)(2212122122212rrerrrrkm（1）指出體系的所有守恒量（不必證明） ；（2）求基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。解： （1）體系的哈密頓量為2212222122122rrkmmh引入質(zhì)心坐標(biāo)r和相對坐標(biāo)r：)(2121rrr21rrr在坐標(biāo)變換rrrr,21下，體系的哈密頓量變?yōu)?22222122krmhrr2/2mmm容易得知系統(tǒng)的守恒量為zl

39、le,2。 （中心力場）（2）相對運動哈密頓量為精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -26 2222222212212rkrhrrrk相對運動為三維各向同性諧振子，基態(tài)能量和波函數(shù)為23ne22212/33)(rer,2, 1 , 0n3、設(shè) t=0 時氫原子處在態(tài)322101)0 ,(121211210100r（1）求體系能量的平均值

40、； （2）任意 t 時刻波函數(shù)),(tr； （3）任意 t 時刻體系處在1, 1 ml態(tài)的幾率； （4）任意 t 時刻體系處在0m態(tài)的幾率。解：氫原子定態(tài)能量和波函數(shù)為),()(),(222lmnlnlmnyrrranee（1）aeeee40115352221（2）任意 t 時刻波函數(shù))(3)(2)()(2101),(121211210/100/21rrreretrtietie精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

41、 - - - - 第 26 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -27 （3）任意 t 時刻體系處在1, 1 ml態(tài)的幾率為 1/5；（4）任意 t 時刻體系處在0m態(tài)的幾率為 1/2。4、一維諧振子受到微擾2cxh作用，式中c為常數(shù)。在粒子數(shù)表象中，)(22/1aamxaa,分別為湮滅算符和產(chǎn)生算符，滿足1|1|1|nnnannna（1）用微擾論求準(zhǔn)確到二級近似的能量值；（2）求能量的準(zhǔn)確值，并與微擾論給出的結(jié)果相比較。解： （1）由1,aa得21)(2)(22222aaaacaaccxh利用1|1|1|nnnannna計算微擾矩陣元得)2)(1() 12()1(2|21)(

42、|2|2,2,22nmmnnmmnnnnnncnaaaamcnhmh零級近似能量、一級和二級修正能量分別為21)0(nencnhennn21)1(精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -28 322322)0()0(2)2(221)2)(1()1(8cnnnnnceehenmmnmnn精確到二級近似的能量值為42222121ccnen（2

43、）現(xiàn)求能量精確值22022222212212xpcxxph2/1220212cc本征能量2/12/120121212121ncnnen22,2, 1 ,0cn視為微小量，則)2()1()0(282121nnnneeene其中21)0(nencnen21)1(精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -29 322)2(221cnen能量精確解

44、的前三項與分別與零級近似能量、一級和二級修正能量相同。5、設(shè)aa,分別為湮滅算符和產(chǎn)生算符，滿足對易關(guān)系1,aa。體系的哈密頓量為dacaabaaaah（1）問dcba,滿足什么條件h才是厄密算符？（ 2）求體系的能量。解： （1）容易得知h是厄密算符的條件是dcba,均為實數(shù)，且ba，則dacaaaah)(22（1）（2）由（ 1）式得)(1)(22dhaaaaaac（2）令aabaab其中,為待定實數(shù),22aaaaaaaabb已知1,aa則得22,bb為使bb,與aa,滿足相同的對易關(guān)系1,bb則122精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

45、第 29 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -30 計算bb)(aaaaaaaaaa2222)()(利用1,aaaaaa1得bb22222)()(aaaa所以)(1)(22222bbaaaa（3）比較（ 2）式和（ 3）式，如令ac22則得)(1dha)(12bb由此可得hdbba)(2（4）如果已知,，則h的本征值為nedna)(2,2,1 ,0n現(xiàn)在來求,由于122ac22解之得2222424acacc2222424acacc

46、224aca所以neacdacaccnac24244222222,2, 1 ,0n精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -31 武漢大學(xué)2002 年度研究生入學(xué)考試量子力學(xué)試題選解一名詞解釋（ 4 分 5 題） 1 德布羅意假設(shè)：微觀粒子也具有波粒二象性，粒子的能量e 和動量 p 與波的頻率和波長之間的關(guān)系，正像光子和光波的關(guān)系一樣，為：

47、khph/ 2.波函數(shù)： 描述微觀體系的狀態(tài)的一個函數(shù)稱之為波函數(shù)，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。3基本量子條件：0?,?xx0?,?ppip ?,x ?4. 電子自旋： 電子的內(nèi)稟特性之一：在非相對論量子力學(xué)中。電子自旋是作為假定由uhlenbeck 和 goudsmit 提出的：每個電子具有自旋角動量s，它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：2sz；每個電子具有自旋磁矩ms ，它和自旋角動量的關(guān)系式：2emsemszs。在相對論量子力學(xué)中，自旋象粒子的其他性質(zhì)樣包含在波動方程中，不需另作假定。5. 全同性原理：在全同粒子所組成的體系中

48、，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)。二計算題（ 20 分4 題）1. 粒子以能量e由左向右對階梯勢0,00,)(0 xxuxu入射，求透射系數(shù)。討論如下三種情況：（1） u0e0 ； （3） e0,但由右向左入射。解： u0e0 寫出分區(qū)薛定諤方程為：0,20,2222221102122xedxdxeudxd令：201)(2uek，222 ek可將上述方程簡化為：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 31 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

49、 - 第 31 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -32 0,00,0222222121212xkdxdxkdxd一般解可寫為：0,0,221121xebbexeaaexkxkxikxik由)(2有限，得 b 0 由波函數(shù)連接條件，有：bkaaikbaa212221)()0()0()0()0(解得：akikkibakikkika21121212據(jù)此，可分別計算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)0)(2,|,|2*2*222121ijeakjeakjdxrx1)(|22121kikkikaajjrr0|jjdd滿足 r+d1 可見，總能量小于勢壘高度的粒子必

50、全部被反射，但在x0 寫出分區(qū)薛定諤方程為：0,20,2222221102122xedxdxeudxd精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 32 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 32 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -33 令：201)(2uek，222 ek可將上述方程簡化為：0,00,0222222121212xkdxdxkdxd一般解可寫為：0,0,221121xebbexeaaexikxikxikxik考

51、慮到?jīng)]有從右向左的入射波，b 0 由波函數(shù)連接條件，有：bkaakbaa212221)()0()0()0()0(解得：akkkbakkkka21121212據(jù)此，可分別計算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)xdxrxebkjeakjeakj222121|,|,|402020022121)()()(|eueueueeuekkkkaajjrr20022111212)()(4)2(|eueueekkkkkakbkjjdd滿足 r+d1 可見，盡管e0，但仍有粒子被反射。 e0, 粒子從右向左入射仿，有0,0,221121xebbexeaaexikxikxikxik但 b為入射波

52、系數(shù)，b 為反射波系數(shù)，a為透射波系數(shù)，a 0. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -34 由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，有)()0()0()0()0(212221bbkakbba解得：bkkkkbbkkka21212122據(jù)此，可分別計算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)xdxrxeakjebkjebkj212222|,

53、|,|402020022121)()()(|eueueueeuekkkkbbjjrr20022122121)()(4)2(|eueueekkkkkbkakjjdd滿足 r+d1 可見，仍有粒子被反射。2. 一維諧振子在t 0 時處于歸一化波函數(shù))()(51)(21)0 ,(420 xcxxx所描述的態(tài)中，式中)(),(),(420 xxx均為一維諧振子的歸一化定態(tài)波函數(shù)，求：（ 1）待定系數(shù)c ；（ 2）t 0 時，體系能量的可能取值及相應(yīng)的幾率；（ 3）t0 時，體系的狀態(tài)波函數(shù)),(tx。（ 4）t 0 與 t0 時體系的)(, )0(txx。解：用 dirac 算符4|2|510|21)0 ,(|cx 由1)0,(|)0,(xx，可求得103c 能量可能取值21，25，29精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 34 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 34 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -35 相應(yīng)的幾率 1/2， 1/5， 3/10 因為 n 0,2,4都為偶數(shù)，故宇稱為