第二章平面匯交力系與平面力偶系(詹班)

1、力系力系平面匯作用在物體上力的總稱（力的集合）平面匯作用在物體上力的總稱（力的集合）根據(jù)力的作用線是否共面可分為：根據(jù)力的作用線是否共面可分為：平面力系平面力系空間力系空間力系根據(jù)力的作用線是否匯交可分為：根據(jù)力的作用線是否匯交可分為：匯交力系匯交力系平行力系平行力系任意力系任意力系平衡力系平衡力系作用在物體上使物體保持平衡的力系作用在物體上使物體保持平衡的力系 1. 合成的幾何法合成的幾何法 (即力多邊形法則即力多邊形法則) AF2F4F3F11RF2RFRF3F4F2F1FAAF2F4F3F1FRFRFR1FR2F4F3F1FRF2A結(jié)論：結(jié)論：平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一

2、合力，其合力的大小與方向等于合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和，合力的作用線各分力的矢量和，合力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。通過(guò)匯交點(diǎn)。FR= F1 + F2 + + Fn = FiF1ABF2CF3DF4EFRF1ABF2CF3DF4E 1. 合成的幾何法合成的幾何法 (即力多邊形法則即力多邊形法則) AF2F4F3F11RF2RFRF3F4F2F1FAFRFR1FR2F4F3F1FRF2A結(jié)論：結(jié)論：平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一合力，其合力的大小與方向等于合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和，合力的作用線各分力的矢量和，合力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。通過(guò)匯交點(diǎn)。F1ABF2

3、CF3DF4EFRF1ABF2CF3DF4EAF2F4F3F1FR12RnFFFFF 2. 平衡的幾何條件平衡的幾何條件01niiF F結(jié)論：結(jié)論：平面匯交力系平衡的必平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的力要和充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉。多邊形自行封閉。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的合力等于零。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的合力等于零。F2F3FRF1AF4F2F3F5F1AF4例例 題題 1 已知：已知：F，a 求：求：A、B處約束反力。處約束反力。2a FaABCD解：解： （1）取剛架為研究對(duì)象）取剛架為研究對(duì)象（2）畫受力圖）畫受力圖（3）

4、按比例作圖求解）按比例作圖求解 FB FA F FBFA由圖中的幾何關(guān)系得由圖中的幾何關(guān)系得1. 力的投影與分解力的投影與分解xABFFxFyOijXYy FXcosYXF 22力在坐標(biāo)軸上的投影力在坐標(biāo)軸上的投影力沿坐標(biāo)軸的分解力沿坐標(biāo)軸的分解 力的投影式代數(shù)量，當(dāng)力與軸之力的投影式代數(shù)量，當(dāng)力與軸之間的夾角為銳角時(shí)，其值為正，當(dāng)夾間的夾角為銳角時(shí)，其值為正，當(dāng)夾角為鈍角時(shí)，其值為負(fù)。角為鈍角時(shí)，其值為負(fù)。反之，已知力的投影，也可反之，已知力的投影，也可以求力的大小和方向以求力的大小和方向2. 合成的解析法合成的解析法FR= F1 + F2 + + Fn = FiAF2F4F3F1FRxy根

5、據(jù)合矢量投影定理：根據(jù)合矢量投影定理：O1F2F3FRF（1）幾何法）幾何法解：解：4F例題例題1 已知：已知：F1=200N、F2=300N、F3=100N、F4=250N。求圖示匯交力。求圖示匯交力系的合力。系的合力。RFy30454560 x1F2F3F4FON.cosFcosFcosFcosFXFRx3129454560304321 （2）解析法）解析法N.sinFsinFsinFsinFYFRy3112454560304321 N.FFFRyRxR3171311231292222 7548. 03 .1713 .129cosRRXFF合力作用線通過(guò)匯交點(diǎn)O合力FR與x軸的夾角為：99

6、40. RFy30454560 x1F2F3F4FO3. 平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系的平衡方程00iiYX平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在兩個(gè)各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。平衡的必要和充分條件是：該力系的合力平衡的必要和充分條件是：該力系的合力FR等于零。等于零。 已知：已知：F，a 求：求：A、B處約束反力。處約束反力。FABCD解：解： （1）取剛架為研究對(duì)象）取剛架為研究對(duì)象 FB FAxyO 圖示結(jié)構(gòu)由直角彎桿圖示結(jié)構(gòu)由直角彎桿AC、CDB組成。求圖示結(jié)構(gòu)中組成。求圖示結(jié)構(gòu)中A、B處的約束反力。處

7、的約束反力。ABCDFaaaaaaABCDF解：解： 取整體為研究對(duì)象取整體為研究對(duì)象 由于由于AC為二力桿，所為二力桿，所以以A處約束反力應(yīng)該沿著鉸處約束反力應(yīng)該沿著鉸鏈鏈A、C連線。連線。BFAFBMFAC 簡(jiǎn)易壓榨機(jī)如圖所示，已知：推桿上作用力簡(jiǎn)易壓榨機(jī)如圖所示，已知：推桿上作用力F，A、B、C三處均為光滑鉸鏈，角度三處均為光滑鉸鏈，角度已知。桿重不計(jì)。已知。桿重不計(jì)。求：求：托板給物體托板給物體M的壓力。的壓力。FBCFBAFB解：解：（1）取銷釘）取銷釘B為研究對(duì)象為研究對(duì)象CFCBFMFNC（2）取擋板）取擋板C為研究對(duì)象為研究對(duì)象解得解得解得解得BMFAC 簡(jiǎn)易壓榨機(jī)如圖所示，已

8、知：推桿上作用力簡(jiǎn)易壓榨機(jī)如圖所示，已知：推桿上作用力F，A、B、C三處均為光滑鉸鏈，角度三處均為光滑鉸鏈，角度已知。桿重不計(jì)。已知。桿重不計(jì)。求：求：托板給物體托板給物體M的壓力。的壓力。FBCFBAFB令解：令解：（1）取銷釘）取銷釘B為研究對(duì)象為研究對(duì)象CFCBFMFNC（2）取擋板）取擋板C為研究對(duì)象為研究對(duì)象x x 圖示結(jié)構(gòu)由直角彎桿圖示結(jié)構(gòu)由直角彎桿ABD、CGE以及直桿以及直桿BE組成。求圖組成。求圖示結(jié)構(gòu)中示結(jié)構(gòu)中BE桿的內(nèi)力。桿的內(nèi)力。ABCDEFGAFHx xGF解：解：(1)取整體為研究對(duì)象取整體為研究對(duì)象ABCDEFGaaaaBEFh hGFCFCEG 圖示結(jié)構(gòu)由直角彎

9、桿圖示結(jié)構(gòu)由直角彎桿ABD、CGE以及直桿以及直桿BE組成。求圖組成。求圖示結(jié)構(gòu)中示結(jié)構(gòu)中BE桿的內(nèi)力。桿的內(nèi)力。(2)取取EGC為研究對(duì)象為研究對(duì)象ABCDEFGaaaayx90453060F1F2ABCD9045F2BFBAFBC3060F1CFCBFCD求：求：F1、F2的關(guān)系。的關(guān)系。已知：已知：鉸接連桿機(jī)構(gòu)，在圖示位鉸接連桿機(jī)構(gòu)，在圖示位置處于平衡狀態(tài)，桿重不計(jì)。置處于平衡狀態(tài)，桿重不計(jì)。解：解：取銷釘取銷釘B為研究對(duì)象為研究對(duì)象沿沿x軸投影，得軸投影，得取銷釘取銷釘C為研究對(duì)象為研究對(duì)象沿沿y軸投影，得軸投影，得又因?yàn)椋忠驗(yàn)?，F(xiàn)BC=FCB1.力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)點(diǎn)之矩AFBhdFMO

10、)(Fh 力臂力臂 O 矩心矩心OABMO 2)(FMO（F）代數(shù)量（標(biāo)量）代數(shù)量（標(biāo)量）“ ” 使物體使物體逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)力矩為正；轉(zhuǎn)時(shí)力矩為正；“” 使物體使物體順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)力矩為負(fù)。轉(zhuǎn)時(shí)力矩為負(fù)。2. 合力矩定理合力矩定理 平面匯交力系合力對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于平面匯交力系合力對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。3. 力矩與合力矩的解析表達(dá)式力矩與合力矩的解析表達(dá)式xAFFxFyOyxy練習(xí)：計(jì)算下面各圖中力練習(xí)：計(jì)算下面各圖中力F對(duì)對(duì)O點(diǎn)的矩點(diǎn)的矩0 MFlM 22blsinFM sinFlM FbM rlFM lF(a)lF(b

11、)Fl(e)blF(f)rlF(d) (c)lbF OOOOOOFnOrFrF 已知：已知：Fn，r求：求：力力 Fn 對(duì)于輪心對(duì)于輪心O的力矩。的力矩。h解：解：（1）直接計(jì)算）直接計(jì)算（2）利用合力矩定理計(jì)算）利用合力矩定理計(jì)算1. 力偶與力偶矩力偶與力偶矩力偶力偶兩個(gè)大小相等、方向相反且兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系。不共線的平行力組成的力系。力偶臂力偶臂力偶的兩力之間的垂直距離。力偶的兩力之間的垂直距離。力偶的作用面力偶的作用面力偶所在的平面。力偶所在的平面。力偶矩力偶矩3. 平面力偶的性質(zhì)平面力偶的性質(zhì)（1）力偶不能合成為一個(gè)力，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。力和力偶不能合

12、成為一個(gè)力，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。（2）力偶中的兩個(gè)力對(duì)平面中任意點(diǎn)力偶中的兩個(gè)力對(duì)平面中任意點(diǎn)O之矩之和等以什么之矩之和等以什么？F FABOdxdFFx)xd(F)F(M)F(M)F,F(MOOO (3)同平面兩個(gè)力偶的等效條件：同平面兩個(gè)力偶的等效條件：在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相同如果力偶矩相同(大小相等，轉(zhuǎn)向相同大小相等，轉(zhuǎn)向相同)，則兩力偶彼此，則兩力偶彼此等效。等效。(通過(guò)動(dòng)畫來(lái)演示證明過(guò)程通過(guò)動(dòng)畫來(lái)演示證明過(guò)程)因此：因此：(a)只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，力偶可以在作只要保持力偶矩的大

13、小和轉(zhuǎn)向不變，力偶可以在作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，不改變對(duì)剛體的作用效果。用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，不改變對(duì)剛體的作用效果。 (b)只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變力偶對(duì)剛體變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變力偶對(duì)剛體的作用效果。的作用效果。MMM 代數(shù)和iMM 4. 平面力偶系的合成平面力偶系的合成 因?yàn)榱ε际谴鷶?shù)量，因?yàn)榱ε际谴鷶?shù)量，所以合力偶矩是各個(gè)分所以合力偶矩是各個(gè)分力偶矩的代數(shù)和力偶矩的代數(shù)和平衡條件：平衡條件：0iMMaaABCa求：求：A、 C 處約束反力。處約束反力。如圖所示剛架，上面作用主動(dòng)如圖

14、所示剛架，上面作用主動(dòng)力偶力偶 M，a已知。自重不計(jì)。已知。自重不計(jì)。解：解：（1）取取AB為研究對(duì)象為研究對(duì)象ABMFABFBCFBFCAMCFAFC解：解：對(duì)于整體而言，力偶是平衡對(duì)于整體而言，力偶是平衡的，即的，即A，B兩處的力必為一對(duì)平兩處的力必為一對(duì)平衡力，如圖。衡力，如圖。 兩個(gè)尺寸相同的矩形，兩個(gè)尺寸相同的矩形，自重不計(jì)。自重不計(jì)。求：求：A，B處的反力。處的反力。AMMBCabFAFBFC，F(xiàn)A之間的距離之間的距離2bad 然后取矩形然后取矩形AC為研究對(duì)象為研究對(duì)象力偶平衡的方程式為力偶平衡的方程式為00AMF dM即即baMFFBA 2baMdMFA 2例例 題題 7MAB

15、DCaaaaMBCFBFCFDADCFA解：解：取彎桿取彎桿BC為研究對(duì)象為研究對(duì)象0 M取取T形桿形桿ADC為研究對(duì)象為研究對(duì)象CF求：求：A處的反力。處的反力。 圖示組合構(gòu)架，彎圖示組合構(gòu)架，彎桿桿BC上作用一力偶上作用一力偶M注意！注意?。?）明確研究對(duì)象）明確研究對(duì)象（2）正確作出受力圖）正確作出受力圖（3）列方程求解）列方程求解文字不宜過(guò)多，但也不能過(guò)少。文字不宜過(guò)多，但也不能過(guò)少。力不允許多畫，但也不能少畫。力不允許多畫，但也不能少畫。結(jié)論與討論結(jié)論與討論1. 力在坐標(biāo)軸上的投影為：力在坐標(biāo)軸上的投影為：2. 平面內(nèi)力的解析表達(dá)式為：平面內(nèi)力的解析表達(dá)式為：3. 求平面匯交力系的合

16、力求平面匯交力系的合力（1）幾何法）幾何法 根據(jù)力多邊形規(guī)則，求得合力的大小和方向?yàn)椋焊鶕?jù)力多邊形規(guī)則，求得合力的大小和方向?yàn)椋汉狭Φ淖饔镁€通過(guò)各力的匯交點(diǎn)。合力的作用線通過(guò)各力的匯交點(diǎn)。（2）解析法）解析法 根據(jù)合力投影定理：根據(jù)合力投影定理：4. 平面匯交力系的平衡條件平面匯交力系的平衡條件（1）平衡的必要和充分條件：）平衡的必要和充分條件： （2）平衡的幾何條件：）平衡的幾何條件： 力多邊形自行封閉力多邊形自行封閉（3）平衡的解析條件：）平衡的解析條件： 00YX5. 平面力對(duì)點(diǎn)之矩平面力對(duì)點(diǎn)之矩OABdFMO2)(F6. 合力矩定理：合力矩定理：7. 力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶力偶兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的