相似三角形模型分析大全

1、第一部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)（一）A字型、反 A字型（斜A字型）（平行）（二）8字型、反8字型（平行）（三）母子型（四）一線三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型:（六）雙垂型:、相似三角形判定的變化模型拓展第二部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1、已知：如圖， ABC中，點(diǎn)E在中線AD上， DEBABC .求證：(1) DB2 DE DA；(2) DCEDAC .證明：（1）在即E和AMS中丁 ZDEB=ZABC? ZBDE= ZADB?/. AbdeAdab, 11分），DE 一SD （1分）

2、''BD = AD ）.".bdP=ad-de. （1分）（2）:知是中線，CD 二 ED,.CD互ADDE,，8 AD（1分）5?zadc=zcde） （i分）工decsAmap （i分）/. ZDCE=ZD1C. Cl分）例2、已知：如圖，等腰 4ABC中，AB= AC, AD, BC于D, CG/ AB, BG分別交AD、AC于E、F.求證：BE2 EF EG .解答，證明：連接C艮如石圖所示 二AB二M, AD±BC，：.AD是上EAC的角平分或！1*.BE=CE>/. ZEBC=ZEC0r又 /祝二/ME，/. ZC- ZEBC- ZACB-

3、 ZECfi,即/期E=/ACE,又，CG/的 /. NABE= GCCF.二 ZCGF ZFCE- 又上 FEC =/CEG Acef AgECj -'-CE： EP=EC= C£ 目PCE*=EF*E& 又CFBE， /-BEP-EG.點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì).關(guān)鍵是能根據(jù)所證連接CE相關(guān)練習(xí)：1、如圖，梯形 ABCD中，AD/BC,對(duì)角線 AC BD交于點(diǎn) O, BE/ CD交CA延長線于 E.2求證：OC OA OE .t：證明：TAD/ZBC,笫二第OC OoOB GE ,§Po

4、c=OA-OE.- OA - OC'OC OE又上E*CD,二- 0c2、如圖，已知 AD為ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線.求證:2FD FB FC .證明:連接怔，丁仙是角平分線，/ ZEAD=ZCAD-又EF為魴的垂直平分線,，加Fl,/. ZDACZCAF= ZB+ZBAD)/. ZCAF=ZB,: ZAFC=ZAFC,/.AacfAbafi 即-二 AF BF8Pfde=cf*bf.3、已知：如圖，在RtABC中，/C=90°, BC=2, AC=4, P是斜邊 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD±AB, 交邊AC于點(diǎn)D (點(diǎn)D與點(diǎn) A、C都不重合)，E是射線

5、 DC上一點(diǎn)，且 :/EPD=/A.設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為 x, 4BEP的面積為y.(1)求證：AE=2PE;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng) BEP與4ABC相似時(shí)，求 BEP的面積.1. ZDAP=ZC=90" ， ZA=ZA 三角形APDs三角 形KEFD：AP=BC：AC=2：4=1：2 ZEPD=ZAJ ZAEP=ZPEF 三角形EPDs三角形EAFPE：AE=PD!AP=L 2AE=2FE2,過工作曲-Lae，E為垂足因?yàn)镻UJ_AB故I EF I PD 故I上由=/白即=上山故I七皿始&7M=2Zi=EF7AFIanFEP=PP/E?即，

6、z F"F =r?/EF=l/2 曲；斫EEF 牛"產(chǎn)工（AF）=E 泛西一可）的；ES/aAF=E/ax 因?yàn)?#163;C=3。" , 丸二£,處二的 故；A3=2 & 故 ：FE=AB-比=2JEr 改！ j1/2PB-EF=1/2-2/3m-（2 7 B-x）即：y=-l/3Y +2 J 5k/3 E與唯臺(tái),笠取最大值，此時(shí)E卬2/3* =2X4/ （2 7 5）,5 7 5/5 即，定義域?yàn)?，因?yàn)镕EF=EEP廣上也 故：/EPE=M匚知具EEfsA甌.則；ZBEZAj FE/K=BE/AC 依：AE=比 又：DET =0 板】BET

7、= （AC-AE） " +ECJ（心BE）工 +BC1 量！ EE=5/2, FE="4 故工 ABEPffl/2BE'PE=25/16雙垂型1、如圖，在 ABC中，Z A=60°, BD、CE分別是 AC AB上的高求證：（1） ABDsACE; （2） AADEs ABC; （3）BC=2ED解答：證明：（1） CE1 AB于 E, BF,AC于 F, . Z AFB=Z AEG / A 為公共角， . ABD ACE （兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）.（2）由（1）得 AB: AC=AD AE, / A為公共角， . ADEs ABC （兩邊對(duì)應(yīng)成比

8、例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似）（3）AADE ABC .AD: AB=DE BC又 Z A=60°.1. BC=2ED共享型相似三角形1、4ABC是等邊三角形，D、B、C、E在一條直線上，/DAE=120 ,已知BD=1, CE=3,，求等邊三角形的邊長A如圖, ABC是等邊三角形 / ABC4 BAC4 ACB=60又 DBC位一條直線上 / ADB-+Z DAB4 CAE吆 AEC至 ABC=60 . / DAE=120DAB吆 CAE4 DAE-/ BAC=120 -60 ° =60由上可知/ ADB=/ CAE / DABh CAE . DAB AEC 三角形相似對(duì)

9、應(yīng)邊成比例 BDX AC=AB/ CE . BD=1, CE=3.AB=AC=/ 32、已知：如圖，在 RtA ABC 中，AB=AC, Z DAE=45 °.求證：（1） AB∿2（2） BC2 2BE CD .解答：證明：（1）在RtABC中， AB=AC/ B=Z C=45° .（1 分） / BAE=/ BAD+Z DAE / DAE=45 , / BAE4 BAD+45 .（1 分）而/ ADCh BAD+Z B=Z BAD+45 , （1 分） / BAE4 CDA（1 分） .AB& ADCA（2 分）BE _AC 2）由 AB&

10、; DC/ 得， CD .（2 分）BE?CD=ABAC （1 分）而 AB=AC BC2=aB;+AC：,BC2=2AB2.（2 分）1 2BC=2BE?CD （1 分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，特別是與勾股定理聯(lián)系起來綜合性很強(qiáng), 難度較大.一線三等角型相似三角形.例1:如圖，等邊 4ABC中，邊長為6, D是BC上動(dòng)點(diǎn)，Z EDF=60°(1)求證：ABDEACFD(2)當(dāng) BD=1, FC=3 時(shí)，求 BE證明：(1) .ABC是等邊三角形B=Z 0=60°. / EDF=60 / CDF+Z EDB=180° - Z EDF=120

11、6;/ BED+Z EDB=180 - Z B=120° . . /CDFN BED.一/ B=/C= BDE相似 CFD2、 BD=1.CD=BC-BD=6-1=5 BDE相彳以 CFD. BE/CD=BD/CFBE/5=1/3BE=5/3例 2、已知在梯形 ABCD中，AD/BC, ADV BC,且 AD= 5, AB= DC= 2.(1)如圖8, P為AD上的一點(diǎn)，滿足 /BPC=/A.求證；AABPADPC求AP的長.(2)如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)(點(diǎn) P與點(diǎn)A、D不重合)，且滿足/BPE=/A, PE交直 線BC于點(diǎn)E,同時(shí)交直線 DC于點(diǎn)Q,那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí)

12、，設(shè) AP= x, CQ= v,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并 寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE= 1時(shí)，寫出AP的長./ A=Z D /ABP吆 APB-+Z A=180° , Z APB-+Z DPC吆 BPC=180 , / BPC4 A / ABP土 DPC . ABW DPC解得：AP=1 或 AP=4.(2)由(1)可知： ABW DPQ當(dāng)CE=1時(shí)，AP=2或 一.(1 V XV 4).點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用相似三角形得出線段間的比例關(guān)系是求解的關(guān)鍵.例3：如圖，在梯形ABCD中，AD / BC , AB CD BC 6 , AD 3 .點(diǎn)M為邊BC的

13、中點(diǎn)，以 M為頂點(diǎn)作EMF B ,射線ME交腰AB于點(diǎn)E ,射線MF交腰CD于點(diǎn)F ,聯(lián)結(jié)EF .(1)求證： MEF BEM ;(2)若 BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長；(3)若EF CD ,求BE的長1 .證明:AB=CD. 梯形ABC陰等腰梯形,/B=/ C;又/ EMF=/ B,則：/ CMF=18Qg- / EMF-Z BME=18Qg- / B-Z BMEh BEM.CMQBEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE. MF/EM=BM/BEZ EMFW B. . MES BEM.2 .解：當(dāng) BM=BE=3時(shí):MF/ME=BM/BE=1 則 MF=ME.EF/ BC;

14、又 BE=3=AB/2.故 EF為梯形的中位線，EF=(AD+BC)/2=9/2;當(dāng) ME=BM=3f: / MEB= B=Z C=Z FMC.連接DM.BM=BC/2=3=ADK BMFRT BM則四邊形ABMM平行四邊形./ DMC= B=Z FMC即 F 與 D重合，此時(shí) EF=CD=6.3 .解：; EF± CD;/ CFMW BMEW EFM. ./ EFM=45 =/ BME.作 EG! BMT G,則 EG=GMf AHL BMT H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH= V(AB2-BH2)=3 V15/2.設(shè) EG=GM=X,U BG=3-X.BG/BH=EG/

15、AH,(3-X)/(3/2)=X/(3V15/2),X=(45-3 V 15)/14.BE/BA=EG/AH即 BE/6=(45-3 V 15)/14/(3 V15/2),BE=(6 V15-6)/7.練習(xí)：如圖，已知邊長為3的等邊ABC，點(diǎn)F在邊BC上，CF 1，點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn),以線段EF為邊向右側(cè)作等邊EFG ,直線EG，F(xiàn)G交直線AC于點(diǎn)M , N ,(1)寫出圖中與 BEF相似的三角形；(2)證明其中一對(duì)三角形相似；(3)設(shè)BE x，MN y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(4)若AE 1 ,試求GMN的面積.解:(I)(3分？證明：<2 )在UBE

16、F與AME中，卜，20° ， < 1 分)，/GEF=6卜，20" ，zbef=zame，Cl#)/-ABEF« AAME ； f i 分)備用圖一備用圖二第：(3) Ci)當(dāng)點(diǎn)E在線段處上，點(diǎn)II、N在線段上時(shí)，如圖,/ABEF AANE ，-'-BE： AM=BF ： &E，即 t * ! AM= 2 J ( 3-it)，T + 3 Y-'-AM=_72同理可證BEFs/CFl'-BE： CF=BF： Clh即！把！ 1 = 2 ! CM-.ac=am+mn+cn5+y+ p X2jcC ii )省點(diǎn)E在線段AE上，點(diǎn)G在

17、虹C內(nèi)時(shí)，如信用圖一:同上可霄；A1i=* , CN=二, 2. x產(chǎn) 3-61：2x(ii)當(dāng)點(diǎn)E在軸段心上，點(diǎn)G在內(nèi)時(shí)，加備用圖一，同上可得：AM=一 J'，匚壯乙， 1XAC=AM+CN-HM>片_立空士口皿)F(11O當(dāng)點(diǎn)E在線段B&的n長線上時(shí)，加備用圄二,v-3jc2AM=_,匚口二一，2*,J&C=MH+CN-M» 42工2-3工 - 3=y+事工 2尸(# A 3 ) 1Lt粽上所述：y=-U*B2x綜上斫述：盧2x或L，d紀(jì)也d CQl);2x(4)(1)當(dāng)kE=1附，八6M兇是邊區(qū)為1等邊三角形，§Z1GMN=；乂 1 x

18、W=£ ；(1分)£2 4(ii)當(dāng)AE=1時(shí)爭"GUN是有一個(gè)角為3 口”的Rt A ,*FG-Xg”4乎1 3JJ 9 27JJ一線三直角型相似三角形例：已知矩形 ABCD中，CD=2, AD=3,點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn) A,D不重合，過點(diǎn)P作PE CP ,交邊AB于點(diǎn)E設(shè)PD x,AE y , (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫 出x的取值范圍。(2)如果 PCD勺面積是 AEP面積的4倍，求CE的長； 是否存在點(diǎn)P,使 APE沿PE翻折后，點(diǎn)A落在BC上？證明你的結(jié)論。解答：（1）解：: PH CP,AE _PA，可得： EAW PDC FD 3

19、,F - 3-r又 CD=Z AD=3,設(shè) PD=x, AE=y, .工?,p0< x< 3;(2)解：當(dāng) PCD勺面積是 AEP面積的4倍，AE _AP _1則：相似比為2： 1,CD 2,. CD=2 .1. AP=1, PD=2PE PC=2p,EC=1I.(3)不存在.作AU PE,交PE于O, BC于F,連接EF-5j ry. AFXPE, CP± PE.AF=CP=K-2 , pe= 。一丫)-y ,POACDP若 OA= AF篙一廣二斗工 -2 , 3x 2-6x+4=0=62-4X4X3=-12x 無解 因此,點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定，以及相似

20、三角形面積比是相似比的平方.相關(guān)練習(xí)1、(2009 虹口二模)如圖，在 ABC 中， C 90 , AC 6, 的中點(diǎn)，E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作 DEF 90 , EF交射線BC于點(diǎn)F .設(shè)BE x,BED的面積為y .BED的面積.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;(2)如果以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與BED相似，求(t)丁任&45仁中.ZC . AC = 6 . lanB =-二可求得: BC = AB = Q,拉點(diǎn)左伍£" _Lt用于則可求得；EH = % 門分)7- > = x4x - x = - Jr (O, < jc < -<x< 10),