《電動(dòng)力學(xué)》第2講PPT課件

1、矢量分析與場(chǎng)論教師姓名： 宗福建單位： 山東大學(xué)物理學(xué)院2014年9月12日重慶大學(xué) 謝樹(shù)藝 編 高等教育出版社 第1章 矢量分析 第2章 場(chǎng)論 場(chǎng) 數(shù)量場(chǎng)的方向和梯度 矢量場(chǎng)的通量及散度 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度 幾種重要的矢量場(chǎng)矢性函數(shù)( )( )( )( )( )xyzAA tA tA t iA t jA t k 矢性函數(shù)( )( )( )( )xyzA tA t iA t jA t k ( )( )( )( )xyzB tB t iB t jB t k ( )( )( )( )xyzC tC t iC t jC t k矢性函數(shù)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

2、( )xxyyzzxxyyzzABA tB t iA tB tjA tB t kA BA t B tA t B tA t B t 矢性函數(shù)(,)(,)xxyzyzxxyzyzAAA AAAAABBB BBBBB 矢性函數(shù)物理意義：(,)xxyyzzABABABAB 矢性函數(shù)物理意義：(,)xxyyzzABABABAB 矢性函數(shù)物理意義：(,)xxyzyzBA BA AABB cosA BA B 矢性函數(shù)xyzxyzijkA BAAABBBA BBA 矢性函數(shù)大小為A、B矢量圍成的平行四邊形面積，方向垂直于該平面。sinA BA B 矢性函數(shù)標(biāo)量，大小為矢量A、B、C圍成的平行六面體的體積。()

3、()()CA BA B CB CA 矢性函數(shù)()()()CA BB C AA C B 矢性函數(shù)的極限和連續(xù)性000000000000lim ( ) ( )lim ( )lim( )lim ( )( )lim( )lim( )lim ( )( )lim( ) lim( )lim ( )( )lim( ) lim( )ttttttttttttttttttttttttu t A tu tA tA tB tA tB tA t B tA tB tA tB tA tB t 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( )( )( )( )( )( )( )( )xyzxyzA tA t iA t jA t kA tA t iAt j

4、A t k 導(dǎo)矢在該處的切線上，其方向指向 t 增大的方向，導(dǎo)矢在幾何上為一切向矢量。矢性函數(shù)的微分( )( )( )( )( )( )( )( )xyzxyzA tA t iA t jA t kdA tdA t idA t jdA t k 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)0,()(2)(3),()dCCdtdddABABdtdtdtddAkA kdtdt 為常矢量（k為常量矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(4)(5)(6)ddud AuAAudtdtdtddBd AA BABdtdtdtddBd AA BABdtdtdt （矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(7)( ),( ),AA uuu td Ad A dudtdu dt

5、若而則有5()() ()A BAABBA B 例如：證明（ ）A BABA BABA BABA BAB ()A BBABABAtttt ()0()d A BdBd AdBABdtdtdtdtd A BdBd AABdtdtdt 矢性函數(shù)的積分( )( )( )( )( )( ) )( ) )( )xyzxyzA tA t iA t jA t kA t dtA t dt iA t dt jA t dt k 矢性函數(shù)的積分22112211( )( )( )( )( )( ) )( ) )( ) )xyzttxttttyzttA tA t iA t jA t kA t dtA t dt iA t d

6、t jA t dt k 場(chǎng)：如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定值，就說(shuō)在這空間里確定了該物理量的場(chǎng)。數(shù)量場(chǎng)：如果這物理量是標(biāo)量，就稱這個(gè)場(chǎng)為數(shù)量場(chǎng)，如溫度、密度等。矢量場(chǎng)：如果這物理量是矢量，就稱這個(gè)場(chǎng)為矢量場(chǎng)，如力、速度等。數(shù)量場(chǎng)的等值線：比如地形圖上的等高線，氣象圖上的等溫線、等壓線等。方向?qū)?shù)的定義 設(shè)M0為數(shù)量場(chǎng) u=u(M) 中的一點(diǎn)，從M0出發(fā)引一條射線L，在L上點(diǎn)M0的臨近取一動(dòng)點(diǎn)M，記M0M的長(zhǎng)度為，若當(dāng)MM0時(shí)， 的極限存在，則稱它為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M0處沿L方向的方向?qū)?shù)。00()()u Mu MuM M32方向?qū)?shù)的定義 方向?qū)?shù)是函數(shù)u(M

7、)在一個(gè)點(diǎn)處沿某一方向?qū)嚯x的變化率。 在直角坐標(biāo)系中，u=u(x,y,z), Cos, Cos, Cos為L(zhǎng)方向上的方向余弦，則coscoscoscoscoscoslijkuuuulxyz證明如下：0()()coscoscosuu Mu Muuuxyzxyzuuxuyuzxyzuuuulxyz 方向?qū)?shù)的定義coscoscoscoscoscos()lijkuuuulxyzuuuijk lxyz 定義梯度uuuGijkxyzuG ll 梯度在給定點(diǎn)處為一固定矢量。梯度在某一方向上的投影等于函數(shù)在該方向上的方向?qū)?shù)。梯度的方向就是函數(shù)方向?qū)?shù)最大的方向，其模也等于該最大變化率的數(shù)值。引入哈米頓(

8、Hamilton)算子( )ijkxyzgrad uu 哈米頓(Hamilton)算子NablaNabla is the symbol (). The name comes from the Greek word for a Hebrew harp, which had a similar shape. Related words also exist in Aramaic and Hebrew. The symbol was first used by William William RowanRowan HamiltonHamilton in the form of a sideways

9、wedge. Another, less-common name for the symbol is atled (delta spelled backwards), because the nabla is an inverted Greek letter delta. In actual Greek usage, the symbol is called xxx, which means upside-down delta.40哈米頓(Hamilton)算子NablaNabla is the symbol (). The name comes from the Greek word for

10、 a Hebrew harp, which had a similar shape. Related words also exist in Aramaic and Hebrew. The symbol was first used by William William RowanRowan HamiltonHamilton in the form of a sideways wedge. Another, less-common name for the symbol is atled (delta spelled backwards), because the nabla is an in

11、verted Greek letter delta. In actual Greek usage, the symbol is called xxx, which means upside-down delta.引入哈米頓(Hamilton)算子()ijkxyzuijkuxyzuuuijkxyz 引入哈米頓(Hamilton)算子() ()xyzxxxAijkA iA jA kxyzAAAxyz 引入哈米頓(Hamilton)算子() ()xyzxyzAijkA iA jA kxyzijkxyzAAA 2(1)0,()(2) (),()(3) ()(4) ()(5) ( )(6)( )( )c

12、ccuc u cuvuvuvu vv uuv uu vvvf ufuu 為常量為常量通量的定義： 設(shè)有矢量場(chǎng)A(M)，沿某一有向曲面S的曲面積分 叫做矢量場(chǎng)A(M)正向穿過(guò)曲面S的通量。()nssxyzsA dsA dSA dydzA dxdzA dxdy 散度的定義：0limsVyxzA dSdivAVAAAAxyz ()()()( )()sVdivAAABABuAuAu Ad AA uuduA dSA dV 480lim()sVssA dSAVA dSA dVVA dSV 環(huán)量的定義： 設(shè)有矢量場(chǎng)A(M)，沿某一有向曲線L的曲線積分()xyzA dlA dxA dyA dz 旋度的定義：0

13、limsA dlrotAsA ()lSrotAAA dlA dS 520lim()sSlA dlAsA dlA dSsA dls ()()()()( )()0()0cAcAABABuAuAuAA BBAABd AA uuduuA ()yxzxyzijkxyzgraduuijkuxyzAAAdivAAxyzijkrotAAxyzAAA uAA 是一個(gè)矢量性微分算子，因此它在計(jì)算時(shí)具有矢量性和微分性雙重性質(zhì)作用在一個(gè)數(shù)性或矢性函數(shù)上時(shí)，其方式僅有三種：，222222xyzxyzAAAAxyz 定義：拉普拉斯算子為了使用方便，引入(1) (),()(2)(),()(3)()(4) ()(5)()(6

14、)()cuc u cucAcA AcAcAuvuvABABABAB 為常量， 為數(shù)性函數(shù)為矢性函數(shù)(7)(),()(8)(),()(9) ()(10)(),()(11)()(12) ()()()()()ucu c cuucuc cuuvu vv uuAuAu A AuAuAuAA BABABBAB 為常矢量， 為數(shù)性函數(shù)為常矢量， 為數(shù)性函數(shù)為矢性函數(shù)A 2(13)()()()(14)()()()()()(15)()(16)()0(17)()0(18)()()A BBAABA BBAABBAABuuuuAAAA ,(19)(20)3(21)0(22)( )( )(23)( )( )rxiy j

15、zk rrrrrrrf ufuurf rfrr 若，則有：3,(24) ( ) 0(25)()0(26)(),()(27)(),()sVlSrxiy jzk rrf r rrrA dSA dVA dlA dS 若，則有：奧氏公式斯托克斯公式222222111()11()1()()11()rzzrzrzrrzeeerrzrrrrrzfffrfrrrzfffffeerzzrfrferrr 坐標(biāo)：（r, ,z）222222222211sin111()(sin)sinsin111()(sin)sinsin11(sin)sinsinrrrreeerrrrrrrrrffr ffrrrrffffer 坐標(biāo)：

16、（r, , ）()1()rrferfrferr ,xxxyxzxyxyyyzyxyzzxzyzzzABABABA BA BA BAABA BA BA BABBBA BA BA BAABBA 并矢：兩個(gè)矢量 和 并列，他們之間不作任何運(yùn)算，稱為并矢。寫(xiě)為：把并矢看作一個(gè)量。一般來(lái)說(shuō)：1112132122233132339100010001TTTTTTTTT張量：張量是具有 個(gè)分量的物理量，并矢是張量的一種特殊情況。稱為單位張量。()()()xxyzxyzyzxxyzxyzyzxxyzyzAAA iA jA kAAAAABBB iB jB kBBBBBBA BAAABB 設(shè)則，(),()()xxyzyzxyxyzzxyxyzzBA BAAABBAABABBBABBABAAAB ()()11()()22xyxyzzxyxyzzAABABBBABBABAAABABABBAABBA ()()()()()()()()()()()()xxyxyzyzzxxyzyxyzzACAB CABBBCA B CACACABCCCABBBC A BAAB CA B CA C B