人教數(shù)學(xué)(A版)培訓(xùn)手冊之四十四函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)...

1、人教數(shù)學(xué)（A版）培訓(xùn)手冊之四十四函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)建議2007-07-09  人教網(wǎng)函數(shù)的應(yīng)用在傳統(tǒng)教材中沒有獨(dú)立成章，內(nèi)容只涉及到一些簡單的實(shí)際問題的解決普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)1則將函數(shù)的應(yīng)用獨(dú)立成章，共九個(gè)課時(shí)，不僅使函數(shù)的應(yīng)用大大加強(qiáng)，而且在內(nèi)容上也有了很大的擴(kuò)充，其中像函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、二分法、不同類型函數(shù)的增長差異等內(nèi)容還是首次進(jìn)入中學(xué)教材這就給中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了新的問題，教師不僅普遍感到難教，而且教學(xué)也不易到位這里就如何搞好本章的教學(xué)提出一些參考建議一、教學(xué)指導(dǎo)思想（一）促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解是貫穿必修課程第一模塊的一個(gè)重要

2、任務(wù)對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，并非一次就可以實(shí)現(xiàn)，它需要一個(gè)螺旋上升循序漸進(jìn)的過程在初中，學(xué)生已經(jīng)從變量關(guān)系的角度認(rèn)識(shí)了函數(shù)的定義及簡單的一次函數(shù)、二次函數(shù)等在本模塊的前兩章，學(xué)生又由初中變量關(guān)系的角度上升到集合與對(duì)應(yīng)的角度來認(rèn)識(shí)函數(shù)的定義及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)是一個(gè)抽象的概念，也是一個(gè)具有豐富現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)概念，在此之前學(xué)生就是從函數(shù)的實(shí)際背景出發(fā)，抽象概括出函數(shù)的定義因此，要幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)概念，在此基礎(chǔ)上，還要讓學(xué)生回到實(shí)際中，通過本章的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題的過程中，逐步加深對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，從而實(shí)現(xiàn)由具體到抽象再到具體的認(rèn)識(shí)過程（二）突出函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的基

3、本數(shù)學(xué)模型必修課程第一模塊強(qiáng)調(diào)函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型在本模塊的前兩章，教科書就已經(jīng)從函數(shù)概念到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，選取了大量的背景實(shí)例和應(yīng)用實(shí)例滲透這種想法在第三章的教學(xué)中，更要結(jié)合教科書的實(shí)際，從用函數(shù)的觀點(diǎn)解決方程近似解的問題，到比較不同函數(shù)模型的增長差異，以及運(yùn)用函數(shù)模型和建立函數(shù)模型解決問題，不斷地提供機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型（三）以問題為中心，注重背景，展現(xiàn)過程，引導(dǎo)積極的學(xué)習(xí)教科書在本章選擇了許多背景實(shí)例和應(yīng)用實(shí)例，教學(xué)時(shí)要以問題為中心，強(qiáng)調(diào)背景，讓學(xué)生體會(huì)到所研究的函數(shù)來源于實(shí)際，這些函數(shù)模型在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用極為廣泛，它

4、們分別刻畫了現(xiàn)實(shí)世界中某類變化規(guī)律，學(xué)習(xí)這些函數(shù)是有必要的；讓學(xué)生感到問題的解決是水到渠成的、自然的，而不是強(qiáng)加于人的以便有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的實(shí)際背景另外，還應(yīng)結(jié)合教科書中實(shí)例的豐富背景，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候提出問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、概括、交流、反思的思維過程，經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程，并利用教科書的留白、留空鼓勵(lì)學(xué)生積極參與這個(gè)過程，主動(dòng)思考、自主探索，從而達(dá)到積極的學(xué)習(xí)（四）以聯(lián)系為紐帶，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身和新課程模塊式的結(jié)構(gòu)，都需要我們充分關(guān)注知識(shí)內(nèi)容間的聯(lián)系本章內(nèi)容不僅注重函數(shù)知識(shí)與實(shí)際的聯(lián)系，更注重不同函數(shù)知識(shí)間的聯(lián)系，以及函數(shù)知識(shí)與其他相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系，通過綜合運(yùn)用不同的知

5、識(shí)解決實(shí)際問題所以，教學(xué)應(yīng)結(jié)合教科書內(nèi)容突出知識(shí)之間的聯(lián)系，以使學(xué)生能夠感受到不同知識(shí)間的聯(lián)系，從整體上把握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)例如，在研究不同增長的函數(shù)模型時(shí)，就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從表格和圖象這兩種角度出發(fā)，發(fā)現(xiàn)不同函數(shù)模型的區(qū)別與聯(lián)系；在選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際問題，比較不同函數(shù)模型在刻畫實(shí)際問題時(shí)的優(yōu)劣，從而體會(huì)它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；在研究用二分法求方程近似解時(shí)，就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象求方程近似解的過程中，看到函數(shù)與方程之間的聯(lián)系（五）以知識(shí)應(yīng)用為契機(jī)，培養(yǎng)問題解決的意識(shí)知識(shí)的應(yīng)用就是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題本章內(nèi)容主要體現(xiàn)了函數(shù)知識(shí)與實(shí)際的聯(lián)系、

6、函數(shù)知識(shí)的廣泛應(yīng)用，教學(xué)應(yīng)以此為契機(jī)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決相關(guān)問題的過程中，養(yǎng)成提出問題、分析問題、解決問題、回答問題的習(xí)慣，培養(yǎng)他們問題解決的意識(shí)，并提高他們的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力（六）以思想方法為核心，同時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)文化本章蘊(yùn)含了豐富的思想方法，并以思想方法為核心統(tǒng)領(lǐng)整章的內(nèi)容在教學(xué)中，我們希望教師不僅要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)概念上有所收獲，在研究數(shù)學(xué)對(duì)象的研究方法上得到啟發(fā)，而且要讓他們感受到思想方法的力量和作用，使教學(xué)成為以思想方法為核心的教學(xué)本章主要的思想方法有數(shù)形結(jié)合、用函數(shù)觀點(diǎn)研究問題、數(shù)學(xué)建模但這些思想方法不是一次就能讓學(xué)生理解或掌握，教學(xué)應(yīng)以教科書的內(nèi)容為載體，設(shè)計(jì)成不同的臺(tái)階，提出

7、不同層次的要求，有意識(shí)地培養(yǎng)，讓學(xué)生逐漸理解或掌握它們像數(shù)形結(jié)合和用函數(shù)觀點(diǎn)研究問題的思想方法在本模塊中的應(yīng)用都非常普遍，是本模塊蘊(yùn)含的重要思想方法，在本章的教學(xué)中應(yīng)提出較高的要求例如，在本章研究幾類不同函數(shù)模型的增長情況時(shí)，不僅需要頻繁地使用數(shù)形結(jié)合的思想方法，而且對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法還有較高層次的要求像數(shù)學(xué)建模的思想方法，在本章之前學(xué)生只有初步認(rèn)識(shí)，尚無系統(tǒng)學(xué)習(xí)，本章的教學(xué)也不必一次到位提出較高的要求只需讓學(xué)生通過利用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題體會(huì)建立函數(shù)模型的過程，從而向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)建模的思想教學(xué)應(yīng)抓住這些機(jī)會(huì)，不僅讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的概念和性質(zhì)，更要突出數(shù)學(xué)思想方法，將以思想方法為核心的教

8、學(xué)落到實(shí)處本章的例題、練習(xí)、習(xí)題和閱讀與思考欄目都汲取了不少數(shù)學(xué)文化的素材，教學(xué)應(yīng)對(duì)此給予關(guān)注，以使學(xué)生不僅在知識(shí)和能力方面得到提高，而且能夠受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，提高科學(xué)文化素養(yǎng)（七）注重信息技術(shù)的使用，改進(jìn)教學(xué)方式與學(xué)習(xí)方式本章內(nèi)容普遍涉及到求函數(shù)值、作函數(shù)圖象、研究函數(shù)性質(zhì)、擬合函數(shù)等，這些內(nèi)容的教學(xué)都需要使用信息技術(shù)信息技術(shù)是一種有效的認(rèn)知工具，能夠?yàn)閷W(xué)生進(jìn)行自主探究提供強(qiáng)有力的平臺(tái)通過使用信息技術(shù)，可以避免繁瑣的計(jì)算，呈現(xiàn)其他教學(xué)手段難以呈現(xiàn)的內(nèi)容，并使數(shù)學(xué)對(duì)象得以多元聯(lián)系地表示，使教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式得到改進(jìn)，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而主動(dòng)地探索和研究數(shù)學(xué)，使學(xué)習(xí)得到

9、加強(qiáng)所以，注重信息技術(shù)的使用，并通過使用信息技術(shù)改進(jìn)教學(xué)方式與學(xué)習(xí)方式，是本章教學(xué)比其他章節(jié)教學(xué)更迫切的任務(wù)二、具體內(nèi)容的教學(xué)建議（一）函數(shù)與方程本單元是函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的一個(gè)應(yīng)用在本單元教學(xué)之始，應(yīng)該對(duì)整個(gè)單元的教學(xué)有一個(gè)整體的構(gòu)思首先要將求方程近似解的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的問題從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)與二次方程入手，借助對(duì)圖象的觀察獲得二次函數(shù)的零點(diǎn)與二次方程根的關(guān)系，并將這種關(guān)系推廣到了一般情形如果要求函數(shù)的零點(diǎn)，應(yīng)該先明確函數(shù)零點(diǎn)存在性的問題，這也就是接下來研究的第二個(gè)問題通過引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)f(x)=x22x3的零點(diǎn)所在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值乘積的特點(diǎn)，介紹函數(shù)零點(diǎn)存在的條件繼而，第三個(gè)問題就

10、是如何求函數(shù)的零點(diǎn)可以利用教科書給出的例子lnx2x6=0，面對(duì)這樣的方程，引導(dǎo)學(xué)生尋求解決問題的新方法，通過具體操作，最后獲得了二分法求方程近似解的步驟1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教材是從特殊情況出發(fā)，先通過研究幾個(gè)具體的一元二次方程的根與其相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，再逐步將得到的關(guān)系推廣到一般情形本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)就是要讓學(xué)生了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系為了達(dá)到這一教學(xué)目標(biāo)，可結(jié)合教材內(nèi)容，處理好以下幾個(gè)問題：（1）研究函數(shù)零點(diǎn)的必要性初學(xué)者大多不清楚為什么要研究函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)樵诖酥八麄兌寄苡霉椒ㄇ蠓匠痰母绻麕е@樣的疑慮學(xué)習(xí)，必然會(huì)降低其求知欲，從而影響學(xué)習(xí)的效果所以，教學(xué)時(shí)可首先考

11、慮解決這一問題通過舉例讓學(xué)生知道，大多數(shù)方程都不能用公式法求解，為了研究更多方程的根，就有必要學(xué)習(xí)函數(shù)的零點(diǎn)這樣做，還為接下來學(xué)習(xí)二分法埋下了伏筆（2）為什么要以二次函數(shù)和相應(yīng)的一元二次方程為例來建立函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系由于學(xué)生對(duì)二次函數(shù)和一元二次方程都具有較好的認(rèn)知基礎(chǔ)，并且一元二次方程的根的存在性又有多種情況，所以從二次函數(shù)和相應(yīng)的一元二次方程出發(fā)，不僅可以較容易地建立起它們之間的關(guān)系，而且方程根的情況具有代表性這樣，由具體到一般，才能自然地使問題得到推廣如果選擇更簡單的函數(shù)和方程，如一次函數(shù)和一元一次方程，雖然更容易建立起它們之間的關(guān)系，但方程根的情況單一不具有代表性，不利于將問題推

12、廣；如果選擇復(fù)雜的函數(shù)和方程，雖然能激發(fā)起學(xué)生的求知欲，但卻不易建立起它們之間的關(guān)系，同樣也不利于將問題推廣（3）怎樣建立函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系首先，要引導(dǎo)學(xué)生在形式上關(guān)注一元二次方程和相應(yīng)二次函數(shù)的聯(lián)系，即使函數(shù)yax2bxc（a0）的值為0時(shí)自變量x的取值，就是方程ax2bxc0（a0）的根然后，從形式出發(fā)來探索問題的本質(zhì)利用二次函數(shù)的圖象，可以直觀地發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根和相應(yīng)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而了解求方程的根就是確定函數(shù)的零點(diǎn)這一本質(zhì)雖然教材在說明具體的一元二次方程和相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系對(duì)一般的一元二次方程和相應(yīng)二次函數(shù)也成立時(shí)，是利用判別式來說明一元二次方程根的情況，但這并

13、不意味著方程根存在的本質(zhì)在于判別式因?yàn)榕袆e式僅僅是一元二次方程獨(dú)有，用判別式來說明一元二次方程根的情況也僅僅是一種方法，而方程根存在的本質(zhì)在于相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)情況（4）在求已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)需要注意的問題在求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)先作出函數(shù)圖象，再直觀發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后給出形式化的說明但要注意以下問題：對(duì)于有的函數(shù)，只能利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)才能方便地作出其圖象，所以教學(xué)要盡可能地使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)如果不具備信息技術(shù)的條件，可考慮將教材中的部分函數(shù)進(jìn)行加工，使得學(xué)生能夠畫出它們的圖象另外，教材的例題同時(shí)給出了函數(shù)圖像和表格，這是為了便于在教學(xué)中讓學(xué)生多角度地進(jìn)行觀察，多元聯(lián)系地將函數(shù)的

14、零點(diǎn)表示出來學(xué)生在做練習(xí)和習(xí)題時(shí)，只需畫出函數(shù)圖象即可對(duì)于函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)的情況，根據(jù)教學(xué)要求，教材只介紹了函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，而對(duì)于函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，教材沒有介紹，教學(xué)也不必做補(bǔ)充在給出零點(diǎn)個(gè)數(shù)的形式化說明時(shí)，由于f(a)·f(b)<0只能說明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，要說明它只有一個(gè)零點(diǎn)還需證明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)但目前，這對(duì)學(xué)生的要求還偏高所以，在這里要適當(dāng)控制教學(xué)要求，一方面可選擇合適的函數(shù)要求學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；另一方面，對(duì)于難以利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明的，只要求學(xué)生能根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性即可總之，在證

15、明函數(shù)單調(diào)性方面，應(yīng)把握一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，待今后學(xué)習(xí)了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之后再作統(tǒng)一的要求2用二分法求方程的近似解 這部分內(nèi)容的主要教學(xué)目標(biāo)是，根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器等信息技術(shù)工具用二分法求相應(yīng)方程的近似解要達(dá)到這一教學(xué)目標(biāo)，關(guān)鍵是處理好以下幾個(gè)教學(xué)問題： （1）如何引入教學(xué) 應(yīng)以一個(gè)學(xué)生能用已有方法求解的方程引入，例如一元二次方程，還是以一個(gè)學(xué)生不能用已有方法求解的方程引入？如果以一個(gè)學(xué)生能用已有方法求解的方程引入，雖然對(duì)學(xué)生來說問題較為簡單，但學(xué)生勢必會(huì)對(duì)引入二分法的必要性產(chǎn)生懷疑，從而影響教學(xué)的效果所以，還是以一個(gè)學(xué)生不能用已有方法求解的方程引入為佳例

16、如用教材中的方程lnx2x60引入，學(xué)生用已有方法就不能求解，這時(shí)再引入二分法，學(xué)生就能認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)的必要性，并容易激發(fā)起學(xué)習(xí)的積極性在此基礎(chǔ)上，還要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，解方程的方法除了公式法，學(xué)生知道得就很少然而能用公式法解的方程畢竟是少數(shù)，絕大多數(shù)方程只能研究其近似解二分法正是一種常用的求方程近似解的方法 （2）如何介紹二分法 在上一節(jié)的教學(xué)中，已經(jīng)研究了函數(shù)f(x)lnx2x6在區(qū)間（2，3）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以本節(jié)教學(xué)可以直接介紹如何找出這個(gè)零點(diǎn) 首先，引導(dǎo)學(xué)生去思考將零點(diǎn)所在區(qū)間縮小的方法要讓學(xué)生對(duì)他們所提出的方法進(jìn)行比較，然后提出二分區(qū)間的方法這里，教師可以通過

17、一些形象的例子讓學(xué)生體會(huì)到二分法的思想 其次，讓學(xué)生利用二分區(qū)間的方法，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，通過計(jì)算函數(shù)f(x)lnx2x6的零點(diǎn)在所得區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的乘積，來具體尋找該函數(shù)零點(diǎn)的近似值 最后，歸納出求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟 （3）如何引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)二分法的本質(zhì) 二分法的本質(zhì)就是根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在的條件不斷地把函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)它由二分法的步驟具體體現(xiàn)要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)二分法的本質(zhì)，關(guān)鍵是解決好以下幾個(gè)問題： 幫助學(xué)生理解二分法的步驟 由于二分法的步驟具有程序性、條件性和循環(huán)性，比以往的方法步驟都復(fù)雜，

18、學(xué)生理解起來可能會(huì)有困難在教學(xué)中，可以引入程序框圖，利用它來幫助學(xué)生直觀地理解二分法的步驟這樣還可以為后面學(xué)習(xí)算法奠定基礎(chǔ) 重視信息技術(shù)的使用 用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，需要根據(jù)函數(shù)圖象確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，還要計(jì)算函數(shù)零點(diǎn)在所得區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，如果不使用信息技術(shù)，這些工作會(huì)相當(dāng)繁瑣，甚至?xí)菇虒W(xué)寸步難行，這就直接影響到學(xué)生對(duì)二分法本質(zhì)的關(guān)注，以及其學(xué)習(xí)的興趣所以，在用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)必須使用信息技術(shù)，這既是課標(biāo)的要求，更是內(nèi)容的需要 在二分法這部分內(nèi)容里，教材通過“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目介紹了三種利用信息技術(shù)求方程近似解的方法，這既是為了滿足學(xué)生不同的技

19、術(shù)環(huán)境，也是為了讓學(xué)生通過操作接觸到求方程近似解的多種方法，從中對(duì)二分法有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí) 進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練 二分法具有較強(qiáng)的程序性，對(duì)于這種方法的掌握，是需要通過具體操作來內(nèi)化實(shí)現(xiàn)的所以，在課堂教學(xué)內(nèi)外，都需要讓學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練這不僅有助于學(xué)生知道二分法及其步驟，而且還有助于學(xué)生明白二分法的思想和原理 （4）突出思想方法 數(shù)學(xué)的各種知識(shí)構(gòu)成了一個(gè)巨大的網(wǎng)絡(luò)，每一個(gè)知識(shí)并不是孤立存在的，它和其他某些知識(shí)間都存在著一定的聯(lián)系函數(shù)與方程也是如此二分法就是以函數(shù)圖象為連結(jié)點(diǎn)，將函數(shù)與方程有機(jī)地聯(lián)系在一起，然后利用函數(shù)的性質(zhì)，求方程的近似解介紹二分法，不僅要說明這是

20、一種常用的求方程近似解的方法，而且還要強(qiáng)調(diào)函數(shù)與方程間的聯(lián)系，突出函數(shù)與方程的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題 二分法就是一種算法教學(xué)應(yīng)有意識(shí)地通過介紹二分法滲透算法的思想，讓學(xué)生逐步地認(rèn)識(shí)算法，為后面的算法學(xué)習(xí)作了一定的鋪墊 （5）幾個(gè)需要注意的問題 怎樣看待二分法的運(yùn)用技巧 由于用二分法求某些函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，要找到符合精度要求的解值區(qū)間，需要經(jīng)過大量重復(fù)的運(yùn)算根據(jù)函數(shù)圖象確定零點(diǎn)所在的區(qū)間不同，所涉及到的運(yùn)算量也會(huì)不同于是有人提出了一些減少運(yùn)算量的技巧，利用這些技巧的確能減少某些題的運(yùn)算量但教學(xué)不能將重點(diǎn)放在介紹這些技巧上，畢竟這些技巧只適

21、用于個(gè)別題，而不適用于解決普遍的問題所以，教學(xué)應(yīng)該突出二分法的步驟，體現(xiàn)二分法的一般思想，不拘泥于技巧 如何判斷所求函數(shù)零點(diǎn)的近似值是否達(dá)到規(guī)定的精確度 給定精確度e，如果函數(shù)的零點(diǎn)x0（a，b），|ab | <e，那么a，b上的每一個(gè)實(shí)數(shù)都是函數(shù)零點(diǎn)的近似值對(duì)此，學(xué)生可能難以理解教師可以引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合地認(rèn)識(shí)如圖，|ab | <e說明數(shù)軸上a、b兩點(diǎn)的距離小于e，則a，b上任意兩點(diǎn)間的距離都小于e于是由x0（a，b）可知，a，b上任意一點(diǎn)到x0的距離都小于e，即取a，b上任意一個(gè)實(shí)數(shù)作函數(shù)零點(diǎn)的近似值，都達(dá)到規(guī)定的精確度 （二）函數(shù)模型及其應(yīng)用

22、60;本單元主要介紹函數(shù)模型在解決現(xiàn)實(shí)問題方面的應(yīng)用在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)模型有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等當(dāng)面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，教學(xué)首先要解決的是如何選擇這些函數(shù)模型可從事物的增長或衰減情況入手，研究不同增長函數(shù)模型間的差異然后，教學(xué)要研究如何根據(jù)不同類函數(shù)模型的增長特性，選擇合適的函數(shù)模型解決現(xiàn)實(shí)問題 1幾類不同增長的函數(shù)模型     本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)是利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異；并結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義要達(dá)到這一教學(xué)目標(biāo)，關(guān)鍵是處理好以下幾個(gè)教學(xué)問題： &

23、#160;   （1）如何從整體上把握本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)     根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)只需要求學(xué)生利用圖象或數(shù)表，對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異作直觀了解，不必給出形式化的證明在教學(xué)過程中，按照直觀感知具體函數(shù)一般化的層次，從具體問題出發(fā)，對(duì)具體函數(shù)進(jìn)行比較，然后將將結(jié)論推廣到一般的函數(shù)，從而完成教學(xué)任務(wù)     （2）教學(xué)從何入手 可以說，以前學(xué)生從未接觸過不同函數(shù)的增長差異問題從何處下手研究是一難點(diǎn)教師可考慮從具有明顯增長差異的實(shí)際問題入手，例如選取教材中的兩個(gè)例子來創(chuàng)設(shè)問題情景

24、這兩個(gè)問題情境還有一個(gè)共同點(diǎn)就是，如果要做出合理的選擇，就需要對(duì)刻畫不同方案的函數(shù)模型的增長情況做出比較讓學(xué)生通過利用圖象和數(shù)表比較有關(guān)的函數(shù)，自然就會(huì)對(duì)不同函數(shù)的增長差異有一個(gè)直觀、感性的認(rèn)識(shí)，即意識(shí)到不同函數(shù)的增長是有差異的     （3）如何比較函數(shù)y=2x、y=log2x和y=x2的增長差異     選擇比較的方法是教學(xué)的關(guān)鍵針對(duì)這三個(gè)具體的函數(shù)，圖象和表格兩者缺一不可，即采用數(shù)形結(jié)合的方法但這里對(duì)數(shù)形結(jié)合的方法有較高的要求，因?yàn)閮H在某一范圍內(nèi)通過圖象和表格是不能全面比較出這三個(gè)函數(shù)，特別是y=2x和y=x

25、2的增長差異所以，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用信息技術(shù)，作出這些函數(shù)的圖象和表格，采取逐步擴(kuò)大自變量取值范圍的方法，從局部到大范圍再到更大范圍，將這些函數(shù)進(jìn)行“多元聯(lián)系表示”，對(duì)各個(gè)函數(shù)在不同范圍的增長情況進(jìn)行比較，最后再將不同范圍的結(jié)果進(jìn)行歸納得出結(jié)論 2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例 本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)是收集一些社會(huì)生活中普遍使用的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)模型實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用在實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的教學(xué)過程中，要著重解決好以下幾個(gè)問題： （1）如何正確把握教學(xué)目標(biāo) 收集函數(shù)模型，主要通過介紹教科書中的例題、練習(xí)和習(xí)題，以及師生收集加工課外的實(shí)例來實(shí)現(xiàn)

26、 教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在讓學(xué)生了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用上而實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵在于，突出函數(shù)模型應(yīng)用的廣泛，控制問題的難度所以，教學(xué)所選取的實(shí)例既要典型，又要涉及廣泛的實(shí)際面和各種學(xué)生所學(xué)過的函數(shù)但主要還是應(yīng)用的層次要廣泛，應(yīng)該包括以下三個(gè)應(yīng)用層次：一是利用已知函數(shù)模型解決問題，如教材的例3、例4；二是通過建立“確定性”函數(shù)模型解決問題，如教材的例5；三是根據(jù)已知數(shù)據(jù)擬合函數(shù)解決問題，如教材的例6通過不同的實(shí)例，讓學(xué)生感受到函數(shù)的廣泛應(yīng)用，并初步體驗(yàn)下列建立函數(shù)模型解決問題的過程與方法  （2）例題教學(xué)應(yīng)注意的問題 例3所給出的函數(shù)模型是一個(gè)速度-時(shí)間圖象，要

27、根據(jù)它求出路程關(guān)于時(shí)間的解析式模型，并由所的解析式畫出路程-時(shí)間的圖象模型第一問求陰影部分的面積并說明其實(shí)際含義，教學(xué)不應(yīng)只滿足回答此問題，應(yīng)把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生以此了解已知圖象的數(shù)學(xué)本質(zhì)上，并為今后研究積分奠定基礎(chǔ)；第二問是將一種圖象模型向另一種圖象模型和解析式模型轉(zhuǎn)化，教學(xué)要注意突出其具有的現(xiàn)實(shí)意義 例4給出的函數(shù)模型是一個(gè)解析式，要根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出該解析式這是一個(gè)經(jīng)典的實(shí)際模型，熟悉和應(yīng)用這個(gè)模型都具有現(xiàn)實(shí)意義教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生了解，該模型只能大致描述自然狀態(tài)下的人口增長情況，而對(duì)于受到人為影響的人口增長情況，如計(jì)劃生育，則需要用其他數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述當(dāng)求出解析式后，還可進(jìn)一步給出其圖象

28、，這樣做，一是為了讓學(xué)生直觀地了解所得數(shù)學(xué)模型與實(shí)際情況的吻合情況，二是為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，為之后函數(shù)擬合的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ) 例5是通過建立“確定性”函數(shù)模型解決問題學(xué)生過去曾接觸過不少這類問題，但以往很少遇到能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過程的問題而本體無論是題目的立意、解題時(shí)變量的選擇、函數(shù)關(guān)系式的建立還是問題的回答，都與問題解決的數(shù)學(xué)思想較為貼近教學(xué)時(shí)要留給學(xué)生獨(dú)立思考的空間，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，切忌誘導(dǎo)過度，使學(xué)生的思想方法和思維訓(xùn)練得不到落實(shí)           

29、0;                                  例6是根據(jù)已知數(shù)據(jù)擬合函數(shù)解決問題所選擇的模型應(yīng)該是多樣的，但要用所得模型進(jìn)行已知數(shù)據(jù)范圍之外的預(yù)測可能會(huì)不可靠由于教學(xué)所選擇的信息技術(shù)手段不同，所得的結(jié)果會(huì)有所不同教學(xué)應(yīng)以突出函數(shù)擬合的思想方法為

30、主為了控制與實(shí)際結(jié)果的誤差，教師在選擇這樣的實(shí)際問題時(shí)，可對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)作人為修改 通過本節(jié)例題的教學(xué)，要讓學(xué)生熟悉各種函數(shù)模型的特征；學(xué)會(huì)選擇合適函數(shù)模型描述事物；能將一種形式的模型轉(zhuǎn)化為另一種形式，并以此更好地解釋問題；學(xué)會(huì)簡單的數(shù)學(xué)建模，進(jìn)而更好地分析和解決實(shí)際問題三、教學(xué)設(shè)計(jì)案例 這里通過“幾類不同增長的函數(shù)模型”一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)案例，說明如何體現(xiàn)上述教學(xué)指導(dǎo)思想和建議 幾類不同增長的函數(shù)模型 （一）教學(xué)內(nèi)容解析 本節(jié)教學(xué)主要是比較已學(xué)函數(shù)模型的增長差異，重點(diǎn)是比較一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長差異雖然這是一個(gè)學(xué)生從未接觸過的問題，但

31、研究問題所需要的知識(shí)是學(xué)生已經(jīng)掌握的，所要用到的方法學(xué)生也是能夠理解的在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的概念、圖象和單調(diào)性，并會(huì)數(shù)形結(jié)合地分析函數(shù)的性態(tài)這樣，就可以引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)的圖象和表格，直觀感知不同函數(shù)模型的增長差異，并結(jié)合函數(shù)的概念和單調(diào)性，從具體到一般歸納概括出一般函數(shù)的增長特性通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，學(xué)生可以逐步對(duì)函數(shù)的增長性有所了解，為接下來選擇函數(shù)模型刻畫實(shí)際問題，以及今后進(jìn)一步研究函數(shù)的增長性奠定基礎(chǔ)，并從中進(jìn)一步體會(huì)由具體到一般的思維方法 （二）教學(xué)目標(biāo)解析 1從具體實(shí)例出發(fā)，通過數(shù)形結(jié)合地比較有關(guān)函數(shù)圖象和表格中

32、數(shù)據(jù)的差異，解決實(shí)際問題，從中體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義，以及這幾類函數(shù)的不同增長特性 2利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)等信息技術(shù)工具，作出具體函數(shù)在不同范圍的圖象和表格，通過比較所作圖象和表格，直觀感知這幾類函數(shù)的增長差異，不必給出形式化的證明，并在此過程中進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合的思想方法，學(xué)會(huì)從不同角度看問題，提高從具體到一般的思維能力 （三）教學(xué)問題診斷分析 1從何入手進(jìn)行研究可能是教學(xué)遇到的第一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)樵诖酥皩W(xué)生從未接觸過不同函數(shù)的增長差異問題教師可考慮選擇具有明顯增長差異的實(shí)際問題來創(chuàng)設(shè)問題情景，首先讓學(xué)生從圖象上感知不同函數(shù)的增長是

33、有差異的，然后再讓學(xué)生數(shù)形結(jié)合地對(duì)不同函數(shù)的增長特性有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，最后再從具體到一般初步形成直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的概念 2如何通過比較函數(shù)y=2x、y=log2x和y=x2的增長差異，特別是比較函數(shù)y=2x和y=x2的增長差異，形成對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)這三類函數(shù)增長差異的一般性認(rèn)識(shí)，可能是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的最大障礙因?yàn)閷W(xué)生從某一范圍的圖象或表格都難以真正看出上述三個(gè)具體函數(shù)的增長差異根據(jù)這一情況，教師可引導(dǎo)學(xué)生在不范圍內(nèi)同時(shí)作出三個(gè)函數(shù)的圖象和表格，讓學(xué)生看到在不范圍內(nèi)三個(gè)函數(shù)的增長差異會(huì)有所不同，從而逐步形成對(duì)這三類函數(shù)增長差異的全面認(rèn)識(shí)

34、60;（四）教學(xué)支持條件分析 本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)只有通過大量的圖象和表格，才能讓學(xué)生直觀地看出不同函數(shù)的增長差異而要方便地作出函數(shù)的圖象和表格，把學(xué)生從繁瑣的計(jì)算和畫圖表中解脫出來，將精力集中在對(duì)函數(shù)增長差異的研究上，就必須充分利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中的函數(shù)工具軟件這樣就能為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)解析式、圖象和表格的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境，有助于學(xué)生對(duì)函數(shù)增長差異的認(rèn)識(shí) （五）教學(xué)過程設(shè)計(jì) 1教學(xué)基本流程      2教學(xué)情景 （1）創(chuàng)設(shè)問題情境 問題：假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三

35、種方案的回報(bào)如下： 方案一：每天回報(bào)40元； 方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元； 方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番 請問，你會(huì)選擇哪種投資方案？ 設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)比刻畫三種投資方案的函數(shù)模型，學(xué)生會(huì)對(duì)他們的增長差異感到驚訝以此讓學(xué)生對(duì)直線增長、指數(shù)爆炸形成強(qiáng)烈的感受，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)這類問題的求知欲 師生活動(dòng)：教師先引導(dǎo)學(xué)生建立三種投資方案的函數(shù)模型，再由學(xué)生進(jìn)行思考并回答在學(xué)生不能很快回答時(shí)，可逐步作出下列引導(dǎo)： 用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出三個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象你能否做出選擇？

36、60;如果再作出函數(shù)的表格呢？ 認(rèn)真觀察圖象和表格，看是否只有唯一的一種方案可選擇？ 在學(xué)生作出正確回答后，可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生討論： 通過對(duì)該問題的研究，大家對(duì)不同函數(shù)的增長情況有何體會(huì)2）解決實(shí)際問題 問題：某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，開始按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（萬元）隨銷售利潤x（萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y0.25x，ylog7 x1，y1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？ 設(shè)計(jì)意圖：通過解決

37、前一個(gè)問題，學(xué)生已知道利用信息技術(shù)工具，數(shù)形結(jié)合地研究不同函數(shù)的增長差異在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過研究本問題，進(jìn)一步體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸以及對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法同時(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在定性分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行形式化的證明，養(yǎng)成理性思考的習(xí)慣 師生活動(dòng)：受前一個(gè)問題的影響，學(xué)生可能會(huì)先自覺地利用信息技術(shù)工具，作出已知函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象比較它們的增長差異為了幫助學(xué)生更直觀地做出判斷，可以讓學(xué)生再作y5的圖象作為參照 在學(xué)生作出定性分析后，可通過下列問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步作出理性思考： 能否對(duì)由圖象得到的結(jié)論進(jìn)行證明？ 獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5

38、萬元和獎(jiǎng)金不超過利潤的25%，是兩個(gè)重要的限制條件能否利用這兩個(gè)條件進(jìn)行證明？ 學(xué)生在證明時(shí)，可能會(huì)遇到困難于是可進(jìn)一步作出下列引導(dǎo)： 要證明0.25，令f（x）10.25x，x?10，1 000，即證明f（x）0 （3）比較具體函數(shù) 問題1：從前面兩個(gè)例子可以看到，函數(shù)yax（a>1）、ylogax（a>1）和yxn（n>0）在區(qū)間（0，）上的增長是有差異的這種差異的具體情況怎樣呢？ 設(shè)計(jì)意圖：通過前兩個(gè)具體問題，學(xué)生已對(duì)所涉及到的具體函數(shù)的增長情況有所了解。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一般的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長情況進(jìn)

39、行研究，從而了解它們的增長差異 師生活動(dòng)：學(xué)生要直接回答該問題顯然有困難。教師可以引導(dǎo)學(xué)生選擇有代表性的具體函數(shù)入手，采取由具體到一般的思維方法 問題2：能對(duì)函數(shù)y=2x、y=log2x和y=x2在區(qū)間（0，）上的增長情況進(jìn)行比較嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生在不同范圍對(duì)三個(gè)具體函數(shù)的增長情況進(jìn)行比較，全面認(rèn)識(shí)三個(gè)函數(shù)的增長情況，進(jìn)而對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)同時(shí)，對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法有更深刻的理解 師生活動(dòng)：學(xué)生自然會(huì)作出三個(gè)函數(shù)在某一范圍的圖象和表格，并以此作出判斷對(duì)此，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，讓他們發(fā)現(xiàn)各自對(duì)函數(shù)y=2x和y=x2的比較結(jié)論有所不同在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行分析，并學(xué)會(huì)由局部到整體的思維方法 問題3：如果在不同范圍內(nèi)比較函數(shù)