數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)大綱

1、 數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)大綱(理工科師范類數(shù)學(xué)教育專業(yè)) 說 明 數(shù)學(xué)分析是理工科師范類數(shù)學(xué)教育專業(yè)的一門必修的基礎(chǔ)課。這門課程對(duì)于學(xué)員加深理論基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)基本技能的訓(xùn)練，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)和業(yè)務(wù)素質(zhì)，以便居高臨下地分析和處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材，有著重要作用。 本課程以極限概念為基礎(chǔ)，主要內(nèi)容為一元微積分的理論和應(yīng)用。 本課程的教學(xué)目的一要求是： 一、使學(xué)員對(duì)極限思想與方法有較深刻的認(rèn)識(shí)，弄清具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關(guān)系，學(xué)習(xí)科學(xué)的思想方法，以利于辯證唯物主義世界觀的培養(yǎng)與形成。 二、使學(xué)員掌握數(shù)學(xué)分析的基本知識(shí)、基本理論與基本技能，提高抽象思維、邏輯推理與運(yùn)算的能力，并認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)分析在自然

2、科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中的廣泛應(yīng)用。 三、使學(xué)員對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識(shí)，能深入淺出地處理好這些教材內(nèi)容。 本大綱是在國家教委1990年頒布的中學(xué)教師進(jìn)修高等師范?？茢?shù)學(xué)分析教學(xué)大綱基礎(chǔ)上修訂而成。本課程課內(nèi)學(xué)時(shí)為288學(xué)時(shí)， 其中錄像220學(xué)時(shí)(學(xué)時(shí)分配見下表)。 大 綱 內(nèi) 容 一、函數(shù) （一）目的要求 、正確理解和掌握函數(shù)概念，了解函數(shù)的各種表示法和記號(hào)；理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合，會(huì)求函數(shù)的定義域；掌握反函數(shù)的定義和圖象等。 、理解和掌握有界函數(shù)與無界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、周期函數(shù)等概念。 、熟練掌握五種基本初等函數(shù)的定義與性質(zhì)，能熟練地繪出它們的草圖。 、了解幾個(gè)

3、常用的非初等函數(shù)的例子。 （二）主要內(nèi)容 、函數(shù)概念（函數(shù)概念 絕對(duì)值不等式 定義域 值域 函數(shù)的符號(hào) 圖象 函數(shù)的各種表示法） 、函數(shù)的特性種類（有界函數(shù)與無界函數(shù) 單調(diào)函數(shù) 奇函數(shù)與偶函數(shù) 周期函數(shù)） 、函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合 、反函數(shù)（定義 存在的充要條件 圖象） 、基本初等函數(shù)（冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù)） 、初等函數(shù)（基本初等函數(shù) 初等函數(shù)） 、幾個(gè)非初等函數(shù)的例子（整數(shù)部分函數(shù) 小數(shù)部分函數(shù) 符號(hào)函數(shù) 狄里赫勒函數(shù) 黎曼函數(shù)） 二、極限 （一）目的要求 、理解和掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念，掌握它們的有關(guān)性質(zhì)。 、理解和掌握無窮小量與無窮大量的概念，掌握它們的有

4、關(guān)性質(zhì)。 、會(huì)用“- N”、“- ”、“- E” 等語言處理極限的有關(guān)問題。 、能運(yùn)用四則運(yùn)算、兩邊夾定理、單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理與兩個(gè)重要極限，熟練地求極限。 （二）主要內(nèi)容 、數(shù)列極限的概念（數(shù)列 數(shù)列極限的定義 幾何意義） 、數(shù)列極限的性質(zhì)（唯一性 有界性 保號(hào)性 保序性 兩邊夾定理 四則運(yùn)算定理 單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理） 、子數(shù)列（子數(shù)列 數(shù)列極限與子數(shù)列極限的關(guān)系） 、函數(shù)極限的概念（在一點(diǎn)處函數(shù)極限的定義 左、右極限及其與雙邊極限的關(guān)系 時(shí)的極限 幾何意義） 、函數(shù)極限的定理（函數(shù)極限的性質(zhì) 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系） 、兩個(gè)重要極限 lim sin 1 lim（11 ） 0

5、、無窮小量與無窮大量（無窮小量與無窮大量的定義、關(guān)系、性質(zhì)、無窮大量與無界的區(qū)別 無窮小量比較） 三、連續(xù)函數(shù) （一）目的要求 、理解和掌握函數(shù)連續(xù)的概念，一致連續(xù)概念要清楚。 、對(duì)于間斷點(diǎn)及其分類要有清楚的了解。 、掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 、了解初等函數(shù)的連續(xù)性。 （二）主要內(nèi)容 、連續(xù)概念（一點(diǎn)處連續(xù)、單側(cè)連續(xù)與區(qū)間上連續(xù)的定義間斷點(diǎn)及其分類） 、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)（有界性 全保號(hào)性 四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 反函數(shù)的連續(xù)性） 、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（價(jià)值性 有界性 量值定理一致連續(xù)定理（均暫不 證明） 、初等函數(shù)連續(xù)性 四、實(shí)數(shù)的連續(xù)性 （一）目的要求 、了解實(shí)數(shù)集關(guān)于極限運(yùn)

6、算的封閉性。 、了解實(shí)數(shù)連續(xù)性的幾個(gè)基本定理的證明方法并掌握其條件與結(jié)論。 、了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明方法。 （二）主要內(nèi)容 、幾個(gè)基本定理（閉區(qū)間套定理 確界 確界存在定理 聚點(diǎn) 聚點(diǎn)定理 有限覆蓋定理 柯西收斂準(zhǔn)則） 、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明（一致連續(xù)定理不證） 五、導(dǎo)數(shù)與微分 （一）目的要求 、掌握導(dǎo)數(shù)與微分的概念及其幾何意義，了解它們的應(yīng)用。 、能熟練地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義與求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 、會(huì)求一些函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。 （二）主要內(nèi)容 、導(dǎo)數(shù)概念（概念引入 導(dǎo)數(shù)定義 幾何意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系） 、求導(dǎo)法則（四則運(yùn)算 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 基本公式表） 、隱函數(shù)與參數(shù)方程

7、求導(dǎo)（隱函數(shù)求導(dǎo)法則 參數(shù)方程求導(dǎo)法則） 、微分（微分定義 幾何意義 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 微分法則 一階微分形式不變性 微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用） 、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分（高階導(dǎo)數(shù) 萊布尼茲公式（不證）高階微分） 、幾何應(yīng)用（曲線的切線方程與法線方程 兩條曲線的交角弧長的微分） 六、微分學(xué)中值定理和泰勒公式 （一）目的要求 、掌握中值定理的條件、結(jié)論和證明方法。 、會(huì)用中值定理證明一些恒等式與不等式。 、會(huì)求一些簡單函數(shù)的泰勒展開式。 （二）主要內(nèi)容 、中值定理（費(fèi)爾引理 羅爾定理 拉格朗日定理 柯西定理） 、泰勒公式（泰勒公式 泰勒公式的余項(xiàng)（拉格朗日型） 七、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （一）目的要求 、能熟練

8、地應(yīng)用洛畢大法則求不定理的極限。 、會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的極值和最大（小）值。 、能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)較正確地作出函數(shù)的圖象。 （二）主要內(nèi)容 、洛畢大法則（ 0 0 型 型（不證） 其他不定型的轉(zhuǎn)化） 、函數(shù)的單調(diào)性（函數(shù)單調(diào)的充要條件 函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充要條件 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式） 、函數(shù)的極值（極值概念 極值判別法 最大值與最小值） 、函數(shù)作圖（函數(shù)的凹凸性 拐點(diǎn) 漸近線 函數(shù)作圖） 八、不定積分 （一）目的要求 、掌握原函數(shù)與不定積分概念。 、熟練掌握換元積分法與分部積分法，了解不理函數(shù)積分法。 （二）主要內(nèi)容 、不定積分的概念（原函數(shù)與不定積分的概念 不定積分的運(yùn)算法則

9、基本積分表） 、換元積分法（湊微分法 典型代換法） 、分部積分法 、有理函數(shù)的積分（有理函數(shù)部分分式（了解原理，掌握方法） d（2a2）n 的遞推公式 、三角函數(shù)有理式和積分 九、定積分 （一）目的要求 、正確理解和掌握定積分概念，了解可積準(zhǔn)則，掌握可積函數(shù)類。 、掌握定積分的性質(zhì)，能熟練地應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算定積分。 、掌握并正確用換元積分法與分部積分法。 （二）主要內(nèi)容 、定積分概念（概念引入 定積分的定義） 、可積準(zhǔn)則（大和與小和 可積的必要條件 可積的充要條件） 、可積函數(shù)類（連續(xù)函數(shù) 只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)單調(diào)有界函數(shù) 可積分函數(shù)類與有原函數(shù)的函數(shù)類的區(qū)別） 、定積分的性質(zhì)（

10、線性 有限可加性 單調(diào)性 絕對(duì)可積性積分第一中值定理） 、定積分的計(jì)算（可變上限的定積分 牛頓萊布尼茲公式換元積分法 分部積分法） 十、定積分的應(yīng)用 （一）目的要求 、掌握定積分在幾何上的應(yīng)用，了解定積分在物理上的應(yīng)用。 、了解定積分的近似計(jì)算。 （二）主要內(nèi)容 、定積分在幾何上的應(yīng)用（微元法 平面區(qū)域的面積 平面曲線的弧長 利用截面面積計(jì)算立體體積 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積） 、定積分在物理上的應(yīng)用（靜壓力 變力作功 非均勻曲線的質(zhì)量） 、定積分在近似計(jì)算（梯形法 拋物線法） 十一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （一）目的要求 、掌握無窮級(jí)數(shù)及其斂散性等基本概念。 、了解收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。 、能熟練使用幾種常用的判斂法則。

11、 （二）主要內(nèi)容 、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性（無窮級(jí)數(shù) 部分和 收斂與發(fā)散 和與余和 收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 收斂的必要條件 柯西準(zhǔn)則） 、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法（比較判別法 級(jí)數(shù)通項(xiàng)比值極限法 達(dá)朗貝爾判別法 柯西判別法） 、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法（絕對(duì)收斂與條件收斂 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 萊布尼茲判別法） 十二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （一）目的要求 、掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)與一致收斂等基本概念。 、會(huì)使用一致收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法。 、掌握和函數(shù)與極限函數(shù)的分析性質(zhì)。 、了解極限、收斂的否定語句敘述。 （二）主要內(nèi)容 、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂域 和函數(shù) 極限函數(shù) 一致收斂 極限與收斂的否定語句敘述） 、一致收斂

12、的判別法（柯西準(zhǔn)則 優(yōu)級(jí)數(shù)判別法） 、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性 極限函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性） 十三、冪級(jí)數(shù) （一）目的要求 、弄清冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂域等概念，會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域。 、明確冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)。 、了解函數(shù)能展成泰勒級(jí)數(shù)的條件，能將一些函數(shù)民成泰勒級(jí)數(shù)。 、了解函數(shù)民開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用及三角函數(shù)表與對(duì)數(shù)表的造表原理。 （二）主要內(nèi)容 、冪級(jí)數(shù)的收斂域（冪級(jí)數(shù) 阿貝爾定理 收斂半徑 收斂域） 、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)（內(nèi)閉一致收斂性 和函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性） 、函數(shù)的泰勒展開（系數(shù)求法與展開式的唯一性 可展成冪級(jí)數(shù)的充要條件 幾

13、個(gè)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式） 、冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的應(yīng)用（求方根的近似值 e和的近似值 三角函數(shù)造表 對(duì)數(shù)造表） 十四、廣義積分 （一）目的要求 、掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂與條件收斂等概念。 、能用收斂性判別法判斷一些廣義積分的斂散性。 （二）主要內(nèi)容 、無窮區(qū)間上的廣義積分（無窮積分的收斂與發(fā)散 絕對(duì)收斂與條件收斂 收斂準(zhǔn)則 收斂性判別法 與級(jí)數(shù)的關(guān)系） 、無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分的收斂與發(fā)散 絕對(duì)收斂與條件收斂 收斂準(zhǔn)則 收斂判別法 與無窮積分的關(guān)系 函數(shù)簡介） 十五、多元函數(shù)微分學(xué) （一）目的要求 、掌握平面點(diǎn)集的一些基本概念與多元函數(shù)的概念。 、理解和掌握二元函數(shù)的極限、二元

14、函數(shù)的連續(xù)性等概念。 、掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念，能熟練地求偏導(dǎo)數(shù)與全微分，了解高階偏導(dǎo)數(shù)的概念，能求高階偏導(dǎo)數(shù)。 、弄清全微分、偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)三者之間的關(guān)系。 （二）主要內(nèi)容 、平面點(diǎn)集（點(diǎn)的圓形領(lǐng)域 內(nèi)點(diǎn) 聚點(diǎn) 界點(diǎn) 邊界 開集 閉集 區(qū)域） 、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性（多元函數(shù)概念 二元函數(shù)的定義域 二元函數(shù)的極限與累次極限 二元函數(shù)連續(xù)的概念 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（不證） 、偏導(dǎo)數(shù)與全微分（偏導(dǎo)數(shù) 全微分 高階偏導(dǎo)數(shù) 全微分與偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)三者之間的關(guān)系） 、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)的充分條件 鏈?zhǔn)焦揭浑A微分形式不變性） 、隱函數(shù)存在定理（一元隱函數(shù)存在定理 隱函數(shù)的求導(dǎo)） 十六、二重積分 （一）目的要求 、掌握二重積分的概念，了解它的性質(zhì)。 、會(huì)正確計(jì)算二重積分，并利用它計(jì)算空間形體的體積與平面圖形的面積。 、了解三重積分的概念。 （二）主要內(nèi)容 、二重積分的概念（概念引入 二重積分的定義 二重積分的性質(zhì) 二重積分的性質(zhì) 二重積分存在的充分條件（不證） 、二重積分的計(jì)算（二重積分化為累次積分 利用級(jí)坐標(biāo)計(jì)算二重積分） 、二重積分的應(yīng)用（空間形體的體積 平面圖形的面積） 、三重積分的概念 計(jì)算方法舉例 十七、曲線積分 （一）目的要求 、掌握兩類曲線積分的概念，