《直角三角形的邊角關(guān)系》答案

1、直角三角形的邊角關(guān)系復(fù)習(xí)提綱一,.銳角三角函數(shù)的概念 如圖，在ABC中，C=90° 銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記為sinA，即 銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記為cosA，即銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記為tanA，即銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記為cotA，即例：（2012連云港，3，3分）小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處，還原后，再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處，這樣就可以求出67.5°的角的正切值是 （ ） A.+1 B. +1 C. 2.5 D.【

2、解析】注意折疊后兩點(diǎn)對稱，也就是說ABE和AEF都是等腰三角形。得到67.5°的角為FAB?！敬鸢浮吭O(shè)AB=x,則BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=x,于是BF=（+1）x.在直角三角形ABF中，tanFAB=+1=tan67.5°.選B。【點(diǎn)評】根據(jù)折疊得到A、E關(guān)于折痕對稱，從而根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到等腰三角形。求出兩線段的長。二,特殊角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)）根據(jù)正弦、余弦和正切的定義，可以得到如下幾個(gè)常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。例1:（2012，湖北孝感，14，3分）計(jì)算：cos245°+tan30°·sin60

3、°=_【解析】分別把cos45°=的值，tan30°=的值，sin60°=的值代入進(jìn)行計(jì)算即可答案=1?！军c(diǎn)評】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵例2:（2011甘肅蘭州，21，7分）已知是銳角，且sin(+15°)=，計(jì)算的值?！敬鸢浮坑蓅in(+15°)=得=45°,原式=三， 解直角三角形（重點(diǎn)）在直角三角形中，由已知一些邊、角，求出另一些邊、角的過程，叫做解直角三角形。在RtABC中，C=90°，A、B、C所對的邊

4、分別為 。（1）三邊之間關(guān)系： （2）銳角之間關(guān)系：A+B=90°（3）邊角之間關(guān)系： , , （4）面積公式： （5）同角的三角函數(shù)的關(guān)系:sinA2cosA21 ; tanAcotA1 ; tanA ，cotA （6）互為余角的函數(shù)之間的關(guān)系 sin(90°A)cosA， cos(90°A)sinA， tan(90°A)cotA， cot(90°A)tanA 在直角三角形中，除直角的五個(gè)量中，若已知其中的兩個(gè)量（其中至少有一條邊），就可以求出另外三個(gè)未知量，有如下四種類型：在RtABC中，C=90°已知選擇的邊角關(guān)系斜邊和一直角邊

5、由，求A；B=90°-A，兩直角邊由，求A；B=90°-A，斜邊和一銳角B=90°-A；一直角邊和一銳角B=90°-A；，注意： (1)選擇關(guān)系式常遵循以下原則：一是盡量選可以直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)的關(guān)系式；二是設(shè)法選擇便于計(jì)算的關(guān)系式，若能用乘法計(jì)算就避免用除法計(jì)算。（2）對于含有非基本量的直角三角形，比如有些條件中已知兩邊之和，中線、高線、角平分線長，角之間的關(guān)系，銳角三角函數(shù)值，周長、面積等等。對于這類問題，我們常用的解題方法是：將非基本量轉(zhuǎn)化為基本量，或由基本量間關(guān)系通過列方程（組），然后解方程（組），求出一個(gè)或兩個(gè)基本量，最終達(dá)到解直角三角形的目的。

6、（3）在非直角三角形的問題中，往往是通過作三角形的高，構(gòu)成直角三角形來解決，而作高時(shí)，常從非特殊角的頂點(diǎn)作高；對于較復(fù)雜的圖形，往往通過“補(bǔ)形”或“分割”的方法，構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，實(shí)現(xiàn)問題的有機(jī)轉(zhuǎn)化。CBA圖1例1:（2012四川內(nèi)江，11，3分）如圖1所示，ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為( )AB C D【解析】欲求sinA，需先尋找A所在的直角三角形，而圖形中A所在的ABCCBA圖2D并不是直角三角形，所以需要作高觀察格點(diǎn)圖形發(fā)現(xiàn)連接CD（如下圖2所示），恰好可證得CDAB，于是有sinA例2:（2011湖北荊州，8，3分）在ABC中，A120&#

7、176;，AB4，AC2，則的值是（ ）ABDC42ABCD【解析】如圖，作,延長BA，過點(diǎn)C作BA的垂線, 交BA的延長線于點(diǎn)D, ,，,答案選D.例3: (2012重慶，20，6分)已知：如圖，在RtABC中，BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，且ABD是等邊三角形。若AB=2，求ABC的周長。（結(jié)果保留根號）【解析】由ABC是直角三角形和ABD是等邊三角形，可求出C=30°,利用三角函數(shù)可求出答案。【答案】ABD是等邊三角形B=60°BAC=90°C=30°sinC=BC=4, cosC= AC=BC·cosC=2 ABC的周長是6

8、+2例4:（2012江蘇淮安，24，10分）如圖，ABC中，C=90º，點(diǎn)D在AC上，已知BDC=45º，BD=10，AB=20求A的度數(shù) 【解析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，在RtBDC中求出BC的值，再在RtABC中利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)【答案】解：在RtBDC中，因?yàn)閟inBDC=，所以BC=BD×sinBDC=10×sin45º=10×=10在RtABC中，因?yàn)閟inA=，所以A=30º四、銳角三角函數(shù)及解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用（難點(diǎn)）解直角三角形，可將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中的元素（邊

9、、角）之間的關(guān)系.一般有以下幾個(gè)步驟：1.審題：認(rèn)真分析題意，根據(jù)題目中的已知條件，畫出它的平面圖，弄清已知和未知；2.明確題目中的一些名詞、術(shù)語的漢語，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；若不是直角三角形，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行解決；4.確定合適的邊角關(guān)系，細(xì)心推理計(jì)算。1, 銳角三角函數(shù)計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用仰角：當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角。俯角：當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角成為俯角。例:（2012山西，23，9分）如圖，為了開發(fā)利用海洋資

10、源，某勘測飛機(jī)預(yù)測量一島嶼兩端AB的距離，飛機(jī)在距海平面垂直高度為100米的點(diǎn)C處測得端點(diǎn)A的俯角為60°，然后沿著平行于AB的方向水平飛行了500米，在點(diǎn)D測得端點(diǎn)B的俯角為45°，求島嶼兩端AB的距離（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）解：如下圖,過點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BFCD于點(diǎn)F，ABCD，AEF=EFB=ABF=90°，四邊形ABFE為矩形AB=EF，AE=BF由題意可知：AE=BF=100米，CD=500米 2分在RtAEC中，C=60°，AE=100米CE=（米） 4分在RtBFD中，BDF=45°，BF=100DF=10

11、0（米） 6分AB=EF=CD+DFCE=500+100600×1.7360057.67542.3（米） 8分答：島嶼兩端AB的距離為542.3米 9分【點(diǎn)評】本題考查了仰俯角問題，解決此類題目的關(guān)鍵是正確的將仰俯角轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角并用解直角三角形的知識解答即可，解決此類題型的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想即不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的特殊圖形進(jìn)行計(jì)算難度中等2、坡度的定義及表示（難點(diǎn)）我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值關(guān)系是： .注意：（1）坡度一般寫成1：m的形式（比例的前項(xiàng)為1，后項(xiàng)可以是小數(shù)）；（2）若坡角為a，

12、坡度為 ，坡度越大，則a角越大，坡面越陡。ABC3018例1.（2012湖北咸寧，12，3）如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設(shè)臺階的起點(diǎn)為A，斜坡的起始點(diǎn) 為C，現(xiàn)設(shè)計(jì)斜坡BC的坡度，則AC的長度是 cm【解析】如圖，過點(diǎn)B作BDAC于D，依題意可求得AD60cm，BD54cm；由斜坡BC的坡度i1：5，求得CD270cm，故ACCDAD27060210（cm）【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用：坡度問題此題難度適中，注意掌握坡度的定義、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法例2. （2011山東濰坊，19，9分）今年“五一

13、”假期，某數(shù)學(xué)活動小組組織一次登山活動.他們從山腳下A點(diǎn)出發(fā)沿斜坡AB到達(dá)B點(diǎn)，再從B點(diǎn)沿斜坡BC到達(dá)山頂C點(diǎn)，路線如圖所示.斜坡AB的長為1040米，斜坡BC的長為400米，在C點(diǎn)測得B點(diǎn)的俯角為30°,.已知A點(diǎn)海拔121米，C點(diǎn)海拔721米.（1）求B點(diǎn)的海拔；（2）求斜坡AB的坡度.【解】（1）如圖所示，過點(diǎn)C作CFAM，F(xiàn)為垂足，過點(diǎn)B作BEAM，BDCF，E、D為垂足.在C點(diǎn)測得B點(diǎn)的俯角為30°，CBD=30°，又BC=400米，CD=400×sin30°=400×=200（米）.B點(diǎn)的海拔為721200=521（米）.

14、（2）BE=521121=400（米），AB=1040米，（米）.AB的坡度=1：2.4，所以斜坡AB的坡度為1：2.4.O3,方向角的定義方向角：方向角是以觀察點(diǎn)為中心（方向角的頂點(diǎn)），以正北或正南為始邊，旋轉(zhuǎn)到觀察目標(biāo)所形成的銳角，方向角也稱象限角。如圖，目標(biāo)方向線0A、0B、0C的方向角分別為北偏東15°、南偏東20°、北偏西60°。其中，南偏東45°習(xí)慣上又叫東南方向，同樣，北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角為南偏東45°，OG的方向角為南偏西45°，那么，G、E可以說在O的哪個(gè)方向呢？由方向角的定義可知，G在

15、O的西南方向，E在O的東南方。例1.（2012連云港，24，10分）已知B港口位于A觀測點(diǎn)北偏東方向53.2°，且其到A觀測點(diǎn)正北方向的距離BD的長為16km。一艘貨輪從B港口以40km/h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后到達(dá)C 處?，F(xiàn)測得C處位于觀測點(diǎn)北偏東79.8°方向。求此時(shí)貨輪與A觀測點(diǎn)之間的距離AC的長（精確到0.1km）.(參考數(shù)據(jù)：sin53.2°0.80，cos53.2°0.60，sin79.8°0.98，cos79.8°0.18，tan26.6°0.50，1.41，2.24)【解析】過點(diǎn)B作AC

16、的垂線，把所求線段AC換為兩線段的差。利用RtABH和RtBCH求線段AH、CH的長，利用AHCH確定AC的長。【解】BC=40×=10.在RtADB中，sinDAB=, sin53.2°0.8。53.2°16km79.8°所以AB=20.如圖，過點(diǎn)B作BHAC，交AC的延長線于H。在RtAHB中，BAH=DACDAB=63.6°37°=26.6°，tanBAH=,0.5=,AH =2BH.BH2CH2=AB 2,BH 2+(2BH)2=202,BH=4,所以AH=8，在RtAHB中，BH2CH2=BC 2，CH=所以AC=

17、AHCH=82613.4km.【點(diǎn)評】本題的關(guān)鍵是把方位角放到相應(yīng)的直角三角形中，找到直角三角形利用三角函數(shù)求出線段的長。五,測量物體的高度1, 測量底部可以到達(dá)的物體的高度（重點(diǎn)）簡單的測傾器由度盤、鉛錘和支桿組成。如圖。使用測傾器測量傾斜角的步驟如下：(1)把支桿豎直插入地面,使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合,這時(shí)度盤的頂線PQ在水平位置。（2）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,使度盤的直徑對準(zhǔn)目標(biāo)M,記下此時(shí)鉛垂線所指的度數(shù)。此度數(shù)就是測點(diǎn)相對于被測點(diǎn)的仰角或俯角。說明：（1）所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點(diǎn)與被測物體的底部之間的距離。（2）測量步驟如圖（測量物體

18、MN的高度）：在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得M的仰角MCE=；量出測點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN=；量出測傾器的高度AC=（即頂線PQ成水平位置時(shí)，它與地面的距離）。（3）物體MN的高度 = 。圖5CDABOE例1：（2012湖北襄陽，10，3）在一次數(shù)學(xué)活動中，李明利用一根拴有小錘的細(xì)線和一個(gè)半圓形量角器制作了一個(gè)測角儀，去測量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD如圖5，已知李明距假山的水平距離BD為12m，他的眼睛距地面的高度為1.6m，李明的視線經(jīng)過量角器零刻度線OA和假山的最高點(diǎn)C，此時(shí)，鉛垂線OE經(jīng)過量角器的60°刻度線，則假山的高度為（ ）A(41.6)m B(121.6)m C(41

19、.6)m D4m【解析】如下圖，過點(diǎn)A作AFCD于F，則AFBD12m，F(xiàn)DAB1.6mAOBEDCF再由OECF可知CAOE60°所以，在RtACF中，CF4，那么CDCFFD(41.6)m【答案】A【點(diǎn)評】通過作高將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題是解答關(guān)鍵，其間需要具有良好的閱讀理解能力，能將對應(yīng)線段和角之間的關(guān)系理清2,測量底部不可以到達(dá)的物體的高度（難點(diǎn)）（1）所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測得測點(diǎn)與被測物體底部之間的距離。（2）測量步驟（如圖。測量物體MN的高度）：在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得此時(shí)M的仰角MCE=；在測點(diǎn)A與物體之間的B處擬制測傾器（A、B與N在一條

20、直線上，且A、B之間的距離可以直接測得），測得此時(shí)M的仰角MDE=；量出測傾器的高度AC=BD=，以及測點(diǎn)A、B之間的距離AB= 。（3）物體高度MN=ME+EN= 米。提示：測量底部不可以到達(dá)的物體的高度，求解時(shí)常要解兩個(gè)直角三角形。例1：（2012山東青島，20，8）如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE；而當(dāng)光線與地面夾角是45°時(shí)，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13米的距離（B、F、C在一條直線上）求教學(xué)樓AB的高度；學(xué)校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)）

21、. （參考數(shù)據(jù)：sin22°，cos22°，tan22° ）【解析】（1）過點(diǎn)D作DMAB，若假設(shè)AB=x米，可表示出AM、ME的長，然后在RtAEM中，利用22°正切建立關(guān)系式來解.（2）根據(jù)（1）求出ME的長，再RtAME中，可求得之間的距離.【答案】解：過點(diǎn)E作EMAB，垂足為M.設(shè)AB為x.RtABF中，AFB=45°，BF=AB=x，BC=BF+FC=x+13在RtAEM中，AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，tan22°= ，=，x=12.即教學(xué)樓的高12m.由（1）可得ME=BC=x+13=1

22、2+13=25.在RtAME中，cos22°=，即之間的距離約為【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵例2：（2012湖北隨州，20,9分）在一次暑假旅游中，小亮在仙島湖的游船上（A處），測得湖西岸的山峰太婆尖（C處）和湖東岸的山峰老君嶺（D處）的仰角都是45°，游船向東航行100米后（B處），測得太婆尖、老君嶺的高度為多少米？（，結(jié)果精確到米）?！窘馕觥吭O(shè)太婆尖高h(yuǎn)1米，老君嶺高h(yuǎn)2米?？煞謩e在直角三角形中利用正切值表示出水平線段的長度，再利用移動距離為AB=100米，可建立關(guān)于h1、h2的方程組，解這個(gè)方程組求得兩山

23、峰高度。答案：設(shè)太婆尖高h(yuǎn)1米，老君嶺高h(yuǎn)2米，依題意，有（米） （米）【答案】太婆尖高度為137米，老君嶺高度為237米?！军c(diǎn)評】本題考查了直角三角形的解法。解題的關(guān)鍵是要首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題例3：（2012四川省資陽市，20，8分）小強(qiáng)在教學(xué)樓的點(diǎn)P處觀察對面的辦公大樓為了測量點(diǎn)P到對面辦公大樓上部AD的距離，小強(qiáng)測得辦公大樓頂部點(diǎn)A的仰角為45°，測得辦公大樓底部點(diǎn)B的俯角為60°，已知辦公大樓高46米，CD10米求點(diǎn)P到AD的距離（用含根號的式子表示）【解析】解：連結(jié)PA、PB，過點(diǎn)P作PMAD于點(diǎn)M；延長BC，交PM于點(diǎn)N，則AP

24、M=45°，BPM=60°，NM=10米1分設(shè)PM=米在RtPMA中，AM=PM×tanAPM=tan45°（米）3分在RtPNB中，BN=PN×tanBPM=(10)tan60°(10)（米）5分由AM+BN=46米，得 +(10) 466分解得， ，點(diǎn)P到AD的距離為米（結(jié)果為米也可）8分【答案】（結(jié)果分母有理化為米也可）【點(diǎn)評】本題綜合考查了直角三角形中的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值及構(gòu)造出的方程思想.解決本題的關(guān)鍵是作垂線構(gòu)造出直角三角形從而再運(yùn)用三角函數(shù)解題.難度中等.例4：(2012廣安,23，8分)如圖(1)，2012年

25、4月10日，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在A地偵察發(fā)現(xiàn)，在南偏東60o方向的B地，有一艘某國軍艦正以每小時(shí)13海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民。此時(shí)，C地位于中國海監(jiān)船的南偏東45o方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度趕往C地救援我國漁民，能不能及時(shí)趕到？(1)（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，2.45）思路導(dǎo)引：構(gòu)造直角三角形，便于運(yùn)用題目中的特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形問題解析：如圖(2),過點(diǎn)A作ADBC，交BC 的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)題意得出DAC=45°，DAB=60°，(2)ADBC，sinDAC=，cosDAC=，cosDAC=,即是tan45°=,CD=10, cos45°=,AD=10×=,tan60°=BD=×=BC=5.20（海里），中國海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度趕往C地所需時(shí)間是（時(shí)），某國軍艦以每小時(shí)13海里的速度向正西方向的C地所需時(shí)間是=（時(shí)），因?yàn)?，所以中國海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度趕往C，能及時(shí)救援我國漁民. 點(diǎn)評：結(jié)合圖形信息解直角三角形問題，注意轉(zhuǎn)化方法的運(yùn)用，即是構(gòu)造直角三角形，靈活運(yùn)