高中理科數(shù)學(xué)公式大全(完整版)

1、高中數(shù)學(xué)公式大全(最新整理版)§01.集合與簡(jiǎn)易邏輯1. 元素與集合的關(guān)系xg a <=>cv a, xe cva o 4 2. 德摩根公式(-00,0, r,+oo)不同)上含參數(shù)的二次不等式 f(x,t)>0u為參數(shù))恒成立的充要條件是 /(0min no(兀纟厶)(2) 在給定區(qū)間(-oo,+oo)的子區(qū)間上含參數(shù)的二 次不等式/(x,0>0(r為參數(shù))恒成立的充要條件是fx) = axbx2c> 0恒成立的充要條件是< /?no 或c>0a <0b -4ac < 03. 包含關(guān)系acb = a ajb = b<=&g

2、t; a c b <=> cbb c cbao agb" ocmub = /?4. 容斥原理card a u b) = card a + cardb - card (a cl b)5. 集合坷衛(wèi)2,的子集個(gè)數(shù)共有2“個(gè)；真子集有2“個(gè)；非空子集有2”個(gè)；非空的真子9. 真值表pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假伽)=0/(h) >0集有2" _ 2個(gè).6. 二次函數(shù)的解析式的三種形式(1) 一般式 f(x) = ax2 + zzx + c(a 工 0);(2) 頂點(diǎn)式 f(x) = a(x-h)2 +比工0);(3) 零點(diǎn)式 f(x

3、) = a(x-xj)(x一x2)(a h 0)7. 一元二次方程的實(shí)根分布依據(jù)：若則方程/(x) = 0在區(qū) 間(w)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根/(x) = %2+ px-q f 貝！j(1) 方程/u) = 0在區(qū)間(g+oo)內(nèi)有根的充要條件p2 -4q>0為 f(m) = 0或 v p；> m2(2) 方程/(%) = 0在區(qū)間(加屮)內(nèi)有根的充要條件為伽)0/(«)>0/()/(“)<0或 p2-4>0 或m << n2fw = 0/(加)>0(3) 方程/(x)= 0在區(qū)間(-00,77)內(nèi)有根的充要條件p2 -4 >0為/(m

4、) < 0或v p< m2&定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依 據(jù)在給定區(qū)間(-oo,+oo)的子區(qū)間l (形如,10. 四種命題的相互關(guān)系原命題：與逆命題互逆，與否命題互否，與逆否命 題互為逆否；逆命題：與原命題互逆，與逆否命題互否，與否命 題互為逆否；否命題：與原命題互否，與逆命題互為逆否，與逆 否命題互逆；逆否命題：與逆命題互否，與否命題互逆，與原命 題互為逆否；15充要條件(1) 充分條件：若p n q ,則卩是g充分條件.(2) 必要條件：若qn p,則°是q必要條件.(3) 充要條件：若p=> q ,且g => p ,則p是q 充要條

5、件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件; 反之亦然.§02.函數(shù)11函數(shù)的單調(diào)性設(shè)xj - x2 g a,b,x工兀2那么(x 兀2) /(州)一 /(兀2) > 0 on/也)>oo f(兀)在血引上是增函數(shù)； 西x2(x 兀2) /(州)一 /(兀2) v 0 o./(%,)-./(x2)<0<=> f在上是減函數(shù).xx -x2(2) 設(shè)函數(shù)y = f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 fx) > 0,則/(x)為增函數(shù);如果fx) v 0,則f(x) 為減函數(shù).12. 如果函數(shù)/(%)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共 定義域內(nèi),和函數(shù)/(x

6、) + g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)y = /(“)和u = g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù), 則復(fù)合函數(shù)y = fg(x)是增函數(shù).13. 奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸 對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).14. 若函數(shù)=/(兀)是偶函數(shù),則/(x + tz) = f(-x-a)；若函數(shù) y = /(兀+。)是偶函 數(shù)，貝i/(兀+。)= /(一兀+。)15. 對(duì)于函數(shù)y = f(x)(xe r)f f(x + a) = f(b-x)恒成立，則函 數(shù)f(x)的對(duì)

7、稱軸是函數(shù)x = 旦 ；2兩個(gè)函數(shù)y = /(x + d)與y =的圖象關(guān)于直線兀=凹對(duì)稱.216若f(x) = -f(-x + a),則函數(shù)y = f(x)的圖象關(guān) 于點(diǎn)(彳,0)對(duì)稱；若/(x) = -f(x + a)t則函數(shù)y = f(x)為周期 為2。的周期函數(shù).17.函數(shù))，=/(%)的圖象的對(duì)稱性(1) 函數(shù)y = /(x)的圖象關(guān)于直線兀=a對(duì)稱0 f(a + x) = f(a-x)u> f(2a-x) = f(x).(2) 函數(shù)y = /(x)的圖象關(guān)于直線x = 字對(duì)稱 o + mx) = f(b 一 mx)o f (a + b 一 mx) = f(mx)1&兩

8、個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1) 函數(shù)y = /(%)與函數(shù)y = /(-x)的圖象關(guān)于 直線無(wú)=0(即)，軸)對(duì)稱.(2) 函數(shù) y = f (mx 一 a)與函數(shù) y = f(b-mx)的 圖象關(guān)于直線x = -對(duì)稱.2m(3) 函數(shù)y = /(兀)和=fx)的圖象關(guān)于直線 y=x對(duì)稱.19若將函數(shù)y =的圖象右移上移b個(gè)單位，得到函數(shù)y = a) + b的圖象；若將曲線 /(x,y) = 0的圖象右移上移"個(gè)單位，得到曲線 f(x-a,y-b) = 0 的圖象.20. 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系f (a) = b 0 f-(b) = a.21. 若函數(shù)y = .f伙x + b)存在反函

9、數(shù)，則其反函數(shù)為v = hfl(x)切，并不是v = if _，(總+仍，而函 k數(shù) y = /' g+b)是 y = -fm-b的反函數(shù).k22. 幾個(gè)常見的函數(shù)方程(1) 正比例函數(shù)fm = cxf f(x + y) = /(x) + /(>9, /(i) = c.(2) 指數(shù)函數(shù) fm = ax, f(x + y) = /(x)/(0,/(l) = a h o (3) 對(duì)數(shù)函數(shù)/(x) = logax, f(xy) = f(x) + /(y),/(a) = l(a > 0,a h1).(4) 幕函數(shù)/(x) =, f(xy) = /(x)/(y),/(l) = a.(

10、5) 余弦函數(shù)/(x) = cosx,正弦函數(shù)go0 = sin 兀，f(x-y) = f(x)f(y)g(x)g(y),/(0) = l,lim = l.xt() x23. 幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)(1) /(%) = /(% +a),則/ 的周期 tp(2) /(x) = /(x + a) = 0 ,或/(x + rz) =17w(心)工0)，或.f(x+d) =fm(two),或g + j/-嚴(yán)(兀)=f(x + a),(/(x)g 0,1), 則.f(x)的周期t=2a；心十則心的周期 t=3a； y(xj + 花)=/=1(/(%!)-/(%2) h 1,0 vl x-

11、x2< 2a),則 /(x) 的周期t=4a；(5) /(x)+/(x+a)+/(x4-2n)/(x+3a)+/(x+4a)=f(xf(xaf(x2a)f(x+)f(x+4a)f 則 /(x)的 周期t=5a；(6) f(x + a) = f(x) 一 f(x + a),則 f(x)的周期 t=6a.24. 分?jǐn)?shù)指數(shù)幕巴1(1) an -.(a >0,m,ne n",且斤1).nlm上 i(2) a ,l = ( a >0,in,ne n*,且” > 1 )an25. 根式的性質(zhì)(1) 丫 = a(2) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，如二a；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，yfa" =

12、a = °-a,a <026. 有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)(1) ar'as=ar+5(a>0,ryseq).(2) (ary =ars(a>0jseq).(3) (ab)r = arb'a >q,b>0,req).注：若4 (i p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則8卩表示一個(gè)確 定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指 數(shù)幕都適用27. 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式log“ n = b o / 二 n (° > 0, a h 1, n > 0).2&對(duì)數(shù)的換底公式loa nloga n = (。>0,且0工1，加 >

13、;0,且 log,” a加 hl, n>0)=/7 +(6zjd)m 33等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a“ 二 a&t =4q"(nw n*)；q其前n項(xiàng)的和公式為l-q或s”彳 -q.叫,q = l34.等比差數(shù)列an: a“+i = qan +,坷=b(q 豐 0) 的通項(xiàng)公式為；7推論 log ”，bn =log“ b (a >0,且 “ ma>lf m,n> 0,且加 h1, h 1, n > 0)29.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若 a>0, ahl, m>0, n>0,貝lj(1) log“ (mn) = log“ m +log“ n

14、;m(2) logfl = logam-logtf7v;(3) ogamh=nogam(ne /?).b + (-l)d,q = 1 an = bq”+(d_b)q”-'_d q_i 其前n項(xiàng)和公式為nh + n(n = 1)i" q j§04.三角函數(shù)35.常見三角不等式j(luò)i(1)若xe (05),貝ij sin x < x < tan x.§ 03.數(shù)列30. 平均增長(zhǎng)率的問題如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為n,平均增長(zhǎng)率為p ,則 對(duì)于時(shí)間兀的總產(chǎn)值y,有y = n( + py31. 數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系ah= 1小(數(shù)列匕的前n項(xiàng)的和

15、為»=坷+。2+ %)32. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(2) 若xe (0,),貝(ji < sinx + cosx <2(3) lsinxl + 1 cosxl> 1.36.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2 +cos2 0 = 1, tan 0 =,cos0tan 0 coto = 1 37正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號(hào)看 象限)sin(# + a) = <n(-1)2 sin a,n-lan = a +(7t- l)d = dn + a -d(n e n )；其前n項(xiàng)和公式為n(d +%)丄"(n-l) a，-nax +a2 1 2cos( +

16、 a) = <2(-1) 2 co s a.()2cosa,”+i(-1) 2 sin a,(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))3&和角與差角公式 sin(a±0) = sinacos0±cosasin 0 ;cos(a±0) = cosacosqsinasin 0 ;41.正弦定理 a bta期±0)=竺也仏.1 + tan 6r tan 0sin(a+0) sin(6z - 0) = sin'僅 一 sin' 0 (平方正 弦公式)；cos(a+0)cos(o-0) = cos2 a-sin2 0 a sin

17、 + & cos a = a1 +b2 sin(a+0)(輔助角(p所在象限由點(diǎn)(d,b)的象限決定，tan9 = -).a39. 二倍角公式sin 2a = sin a cos a .cos 2a = cos2 o-sin匕=2cos，a- = l-2sin2 ar 2 tan atan 2a =.l-farr a40. 三角函數(shù)的周期公式 函數(shù) y = sin(69x + °), xwr 及函數(shù)y = cos(0x + 0), xer(a,(o, (p為常數(shù)，且aho,>0)的周期t=；0)ji函數(shù) y = tan(6zr + 0),k7u + ,ke z (a,3

18、,0為常數(shù)，且aho, 3>0)的周期t =-0)=2r sin a sin b sinc42. 余弦定理a2 =b2 +c2 - 2bc cos a ;h2 = c2 + / - 2ca cos b ;c2 = a2 +h2 -2abcosc 43. 面積定理(1) s=ah(l=bhb=chc (他、hh. hc分別 表示a、b、c邊上的高).(2) s = absinc =丄bcsina =丄cosinb.2 2 2(3) =(oa ob)2-(oa-ob)2 44. 三角形內(nèi)角和定理在aabc 中，有 a + b + c =兀c 71 (a + b)c k 4 + bo =o 2

19、c = 2龍一2(a + b)2 2 245. 實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律 設(shè)入、p為實(shí)數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：x (u a) = (x u ) a;(2) 第一分配律：(入+卩)a二入a+卩a;(3) 第二分配律：入(a+b) = xa+入b46. 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1) a-b= ba (交換律)；(2) ( a a) b= a (a*b) =aa*b= a*(/lb);(3) (d'b) c= a c +b c.47. 平面向量基本定理如果3、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那 么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入】、 入2,使得a= x】e】+入2©2

20、.不共線的向量&、6叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的 組基底48. 向量平行的坐標(biāo)表示設(shè) a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 bho,貝!)a b(b/ 0) o xy2 -x2y =049. $與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a b= | a | | b | cos 0 .50. ab的幾何意義數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度lai與b在a的方向上的 投影iblcoso的乘積.51平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a=(xpy1),b=(x2,y2),則a+b二(州+兀2，)'+旳)設(shè) a=(xpy1),b=(x2,y2),則a-b二(州一兀2，)1-)2)設(shè) a(x1,y1) , b(x2,2),則

21、ab = ob -oa =(七 _ 尤1,_ 必)(4) 設(shè) a= (x, y),ae r ,則 2 a= (ax, ay).設(shè) a=(x1,yl),b=(x2,y2),則a b=(%1%2 + y1y2).52. 兩向量的夾角公式cos0 = i 2??；+學(xué)右(滬(坷,yj , b二5/xi 十 x >/兀2 +兒(w)53. 平面兩點(diǎn)間的距離公式dab = ab= yjabab=丁(兀2-兀|)2+(力一必)2(a(兀i，)l)，b(x2,y2).54. 向量的平行與垂直設(shè) a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 bho,則a|bob二入 a ox)s 一兀2必=0a丄b(aho

22、) o a b=0o x(x2 + yy2 =0.55. 線段的定比分公式設(shè)恥小),呱,力)，ps)是線段片馬的 分點(diǎn)，2是實(shí)數(shù)，且* =耐,貝ijx + ax21 + 2 開+空1 + a0p =1o op = /o£+(1 ()0乙(r =).1 + a56. 三角形的重心坐標(biāo)公式aabc三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(x】，y j、b (x2, y2)> c(x3, y3),則aabc的重心的坐標(biāo)是 zx1+x2 + x3 ) + 兒 + 兒、g(-，-)57. 點(diǎn)的平移公式x =x-h x = x - h:<oop =op + pp b =y + r y = y -k注：

23、圖形f上的任意一點(diǎn)p(x,y)在平移后圖形f上 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為p(x,y ),且pp的坐標(biāo)為(/?,£)5&“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論(1) 點(diǎn)p(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)p (x+ /?, + £)(2) 函數(shù)y = f(x)的圖象c按向量a=(h9k)平移 后得到圖象c',則c'的函數(shù)解析式為 y=f(x-/l) + k.(3) 圖象c'按向量a=(h,k)平移后得到圖象c, 若c的解析式y(tǒng) = f(x),則c的函數(shù)解析式為y = f(x + h)-k (4) 曲線c: f(x,y) = 0按向量a=(h9k)平移后得 到圖象c

24、',則c'的方程為f(x-h,y-k) = 0.(5) 向量hf(x, y)按向量a=(h,k)平移后得到的向 量仍然為m= (x, y).59. 三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)0為aabc所在平面上一點(diǎn)，角a,b,c所對(duì)邊 長(zhǎng)分別為a,b,c,貝ij 2 2 2(1) 0 為 abc 的外心 ooa =0b =0c (2) 0 為 aabc 的重心o oa-ob + oc = b.(3) 0為aabc的垂心obococoa.(4) 0為aabc的內(nèi)心 o aoa + bob + coc 6 (5) 0為aabc的za的旁心 <=> aoa = bob + co

25、c .§ 06不等式60. 常用不等式：(1) a,be r => a2 4-&2 > lab (當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí) 取“二”號(hào)).(2) ci,be r" => a" > j亦(當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)2取“=”號(hào)).(3) a3 +b' +c3 > 3abc(a > 0,b > 0,c > 0).(4) 柯西不等式(a2 +b2)(c2 +d2)>(ac + bdy,a,b,c,de r.(5) a - b < a-b<+ b.61. 極值定理已知x,)，都是正數(shù)，則有(1) 若積

26、xy是定值p ,則當(dāng)x = y時(shí)和兀+ y有 最小值2“ ；(2) 若和x + y是定值s ,則當(dāng)x二y時(shí)積兀y有最 大值丄4推廣已知x.yer,則有(x +)?)2 =(兀一 )02 +(1) 若積小是定值，則當(dāng)lx-yl最大時(shí)，丨兀+ yl 最大；當(dāng) x-y最小時(shí)，i x + y i最小.(2) 若和lx + yl是定值，則當(dāng)lx-最大時(shí)，i卩i最小;當(dāng) x-y最小時(shí)，丨xy i最大62. 含有絕對(duì)值的不等式當(dāng)a> 0時(shí)，有2 2x < a x < a -a < x < a .x或兀 < -a 63. 無(wú)理不等式/u)>0 j、f(兀)> j

27、g(x)o < g(x)n o f(x)>g(x)(2)j/(兀)> g/u)>0< g(x)>0/w>0 g(x) vo/(x)>0(3) j/(x) vg(兀)u>< g(x)>0、/ vg $64. 指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1) 當(dāng) d>l 時(shí),a/( x) > ag(x, o f(x) > g(x);log" fm > log« g(兀)u> g(x) > o /m>gm、(2) 當(dāng)0 va vl時(shí),afx > a8(x) o /(x) < g(x

28、);7(x)>0log“ /(x) > log“ g(x) o < g(x) > o/(x)<(x)§07.直線和圓的方程園65 斜率公式(片(西,)、p2(x2,y2).66 直線的五種方程(1) 點(diǎn)斜式一)=比(兀一兀)(直線/過(guò)點(diǎn) £(西,),且斜率為r).(2) 斜截式y(tǒng) = kx + b(為直線/在y軸上的截 距).(3) 兩點(diǎn)式' 兒="舛(必北)，2)(人(兀,必)、只(?！睍A) 兒一刃冬一西_(壬h尤2)(4) 截距式 - + - = 1( b分別為直線的橫、a b縱截距，a. h0)(5) 一般式ar + b

29、y + c = 0(其中a、b不同時(shí) 為0).67 .兩條直線的平行和垂直若/,: y = kxxbx, /2: y = k2x + b2 厶ii人o & = k»b工b?； h丄厶o何込=t若"i、: ax + b y + g = 0,厶：x + b2y + c2 = 0,且 ai、 a2、bl、b2都不為零，-a2 b2 c2h 丄2 o aa+qb? =0;68 夾角公式 tan g=l i.1 +來(lái)(/| ：y = r|x +勺，l2: y = k2x + b2,kik2 工一1)(2)urn僅勻人場(chǎng)入目i.£% + b、b"(zj:&#

30、163;兀 + 冋y + c = 0丿2 ：x+b2y + c? =0, 人企+ b 5 h 0 )直線厶丄厶時(shí)，直線人與仏的夾角是蘭._ 269. 厶到厶的角公式(1) tan6z = 1 + m,(厶:y = kix+bl, l2： y = k2x-b2,kk2 工一1)a, b-, a-, b.(2) tan a -.aj a)+ b、b°(/j:£兀 + bly-cl =0,/2: ax + b2y + c2 = 0, 也+砂2工0)直線厶丄厶時(shí)，直線h到<2的角是仝. 270. 四種常用直線系方程(1) 定點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(xo,>o)的直線系

31、方程為y- y0 =k(x-x0)(除直線x = x0),其中r是待 定的系數(shù)；經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(xo,>o)的直線系方程為a(x-x0) + b(y-y0) = of其中a,b是待定的系數(shù).(2) 共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線i, : ax + b.y + c. =0, lj. a,x + 3°y + c。=0 的交點(diǎn) 的直線系方程為(a1x + b1y + c1) + 2(?l2x + s2y + c2) = 0 (除厶)，其中 入是待定的系數(shù).(3) 平行直線系方程：直線y = kx + b中當(dāng)斜 率k 一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.與直 線ar + by + c = 0平行

32、的直線系方程是ax + by + 2 = 0 (2工0),入是參變量.(4) 垂直直線系方程：與直線ax + by + c = 0 (aho, bh0)垂直的直線系方程是bx-ay + a = 0t x是參變量.71 點(diǎn)到直線的距離d =牛+丁。：。1 (點(diǎn) p%,兒),直線/;va2 + b2ax + by + c = 0).72圓的四種方程(1) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x o)2+(y b)2=r2.(2) 圓的一般方程x2 + y2 + d + f = 0 (d2 + e2-4f >0).(3)圓的參數(shù)方程x = a- rcos3y = b + r sin 3(4) 圓的直徑式方程(x 一

33、%)(%- x2) + (y - v )(y - y2) = 0 (圓的直徑的端 點(diǎn)是a(兀,必)、b(x2,y2)73. 圓系方程過(guò)點(diǎn)人(兀,開),b(x2,y2)的圓系方程是(x-x1)(x-x2) + (y-y1)(y-y2) + /l(x-x1)(y1-y2)-(0 (兀一兀)(兀_x,) + (y )(y y2) + a(ax + by + c) = 0，其中ax-by + c = o是直線ab的方程，入是待定的系 數(shù).(2) 過(guò)直線/:+ c = 0與圓c : x2 + v2 + dx + ey + f = 0的交點(diǎn)的圓系方程是 x2 +)，+ dx + ey + f + by 4

34、- c) = 0,入是待定的系數(shù).(3) 過(guò)圓 cj : %2 + y2 + dx+ ey + f = 0與圓c2: x2 + y2 + d2x + e2y + f2=o的交點(diǎn)的圓系方程是 對(duì) + dx + e+ 斥 + a(x + b + y-y0 =k(x-xq),再利用相切條件求k,這時(shí)必 有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線. 斜率為k的切線方程可設(shè)為y" + b,再 利用相切條件求b,必有兩條切線.(2)已知圓%2 + y2 = dxqx + yqy = r2斜率為r的圓的切線方程為d2x + e2y 4- f,) = 0 y = fcv± rjl + k?過(guò)

35、圓上的£)(兀0，兒)點(diǎn)的切線方程為其中da/a2 +b2a2,入是待定的系數(shù).74. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)pg,兒)與圓(x-a)2 + (y -b)2 = r2的位置 關(guān)系有三種若d = j(d -兀o)2 +(6-,貝!jd > r 0點(diǎn)p在圓外;d = r 0點(diǎn)p在圓 上；d v廠u>點(diǎn)p在圓內(nèi).75. 直線與圓的位置關(guān)系直線ax + c = 0與圓(x-a)2-(y-b)2 =r2的位置關(guān)系有三種：d > r 0 和離 o v 0 ;d = r 0 和切 <=> a = 0 ;d 0 相交 <=> a >0.§0&am

36、p;圓錐曲線方程r2 v27&橢圓二+仝=l(a > b > 0)的參數(shù)方程是 crx = acos0y = hsi n&r2 v279橢圓二+ = 1(。> b > 0)焦半徑公式 cr2pf. =£(* + ), pf. =e(-一x).cc80.橢圓的的內(nèi)外部十x2y2(1) 點(diǎn) p(x()，y°)在橢圓rr = l(a > b > 0)的 cr o內(nèi)部o冷+晉vl76 兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為0“ 02,半徑分別為5切002 = dd > r + r2 o外離u> 4條公切線;d =廠+乙

37、u>外切o 3條公切線；打一廠2 v d v兒+廠2 o相交o 2條公切線;d =|廠-引o內(nèi)切o 1條公切線；0<d <|rj -r2| «內(nèi)含o無(wú)公切線.77 圓的切線方程(1) 已知圓 x2 + >'2 + dx+ ey + f = 0 若已知切點(diǎn)(兒)在圓上，則切線只有一 條，其方程是科+川+些戸+呼 + 10. 當(dāng)(兀,兒)圓外時(shí)，d(x0 + x) e(yo + y) 口 門圭無(wú)0兀+ 兒+ + + f = 0表不 過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程.過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為z x2 y2(2) 點(diǎn)兒)在橢圓 r + = l(a > b >

38、; 0)的cr o 外部0乎+詈>181.橢圓的切線方程2 2(1) 橢圓+ -yv = 1(。> b >0)上一點(diǎn) p(x0, y0)處的切線方程是辱+孚=1cr b2 2(2) 過(guò)橢圓+ - = l(a>&>0)外一點(diǎn)a 少p(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 寫+臂=1.a2 b292(3) 橢圓+ = 1(6/ >/?>()與直線crax + by + c = 0 相切的條件是 a2a2 + b2b2 = c2.2 296. 雙曲線務(wù)一許=1(。>(),b> 0)的焦半徑公式 a b2 2pf( =k(x + )1,

39、i pf, 1=1 e(-兀)i.cc82 雙曲線的內(nèi)外部點(diǎn)p(xo,>o)在雙曲線2 22 2二一£ = l(d>0,b>0)的內(nèi)部0豈一典>1. bcr hr(2) 點(diǎn)p(x0,y0)在雙曲線2 22 21>0上>0)的外部o離一典v1.bcr kr83. 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系2 2(1)若雙曲線方程為z l = 1 =>漸近線方程:a2 b2芻卡=0o尸±經(jīng).a ba(2) 若漸近線方程為y = ±2%o蘭±=0=>雙a a b2 2 曲線可設(shè)為匚一匚二入cr b2 2(3) 若雙曲線與亠-

40、仝=1有公共漸近線,可設(shè)為a2 b22 2二一丄v =( x > 0,焦點(diǎn)在x軸上，x < 0 ,焦點(diǎn)a2 b2在y軸上)84. 雙曲線的切線方程2 2雙曲線二一厶= l(q>0,b>0)上一點(diǎn)/ trp(x(), y()處的切線方程是 = 1 a d2 2(2)過(guò)雙曲線一務(wù)= l(a>0,b>0)外一點(diǎn) a trp(xo0jo)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是v_2v=1a2 b2 _ 2 2(3) 雙曲線二7 = 1(6/>0,/7>0)與直線 a bax + by + c = 0 相切的條件是 am _ g2b2 = c2.100.拋物線y2=2

41、px的焦半徑公式拋物線y2 = 2px(p > 0)焦半徑|cf| =心+上2過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)85. 拋物線y2 = 2px±的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為p(,) 2p 或p(2pr,2pr)或 p(x，y)其中丈= 2px°.86. 二次函數(shù)y = ax2 +/?x+c = a(x+)2 + (a h 0)的圖象2a 4ah 4ac b，是拋物線：(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,);(2)焦2a 4ab 4cic /?'+點(diǎn)的坐標(biāo)為(-/)； (3)準(zhǔn)線方程是2a 4a4ac-b2 -1y =4a87. 拋物線的內(nèi)外部點(diǎn)p(x0,y0)在拋物線y2 =2/7x(/? >0)的內(nèi)部o y2

42、 < 2 px( p > 0)點(diǎn)p(xo，)b)在拋物線y2 = 2px(p >0)的外部u> y2 >2px(p > 0)(2) 點(diǎn) p(%0, y0)在拋物線 y2 = -2 px( p > 0)的內(nèi)部 o)，2 < -2 px( p > 0)點(diǎn)p(xo,;o)在拋物線>,2 = -2px(p > 0)的外部<=> y2 > -2 px( p > 0)(3) 點(diǎn)p(x0, y0)在拋物線x2 =2py(p > 0)的內(nèi)部o 兀？ v 2py(p > 0)點(diǎn)p(x0,y0)在拋物線f =2/

43、7)'(/7 >0)的外部<=> x2 > 2py(p >0).(4) 點(diǎn) p(x0,y0)在拋物線 x2 =2py(p >0)的內(nèi)部 o f < 2py(p > 0)點(diǎn)p(xo,);o)在拋物線扌=-2py(p > 0)的外部<=> x2 > -2 py(p > 0)88. 拋物線的切線方程(1) 拋物線)"=2”x上一點(diǎn)p(xo,;o)處的切線方 程是 yqy = p(x+xq).(2) 過(guò)拋物線y2 = 2px外一點(diǎn)p(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是yqy = /心+兀。)(3) 拋物

44、線y2=2px(p>0)與直線7u+ by + c = 0相切的條件是pb2 =2ac89. 兩個(gè)常見的曲線系方程過(guò)曲線fi(x,y) = 0, f2(x9y) = 0的交點(diǎn)的曲 線系方程是z (兀,+aa(兀y)=°(久為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程2 2+ = 1,其中r <max2,/?2.當(dāng)a-k b-kk >mma2,b2時(shí)，表示橢圓；當(dāng)mintz2,/?2 <k < max2,/?2時(shí),表示雙曲線.90. 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直;= ju 兀2尸 +（） -）或ab j（1 + /）（

45、兀2 西）2 =1x） x21v1 + tan2a =1 f y = kx + b（弦端點(diǎn)人（兀,?。?3（兀2，），2），由方程彳消-f（x,y） = o去y得至iax2 +z?% + c = o , a>o,q為直線a的傾 斜角，r為直線的斜率）.91. 圓錐曲線的兩類對(duì)稱問題（1）曲線f（x,y） = 0關(guān)于點(diǎn)p（x0,y0）成中心對(duì)稱 的曲線是f（2x0-x, 2兒一 y） = 0.（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；，-“i屆冠莎該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.98.證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2

46、）轉(zhuǎn)化為線面垂直.99. 空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律（1）加法交換律：a+b=b+a.（2）加法結(jié)合律：（a+b） +c=a+ （b+c）（3）數(shù)乘分配律：入（a+b） = xa+xb.100. 平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推(2)曲線f(x,y) = 0關(guān)于直線/k + by + c = 0成始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等=軸對(duì)稱的曲線是廠/ 2a（ax + by + c） 2b（ax + by + c）x 八f（x2*；） = 0h+歹才+礦92“四線” 一方程對(duì)于一般的二次曲線ax2 + bxy + cy2 +dx+ey + f= 0,用xox代/ ,用y

47、°y代b，用s；秘代與,用勺尹代x,用于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始 點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.101 共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b（bho）,艮bu>存在實(shí) 數(shù)入使a二入bp、4、三彗線_o apw ab o ap = tab oop = （-t）oa + tob.abcd>ab.乙5共線且ab、cd不共線些上代y即得方程<=> ab = tcds.ab, cd不共線.102.共面向量定理a、b共面的o存在實(shí)§09.立體幾何93. 證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線

48、平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.94. 證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.95. 證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.96. 證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.97. 證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直;或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有序?qū)崝?shù)對(duì)兀,歹，使op = 0m + xma + y

49、mb 103對(duì)空間任一點(diǎn)0和不共線的三點(diǎn)a、b、c,滿足 op = xoa + yob + zock = l時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)0,總有p、a、b、c四點(diǎn)共 面；當(dāng)rh1時(shí)，若ow平面abc,則p、a、b、c四點(diǎn) 共面；若0g平面abc,則p、a、b、c四點(diǎn)不共面.a、b、c、d四點(diǎn)共面o ad與a3、ac共 面o ad = xab + yac ood = （1 -x- yoa + xob + yoc （0幺平面 abc）104 空間向量基本定理如果三個(gè)向量a、b c不共面，那么對(duì)空間任一向 量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z,使p=xa + yb+zc.推論 設(shè)0、a、b、c是不共面

50、的四點(diǎn)，則對(duì)空間 毎二點(diǎn)p,都存空唯一理于個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y, z,使 op = xoa + yob + zoc 105.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè) a (ava2,a3), b=(bl,h2,b3)則仏兀+ 8.± + 0防+卩心+心+尸2 2 2,曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方 程得到.向量p與兩個(gè)不共線的向量 兀，y,使 p = cix + by 推論 空間一點(diǎn)p位于平面mab內(nèi)的o存在有序 實(shí)數(shù)對(duì)兀,y,使mp = xma + ymb ,(1) a+b=(q +勺衛(wèi)2 +2，。3 +3)；(2) ab= (a】 -b,ci2 -b2,a3 -bj ；入a=(加|,

51、 aa2,加3)(入丘r);(4) a b= ab + a2b2 + a3b3 ；106設(shè) a(x|,)w), b(x2,y2,2),貝uab = ob-oa=(兀2_西，)，2_必我2_石) 107.空間的線線平行或垂直1 1設(shè) = (xpypzj), b = (x2.y2,z2),則aph <> a = ah(h h 0) o <) = ay2 ；v =加2丄丄丄 丄a ±b 0 ab = 0 0召七+必)。+ ?憶2 =。109. 空間兩點(diǎn)間的距離公式若 a(西，開，石),b(x2,y2,z2),則dali = ab=y/jbb=j(2 兀j' +(2

52、 vi)' +(021)2 110. 點(diǎn)q到直線/距離h = y/awb-a-b)2 (點(diǎn)p在直線/上 直 i a i線/的方向向量a=pa ,向量b二pq).111 異面直線間的距離d j 吟川(厶上是兩異面直線，其公垂向量為i n in9 c、d分別是zp/2±任一點(diǎn)，d為厶厶間的距離). 112點(diǎn)b到平面q的距離d？(為平面©的法向量，是經(jīng)過(guò)i n i面q的一條斜線，ae a )113 異面直線上兩點(diǎn)距離公式 d lh2 + m2 4- z?2 + 2mn cos 6 .d = yj/12 +/t72 4-/?2 2mn cosea ,af、d = y/h2

53、+a772 4-a?2 2mncos(p(p = e-aa -f )(兩條異面直線a、b所成的角為0 ,其公垂線段a4'的 長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)e、f,a e = m , af n, ef = d)和v斜棱柱，它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是5和® ,則 s斜棱柱側(cè)=cj v斜棱柱=s/114.球的半徑是r,則4.其體積v=龍疋，3其表面積s =4兀f115 .球的組合體(1) 球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2) 球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體 的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，正方體的外 接球的直

54、徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(3) 球與正四面體的組合體：7棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為 a,外12接球的半徑為4116.柱體.錐體的體積y柱體=訥(s是柱體的底面積、h是柱體的高).瞬體二( s是錐體的底面積、h是錐體的高).§10.排列組合二項(xiàng)定理117分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)n =加+ 加2 加“ 11&分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理) n =x/? x-xmn 119. 排列數(shù)公式m !a? = n(n -l)-(7i-m + l) =. (" , in e“(n - m)ln*» s-/n <n).注:規(guī)定0!=l.120. 排列恒等式(1) a

55、； = (n -m + l)a；z ;(2)a：=n .-1，n 一 m(3)心；(4)< =w；(5)a：.=二 a；：+ma；t(6) 1!+22!+33!+ + 兄兄！ = ( + 1)!1.已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是/,側(cè)面積和體積分別是s斜棱柱側(cè)121. 組合數(shù)公式(1)137.方差與期望的關(guān)系珂=琦-(昭i(a + b)” =詠”十c：a”-'b + c：嚴(yán)護(hù).cran-rhr十円醐陡態(tài)分布密度函數(shù)1(x -mf/()=-y=-£? 262，無(wú) w(_oo,+oq),式中的實(shí) 數(shù)u, (t (<7>0 )是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo) 準(zhǔn)差.139.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)工'3 =疋鼠 2 ,xe (-00,4-00).134.方差=(旺-.p + (兀2 - p2 + +(£