導(dǎo)數(shù)與微分PPT課件

1、微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分13.1 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念的概念0( ).f ttt設(shè)S表示一物體從某個時刻開始到時刻t作直線運動所經(jīng)過的路程，則s是時刻t的函數(shù)S=求時的瞬時速度。00tttt當時間由 改變到時，物體這段時間內(nèi)所經(jīng)過的距離為引例1、變速直線運動的瞬時速度00()()Sfttft 一、引例第1頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分2（1）當物體作勻速運動時000()()f ttf tsvtt （2）當物體作變速運動時00stttvt表示從 到這一段時間的平均速度0tvv 很 小 時 ，t且越小，近似程度越好第2頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分300limtstt 當時 ， 如 果存

2、 在00000lim()()limttsvtfttftt 則引例2 平面曲線切線的斜率 在點求曲線L：)(xfy ),(00yxM處切線的斜率。割線 MN 的斜率為： tanxxfxxf)()(00 xy第3頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分4割線 MN 的極限位置 MT 稱為曲線 L 在點 M 處的切線。tantanlim0 x切線 MT 的斜率為： xylimx0 x)x(f)xx(flimx000 tank)x(f00 x當時,第4頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分5000( )()()10yf xxyf xxf xxx 定義 ：設(shè)函數(shù)在點 處的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)的改變量與

3、自變量的改變量的比值當?shù)臉O限xxfxxfxyxx)()(limlim0000的表達方式有四種等價處的導(dǎo)數(shù)，也叫微商，在點函數(shù)稱為處可導(dǎo)，而上述極限就在點存在，則稱00)()(xxfxxf二、導(dǎo)數(shù)的定義第5頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分6000|;|)(;|);(0 xxxxxxdxdydxxdfyxfxxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000即第6頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分73,(2)yxf已知求例.0(2)(2)(2)limxfxffx 解330(2)2limxxx 230126lim12xxxxx 第7頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分8( )( ,

4、 )( , )2f xa bxa bx如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點處都可導(dǎo)，即對內(nèi)的每一點 ，都對應(yīng)著一個確定定義 ：的導(dǎo)數(shù)值xxfxxfxfx)()(lim)(0上的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)在區(qū)間數(shù)上可導(dǎo)，上述極限為函在區(qū)間則稱),()(),()(baxfbaxf第8頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分93,( )yxfx已知求例.0()( )( )limxf xxf xfxx 解330()limxxxxx 2230233lim3xxxx xxxx 第9頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分102( )3fxx3( )f xxdomfdomf 第10頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分11三、導(dǎo)數(shù)的

5、幾何意義0,0()M x y切線曲線在點處方程為：000()()yyfxxx0001()()yyxxfx 000()( )(,)fxyf xM xy是曲線在點處的切線斜率0,0()M x y法線曲線在點處方程為：第11頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分12四、單邊（側(cè)）導(dǎo)數(shù)00000( )()0()()030yf xxxxxxyf xxf xxxx 設(shè)函數(shù)在點 處的某左鄰域，（）內(nèi)有定義，如果函數(shù)的改變量與自變量的改變量 （）定義 ：的比值當?shù)臉O限xxfxxfxyxx)()(limlim0000）（記為處的左導(dǎo)數(shù)在點稱為函數(shù)就處左可導(dǎo)，而上述極限在點存在，則稱000,)()(xfxxfxx

6、f第12頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分13xxfxxfxfx)()(lim0000）（即：處的右導(dǎo)數(shù)同樣，也可以定義點0 xxxfxxfxfx)()(lim0000）（等處的左右導(dǎo)數(shù)存在并相在點函數(shù)是：處可導(dǎo)的充分必要條件在點函數(shù)00)()(xxfxxf第13頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1400000000)()(lim)()()(lim)(0 xxxfxfxfxxxxxfxxfxfxxx則上式簡化為中設(shè)在導(dǎo)數(shù)定義式同樣單邊導(dǎo)數(shù)定義式也可簡化為：00000000 xx)x(f)x(flim)x(fxx)x(f)x(flim)x(fxxxx第14頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)

7、與微分15例.求函數(shù)|)(xxf在0 x處的導(dǎo)數(shù).解|x|)x(f 00 x,xx,x000 x)(f)x(flimx)(f0 xxlimx00 1 000 x)(f)x(flimx)(f0 xxlimx00 1 )(f0 )(f0 所以,函數(shù)|x|)x(f在0 x處不可導(dǎo).思考000()()()?fxfxfx什么情況下必須用左右導(dǎo)數(shù)，來確定第15頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分16五、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系若函數(shù)( )yf x在0 x處可導(dǎo),則必連續(xù) .事實上, 因( )yf x在0 x處可導(dǎo),即00()limxyfxx 0limxy 0limxyxx 00limlimxxyxx 0定理

8、2.1所以,函數(shù)( )yf x在0 x處連續(xù).第16頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分17例.求函數(shù)|)(xxf在0 x處的導(dǎo)數(shù).解|x|)x(f 00 x,xx,x000 x)(f)x(flimx)(f0 xxlimx00 1 000 x)(f)x(flimx)(f0 xxlimx00 1 )(f0 )(f0 所以,函數(shù)|)(xxf在0 x處不可導(dǎo).0問題：連續(xù)是否一定可導(dǎo)？第17頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分18xy020( )0 xxf xxx例 已知.( )0(0)f xxf在處連續(xù)，但不存在13( )f xx例 已知.( )0(0)f xxf在處連續(xù)，但不存在第18頁/共

9、142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分191,0( )1,0 xxf xxx例：1-1第19頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分20函數(shù)在其可導(dǎo)的點處一定連續(xù)函數(shù)在其不連續(xù)的點處一定不可導(dǎo)函數(shù)在其連續(xù)的點處不一定可導(dǎo)結(jié)論第20頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分21六、用定義求導(dǎo)數(shù)舉例00000000)()(lim)()()(lim)(0 xxxfxfxfxxxxxfxxfxfxxx則上式簡化為中設(shè)在導(dǎo)數(shù)定義式同樣單邊導(dǎo)數(shù)定義式也可簡化為：000000)()(lim)()()(lim)(00 xxxfxfxfxxxfxfxfxxxx第21頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分22例1. 求函數(shù)C

10、y (常數(shù))的導(dǎo)數(shù).x)x(f)xx(flimx 0)x(f 解00 xCClimx 0 C常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零例2. 求函數(shù))(Nnxyn的導(dǎo)數(shù).解( )fx0()( )limxf xxf xx 0()limnnxxxxx 12201(1)lim()2!nnnnnxn nxnxxxxxxx 1nnx1 nnnx)x(第22頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分23()lnxxaaa因此，指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)()xxee特別地，)10(aaayx且例3. 求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).( )fx0()( )limxf xxf xx 0limxxxxaax 0(1)limxxxaax ln0(1)limlnlnxxa

11、xaeaxa lnxaa解第23頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分24例4. 設(shè)( )log (0,1),af xxaa求( )fx解0()( )limhf xhf xh( )fx0log ()loglimaahxhxh01limlog1ahhhx10limlog1xh xahhx1logaex1lnxa1(log)lnaxxa 1(ln ) xx 特別地,第24頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分25例5. 設(shè)( )sin ,f xx求( )fx解0()( )limxf xxf xx ( )fx0sin()sin( )limxxxxx 02sin2limcos2xxxxx cosx(s

12、in )cosxx 正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù).類似得,(cos )sinxx 余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負的正弦函數(shù).第25頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分26注：分段函數(shù)分段點的導(dǎo)數(shù)必須用定義求( )0(0)0f xxf所以在處可導(dǎo)，且例6. 設(shè)函數(shù)).0(,0, 00,1sin)(2fxxxxxf求解因為0sinlim0)0()(lim1200 xxxfxfxxx第26頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分270( )(0)(0)lim0 xf xffx20limxxxx例7. 解處是否可導(dǎo)在試討論函數(shù)00),1ln(0,)(2xxxxxxxf處的左右導(dǎo)數(shù)在點必須先求所以處兩側(cè)的表達式不同

13、因為在點0)(0 xxf，x0lim11xx 0( )(0)(0)lim0 xf xffx0ln(1)limxxx1( )0(0)1f xxf所以在處可導(dǎo)，且第27頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分2800220lim( )limxxxxf xxx000lim( )lim ()xxxxf xaxbaxb200()f xx方法一：.,)(0002baxxxxbaxxxxxf求處可導(dǎo)在設(shè)函數(shù)例8. 解而處也必連續(xù)在點所以處可導(dǎo)因為在點，xxxf，xx00)(200 xaxb所以第28頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分290220000()lim2xxxxfxxxx000()()limxxa

14、xbaxbaxx000()()2fxfxax由，得2002axbx 綜上可得，200,( ),xxxf xaxb xx02000()()limxxaxbxfxxx第29頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分30方法二：000( )(),()f xxxfxfx因為在點處可導(dǎo)，所以都存在且相等0220000()lim2xxxxfxxxx02000()()limxxaxbxfxxx而存在020lim ()0 xxaxbx由極限性質(zhì)知，一定有200bxax推得：第30頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分310220000()limxxaxxaxxfxxx從而000()limxxa xxaxx2002

15、,ax bx 故第31頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分3200000000()()lim ()() ()()limhhf xahf xbhchf xahf xf xbhf xch因此：解例9. chbhxfahxfAxf，xxxfh)()(lim,)()(00000求極限且處可導(dǎo)在設(shè)函數(shù)0000()()()limhf xhf xfxAh由于00000()()()()limhf xahf xf xbhf xabcahcbh00()()abfxfxcc()A abc第32頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分33cosyx 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,所求切線的斜率為:0 xyk20(0)yx所求切

16、線方程為:即yx所求法線方程為:10(0)1yx 即yx 解例11. )0 , 0(交點坐標為方程軸交點處的切線與法線與求曲線yxysin第33頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分343.2 求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運算法則)()()()()()(1xvxuxvxuxvxu和或差也可導(dǎo)，且都可導(dǎo)，則它們的和：如果函數(shù)法則)()()()()()()()(2xvxuxvxuxvxuxvxu乘積也可導(dǎo)，且都可導(dǎo)，則它們的和：如果函數(shù)法則一、四則運算求導(dǎo)法則第34頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分35vuvuvu )(證: 設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxv

17、xuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C為常數(shù) )第35頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分36)()()()()()()(0)()()(32xvxvxuxvxuxvxuxvxvxu則它們的商也可導(dǎo)，且都可導(dǎo)，且和：如果函數(shù)法則( )( ),( )u xfxv x證 明 ： 設(shè)根 據(jù) 導(dǎo) 數(shù) 定 義0()( )( )limxf xxf xfxx 01()( )lim(

18、)( )xu xxu xx v xxv x 第36頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分3701() ( )( ) ()lim() ( )xu xx v xu x v xxxv xx v x 01 ()( ) ( )( ) ()( )lim() ( )xu xxu x v xu x v xxv xxv xx v x 0( )( )1lim() ( )xuvv xu xxxxv xx v x 2( )( )( )uv xu x vvx21( )1( )( )vu xv xvx特別地，當時，有證畢.第37頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分38的導(dǎo)數(shù)求多項式nnnnaxaxaxay1110111

19、0)()()()(nnnnaxaxaxa1110)()()(xaxaxannn12110) 1(nnnaxnanxa例1. 1110)(nnnnaxaxaxay解第38頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分39解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx例2. 第39頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分40 xxxylncos3求y解y)lncos(3xxxxxxlncos)(3xxxl

20、n)(cos3)(lncos3xxxxxxlncos32xxxln)sin(3xxx1cos3xxxlncos32xxxlnsin3xx cos2例3. 第40頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分410 xnxyn為正整數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，其中求函數(shù)1)(nnxxynnnnxnxxx212)(1nnx例4. 解第41頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分42的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)xytan)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosx2sec解例5. 第42頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分43常用公式：2(cot )cscxx (se

21、c )sec tanxxx(csc )csc cotxxx 第43頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分44二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則)( 1)()(, 0),(xxfxfyyxfyyx也可導(dǎo)，且則其直接反函數(shù)）（反函數(shù)）可導(dǎo)，且存在直接（法則四：設(shè)函數(shù)()( ),( ),()( ),()()( )yf xxf xyf xyyf xxxy xxyyxyyy 證明：令則因 ， 從而第44頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分45( )000,yxy 又因為，為此時，必有所以0()( )( )limxf xxf xfxx 01limxxy 01lim()( )yyyyy 1( )y1( )( )fxy因

22、此第45頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分46的導(dǎo)數(shù)求反正弦函數(shù)xyarcsin因此的反函數(shù)為),22(sinarcsinyyxxyyyxcos1)(sin1)(arcsin2211sin11xy211arccosxx）同理（解例5. 第46頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分47的導(dǎo)數(shù)求反正切函數(shù)xyarctan因此的反函數(shù)為),22(tanarctanyyxxyyyx2sec1)(tan1)(arctan2211tan11xy211cotxxarc）同理（解例6. 第47頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分48三、基本導(dǎo)數(shù)的公式)(0)(1為常數(shù)、CC12 ()()aaxaxa、為

23、任意實數(shù)的情形將在復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)中介紹xxxxeeaaaaa)() 1, 0(ln)(3特別地、xxaaaxxa1)(ln) 1, 0(ln1)(log4特別地、第48頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分49xxcos)(sin5、xxsin)(cos6、xx2sec)(tan7、xx2csc)(cot8、xxxtansec)(sec9、xxxcotcsc)(csc10、第49頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分50211)(arcsin11xx、211)(arccos12xx、211)(arctan13xx、211)cot(14xxarc、xx21)(15、21)1(16xx、第50頁/共

24、142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分51xysinxycossin2yx(sin2 )yx?(sin2 )cos2yxx22(sin2 )(2sin cos )2(sin ) cos2sin (cos )2cossin2cos2yxxxxxxxxxxGuess(sin2 )cos2 (2 )2cos2yxxxx ( ( )( ( )( )fxfxx四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第51頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分52sin2sin2yxyu ux ( ( )( ( )( )fxfxxdydy dudxdu dxcos22cos2dydy duuxdxdu dxyyuxux第52頁/共142頁微積分

25、第三章導(dǎo)數(shù)與微分5332 ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )3( )( )dyf xfx f x f xdxf x fx f xf x fx f xfx fx( ) ( ( )( ( )( )F xfxfxx第53頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分54法則5(連鎖法則) 可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為在點可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，而在點如果xxfyxuufyxxu)()()()()()()(xxfxfdxdududydxdy或Outfunctioninnerfunction第54頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分55證)(ufy 在點)(xu可導(dǎo)，由知)(lim0u

26、fuyu由極限與無窮小關(guān)系知),(ufuy0lim0u于是yuuuf)(第55頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分56xyxuxuuf)(xyx0limxuufx0lim)(xux0limdxdy即dxdududyxuf)()(第56頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分57解.2sin).1 (xy ,sin uy 2xu dxdydudydxduucosx22cos2xx例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2sin)1(xy xytanln)2(第57頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分58xytanln).2(,ln uy xutandxdydudydxdux2secxxtansec2u1)tan

27、(lnxy)(tantan1xxxx2sectan1xxtansec2更簡明的過程( ( )( ( )( )fxfxx第58頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分59的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)52)21 (xy)()(xufy解例2. 52)21 (xy5uy 221xuxu45442)21 (20 xx)21(52xy)21 ()21 (5242xxxx4)21 (54242)21 (20 xx更簡明的過程第59頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分60的導(dǎo)數(shù)為實數(shù)求冪函數(shù))(axya因此復(fù)合函數(shù)的和則它就是將函數(shù)表示為.ln,lnxaueyeyuxa)(lnxaey解例3. xaxa)ln(lnxaex

28、a1aax第60頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分61例4. 的導(dǎo)數(shù)求xyln解,1,ln,0 xyxyx時當xxxyxyx1)(1,ln,0此時時當xx1ln所以第61頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分62復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多重復(fù)合的情形.)(xfy設(shè)),(ufy ),(vu)(xvdudy dvdu dxdv dxdy則)()()()(xxxfxf或第62頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分63例.)cos(lnxey 求dxdy解)cos(lnxey ,ln uy ,cosvu .xev u1xexxxeeecossin.tanxxee)sin(vdudy dvdu

29、dxdv dxdy第63頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分64更簡明的過程) )cos(lnxey) )(cos()cos(1xxee)()sin()cos(1xxxeeexxxeee)sin()cos(1.tanxxee第64頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分65例)ln(22axxy求yy2222)(axxaxx2222222)(1axxaxax221ax 解2222221axxaxx第65頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分66例22arccosxy求dxdy解dxdy2arccos2arccos2xx22112arccos22xxx.42arccos22xx第66頁/共142

30、頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分67例8.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a22222211222221 ( )xxaaaxxaxa第67頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分68形如，)(xfy 的函數(shù)稱為顯函數(shù).0),(yxFxy若與的函數(shù)關(guān)系由方程所確定,稱這類函數(shù)為隱函數(shù).五、隱函數(shù)求導(dǎo)法013 yx31xy2225xy225yx 336xyxy第68頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分69求導(dǎo)方程兩邊同時對xxyxyy2233因此解33yxyyx的

31、導(dǎo)數(shù)求隱函數(shù)例9 2233xyyyyx第69頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分70, 0yxyexyy的函數(shù)，求是確定已知方程yexyy所以解例10yyxye y0求導(dǎo)方程兩邊同時對x第70頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分711|12coslnxxydxdyxxxye處的導(dǎo)數(shù)在點求隱函數(shù)求導(dǎo)，得：方程兩邊同時對x22sinln)(xxyxyxyyey0|1xdxdy所以解例1101yx時，由原方程可得當001yyx代入上述方程可得，將第71頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分72六、對數(shù)求導(dǎo)法兩類函數(shù))0(. 1sinxxyx ? y2. )4)(3()2)(1(xxxxy有簡便求

32、?y第72頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分73)4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對 x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x例12第73頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分743(21)(16.32)(3)xxyx求函數(shù)例的導(dǎo)數(shù)1lnln(21)ln(32) 3ln(3)2yxxx 在函數(shù)兩邊同時取對解數(shù)33233122211xxxyyx求導(dǎo)，得等式兩邊同時對第74頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分75例13 求)0(sinxxyx的導(dǎo)數(shù) . 解 兩邊取

33、對數(shù) , 化為隱函數(shù)xxylnsinln兩邊對 x 求導(dǎo)yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx第75頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分76解法2 將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)xxysinxxelnsin)ln(sinlnsinxxeyxx)1sinln(cossinxxxxxx)sinln(cossinxxxxxx第76頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分77例12dydxdxdy，xyxyxx,求的函數(shù)是確定方程解 兩邊取對數(shù) xyyxlnln對 x 求導(dǎo)xyxyyyxyln1ln第77頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分7822lnlnyyxyyyxxyx

34、解出 ，得xxyxyxyydxdylnln22即yxyyxxyxdydxlnln22而第78頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分790 xx0 xx引例. 一塊正方形金屬薄片受溫度的影響,0 x其邊長由變到,0 xx問此薄片的面積改變了多少?2xS 面積的改變量：S 2020 x)xx( 202)x(xx 一、微分的引進3.3 微分第79頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分80S包含兩部分2xxx是的線性函數(shù)2()0 xxx當時是比高階無窮小量0( )dyf xx第80頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分81二、微分的定義0000( )0( )()()yf xxxxxyf xyf xxf

35、 xA xa x 函數(shù)在點 的某鄰域內(nèi)有定義，如果對自變量 在點 出的改變量 （），函數(shù)相應(yīng)的改變量可以表示為 0000000( )( )|( )|x xx xx xAxxaxyf xxA xyf xxdydf xdyA x 其中， 是只與 有關(guān)而與無關(guān)的常量， 是當時的無窮小量，則稱函數(shù)在點處可微，稱為函數(shù)在點 處的微分記為或即第81頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分82證(必要性)0( )yf xxA設(shè)在 處可微，根據(jù)定義，一定存在常量和無窮小量 ,使得：yA xx yAx從而0limxyAx 兩邊取極限可得：0()Afx即00()xxdyfxx因 此0000( )(|1)()x xy

36、f xxyf xxdyfxx函數(shù)在點 處可微的充要條件是函數(shù)在點 處可導(dǎo)且理 ：，定第82頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分83(充分性)設(shè)函數(shù)0 x)(xfy 在點處可導(dǎo),即xyx0lim).(0 xf xy )x(f0)lim(x00 y xx)x(f 0)x(ox)x(f 0)(0 xf 與x無關(guān),)x(o 是較x高階的無窮小.所以函數(shù)0 x)(xfy 在點處可微.且).(0 xfA第83頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分84說明:0)(0 xf時 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd

37、很小時, 有近似公式xyyd與是等價無窮小,當故當?shù)?4頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分8532( )21( )22.05( )22.01EComparethe values ofy and dyif yf xxxxand x chxampangesa fromtoand b fteromol32322(a)We(2)222 2 19(2.05)(2.05)(2.05)2 (2.05) 19.717625(2.05)(2)0.717625( )(322)have ffyffIn geneSolraldyfx dxxutidxonx 第85頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分862232

38、322( )(322)20.05(3 22 22) 0.050.7(2)222 2 19(2.01)(2.01)(2.01)2 (2.01) 19.140701(2.01)(2)0.14070120.01(3 22In generaldyfx dxxxdxWhen xand dxxdy(b)We have ffyffWhen xand dxxdy 22) 0.010.0.14 第86頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分87( ),( ),( )( )( )( )( ),yf xa bxf xa bfx dxf xdydf xdyfx dxdyfxdx如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點 處都可微，則稱在區(qū)

39、間內(nèi)可微，稱為的微分，記為或即 而導(dǎo)數(shù)也叫微商注意：1yxy當時，0 xxdydxyx 0()dyfxdx于是有第87頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分88三、基本微分公式與微分法則( )fx dxdy根據(jù)可得基本初等函數(shù)的微分公式：1()ln()1(lo( )0(g)ln1(l) nxxxxad aaadxd ed cde dxdxdxxadxdxxxxdx22(sin )cos(cos )sin(tan )sec(cot(sec )sec tan(csc )csct)cocscdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxddxxxdxxxdx 第88頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分

40、8922221(arcsin )11(arccos )11(arctan )11(cot )1dxdxxdxdxxdxdxxd arcxdxx 微分法則：設(shè))(),(xvvxuu都可微，則)(vuddvdu第89頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分90微分法則：設(shè))(),(xvvxuu都可微，則)(vuddvdu)(uvdudvvduvud2vudvvdu()()d uvuv dxu vdxuv dxvduudv第90頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分91復(fù)合函數(shù)的微分法則：設(shè))(),(xuufy)(xfydxydyxdxxxf)()(dxx)(而所以duufdy)( 即微分形式的不變性

41、0()dyfx dx第91頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分92sin1.xyedy例求 函 數(shù)的 微 分sinsin(sin)cosxxyexxe解 因為dxxedyxsincos所以2sin tan2.,yxdy若例求22cos tan(tan)dyx dx 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法則， 解)(sectancos222xdxx dxxxx22sectancos2第92頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分9323.lnsinxyex求函數(shù)例的微分22() lnsin(lnsin )xxdyd exe dx 解dxxxexdxexxsincossinln222dxxexexx)cotsinl

42、n2(22第93頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分941(.)4xyxyeyf xdy若方程確定函數(shù)，求例:dy這是一個隱函數(shù)，只要將方程兩邊 同時微分然后解出解 )1()(deyxdxy0)(xydedydxxy0)(xdyydxedydxxydxxeyedyxyxy11第94頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分955.x ydyxyedx求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例()xyydxxdyedxdy 將方程兩邊同時微分解xyxydyeydydxxe解出，得xyxydyeyxyydxxexxy根據(jù)導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系有第95頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分96四、微分在近似計算中的應(yīng)用由微分定義知,

43、當0 x時,)x(odyy xxfdy)(0因此,當|x很小時,有近似公式:(1)0()ydyfxx 即)()(00 xfxxfxxf)(0(2)(0 xxfxxfxf)()(00)()()(000 xxxfxfxf(3)第96頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分97Linear Approximations and Differentials0000000000( ),(,()()()()( )()()()()f x is a differentiable function thetangentline of f at xf xisyf xfxxxThe approximationf xf

44、 xfxxxis called thelinear approximation or tangent lineapproximation of f at xx is near xThelin0000( )()()()ear functionL xf xfxxxis called the linearization of f at x0 x00(,()xf x( )f x( )L xx第97頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分98d180 xx 解: 設(shè),sin)(xxf取300 x,629x則6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(29sin的近似值 .例求29sin

45、4848. 029sin)()()(000 xxxfxfxf第98頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分993658.求例的近似值332301( ),( ),3(65)65,641f xxfxxfxx 設(shè)則 令，解，由于xxfxfxxf)()()(0001)64()64()65(fff因此02. 44814643164653233即第99頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1002( )30.0002200,1007.C xxx某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為在生產(chǎn)單位產(chǎn)品的基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)單位的產(chǎn)品，成本將例會增加多少？0100,1( )30.0004 ,(100)2.96xxCxxC解 令，

46、由得 000()()()CC xxC xCxx 因為 96. 2)100()101(CCC所以即在生產(chǎn)100單位產(chǎn)品的基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本會增加2.96第100頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分101可證,當| x很小時,有近似公式: tanxx 1xex )1ln(xx arcsinxx arctanxx 11nxxn sinxx 當| x很小時,xffxf) 0 () 0 ()(4)第101頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1021 xex （證明：x 很?。?),xfxe設(shè)證 則( )(0)(0)f xffx當 x 很小時 001ee xx1xex即第102頁/共142

47、頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分103解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 35245的近似值 .例. 計算 11nxxn第103頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分104)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例：變速直線運動3.4 高階導(dǎo)數(shù)第104頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分105的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為稱二階可導(dǎo)，也可導(dǎo)，則稱如果導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，仍然是的導(dǎo)數(shù)一個函數(shù))()()()()()(xfxfxfxfxxfxfy 記作：,y ),(xf 22dxyd22dxfd或, )( y y即22dxy

48、ddxdydxd二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作：,y ),(xf 33dxyd33dxfd或第105頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分106三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，記作：,)4(y),()4(xf44dxyd44dxfd或) 1( n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做n階導(dǎo)數(shù)，記作：,)(ny),()(xfnnndxydnndxfd或函數(shù))(xfy 有n階導(dǎo)數(shù)，也說函數(shù))(xfy 為n階可導(dǎo)。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。第106頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分107sin1.yxn例求的 階 導(dǎo) 數(shù)sinyx 對一階一階求導(dǎo)解，依次有)2sin(cosxxy)sin(sin xxy

49、)23sin(cos xxy)2sin(sin)4(xxy( )sin()2nnyx從而第107頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1082.xyan例求的 階 導(dǎo) 數(shù)lnxyaa解 2 )(ln aayx3 )(ln aayxnxnaay)(ln)(第108頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1093.xyxen例求的 階 導(dǎo) 數(shù)(1)xxxyexeex解 )2() 1( xeexeyxxx)3()2( xeexeyxxx)()(nxeyxn第109頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分11021()ySolutxiona 32()yxa 43 2()yxa ( )1!( 1)()nnn

50、nyxa Thus( )1( )( )nIf f xfind fxxExa pam le第110頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分111n4.l ()yxan求的例階導(dǎo)數(shù)1yxa解 2 )(1axy3 )(2axy4)4()(23axynnnaxny)()!1() 1(1)(從而第111頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分112215.32ynxx例求的 階導(dǎo)數(shù)1112yxx 函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為解)2(!)1(!)1(411)(nnnnxnxny可得：由例第112頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分113( )11nExamplxIf yfind yxexy1211)()1 (!) 1(2

51、nnnxny第113頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1142012( )6.nnf xaa xa xa x討論多項式 例 的高階導(dǎo)數(shù)112( )2nnfxaa xna x解 232 ) 1(232)(nnxannxaaxf33 )2)(1(23)(nnxannnaxfnnnanannnxf!123)2)(1()()()(0)()(nkxfk 第114頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1151)0(af由上面各階導(dǎo)數(shù)可以得到2 2)0(af3 23)0(af)(!)0()(nkakfkknnanf!)0()()(0)0()(nkfk第115頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分116二

52、、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲(Leibniz) 公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn) 1(vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 第116頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分117例. ,22xexy 求.)20(y解: 設(shè),22xveux則xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)

53、20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k第117頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分118( ),( )( )( ) (7.)uu x vv xnf xu x v xn如果都是 階導(dǎo)數(shù), 求它們乘積的例階導(dǎo)數(shù)( )fxu vuv解 2)(uvvuvuxf 33)(uvvuvuvuxf)4( )4()4(464)(uvvuvuvuvuxf第118頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分119則不難得到假設(shè)果二項展開式很相似，如上面這些導(dǎo)數(shù)外表上和,)0()0(vvuu)()0()()()2()2(2)1

54、()1(1)0()()()(nnnkknknnnnnnnvuCvuCvuCvuCvuuv)(0)(knkknknvuC以上這個公式稱為萊布尼茲（Leibniz）公式，可用于求乘積的高階導(dǎo)數(shù)第119頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1202sin810.yxx求的例階導(dǎo)數(shù)2( )sin ,sin(),22 ,2,nnux vxuxvx vvLeibniz 設(shè)則的三階及三階以上的導(dǎo)數(shù)均為零，故由解公式，)10()10()(uvy21102109sin(5 )sin()22sin(4 ) 2xxCxxCxxxxxcos20sin)90(2第120頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分121221

55、yd yIf yxefinExampdxled ,1yyyyDifferentiating theequationimplicitywith respect to x we getyexe ySolving for y giSolutioveexnsye第121頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1222222231()1()(1)(1)(1)(1)()(2)(1)(1)yyyyyyyyyyyyyyyyyyeyxed ydethusdxdxxeexeexexee yxee exe yxe exexe第122頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分12322120cos(9.)1|xyd yxy

56、x yyxdx若方程確定的函數(shù)例是，求2sin()()(2)0( )xxyxxyxyx y 方程兩邊同時對 求導(dǎo)解（）求導(dǎo)上式兩邊同時再對0)222()(sin()(cos( 2 2yxxyxyyxyyxxyxyyxyx0)1 (01yyx，得代入到，將第123頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1241,0,020 xyyy再 將代 入 到 （ ） 式 ，得 0|0122yxdxyd即22d yydxy本例中,如果是求,則要在(1)式中將求出后,代入(2)式,再將求出.第124頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1253.5 邊際與彈性000( )()( )( )()1)(yf xxxf

57、xf xxxf xfxf x設(shè)在處可導(dǎo)，稱為在點處的邊際量，若可導(dǎo)，則稱為的定義 ：邊際函數(shù)1、邊際成本(MC)000( ),(1)()CC xxxC xC x設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為為產(chǎn)量。經(jīng)濟學(xué)家定義產(chǎn)量 時的邊際成本為一、邊際的概念第125頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分126000()(1)()CxC xC x由近似計算公式得：000()( )(),( )C xC xxMCC xC x稱為總成本函數(shù)當產(chǎn)量為 時的邊際成本記為：稱為邊際成本函數(shù)0()C x 的經(jīng)濟意義：00 xxx產(chǎn)量 在 的基礎(chǔ)上增加一個單位產(chǎn)品時總成本的改變量?；蛘呱a(chǎn)第+1個產(chǎn)品需要的成本.001xxxx

58、當產(chǎn)量 在 的基礎(chǔ)上增加1個單位產(chǎn)量時，因為相對總產(chǎn)量 是很小的數(shù)，第126頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1272()1001,4.CC QQ已知某商品的成本函數(shù)為求當Q=10時的總成本，平均成本及邊例際成本。2( )1004( )1004( )2QC QC QQCQQQC Q 解 由有：10(10)125(10)12.5(10)5QCCC當時，總成本平均成本邊際成本第127頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分1282、邊際收益(MR)000( ),()()RR xxR xxMRR x設(shè)銷售某產(chǎn)品的總收益函數(shù)為為銷售量。稱為銷售量為 時的邊際收益。記為0()R x 的經(jīng)濟意義：0( )R x銷售量為Q 單位時增加銷售一個單位商品時總收益的改變量稱為邊際收益函數(shù)第128頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分12902.2010PP設(shè) 某 商 品 的 需 求 函 數(shù) 為 Q為 價 格 ， 單 位 為 元 /件 ， 求 這 種 商 品 的 邊 際收 益 函 數(shù) 及 銷 售 量 Q=1例50的 邊 際 收 益2010QP 將需求函數(shù)化為 解2( )2010QR QPQQ收益函數(shù)為( )205QR Q 邊際收益函數(shù)為(150)10R 因此150其經(jīng)濟意義為：當銷售量為時，增加一件商品總收益減少10元第129頁/共142頁微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分130