高等數(shù)學：極限的解法與技巧_匯總

1、極限的求法與技巧極限的求法與技巧極限是解決數(shù)學問題的一種有效的工具。以下列舉種方法，并附有極限是解決數(shù)學問題的一種有效的工具。以下列舉種方法，并附有例題。例題。1.運用極限的定義運用極限的定義例：用極限定義證明例：用極限定義證明:1223lim22xxxx證證: 由由244122322xxxxxx2222xxx取取 則當則當 時時,就有就有020 x 12232xxx由函數(shù)極限由函數(shù)極限定義有定義有:1223lim22xxxx2.利用單調(diào)有界準則求極限利用單調(diào)有界準則求極限預備知識：若數(shù)列預備知識：若數(shù)列收斂，則收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)為有界數(shù)列，即存在正數(shù)， na naM使得對一切正整

2、數(shù)使得對一切正整數(shù) ，有，有 .nMan此方法的解題程序為：此方法的解題程序為：1、直接對通項進行分析或用數(shù)學歸納驗證數(shù)列、直接對通項進行分析或用數(shù)學歸納驗證數(shù)列單調(diào)有界；單調(diào)有界； na2、設、設的極限存在，記為的極限存在，記為代入給定的表達式中，則該代入給定的表達式中，則該 naAannlim式變?yōu)槭阶優(yōu)榈拇鷶?shù)方程，解之即得該數(shù)列的極限。的代數(shù)方程，解之即得該數(shù)列的極限。A例：若序列例：若序列的項滿足的項滿足且且,試試 na)0(1aaa), 2 , 1( ,211naaaannn證證有極限并求此極限。有極限并求此極限。 na解解 由由 aa 1 aaaaaaaaaaa1211211122

3、2121用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明 需注意需注意aak .aaaaaaaaaaakkkkkkk2222121又又 022121nnnnnnaaaaaaaa 為單調(diào)減函數(shù)且有下界。為單調(diào)減函數(shù)且有下界。 na令其極限為令其極限為A由由 有：有：nnnaaaa211 nnnnaaaa21lim1即即 AaAA21 aA 2 aA )0(A從而從而 .aannlim3.利用等價無窮小替換利用等價無窮小替換常用的等價無窮小關系：常用的等價無窮小關系：,arctanarcsin,tan,sin,0 xxxxxxxxx ,1xex ,ln1axax ,ln)1(logaxxa ,111xnxn 等價

4、無窮小代換法等價無窮小代換法 設設 都是同一極限過程中的無窮小量，且有：都是同一極限過程中的無窮小量，且有：, ， 存在，存在，,lim則則 也存在，且有也存在，且有= limlimlim例例:求極限求極限 2220sincos1limxxxx 解解: ,sin22xx2)(cos1222xx=2220sincos1limxxxx212)(2222xxx注：注： 在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換，若以和、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為此時經(jīng)過代換可以互換，若以和、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為此時經(jīng)過代換后，往往改變了它的

5、無窮小量之比的后，往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù)階數(shù)”4利用極限的四則運算法則利用極限的四則運算法則 極限的四則運算法則敘述如下：極限的四則運算法則敘述如下：若若 Axfxx)(lim0Bxgxx)(lim0(I) )()(lim0 xgxfxx)(lim0 xfxxBAxgxx)(lim0(II)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000(III)若若 B0 則：則： BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000,)1ln(xx ,2111xx ,1)1(xx （IV） （c 為常數(shù)）為常數(shù)）cAxfcxfcxxxx)(lim)(

6、lim00上述性質(zhì)對于上述性質(zhì)對于時也同樣成立xxx, 總的說來，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、總的說來，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。差、積、商。例：求例：求 453lim22xxxx解解: =453lim22xxxx2542523225、利用兩個重要的極限。、利用兩個重要的極限。 1sinlim)(0 xxAxexBxx)11 (lim)(但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：)( ,)(11lim()()0)( , 1)()(sinlim)()(xexBxxxAx例：求下列函數(shù)極限例：求下列函數(shù)極限 xaxx1lim)

7、 1 (0、bxaxxcoslncoslnlim)2(0、 )1ln(ln1 ln)1ln( ,11 uauxaauxuaxx于是則）令解：（auauuauauxauxuuuuxxln)1ln(lnlim)1ln(lnlim)1ln(lnlim1lim00 10000故有：時，又當)1(cos1ln)1(cos1ln(lim)2(0bxaxx、原式1cos1cos1cos)1(cos1ln1cos)1(cos1ln(lim0axbxbxbxaxaxx1cos1coslim0axbxx222222220220)2()2()2(2sin)2(2sinlim2sin22sin2limabxaxbxb

8、xbxaxaxbxxx6.利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎上，對所求式子此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎上，對所求式子作適當變形，從而達到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當?shù)淖鬟m當變形，從而達到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當?shù)募记尚浴＜记尚?。例：求例：?.nnnnnn1sin1lim1解解 nnnnnn1sin1lim1 =nnnnnn11sin1lim1 =nnnnn11sin11lim1 =nnnnnn11sin1111lim =11e =e例：求極限例：求極限 .axaxax1sinsi

9、nlim解解 axaxax1sinsinlim =axaxaax1sinsinsin1lim =aaaaaxaxaaxaxsincoscossin1sin2sin2cos21lim =aaaxaaaxaaxasincos)(cossinsin2sincos21lim =ctgaaxaaaxaaxa)(cossinsin2sincos21lim = ctgae22sinaxax7、利用無窮小量與無窮大量的關系。、利用無窮小量與無窮大量的關系。 （I）若：）若： 則則 )(limxf0)(1limxf(II) 若若: 且且 f(x)0 則則 0)(limxf)(1limxf例例: 求下列極限求下列

10、極限 51limxx11lim1xx解解: 由由 故故 )5(lim xx051limxx由由 故故 =0) 1(lim1xx11lim1xx8. 變量替換變量替換例例 求極限求極限 . 分析分析 當當 時時,分子、分母都趨于分子、分母都趨于 ,不能直接應用法則不能直接應用法則,注注意到意到 ,故可作變量替換故可作變量替換. 解解 原式原式 = = (令令 ,引進新的變量引進新的變量,將原來的將原來的關于關于 的極限轉(zhuǎn)化為的極限轉(zhuǎn)化為 的極限的極限.) = . ( 型型,最高次冪在分母上最高次冪在分母上) 9. 分段函數(shù)的極限分段函數(shù)的極限例例 設設 討論討論 在點在點 處的極限是否存在處的極

11、限是否存在. 分析分析 所給函數(shù)是分段函數(shù)所給函數(shù)是分段函數(shù), 是分段點是分段點, 要知要知 是是否存在否存在,必須從極限存在的充要條件入手必須從極限存在的充要條件入手. 解解 因為因為 所以所以 不存在不存在. 注注 1 因為因為 從從 的左邊趨于的左邊趨于 ,則則 ,故故 . 注注 2 因為因為 從從 的右邊趨于的右邊趨于 ,則則 ,故故 .10、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限）、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限） 。)()(lim)(lim)()(lim)()()()(lim)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxx

12、x處連續(xù)，則在且是復合函數(shù)，又若處連續(xù)，則在若例：求下列函數(shù)的極限例：求下列函數(shù)的極限 （2） )1ln(15coslim) 1 (20 xxxexx、xxx)1ln(lim0 1ln)1 (limln()1ln(lim)1ln(lim)1 ()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15coslim)1ln(15cos)(01010011202exxxxxxxxxfxxxexxxexfxxxxxxxxxxx故有：令、由有：故由函數(shù)的連續(xù)性定義的定義域之內(nèi)。屬于初等函數(shù)解：由于11、洛必達法則（適用于未定式極限）、洛必達法則（適用于未定式極限）定理：若定理：若AxgxfxgxfAAxgxfi

13、iixgxuxgfiixgxfixxxxxxxxxx)()(lim)()(lim()()(lim)(0)()()(0)(lim, 0)(lim)(00000000），則或可為實數(shù)，也可為內(nèi)可導，且的某空心鄰域在與此定理是對此定理是對型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的00法則。法則。注：運用洛必達法則求極限應注意以下幾點：注：運用洛必達法則求極限應注意以下幾點：1、要注意條件，也就是說，在沒有化為要注意條件，也就是說，在沒有化為時不可求導。時不可求導。,002、應用洛必達法則，要分別的求分子、分母的導數(shù)，而不是應用洛必達法則，要分別的求分子、分母

14、的導數(shù)，而不是求整個分式的導數(shù)。求整個分式的導數(shù)。3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應立即停止使用洛必達法則，是未定式，若遇到不是未定式，應立即停止使用洛必達法則，否則會引起錯誤。否則會引起錯誤。4、當、當 不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，)()(limxgxfax此時求極限須用另外方法。此時求極限須用另外方法。例：例： 求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限 )1ln()21 (lim2210 xxexx)0, 0(lnlimxaxxax解：解：

15、令令 f(x)= , g(x)= l21)21 (xex)1n(2x, 21)21 ()(xexfx212)(xxxg22223)1 ()1 (2)(,)21 ()(xxxgxexfx由于由于0)0()0(, 0)0()0(ggff但但2)0(, 2)0(gf從而運用洛必達法則兩次后得到從而運用洛必達法則兩次后得到122)1 ()1 (2)21 (lim12)21 (lim)1ln()21 (lim22223022102210 xxxexxxexxexxxxxx 由由 故此例屬于故此例屬于型，由洛必達法則型，由洛必達法則axxxxlim,lnlim有：有：)0, 0(01lim1limlnli

16、m1xaaxaxxxxaxaxax= 222220sincossinlimxxxxxx21注注:此法采用洛必達法則配合使用兩個重要極限法。此法采用洛必達法則配合使用兩個重要極限法。 解法二解法二: =2220sincos1limxxxx21222sinsin122sinlimsin2sin2lim222222022220 xxxxxxxxxxx注：此解法利用注：此解法利用“三角和差化積法三角和差化積法”配合使用兩個重要極限法。配合使用兩個重要極限法。解法三解法三:21sin42lim4sin2limcos1limsincos1lim22032022202220 xxxxxxxxxxxxxxxx

17、x注注:此解法利用了兩個重要極限法配合使用無窮小代換法以及洛此解法利用了兩個重要極限法配合使用無窮小代換法以及洛必達法則必達法則 解法四解法四:21sin2)(limsincos1limsincos1lim224220224202220 xxxxxxxxxxxxxx注注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法。此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法。 解法五解法五:2121lim)()2(2limsin2sin2limsincos1lim44022220222202220 xxxxxxxxxxxxxxx注注:此解法利用此解法利用“三角和差化積法三角和差化積法”配合使用無

18、窮小代換法。配合使用無窮小代換法。 解法六解法六：令令2xu 21sincoscoscoslimcossinsinlimsincos1limsincos1lim0002220uuuuuuuuuuuuxxxuuux注：此解法利用變量代換法配合使用洛必達法則。注：此解法利用變量代換法配合使用洛必達法則。 解法七解法七:2111limsincossinlimsincos1lim220222202220tgxxxxxxxxxxxx注注:此解法利用了洛必達法則配合使用兩個重要極限。此解法利用了洛必達法則配合使用兩個重要極限。12、 利用函數(shù)極限的存在性定理（夾逼準則）利用函數(shù)極限的存在性定理（夾逼準則）

19、 定理定理: 設在設在的某空心鄰域內(nèi)恒有的某空心鄰域內(nèi)恒有 g(x)f(x)h(x) 且有且有:0 x Axhxgxxxx)(lim)(lim00 則極限則極限 存在存在, 且有且有)(lim0 xfxx Axfxx)(lim0例例: 求求 (a1,n0)xnxaxlim解解: 當當 x1 時時,存在唯一的正整數(shù)存在唯一的正整數(shù) k,使使 k xk+1于是當于是當 n0 時有時有: knxnakax) 1( 及及 aakakaxknknxn11又又 當當 x時時,k 有有 knkak) 1(lim00) 1(lim1aaakknk及及 1limknkak0101limaaakknk=0 xnx

20、axlim13、用左右極限與極限關系、用左右極限與極限關系(適用于分段函數(shù)求分段點處的極限，適用于分段函數(shù)求分段點處的極限，以及用定義求極限等情形以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限定理：函數(shù)極限存在且等于存在且等于 A 的充分必要條件是左極限的充分必要條件是左極限)(lim0 xfxx及右極限及右極限都存在且都等于都存在且都等于 A。即有：。即有：)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx=AAxfxx)(lim0)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx例：設例：設= 求求及及)(xf1,10 ,0,212xxxxxxxex)(lim0 xfx)(lim1xfx1) 1(lim)(

21、lim)(lim1)21 (lim)(lim00000 xxxxxfexfxxxxxx解：由由1)(lim)(lim00 xfxfxx1)(lim0 xfx不存在由（又)(lim)01 ()01 (1lim)(lim0) 1limlim)(lim1211111xfffxxfxxxxxfxxxxxx14、約去零因式（此法適用于、約去零因式（此法適用于）型時00,0 xx 例例: 求求121672016lim23232xxxxxxx解解:原式原式=)12102(65)2062(103lim2232232xxxxxxxxxxx = )65)(2()103)(2(lim222xxxxxxx=)65()

22、103(lim222xxxxx)3)(2()2)(5(lim2xxxxx=2limx735xx15、利用化簡來求極限、利用化簡來求極限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等變分子有理化、分母有理化、分解、恒等變形形)比如比如 求求2132lim2xxxx此題要用到兩個知識點此題要用到兩個知識點將分子有理化將分子有理化分母分解因式分母分解因式解：解：=2132lim2xxxx1(32)(32)lim(1)(2)(32)xxxxxx111lim12(2)(32)xxx通分法（適用于通分法（適用于型）型）16、利用泰勒公式、利用泰勒公式對于求某些不定式的極限來說，應用泰勒公式比使用洛必達法則對于求某些

23、不定式的極限來說，應用泰勒公式比使用洛必達法則更為方便，下列為常用的展開式：更為方便，下列為常用的展開式：1、)(! 212nnxxonxxxe2、)()!12() 1(! 5! 3sin212153nnnxonxxxxx3、)()!2() 1(! 4! 21cos12242nnnxonxxxx4、)() 1(2)1ln(12nnnxonxxxx5、)(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2nnxoxnnxxx6、)(xx1 112nnxoxx上述展開式中的符號上述展開式中的符號都有都有:)(nxo0)(lim0nnxxxo例例:求求)0(2lim0axxaxax解解:利用泰勒公式，當利

24、用泰勒公式，當 有有0 x)(211xoxx于是于是 xxaxax2lim0=xaxaxax)121(lim0=xxoaxxoaxax)(211)()2(211lim0=axxoxaxxoaxaxx21)(21lim)(2lim0017、利用拉格朗日中值定理、利用拉格朗日中值定理定理定理:若函數(shù)若函數(shù) f 滿足如下條件：滿足如下條件： (I) f 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù) (II)f 在在(a ,b)內(nèi)可導內(nèi)可導則在則在(a ,b)內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ,使得使得abafbff)()()(此式變形可為此式變形可為: ) 10( )()()(abafabafbf例例: 求求 xxee

25、xxxsinlimsin0解解:令令 對它應用中值定理得對它應用中值定理得xexf)(即即: ) 1(0 )sin(sin)sin()(sin)(sinxxxfxxxfxfeexx1)(0 )sin(sinsinsinxxxfxxeexx連續(xù)連續(xù)xexf)(1)0()sin(sinlim0fxxxfx從而有從而有: 1sinlimsin0 xxeexxx18.利用定積分和積分中值定理求極限利用定積分和積分中值定理求極限比如設比如設=，求，求nx(1)(2)()nnnnn(1,2,)n limnnx解因為解因為11lnln(1)nniixnn所以所以=11limlimln(1)nnnniixnn

26、10ln(1)2ln2 1x dx19、求代數(shù)函數(shù)的極限方法、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若有理式的情況，即若:)0, 0(a )()()(00110110bbxbxbaxaxaxQxPxRnnnmmm(I)當當時，有時，有 x nm nm 0 lim)()(lim00110110nmbabxbxbaxaxaxQxPnnnmmmxx(II)當當 時有時有:0 x若若 則則 0)(0 xQ)()()()(lim000 xQxPxQxPx若若 而而 則則0)(0 xQ0)(0 xP)()(lim0 xQxPx若若,則分別考慮若則分別考慮若為為的的 s 重根重根,即即:0)(0 xQ0

27、)(0 xP0 x0)(xP 也為也為的的 r 重根重根,即即:)()()(10 xPxxxPs0)(xQ 可得結(jié)論如下：可得結(jié)論如下：)()()(10 xQxxxQrrs , rs , )()(Prs , 0)()()(lim)()(lim010111000 xQxxQxPxxxQxPrsxxxx例：求下列函數(shù)的極限例：求下列函數(shù)的極限 503020) 12()23()32(limxxxx3423lim431xxxxx 解解: 分子，分母的最高次方相同，故分子，分母的最高次方相同，故 = 503020) 12()23()32(limxxxx30503020)23(232 0) 1 (, 23)(3PxxxP 0) 1 (, 34)(4QxxxQ必含有（必含有（x-1）之因子，即有）之因子，即有 1 的重根的重根 故有故有:)(),(xQxP21322lim)32() 1()2() 1(lim3423lim212221431xxxxxxxxxxxxxxx(2)無理式的情況。雖然無理式情況不同于有理式，但求極限無理式的情況。雖然無理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說明有理化在這里我主要舉例說明有理化的方法求極限。的方法求極限。 例：求例：求)(limxxxxx解解: )(limxxxxx 2