余弦定理優(yōu)秀課件(最新修正版)

1、1用正弦定理解三角形需要已知哪些條件？用正弦定理解三角形需要已知哪些條件？ 兩角和一邊，兩角和一邊，兩邊和其中一邊的對角。兩邊和其中一邊的對角。正弦定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。角的正弦的比相等。 sinsinsinabcabc復習回顧復習回顧2 思考：思考：如果在一個斜三角形中，已知如果在一個斜三角形中，已知兩邊及兩邊及這兩邊的夾角這兩邊的夾角，能否用正弦定理解這個三角形，能否用正弦定理解這個三角形，為什么？為什么？ 不能，在正弦定理不能，在正弦定理 中，已中，已知兩邊及這兩邊的夾角，正弦定理的任一等號兩邊知兩邊及這兩邊的夾角，正弦

2、定理的任一等號兩邊都有兩個未知量。都有兩個未知量。sinsinsinabcabc那么，怎么解這個三角形呢？那么，怎么解這個三角形呢？322ab accb 222ab acacab 222cosab acaacab ac bc ba ab cb ca 同理，同理，從從 出發(fā)，出發(fā)， 證得證得 從從 出發(fā)，證得出發(fā)，證得2222cosacbcba2222cosabcbca 證明：證明：cb ab ac 學過向量之后，我們能用向量的方法學過向量之后，我們能用向量的方法給予證明余弦定理。給予證明余弦定理。已知已知ab,ac和它們的夾角和它們的夾角a，求，求cb2222cosbcaacb即即cba向量法

3、向量法4解析法解析法cbacabyx(bcosc,bsinc)(a,0)(0，0)證明：以證明：以cb所在的直所在的直線為線為x軸，過軸，過c點垂直點垂直于于cb的直線為的直線為y軸，軸，建立如圖所示的坐標建立如圖所示的坐標系，則系，則a、b、c三點三點的坐標分別為：的坐標分別為：(0,0)c( ,0)b a( cos, sin)a bc bc5222)0sin()cos(cbacbabcbacabcb22222sincos2coscabbacos222222222c = a + b -2abcoscc = a + b -2abcosc同理：同理：222222b = a + c -2accos

4、bb = a + c -2accosb22222a = b + c -2bccosaa = b + c -2bccosacbacabyx(bcosc,bsinc)(a,0)(0，0)解析法解析法6abcabcd當角當角c為銳角時為銳角時幾何法幾何法baaccbd當角當角c為鈍角時為鈍角時cbaabc 余弦定理作為勾股定理的余弦定理作為勾股定理的推廣，考慮借助勾股定理來推廣，考慮借助勾股定理來證明余弦定理。證明余弦定理。7在銳角三角形在銳角三角形abc中，已知中，已知ab=c,ac=b和和a,求求a222cdbda22( sin )(cos )bac ba222222coscossinaabca

5、cbb222cosbcacb同理有：同理有：2222cosacbacb2222cosabccab 同樣，對于鈍角三角形及直角三角形，上面三個同樣，對于鈍角三角形及直角三角形，上面三個等式成立的，課后請同學們自己證明。等式成立的，課后請同學們自己證明。d幾何法幾何法abccba82222cosbcaacb 2222cosacbcba 2222cosabcbca 用用語言描述語言描述：三角形任何一邊的平方等于：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和其它兩邊的平方和, 再減去這兩邊與它們夾再減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。角的余弦的積的兩倍。余 弦 定 理9例例1：若已知：若已知b=8,c=

6、3,a= ,能求能求a嗎？嗎？6022602 8 3 cos49378a 思考思考：余弦定理還有別的用途嗎？：余弦定理還有別的用途嗎？若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？2222cosbcaacb 解：102222coscabbca2222cosacbacb2222cosacbabc余弦定理的變形：余弦定理的變形：11例例2 2、在三角形、在三角形abcabc中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,a=7,b=10,c=6,求求a a，b b，c c（精確到（精確到 ）1分析：已知三邊，求三個角，可用余弦定理的變形來分析：已知三邊，求三個角，可用余弦定理的變形來解決問題解決問題解

7、：解：22222271062 10 62cos0.725cabbca44a 222222761022 7 6cos0.178acbacb 100b 18036ca b 12 1、已知abc的三邊為 、2、1，求它的最大內(nèi)角。解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a= ,b=2,c=1 則最大內(nèi)角為a由余弦定理 cosa=12+22- ( ) 2221= - 12 a=120若已知三邊的比是若已知三邊的比是 :2:1,又怎么求？又怎么求？13 歸納：歸納：利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題： （1）已知三邊，求三個角）已知三邊，求三個角 （2）已知兩邊

8、和它們的夾角，求第三邊，）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊，進而還可求其它兩個角。進而還可求其它兩個角。14解：由余弦定理得：是銳角c是銳角三角形中的最大角是根據(jù)大邊對大角，是銳角，）知：）由（abcabccc12例3、在abc中,若a=4、b=5、c=6（1)試判斷角c是什么角？（2）判斷abc的形狀2222224561(1)cos022 4 58abccab 15變式訓練：在abc中，若，則abc的形狀 為（）222cba、鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形、不能確定a16c cb ba ab ba ac c提煉：設(shè)提煉：設(shè)a是最長的邊，則是最長的邊，則abc是鈍角三角形0222acbabc

9、是銳角三角形0222acbabc是直角三角形0222acb推論：推論：2222coscabbca判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀17練習：練習：一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數(shù)，一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為則這三邊長為（ ）a、1，2，3 b、2，3，4 c、3，4，5 d、4，5，6分析：分析： 要看哪一組符合要求，只需檢驗?zāi)囊粋€選項要看哪一組符合要求，只需檢驗?zāi)囊粋€選項 中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于0。b中：中： ，所以，所以c是鈍角是鈍角222132442 2 3cosc d中：中： ，所以，所以c是銳角，是銳角， 因此以因此以4

10、，5，6為三邊長的三角形是銳角三角形為三邊長的三角形是銳角三角形222156482 4 5cosc a、c顯然不滿足顯然不滿足b18練習：練習：在三角形在三角形abc中，已知中，已知a=7,b=8,cosc= ,求最大角的余弦值求最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個角分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個角是最大角。由大邊對大角，已知兩邊可求出第三邊是最大角。由大邊對大角，已知兩邊可求出第三邊,找到最大角。找到最大角。2222cosabcbca2213142 7 8987 解：解：3c 則有：則有：b是最大邊，那么是最大邊，那么b 是最大角是最大角2222227

11、3822 3 71cos7acbacb 19（1）余弦定理適用于任何三角形）余弦定理適用于任何三角形（3）由余弦定理可知：）由余弦定理可知：（2）余弦定理的作用：）余弦定理的作用： a、已知三邊，求三個角、已知三邊，求三個角 b、已知兩邊及這兩邊的夾角，求第三邊，、已知兩邊及這兩邊的夾角，求第三邊，進而可求出其它兩個角進而可求出其它兩個角c、判斷三角形的形狀、判斷三角形的形狀小結(jié)小結(jié)90a90a90a0222acb0222acb0222acb20 正余弦定理在解三角形中能正余弦定理在解三角形中能解決哪些問題？解決哪些問題？角邊角角邊角角角邊角角邊邊邊角邊邊角邊角邊邊角邊邊邊邊邊邊邊正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理21 例例2、在三角形、在三角形abc中，已知中，已知a=2.730,b=3.696,c= , 解這個三角形（邊長保留四個有效數(shù)字，角度精確到解這個三角形（邊長保留四個有效數(shù)字，角度精確到 ）28821分析：已知兩邊和兩邊的夾角分析：已知兩邊和兩