地球流體動力學復習總結(jié)

1、主要概念：1 位勢渦度及無粘淺水流體的位勢渦度守恒定律位勢渦度：在旋轉(zhuǎn)流體中，流體運動時存在著一個保守性或守恒性的較強的組合物理量，稱為位勢渦度，且定義為。位勢渦度的引入有兩種方法：A 可以從渦度方程出發(fā)渦度方程： 影響渦度變化的因素可概括為：渦管的傾斜效應，渦管的伸縮效應，斜壓性以及摩擦作用。位勢渦度方程： 因此，當滿足以下三個條件時： 1. 摩擦可忽略2. 是守恒量，3. 僅是 的函數(shù)，或流體是正壓的則有-Ertel 渦旋定理（位渦守恒定理），位渦是。淺水中引入守恒量 則故淺水位渦守恒B. 從淺水方程出發(fā)，按上述方法推導也可得出淺水位渦守恒。2 地轉(zhuǎn)風和熱成風地轉(zhuǎn)風：在大尺度旋轉(zhuǎn)流體運動中

2、，其Rossby數(shù)的量級O()，在旋轉(zhuǎn)流體水平運動過程中若略去O()以上的量，流體則在科氏力和壓強梯度力的作用下達到平衡，此時的運動即為地轉(zhuǎn)運動，此時的風為地轉(zhuǎn)風。風沿等壓線的方向，在北半球高壓在右。熱成風：地轉(zhuǎn)風隨高度的變化或為兩個等壓面之間地轉(zhuǎn)風的差又：， 熱成風3 Taylor-proudman定理在均質(zhì)或正壓旋轉(zhuǎn)流體中，流體準定常和緩慢的運動，其速度在沿的方向上將不改變。也就是說，均質(zhì)或正壓旋轉(zhuǎn)流體，準定常和緩慢的運動，其速度將獨立于旋轉(zhuǎn)軸的方向，即運動將趨于兩維化。4 地球上流體大尺度運動大尺度運動的定義：物理意義：流體相對運動的時間尺度大于地球自轉(zhuǎn)周期，流體在其運動的時間尺度內(nèi)幾乎

3、感不到地球的自轉(zhuǎn)。也就是說，大尺度大氣與海洋運動正是他們相對于地球運動的一個小偏差。慣性力/科氏力旋轉(zhuǎn)時間尺度/平流時間尺度相對渦度/牽連渦度相對速度/牽連速度1Rossby數(shù)反映了各種動力學特征量與其相應旋轉(zhuǎn)作用的比較。5 Brunt-Vaisala頻率地球流體是具有層結(jié)結(jié)構(gòu)的層結(jié)流體。由于受擾抬升或下降的流體元在上升或下降時，其密度按一定的規(guī)律隨高度變化，而四周環(huán)境流體的密度是按層結(jié)分布隨高度變化的。因此，流體元絕熱地位移到新高度的時候，這一流體元本身的密度與環(huán)境密度差異將促使其產(chǎn)生振蕩運動，又稱為浮力振蕩，其頻率為，稱作Brunt-Vasala頻率。其中，z為高度坐標，是位溫。Brunt

4、-Vasala頻率為流體層結(jié)穩(wěn)定或靜力穩(wěn)定的穩(wěn)定度判據(jù)。時，層結(jié)是穩(wěn)定的；當時，層結(jié)是不穩(wěn)定的。對于海洋，流體元在小位移中所受的壓縮性影響可以忽略，其表達式可簡化為 當時為穩(wěn)定層結(jié)，當時，為不穩(wěn)定層結(jié)。6 均質(zhì)流體和層結(jié)流體（三種情況下）的準地轉(zhuǎn)位勢渦度方程均質(zhì)流體的準地轉(zhuǎn)渦度方程：層結(jié)流體的準地轉(zhuǎn)位勢渦度方程： 大氣中天氣尺度運動的準地轉(zhuǎn)位渦方程：在無加熱時，準地轉(zhuǎn)渦度方程為：相應的流函數(shù)形式位渦方程：海洋中天氣尺度的準地轉(zhuǎn)位渦方程： 無加熱 無加熱7 Rossby變形半徑，是一個與波動本身性質(zhì)無關(guān)、只與流體深度和地球旋轉(zhuǎn)有關(guān)的特征參數(shù)。（1）Poincare波：在旋轉(zhuǎn)特征周期這一時間尺度上

5、，波速為的淺水重力波傳播的特征距離。（2）Kelvin波：在邊界處，波振幅取最大值，從邊界向內(nèi)區(qū)過渡，振幅呈指數(shù)減小。振幅衰減的e-折尺度為。可將Rossby變形半徑理解為一個特征距離尺度，在這個距離尺度上，科氏力使自由面變形的趨勢與重力（或壓強梯度力）使自由面復原的趨勢相平衡。（3）準地轉(zhuǎn)位渦守恒方程：準地轉(zhuǎn)近似下的無量綱的位渦為：和兩項比較看：，的變化可以忽略， 比Rossby半徑小的水平尺度運動可視為剛蓋運動（自由面起伏對大尺度運動的高度貢獻不大）。，項可忽略，比Rossby半徑大的水平尺度運動量級上的相對渦度是次要的。因此，Rossby波半徑又可解釋為這樣一個特征距離尺度，在此距離上，

6、相對渦度和表面高度起伏對位勢渦度有同等重要的貢獻。8 Rossby數(shù)，Ekman數(shù)，雷諾數(shù)，F(xiàn)roude數(shù)（旋轉(zhuǎn)/層結(jié)）慣性力/科氏力旋轉(zhuǎn)時間尺度/平流時間尺度相對渦度/牽連渦度相對速度/牽連速度1Rossby數(shù)反映了各種動力學特征量與其相應旋轉(zhuǎn)作用的比較。Ekman數(shù)：，表示分子粘性力和科氏力之比的無量綱參數(shù)。垂直Ekman數(shù): 水平Ekman數(shù): 雷諾數(shù): , 為垂直湍流粘性系數(shù)。為垂直渦粘性的雷諾數(shù)；為水平渦粘性的雷諾數(shù)。Froude數(shù)（旋轉(zhuǎn)）：定義，F(xiàn)是表征運動的水平尺度L相對于Rossby變形半徑R的大小的一個參數(shù)。層結(jié)：， 為內(nèi)Rossby變形半徑。其中，為簡化重力（）9 群速度在

7、簡化條件下，由線性化準地轉(zhuǎn)位渦守恒方程： 和波動的表達式可以得到精確到最低階的Rossby 波頻散關(guān)系：以及反映振幅變化的方程：由此可見振幅為的傳播速度：，以速度移動的觀察者（因為）所看到的振幅為常數(shù)，將此速度定義為群速度：（時為頻散波）。10 共振三波組對于非線性準地轉(zhuǎn)位渦 方程（無量綱）：Rossby波的特征周期遠遠地小于質(zhì)點運動的平流時間尺度。令（為新的無量綱時間變量）即時，為無量綱快變量，其特征值要小些為無量綱慢變量，其特征值要大些無量綱位渦方程則要求表示為：顯然非線性項的量綱為：，是否忽略非線性作用的條件是由決定。求解方法是利用對小參數(shù)的攝動展開。令得： 是一個線性方程其解可表示為平

8、面波的線性疊加， 略（2。500-2。504）此式說明了第m個波和第n個波相互作用產(chǎn)生了關(guān)于方程的強迫項，此強迫項也是一個周期作用，其波矢為：；頻率 通過數(shù)學處理，可得強迫振蕩的振幅：明確：是方程的固有頻率；是強迫項的頻率；是強迫項的波矢這意味著在強迫作用下出現(xiàn)了第三種波動，且滿足：當與無限接近時，會出現(xiàn)共振。非線性問題的解（精確到）：何時才會發(fā)生共振呢？第三個波相則要求：，即：三個波矢之和為零。第三個條件可寫為：我們稱滿足上述條件的波矢構(gòu)成共振三波組。11 平面近似，平面近似平面近似：運動的經(jīng)向水平尺度遠小于地球半徑時,，取，把f作為常數(shù)處理，稱為f 平面近似。平面近似：，考慮了由于地球的球

9、面性引起的f變化的線性部分，f的變化對而言是個小量，但與相對渦度比較已不能忽略。12 球面效應與地形效應等價性（P81）在平面模式中，淺水位渦為：其中，為環(huán)境位渦的變化部分。可見，科氏參數(shù)隨緯度的變化與地形的變化在位渦動力學中具有精確的動力學等價性。球面效應與地形效應動力學等價性相當于。13 Rossby駐波加上緯向流擾動后，流函數(shù)為：，為無量綱數(shù)代入準地轉(zhuǎn)無界波動的位渦方程，得：取解的形式為：（無界平面波）該解要成為方程的精確非零解應滿足頻散關(guān)系：，當從此頻散關(guān)系我們可以看出：（1） 若當西風基本流時若， 較快波向東傳播；若，Cx<0 較慢波向西傳播；若，駐波，Rossby駐波波長為當

10、東風基本流時，對于任何波動都是向西傳播，不可能出現(xiàn)駐波。總之，穩(wěn)定的Rossby駐波只有在與同號時，才會在無界區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)，而當與反號時，駐波只能在有界的區(qū)域即時才會出現(xiàn)。14 旋轉(zhuǎn)減弱時間。旋轉(zhuǎn)流體受擾動后，如去掉產(chǎn)生擾動的外力，則流體運動要調(diào)整到地轉(zhuǎn)平衡。延伸到下墊面附近的流體因受到摩擦力的作用在其附近形成Ekman層，能聯(lián)將從摩擦不起作用的區(qū)域流入Ekman層被摩擦消耗掉，流體運動在下墊面摩擦的作用下減弱，最終達到一種靜止狀態(tài)，稱為“旋轉(zhuǎn)減弱”，把摩擦引起的渦度隨時間的衰減的時間尺度稱為“旋轉(zhuǎn)減弱時間”。旋轉(zhuǎn)衰減的機制（1）從相對渦度方面考慮：當正渦度存在時，下Ekman層將把流體向上抽吸

11、到低壓內(nèi)，上Ekman層則向下抽吸，二者聯(lián)合效應使渦管以的速度被壓縮。相對渦度隨時間減小。反之亦然。（2） 從能量角度：Ekman抽吸作用，使內(nèi)區(qū)低壓中心的流體向外流動，必定克服壓強梯度力做的功，消耗能量，此能量的消耗率為：轉(zhuǎn)化為Ekman層的動能，又進而轉(zhuǎn)化為湍流動能。15 Sverdrup關(guān)系Sverdrup關(guān)系： 通過行星渦度f拉伸和在行星渦度梯度方向的經(jīng)向運動構(gòu)成的渦度平衡，為對混合層下的流體元才有效的局地微分平衡關(guān)系。Sverdrup平衡：，由海表的風應力旋度確定流體的經(jīng)向速度，適用于內(nèi)區(qū)。16 Munk layer，Stommel layer摩擦附屬層，慣性邊界層17 Ekman上

12、升流（1） 風吹過海洋產(chǎn)生Ekman漂流，漂流與風之間有一夾角。根據(jù)一個簡單的理論知此夾角為90°（北半球向右）。因此當風沿岸界吹的時候，產(chǎn)生的Ekman漂流方向不是向岸，便是離岸，岸界作為障礙存在。北（南）半球岸界在左（右）側(cè)時，沿岸吹的風產(chǎn)生離岸流。此時上層水減少，壓力降低，強迫低層的水向上移動以補充離岸流造成的空缺。這種現(xiàn)象稱為沿岸上升流。（2） 沿赤道的上升流，沿赤道，穩(wěn)定的信風總是從東向西吹。在赤道以北，Ekman漂流向右，或者說離開赤道；而在南側(cè)，它偏向左，也是離開赤道。沿赤道必然發(fā)生水平輻散，質(zhì)量守恒要求上升流。（3） 氣旋中心會出現(xiàn)Ekman上升流。（4） 在高緯，上

13、升運動通常發(fā)生在冰邊緣，稱之為冰區(qū)邊緣帶。均勻風在冰面和開闊水域上有不同的應力作用；緊接著移動的冰對其下的海洋有應力作用。對風與冰邊緣之間特定的角度，流輻散，發(fā)生上升流以補償水平流輻散。方法（掌握）1 尺度分析法合理的估計出一個函數(shù)，一個物理作用在問題中量級的大小，根據(jù)每個作用的相對大小將一些小項略去，保留重要性較大的項。這樣可以使主要因子篩選出來，使復雜的問題得到簡化。2 小擾動線性化法3 攝動法4 平面波求解方法5 邊界層中坐標變換方法6 Rossby波能量傳播圖作圖法（通過波矢量來表示群速度的一種幾何方法） 原理：若：（正數(shù)），對于某一頻率，波矢必須位于k-l平面的一個圓上，其圓心坐標是

14、，半徑是。當一定時，圓心位置與半徑完全由頻率決定。平均能通量矢量的方向可以用的方向來表示而對于振幅和頻率都相同的 Rossby波，能通量也相同。 波矢端落在上的波向右傳播能量（波數(shù)大，短波） 波矢端落在上的波向左傳播能量（波數(shù)小，長波）（P122）利用能量傳播圖表示，反射平面波的關(guān)系的步驟：<1> 根據(jù)已知x-y平面上入射波的能量方向和角在k-l圖上確定點。<2> 連接原點和點確定入射波對應的波矢量<3> 根據(jù)入射角=反射角，在k-l圖上確定。<4> 連接原點與得到反射波波矢量和平均能通量<5> 將和平行地繪制x-y平面圖上，同時繪出

15、和相平面（等相位線），等位相線之間間距與呈反比。主要內(nèi)容：1 淺水方程的導出（尺度分析法）步驟：1） 確定基本量：T，L，U，D2） 利用質(zhì)量守恒方程：，進行尺度分析，得到垂直速度尺度應受到的約束條件：故，事實上 遠小于。3）估計動量方程各項以簡化動量方程。其P是可變壓力場尺度，為了保持水平壓力梯度項在動量方程中的作用，根據(jù)尺度分析，應有：4）根據(jù)對垂直速度變化方程的尺度分析，故：討論：若或更大，上式右邊量級為若 ，上式右邊量級為。故精確到量級時，大尺度大氣海洋運動中 很小可忽略不計。由于垂直運動方程中不可能只有一個大項，故和都可忽略不計。故總壓力：，若z=h, P=Po,，h為自由表面的高度

16、。得到水平壓力梯度不隨z變化。水平運動方程可簡化為淺水方程：利用上下邊界條件，并對連續(xù)方程進行垂直積分，則可將連續(xù)方程寫成：這就是大氣海洋中淺水運動的動力學方程組。2 淺水中的平面波及頻散特性和傳播特性（小擾動線性化法）基本方程： 平面波：（一）Poincare波：無水平邊界，描述方程簡化為： （齊次方程）取其解的形式為：將解代入描述方程求其頻散關(guān)系（重點）?？傻贸?， 時，可以得到以下結(jié)論：（討論）1） 無限平面等深波是二列方向相反，頻率大小相同的波動。2） 旋轉(zhuǎn)（地轉(zhuǎn)）使波速增大。頻率大于f，周期小于地轉(zhuǎn)周期的一半。即頻率大大地超過大尺度大氣海洋緩慢地運動頻率。3） （其中R為Rossby變

17、形半徑=C0/f）短波，淺水重力波，；長波， ，慣性振蕩。4） 質(zhì)點運動的 水平速度矢量的矢端隨時間描繪出橢圓的軌跡。因為，故平行方向的最大速度大于垂直于方向的最大速度。流體的運動處于非地轉(zhuǎn)平衡狀態(tài)。主要發(fā)生在沿著壓力梯度的方向。5） 位渦守恒線性化形式為：波峰處產(chǎn)生正的相對渦度，波谷處產(chǎn)生負的相對渦度，自由面時升時降。（二）Kelvin波：無限長渠道，描述方程為： 邊界條件：受邊界條件影響，其解應取為：求其頻散關(guān)系（將解分別代入描述方程和邊界條件，由描述方程得出關(guān)于振幅通解，再代入到邊界條件中，使其有非零解的充要條件即是頻散關(guān)系）：分三種情況討論上式：（1） ，n=1,2有：此波特點是類似于

18、無限平面等深淺水中的平面波，亦是向正，反兩個方向傳播的，不同之處在于y方向的波數(shù)只是的整數(shù)倍，不可能任意取值，稱為Poincare波。（2） 時特征方程也被滿足，此解為一個與旋轉(zhuǎn)參數(shù)f無關(guān)沿著x方向傳播的kelvin 波。，求解為： 特點：1）在波動傳播的x方向滿足地轉(zhuǎn)平衡，整個波動是非地轉(zhuǎn)的。2）y方向上只有波動振幅的變化且隨y的變化呈指數(shù)衰減，在y方向上存在一個與波動場無關(guān)的特征尺度（Rossby變形半徑），也是e-folding scale for the cross channel。波高在觀測者的右方最高。3）波動沿正負x方向傳播，波峰線與y軸平行。4）kelvin波只能在有界域內(nèi)出現(xiàn)

19、。5）kelvin波是Poincare波的極限形式。（3）慣性振蕩，為（2）中的一種，此時已不能根據(jù) 的表達式來得到u，v的解。（三）Rossby波：f-平面的渠道模式， ， 為地形坡度。描述方程：邊界條件：波動機制分析（3）設其解：，與Kelvin波相同。欲使有非零解（欲使A，B不同時為零）則必有：即（與平底的有界域波動頻散關(guān)系的形式一樣，但的值不同）討論：（1） Kelvin波說明：有界是Kelvin波的存在條件，”小”的地形坡度并不影響其存在。（2） 時，略去的項，故有：-（三次代數(shù)方程）此方程有兩類完全不同的解。第一類 若 快波則：，高頻的Poincare 波基本上不受底邊界小坡度的影

20、響。第二類 若 慢波（可忽略不計） 地形Rossby波的頻率公式，此波是頻散波。波動特性：（1）只有f，s均不為零時才存在地形Rossby波，即Rossby波是地形坡度與旋轉(zhuǎn)兩種因素聯(lián)合作用的產(chǎn)物，因此地轉(zhuǎn)與地形坡度同時存在, 才會產(chǎn)生 Rossby波。（2）) 單向傳播對于北半球，對于所有的k，位相傳播的方向是使的一個跟隨波峰一起前進的觀測者看到淺流體在它的右方。對于南半球則相反。（3），故小坡度地形Rossby波是低頻波。（4）高波數(shù)地形Rossby 波與Poincare波以及Kelvin 波相反，頻率隨波數(shù)增加而減小。注：通道中的Poincare波，Kelvin波和Rossby波的頻散關(guān)

21、系圖P68 。3 淺水準地轉(zhuǎn)位渦方程的推導，各項的物理意義（尺度分析，攝動法）借助尺度分析的方法從淺水方程出發(fā)，研究滿足（1），小Rossby數(shù)，（2），時間尺度遠大于的運動。從淺水方程出發(fā)，實行無量綱化，引入特征量：，方程可寫作:令，是一個小量，將未知變量對展開。設（式中等與無關(guān)）其他未知量也做類似展開，代入方程。關(guān)于的同次冪項須分別平衡，對于兩個運動方程：對于：, 無法確定各未知量，地轉(zhuǎn)退化。對于：此式說明：（1） 非地轉(zhuǎn)速度完全由于處于地轉(zhuǎn)平衡的運動和 的加速度及壓力場與地轉(zhuǎn)平衡時的壓力場偏差產(chǎn)生的。（2） 非地轉(zhuǎn)運動的水平散度不為零，由于（A）地轉(zhuǎn)運動自由面的起伏（B）底邊界起伏所造成

22、的流體柱伸縮來平衡該散度。一級近似方程整理后：，其中物理意義是：相對速度的變率等于非地轉(zhuǎn)運動的輻合，其量級為在近似條件下，由于，故低階近似中只有行星渦的擠壓才有相對渦度的變化。消去得到：既：為準地轉(zhuǎn)位渦守恒方程。地轉(zhuǎn)位渦（）由相對渦度、波高和環(huán)境位渦三部分組成。波高的貢獻取決于參數(shù)F的大小。4 慣性邊界流的動力學特點根據(jù)準地轉(zhuǎn)位渦方程討論，若，局地變率遠小于平均項：，等線與等線相重合。物理意義：相對渦度與環(huán)境渦度之和沿流線是守恒的，渦管的伸縮不會因自由面的變化而是因底邊界坡度的變化而變化。引入函數(shù)：，一旦確定，即可解出。（解橢圓方程）。若在均勻流的前方置一側(cè)壁（x=0），其中故有由于無窮遠處是

23、均勻定常流故， ，而，所以函數(shù)為了將非齊次方程變?yōu)辇R次方程，若令：，則。 的邊界條件：；故解的形式可能形如代入方程后得到： -慣性邊界流函數(shù)，討論此解：（1）很小時運動幾乎是無旋的。此結(jié)論可由得出（此時） （2）若較大運動是有旋的。；A 渦度隨離側(cè)邊界距離的x的增大而呈指數(shù)性衰減，隨y的變化（地形的變化）而線性增大，底地形的坡度越陡，變化的越快。B值越大，流體沿等深線運動的主導作用越大，流體元（即流體的的運動越是沿等深線的）偏轉(zhuǎn)的位置距邊界越近，邊界層厚度越薄。C 南北流速隨y，的增大而增大，單位厚度由南北但總的輸送量為y此僅與地形有關(guān)。D 在靠近側(cè)邊界的狹窄區(qū)域里，流體改變運動方向被引入沿側(cè)

24、壁運動的路徑。這個區(qū)域為慣性（無粘）邊界層，此厚度為。這是因為后，側(cè)邊界對流的修正作用就減小到以下。 此層厚度：E 在邊界流區(qū)域內(nèi)，盡管流速U可能很大。但是只要S為小量，仍為小量。局地Rossby數(shù)： 若其他條件不變，S變號，深度隨y的增大而減小的情況下，則不存在慣性邊界流，而是產(chǎn)生一個定常的駐波，它在無窮遠處對運動有反作用，波長與有關(guān)。從中也可得慣性邊界流存在的條件是：（若U，f皆為正）5 Rossby波機制能量傳播及邊界反射的特性6 Ekman層的動力特性（1） Ekman厚度（）為與無關(guān)（與大尺度運動無關(guān)），僅由及決定（注意實際上與大尺度運動有關(guān)）。當表示地球旋轉(zhuǎn)效應的f趨于零時，Ekm

25、an層的厚度趨于無窮。Ekman層是旋轉(zhuǎn)與粘性共同作用下流體運動的一個特殊的層。（2） 水平速度的垂直切變造成行星渦旋傾斜引起渦度的變化，將與摩擦阻滯作用產(chǎn)生的渦度相平衡（摩擦作用產(chǎn)生的渦度勢必引起水平速度的垂直切變）。（3） 摩擦作用破壞了地轉(zhuǎn)平衡，壓強梯度力對流體作功以維持消耗的動能，動能消耗率為： （參考余志豪等p153）。 為維持邊界條件不變，必須向大尺度運動提供能量。(4) 在無外界能源供給的條件下，地轉(zhuǎn)流將衰竭，其時間尺度為 為旋轉(zhuǎn)減弱時間(5) 地面速度為地轉(zhuǎn)速度左方。（6）剛體表面施加于流體的總應力：且總的質(zhì)量通量總的質(zhì)量通量依賴于，這是由于邊界層作為一個整體，它只受氣壓梯度力

26、，科氏力和下邊界摩擦力這三個外力，而在大尺度為地轉(zhuǎn)運動的前提下，壓強梯度力恰于地轉(zhuǎn)速度所對應的科氏力相平衡，因此地轉(zhuǎn)偏差所造成的質(zhì)量輸送僅與外摩擦力有關(guān)，且垂直于在的右邊。這種地轉(zhuǎn)偏差所對應的科氏力在的右邊與相平衡。7 有摩擦準地轉(zhuǎn)動力學（內(nèi)區(qū)，上，下邊界層區(qū)）8 自由面上的Ekman層9 摩擦和地形對準地轉(zhuǎn)位渦守恒的影響10 均質(zhì)大洋環(huán)流模式的推導及各項的物理意義 將大洋分為三層（上表層為薄的Ekman層，中間為特征深度為D的內(nèi)區(qū)，海底為傾斜底表面上的薄Ekman層），此模式的數(shù)學表達式為：（根據(jù)第三章結(jié)論）：(4.1) 其中，相應下邊界： (4.2)上邊界： (4.3)其中為外應力。因為內(nèi)區(qū)均質(zhì)，且滿足地轉(zhuǎn)關(guān)系，u, v, 與z無關(guān)。故對方程（4.1）垂直積分，并利用上,下邊界條件（