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文檔簡介

1、.【證法1】(課本的證明)做8個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們像上圖那樣拼成兩個正方形. 從圖上可以看到,這兩個正方形的邊長都是a + b,所以面積相等. 即a2+b2+4*(ab/2)=c2+4*(ab/2),整理得到:a2+b2=c2?!咀C法2】以a、b 為直角邊,以c為斜邊做四個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等于 ab/2. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀,使A、E、B三點在一條直線上,B、F、C三點在一條直線上,C、G、D三點在一條直線上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH

2、 + AHE = 90º, AEH + BEF = 90º. HEF = 180º90º= 90º. 四邊形EFGH是一個邊長為c的 正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90º, EHA + GHD = 90º. 又 GHE = 90º, DHA = 90º+ 90º= 180º. ABCD是一個邊長為a + b的正方形,它的面積等于(a+b)2. (a+b)2=c2+4*(ab/2), a2+b2=c2?!咀C法3】以a

3、、b 為直角邊(b>a), 以c為斜邊作四個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等于ab/2. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90º, EAB + HAD = 90º, ABCD是一個邊長為c的正方形,它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90º. EFGH是一個邊長為ba的正方形,它的面積等于(b-a)2. (b-a)2+4*(ab/2)=c2, a2+b2=c2?!咀C法4】以a、b 為直角邊,以c為斜邊作兩個全等的直角三角形,則每個

4、直角三角形的面積等于ab/2. 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀,使A、E、B三點在一條直線上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90º, AED + BEC = 90º. DEC = 180º90º= 90º. DEC是一個等腰直角三角形, 它的面積等于c2/2. 又 DAE = 90º, EBC = 90º, ADBC. ABCD是一個直角梯形,它的面積等于(a+b)2/2(a+b)2/2=2*ab/2+c2/2, a2+b2=c2【證法5】做四個全等的直角三角形,設它們的兩條直

5、角邊長分別為a、b ,斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形,使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點P. D、E、F在一條直線上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED, EGF + GEF = 90°, BED + GEF = 90°, BEG =180º90º= 90º. 又 AB = BE = EG = GA = c, ABEG是一個邊長為c的正方形. ABC + CBE = 90º. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90º. 即 &#

6、160; CBD= 90º. 又 BDE = 90º,BCP = 90º, BC = BD = a. BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理,HPFG是一個邊長為b的正方形. 設多邊形GHCBE的面積為S,則 a2+b2=S+2*ab/2 c2=S+2*ab/2 a2+b2=c2?!咀C法6】做兩個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a) ,斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形,使E、A、C三點在一條直線上. 過點Q作QPBC,交AC于點P. 過點B作BMPQ,垂足為M;再過點 F作FNPQ,垂足為N. BC

7、A = 90º,QPBC, MPC = 90º, BMPQ, BMP = 90º, BCPM是一個矩形,即MBC = 90º. QBM + MBA = QBA = 90º, ABC + MBA = MBC = 90º, QBM = ABC, 又 BMP = 90º,BCA = 90º,BQ = BA = c, RtBMQ RtBCA. 同理可證RtQNF RtAEF. 從而將問題轉化為【證法4】【證法7】做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,使H、C、B三點在一條直線上,連結BF、CD. 過C

8、作CLDE,交AB于點M,交DE于點L. AF = AC,AB = AD, FAB = GAD, FAB GAD, FAB的面積等于a2/2, GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半, 矩形ADLM的面積 =a2. 同理可證,矩形MLEB的面積 =b2. 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 a2+b2=c2?!咀C法8】(利用相似三角形性質證明) 如圖,在RtABC中,設直角邊AC、BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點C作CDAB,垂足是D. 在ADC和ACB中, ADC = ACB = 90º, CAD = BAC,  

9、0;ADC ACB. ADAC = AC AB, 即  AC2=AD*AB. 同理可證,CDB ACB,從而有 BC2=BD*AB. AC2+BC2=(AD+BD)*AB=AB2,即  a2+b2=c2?!咀C法9】做兩個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a),斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AFAC,AF交GT于F,AF交DT于R. 過B作BPAF,垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直,垂足為E,DE交AF于H. BAD = 90º,PAC = 90º, D

10、AH = BAC. 又 DHA = 90º,BCA = 90º, AD = AB = c, RtDHA RtBCA. DH = BC = a,AH = AC = b. 由作法可知, PBCA 是一個矩形, 所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b,AP= a,從而PH = ba.   RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a,GDT = HDA . 又 DGT = 90º,DHF = 90º, GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90

11、º, DGFH是一個邊長為a的正方形.   GF = FH = a . TFAF,TF = GTGF = ba . TFPB是一個直角梯形,上底TF=ba,下底BP= b,高FP=a +(ba).用數(shù)字表示面積的編號(如圖),則以c為邊長的正方形的面積為【證法10】設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b(b>a),斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,使A、E、G三點在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(如圖). TBE = ABH = 90º, TBH = ABE. 又 BTH = BEA = 90º

12、, BT = BE = b, RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 GHF + BHT = 90º, DBC + BHT = TBH + BHT = 90º, GHF = DBC. DB = EBED = ba, HGF = BDC = 90º, RtHGF RtBDC. 即 S7=S2. 過Q作QMAG,垂足是M. 由BAQ = BEA = 90º,可知 ABE = QAM,而AB = AQ = c,所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 S8=S

13、5. 由RtABE RtQAM,又得QM = AE = a,AQM = BAE. AQM + FQM = 90º,BAE + CAR = 90º,AQM = BAE, FQM = CAR. 又  QMF = ARC = 90º,QM = AR = a, RtQMF RtARC. 即S4=S6. 【證法11】(利用切割線定理證明) 在RtABC中,設直角邊BC = a,AC = b,斜邊AB = c. 如圖,以B為圓心a為半徑作圓,交AB及AB的延長線分別于D、E,則BD = BE = BC = a. 因為BCA = 90º,點C在B上

14、,所以AC是B 的切線. 由切割線定理,得 【證法12】(利用多列米定理證明) 在RtABC中,設直角邊BC = a,AC = b,斜邊AB = c(如圖). 過點A作ADCB,過點B作BDCA,則ACBD為矩形,矩形ACBD內接于一個圓. 根據(jù)多列米定理,圓內接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和,有 【證法13】(作直角三角形的內切圓證明) 在RtABC中,設直角邊BC = a,AC = b,斜邊AB = c. 作RtABC的內切圓O,切點分別為D、E、F(如圖),設O的半徑為r. AE = AF,BF = BD,CD = CE, AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF-

15、BF) = CE+CD= r + r = 2r, 【證法14】(利用反證法證明) 如圖,在RtABC中,設直角邊AC、BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點C作CDAB,垂足是D.【證法15】(辛卜松證明) 此主題相關圖片如下:設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b,斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形ABCD.  把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分,則正方形ABCD的面積為 (a+b)2=a2+2ab+b2;把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分,則正方形ABCD的面【證法16】設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b(b>a),斜邊的長為c.

16、做兩個邊長分別為a、b的正方形(b>a),把它們拼成如圖所示形狀,使E、H、M三點在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(如圖). 在EH = b上截取ED = a,連結DA、DC, 則 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a, DM = EMED = (b+a)a = b. 又 CMD = 90º,CM = a, AED = 90º, AE = b, RtAED RtDMC. EAD = MDC,DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180º, ADE + MDC = ADE + EAD = 90º, ADC = 90

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