1-7函數(shù)的連續(xù)與間斷

1、二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 1.8 1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 )(xfy 漸變漸變和和突變突變。）的的增增量量（改改變變量量稱稱為為變變量量差差值值，則則終終值值與與初初值值的的變變到到終終值值從從初初值值設(shè)設(shè)變變量量 uuuuuuu0110時時，函函數(shù)數(shù)值值也也有有增增量量變變到到點點由由點點在在這這個個鄰鄰域域中中變變量量當(dāng)當(dāng)自自的的鄰鄰域域中中有有定定義義）在在點點設(shè)設(shè)xxxxxxfy 000.(uuu 01于是于是)()(00 xfxxfy x y y )(0 xxf )(0 xf0 xxx 0變量變化的兩種不

2、同類型：變量變化的兩種不同類型：一、一、 函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)連續(xù)性的概念則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf定義定義:)(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ,0)()(limlim0000 xfxxfyxx如果如果0lim0 yx)()(lim000 xfxxfx xxx 0)()(lim00 xfxfxx （漸變現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述）（漸變現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述）定義定義”則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf)(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義。的某鄰域內(nèi)有定義。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)，2)1ln()(xxxf 設(shè)設(shè))2(43ln)(lim2fxfx 則則這只是一種巧合這只

3、是一種巧合: )(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)且且如果如果,0,0 |0 xx當(dāng)當(dāng)時，時， 總有總有 | )()(|0 xfxf成立，成立，初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的定義定義(3). )()(lim00 xfxfxx可見可見 , 函數(shù)函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件:(2) 極限極限)(lim0 xfxx存在存在 ;(1) )(xf在點在點0 x即即)(0 xf有定義有定義 ,存在存在 ;)()lim()(lim000 xf

4、xfxfxxxx 連續(xù)時連續(xù)時例例. . 0,00,1sin)(xxxxxf證明：函數(shù)證明：函數(shù)在在 x0 0 處連續(xù)。處連續(xù)。證：證：01sinlim)(lim00 xxxfxx因因).0(f 結(jié)論成立。結(jié)論成立。Oxy 2 21, )()(lim00 xfxfxx )()(00 xfxf 如果如果即即則稱則稱)(xf在點在點0 x右連續(xù)右連續(xù), )()(lim00 xfxfxx )()(00 xfxf 如果如果即即則稱則稱)(xf在點在點0 x左連續(xù)左連續(xù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù))(xf在點在點0 x右連續(xù)右連續(xù) 且且 左連續(xù)左連續(xù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I 上每一點都連續(xù)，上每一點都連

5、續(xù)，)(xf在區(qū)間在區(qū)間I 上連續(xù)。上連續(xù)。則稱則稱（a,b區(qū)間上連續(xù)）區(qū)間上連續(xù)）)(xf若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)，則其圖形上連續(xù)，則其圖形)(xfy 表示了一條表示了一條“連綿不斷連綿不斷”的曲線。的曲線。連續(xù)函數(shù)的幾何意義連續(xù)函數(shù)的幾何意義ab)(xfy 2sinxyeyxyx 如：如：初等函數(shù)在定義域內(nèi)處處連續(xù)初等函數(shù)在定義域內(nèi)處處連續(xù)(以后證明）以后證明）例例. . 證明函數(shù)證明函數(shù)xysin在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即即0lim0yx這說明這說明xysin

6、在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) .同理可證同理可證: 函數(shù)函數(shù)xycos在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) .0同樣可證同樣可證: 函數(shù)函數(shù)xey 在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) .證證略略二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點(2) )(lim0 xfxx不存在不存在;在在(3) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx雖有定義雖有定義 , 且且 處不連續(xù)，處不連續(xù)， 設(shè)設(shè)0 x在點在點)(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0 x在點在點是是 f (x) 的一個的一個間斷點間斷點。則稱則稱0 x如果如果 f (x) 間斷點的三種情況：間斷點的三種情況：。)

7、()(lim00 xfxfxx 即即(1) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x在在無定義無定義 ( 的去心鄰域中有定義）的去心鄰域中有定義）;在在0 x（一）可去間斷點（一）可去間斷點1x為可去間斷點為可去間斷點 。11)(.2 xxxfy例例xoy1,2)1( f可使函數(shù)在該點連續(xù)?？墒购瘮?shù)在該點連續(xù)。補充定義補充定義處間斷。處間斷。在點在點設(shè)設(shè)0)(xxf.)(lim00為可去間斷點為可去間斷點存在，則稱存在，則稱若若xxfxx的連續(xù)性的連續(xù)性討論討論例例 1,11,110,2)(.xxxxxxf.1時時連連續(xù)續(xù) x2)01()01( ff.1)1( f.1是是可可去去間間斷斷點點 x., 2)1(則

8、則函函數(shù)數(shù)處處處處連連續(xù)續(xù)重重新新定定義義 fxoy1（二）跳躍間斷點（二）跳躍間斷點處間斷。處間斷。在點在點設(shè)設(shè)0)(xxf例例. 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點為其跳躍間斷點 .的的是是則稱則稱相等，相等，的左右極限都存在但不的左右極限都存在但不處處若在點若在點)()(00 xfxxfx.跳跳躍躍間間斷斷點點稱稱為為該該間間斷斷點點的的躍躍度度)0()0(00 xfxf（三）無窮間斷點（三）無窮間斷點處間斷。處間斷。在點在點設(shè)設(shè)0)(xxf的的是是則稱則稱，的極限為的極限為處處若在點若在點)()(00 xfxxfx .無無窮窮間

9、間斷斷點點2 x為其無窮間斷點為其無窮間斷點 .xytan 例例. .xytan2xyo,25,23,2 x也是其無窮間斷點也是其無窮間斷點 .（四）震蕩間斷點（四）震蕩間斷點處間斷。處間斷。在點在點設(shè)設(shè)0)(xxf的的是是則稱則稱為為之一的極限不存在也不之一的極限不存在也不若在若在)()0(00 xfxxf .震震蕩蕩間間斷斷點點0 x為其振蕩間斷點為其振蕩間斷點 .xy1sin. 例例xyxy1sin0初等函數(shù)沒有定義的孤立點是間斷點初等函數(shù)沒有定義的孤立點是間斷點分段函數(shù)的分界點是可疑的間斷點分段函數(shù)的分界點是可疑的間斷點間斷點分類間斷點分類第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及及)(

10、0 xf均存在均存在 ,第二類間斷點第二類間斷點:, )()(00 xfxf若若稱稱0 x為為可去間斷點可去間斷點 .0 x, )()(00 xfxf若若稱稱為為跳躍間斷點跳躍間斷點 .不是第一類間斷點的間斷點不是第一類間斷點的間斷點處間斷。處間斷。在點在點設(shè)設(shè)0)(xxf它包括無窮間斷和震蕩間斷它包括無窮間斷和震蕩間斷內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點第一類間斷點可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷點第二類間斷點

11、無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一左右極限至少有一個不存在個不存在在點在點間斷的類型間斷的類型)(. 1xf0 x在點在點連續(xù)的等價形式連續(xù)的等價形式思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 討論函數(shù)討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點是第二類無窮間斷點 .間斷點的類型間斷點的類型.2. 設(shè)設(shè)0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時時提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf為為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點是第一類可去間斷點 ,例例. .xxxfsin1sin1)() 1 ()()2(xf有有理理點點 x,1無理點x

12、,1)()3(xf有理點x,x無理點x,xxyo11xyo的例子的例子數(shù)數(shù)舉出具有下列性質(zhì)的函舉出具有下列性質(zhì)的函)(xf);, 2, 1(,1)1( nnxnx和和間斷點為間斷點為上處處連續(xù)上處處連續(xù)在在上處處間斷，上處處間斷，在在R| )(|R)()2(xfxf處連續(xù)處連續(xù)上僅在上僅在在在0R)()3( xxf備用題備用題 確定函數(shù)確定函數(shù)xxexf111)(解解: 間斷點間斷點1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點為無窮間斷點;,1 時當(dāng)x xx1,0)(xf,1 時當(dāng)x xx1,1)(xf故故1x為跳躍間斷點為跳躍間斷點. ,1,0處在x.)(連續(xù)xf 人有了知識，就會具備各種分析能力，人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說古人說“書中自有黃金屋。書中自有黃金屋?！蓖ㄟ^閱讀科技書籍，我們能豐富知識，通過閱讀科技書籍，我們能豐