正項級數(shù)的斂散性判別方法探究

1、正項級數(shù)的斂散性判別方法探究摘 要：正項級數(shù)是一類重要的級數(shù)，對于研究一般項級數(shù)及函數(shù)項級數(shù)的斂散性有十分重要的意義本文主要討論了判別正項級數(shù)斂散性的一些常用方法，并進行了推廣，使其適用范圍更加廣泛，計算更加方便然后，討論各個判別法之間的聯(lián)系，判斷其強弱性最后，結(jié)合典型例題驗證本文中判別法的有效性關(guān)鍵詞：正項級數(shù)；斂散性；判別法1 引言級數(shù)的收斂性是用部分和數(shù)列的極限來定義的一般來說，部分和不易求得，需要依靠級數(shù)斂散性的判別法來進行判定就正項級數(shù)而言，從部分和有界這個充要條件出發(fā)，推出了比較判別法它需要用已知斂散性的級數(shù)作為比較對象若用等比級數(shù)作為比較對象，就得到了柯西判別法和達朗貝爾判別法但

2、當(dāng)極限為1時，這兩個判別法失效若要得出結(jié)果，需要找出比等比級數(shù)收斂的更慢的級數(shù)作為比較級數(shù)，分別以級數(shù)和級數(shù)作為比較對象，得到了拉貝判別法和高斯判別法，它們的判別范圍要廣泛得多此外，可以利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性及其積分性質(zhì)，把無窮區(qū)間上的廣義積分作為比較對象來判別正項級數(shù)的斂散性，稱為積分判別法與之對應(yīng)的還有導(dǎo)數(shù)判別法2 正項級數(shù)的相關(guān)概念1定義1 設(shè)是可列無窮個實數(shù)，我們稱它們的“和” 為數(shù)項級數(shù)(簡稱級數(shù))，記為，其中稱為級數(shù)的通項或一般項定義2 如果級數(shù)的各項都是非負(fù)實數(shù)，即，則稱此級數(shù)為正項級數(shù)定義3 取級數(shù)的前項之和，記為，則稱為級數(shù)的部分和，為級數(shù)的部分和數(shù)列定義4 如果部分和數(shù)列收斂

3、于有限數(shù)，則稱級數(shù)收斂，且稱它的和為，記為；如果部分和數(shù)列發(fā)散，則稱級數(shù)發(fā)散3 正項級數(shù)收斂性的常用判別法3.1 比較判別法1定理1 正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有上界定理2 (比較判別法) 設(shè)與是兩個正項級數(shù)，若存在常數(shù)，成立，則(1) 當(dāng)收斂時，也收斂；(2) 當(dāng)發(fā)散時，也發(fā)散推論 (比較判別法的極限形式) 設(shè)與是兩個正項級數(shù)，如果與是同階無窮小量，即，則(1) 當(dāng)時，與同時收斂或同時發(fā)散；(2) 當(dāng)且級數(shù)收斂時，級數(shù)也收斂；(3) 當(dāng)且級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)也發(fā)散3.2 柯西判別法與達朗貝爾判別法根據(jù)比較原則，可利用已知收斂或發(fā)散的級數(shù)作為比較對象來判別其他級數(shù)的斂散性柯西判別法

4、與達朗貝爾判別法是以等比級數(shù)作為比較對象而得到的3.2.1柯西判別法及其推廣2定理3 設(shè)是正項級數(shù)，則當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 推論1 (廣義柯西判別法1) 設(shè)為正項級數(shù)，如果()，則當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 證 因為，即對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有 (1)對于任意常數(shù)，總存在，當(dāng)時，有 (2)取，當(dāng)時，式(1)和式(2)同時成立(1) 當(dāng)時，取足夠小，使由上述討論，存在，當(dāng)時，有，正項級數(shù)收斂，由比較判別法，級數(shù)收斂(2) 當(dāng)時，取足夠小，使由上述討論，存在，當(dāng)時，有，正項級數(shù)發(fā)散，由比較判別法，級數(shù)發(fā)散(3) 當(dāng)時

5、，取，那么對任意和常數(shù)，有而級數(shù)發(fā)散，級數(shù)收斂故不能確定級數(shù)收斂或發(fā)散推論2 (廣義柯西判別法2) 設(shè)為正項級數(shù)，如果(其中且)，則當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 證 因為，即對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有當(dāng)時，取足夠小，使由上述討論，存在，當(dāng)時，有因為，又正項級數(shù)收斂，由比較判別法知，級數(shù)收斂當(dāng)時，取足夠小，使由上述討論，存在，當(dāng)時，有，那么，所以級數(shù)發(fā)散當(dāng)時，取，那么， 而級數(shù)發(fā)散，級數(shù)收斂故不能確定級數(shù)收斂或發(fā)散例1 討論下列級數(shù)的斂散性(1)； (2)解 (1) 若采用柯西判別法，需要計算，較為繁瑣而由廣義柯西判別法1知，該級數(shù)收斂(2) 因為，由廣義柯

6、西判別法2知原級數(shù)收斂3.2.2 達朗貝爾判別法及其推廣定理4 設(shè)是正項級數(shù)，且，則(1) 當(dāng)時，級數(shù)收斂；(2) 當(dāng)或時，級數(shù)發(fā)散；(3) 當(dāng)時，無法判斷級數(shù)的斂散性推論 (廣義的達朗貝爾判別法)設(shè)是正項級數(shù)，則(1) 當(dāng)時，級數(shù)收斂；(2) 當(dāng)或時，級數(shù)發(fā)散證 (1) 當(dāng)時，對，存在，當(dāng)時，有即設(shè)，則，即，從而其中是任意正整數(shù)，可見，對，都有考慮級數(shù)的部分和序列即有上界，從而存在，設(shè)注意到故，即，所以收斂(2) 如果，則從某項開始，此時，故原級數(shù)發(fā)散例2 討論下列級數(shù)的斂散性(1)； (2)解 (1) 取，由于，所以原級數(shù)收斂(2) 取 ，由于，所以原級數(shù)收斂引理3 設(shè)與是兩個正項級數(shù)，若

7、存在自然數(shù)，當(dāng)時，不等式與成立，則(1) 若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；(2) 若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散證 由已知條件，存在自然數(shù)，當(dāng)時，不等式成立不妨取自然數(shù)，并令當(dāng)時，；當(dāng)時，則唯一存在一個自然數(shù)，使，故若，則；若，則唯一存在一個自然數(shù)，使，其中，于是有，且由于，經(jīng)過有限步，假設(shè)第步，必有，于是由定理2即可證明定理5 設(shè)是正項級數(shù)，如果，那么當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散4證 (1) 當(dāng)時，可以選取，使得，根據(jù)極限定義，應(yīng)有正整數(shù)，使當(dāng)時，有與又因為，可選實數(shù)，使令，則級數(shù)收斂，且由極限的性質(zhì)，存在，使得當(dāng)時，有成立取，則當(dāng)時，根據(jù)引理，級數(shù)收斂(2) 當(dāng)時，選取，使得，根據(jù)極限定義，應(yīng)有正整數(shù)，

8、使當(dāng)時，有與令，則級數(shù)發(fā)散，且，根據(jù)引理，級數(shù)發(fā)散例3 討論下列級數(shù)的斂散性(1)； (2)解 (1) 因為則由定理5可知，級數(shù)收斂(2) 因為則由定理5可知，級數(shù)收斂3.2.3 柯西判別法與達朗貝爾判別法的關(guān)系性質(zhì) 若，則證 令，則，且，可以推出定理6 設(shè)為正項級數(shù)，若，則當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散證 由上述性質(zhì)可知，可得于是由柯西判別法，便可得證例4 判定下列級數(shù)的斂散性(1)； (2)解 (1) 設(shè)，則，由于，根據(jù)定理6知，原級數(shù)收斂(2) 設(shè)，則根據(jù)定理6，當(dāng)時，原級數(shù)收斂；時，原級數(shù)發(fā)散3.3 積分判別法和導(dǎo)數(shù)判別法定理7 (積分判別法) 對于正項級數(shù)，設(shè)單調(diào)遞減，作單調(diào)遞減的連

9、續(xù)減函數(shù)，使，則級數(shù)與廣義積分同時收斂，同時發(fā)散定理8 (導(dǎo)數(shù)判別法) 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義且，且在處存在，則級數(shù)收斂的充分必要條件是：證 不妨設(shè)對一切，都有，由在處存在，易知在處連續(xù)，且在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)充分性：由，令，則有，又級數(shù)收斂，由比較判別法可知級數(shù)收斂必要性：設(shè)級數(shù)收斂，則如果，則，于是有由級數(shù)發(fā)散，知級數(shù)發(fā)散，與已知條件矛盾，故假設(shè)不成立，即例5 討論級數(shù)的斂散性，其中為常數(shù)解 取它在上非負(fù)，單調(diào)減少且連續(xù)當(dāng)時，；當(dāng)時， 故級數(shù)，當(dāng)收斂，當(dāng)時發(fā)散例6 判別級數(shù)的斂散性解 令，則又，故即在處二階可導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)判別法知級數(shù)收斂3.4 拉貝判別法與高斯判別法5柯西判別法和達朗貝爾判別法是基

10、于把所要判別的級數(shù)與某一等比級數(shù)相比較的想法得到的也就是說，如果給定級數(shù)通項收斂于零的速度比某收斂的等比級數(shù)的通項收斂于零的速度快，則能判定該級數(shù)收斂如果級數(shù)的通項收斂于零的速度較慢，則無法判斷拉貝以級數(shù)作為比較對象，得到了拉貝判別法高斯以級數(shù)作為比較對象，得到了高斯判別法2定理9 (拉貝判別法) 設(shè)為正項級數(shù)，且極限存在，則當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散定理10 (高斯判別法) 如果正項級數(shù)滿足條件則當(dāng)時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散證 (1) 當(dāng)，取適合，我們證明，當(dāng)時，有不等式為此目的，我們注意，所以根據(jù)已知條件，就有 ()因為，故當(dāng)時，上式取正值，即這說明當(dāng)充分大時，數(shù)列是單調(diào)減的，因而有界：，

11、即從而級數(shù)收斂(2) 當(dāng)時，在式()中取就有故當(dāng)充分大時有，即數(shù)列是單調(diào)增的于是當(dāng)時有即，所以級數(shù)發(fā)散推論 設(shè)為正項級數(shù)，且極限存在，則當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散例7 設(shè)，試討論級數(shù)的斂散性解 當(dāng)時，原級數(shù)可化為，此時級數(shù)發(fā)散當(dāng)時，(1) 采用拉貝判別法則時，原級數(shù)收斂；時，原級數(shù)發(fā)散(2) 采用高斯判別法則時，原級數(shù)收斂；時，原級數(shù)發(fā)散注 雖然高斯判別法要比拉貝判別法更加精密，但是其運算過程也相對復(fù)雜從理論上講，按照這個思路進行下去，還可以找到新的、判別范圍更廣泛的判別法，但這些判別法也更加復(fù)雜4 結(jié)束語判斷正項級數(shù)斂散性的方法是多種多樣的，文中僅列出了一些常用的判別方法在使用的過程中，

12、需要根據(jù)不同題目的特點，選取適宜的判別方法進行判斷同時，本文選取了一些典型例題，用以檢驗相關(guān)理論的有效性正項級數(shù)斂散性判別法也可用于判定負(fù)項級數(shù)及一般項級數(shù)的絕對收斂性，也可以推廣到函數(shù)項級數(shù)的斂散性判別中參考文獻1 陳紀(jì)修等數(shù)學(xué)分析(下冊)M北京，高等教育出版社2004：15-252 劉三陽，李廣民數(shù)學(xué)分析十講M北京，科學(xué)出版社2011：131-1453 李鐵烽正項級數(shù)判斂的一種新的比值判別法J數(shù)學(xué)通報，1990(1)：46-474 吳慧伶正項級數(shù)收斂性判別的一個推廣J麗水學(xué)院學(xué)報，2006，28(5)：24-265 何琛，史濟懷，徐森林?jǐn)?shù)學(xué)分析(第三冊)M北京，高等教育出社1985：34-

13、35The Study of Positive Series Convergence and Divergence DiscriminanceAbstract：Series of positive terms is a kind of important series, it has a very important significance to the study of other series. This paper studies the discrimination of positive series convergence and divergence of some commonly used methods, has methods promoted，making them applicable to a wider range and calculates more convenient. And then we discuss the link between