高中數(shù)學(xué)必修五知識點和習(xí)題

1、1 / 38 目錄編寫說明 .0 第一章解三角形 .1 1.1 正弦定理和余弦定理.1 1.2 應(yīng)用舉例 .8 第二章數(shù)列 .12 2.1 數(shù)列的概念與簡單表示方法.12 2.2 等差數(shù)列 .15 2.3 等差數(shù)列的前n 項和 .17 2.4 等比數(shù)列 .19 2.5 等比數(shù)列的前n 項和 .22 第三章不等式 .26 3.1 不等關(guān)系與不等式.26 3.2 一元二次不等式及其解法.28 3.3 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題.31 3.4 基本不等式.34 0 / 38 編寫說明本書是高中數(shù)學(xué)必修課程5 個模塊中的一個，包括解三角形、數(shù)列與不等式三章內(nèi)容?！敖馊切巍钡闹饕獌?nèi)容是介

2、紹三角形的正、余弦定理，及其簡單應(yīng)用，旨在通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題以及能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題?！皵?shù)列”的主要內(nèi)容是數(shù)列的概念與表示，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。要求學(xué)生在探索中掌握與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實際問題?！安坏仁健币徽峦ㄟ^大量現(xiàn)實世界和日常生活中的具體實例引入不等關(guān)系，幫助學(xué)生理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值，進而

3、引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合一些實際問題探索求解一元二次不等式的基本方法，用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以及解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題的方法，最后引導(dǎo)學(xué)生討論了基本不等式及其簡單應(yīng)用。1 / 38 第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理 ：在c中 ，a、b、c分 別 為 角、c的 對 邊 ，r為c的 外 接 圓 的 半 徑 ， 則 有2sinsinsinabcrc正弦定理的變形公式：2sinar，2sinbr，2sincrc；sin2ar，sin2br，sin2ccr；:sin:sin:sina b cc；sinsinsinsinsinsinabcabccc正弦定理的應(yīng)用范圍：已知兩角和任一邊

4、，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角?！镜湫屠}】1、在 abc中，角 a、b、c的對邊分別為a、b、c,1,33baa，求 c。2、在 abc中， “a = b”是“ sin a = sin b”的 ( ) a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 即不充分又不必要條件【練習(xí)】1、,32,45,6,0aacabc中求 b、c、b. 2、在abc中,已知3a, 2b, b=450.求 a、c和 c. 3、已知abc中，3:2:1sin:sin:sincba，求cba:。4、在abc中,已知下列條件解三角形；（1）30,2,2aba；（ 2）45,2, 2

5、aba；（3）10,45,60aba（4）30,4, 3aba（5）120,5,2aba（6）30,6, 3aba5、在abc中，3a，2b，45b. 求角a，c和邊c. 6、已知在abc中 ,10c,45a，030c，求a，b和b。7、在abc中，60a，34a,24b，求角b。8、在abc中，已知210ab，45a，3320bc，求角c。2 / 38 9、在abc中, 若bbaacossin，求角 b。 10 、在abc中, 若, 1,150,31tan0bcca求 ab 。11、在abc中，若5b，4b,2tan a，求asin和a。12、在 abc中，若3 a = 2b sin a，求

6、角 b。13、在abc中 ,已知內(nèi)角3a, 邊32bc。設(shè)內(nèi)角xb，周長為y.（1）求函數(shù)xfy的解析式和定義域；（2） 求y的最大值。余弦定理在c中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababc余弦定理的變形公式：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abccab余弦定理的應(yīng)用范圍：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。【典型例題】1、 在abc中，已知2 3a，62c，060b，求 b 及 a。2、如圖，在abc中，2ac，1bc，43cosc（1）求ab的值；（2）求ca2si

7、n的值 . 【練習(xí)】1、在abc中，若222abcbc，則角 a=_。2、 abc中， a 3，b7，c2，則角 b=_。3、在 abc中，若1413cos, 8,7cba，則最大角的余弦值為_。4、已知在abc中，03,3 3,30bcb，則角a=_、角c=_、a=_。5、已知在abc中，03,2 3,30bca，則角b=_、角c=_、邊a=_。6、4,3,60abco,則c. 7、2,4,3abc,則 b= . 3 / 38 8、在abc中,已知222abbcc,則a=_. 9、在abc中,60ao,邊長,b c是方程2327320 xx的兩實根 ,則邊bc=_. 10、在abc中，:2

8、:6 : ( 31)a b c，則 a=_， b=_， c=_。11、已知在abc中，3,13,4abbcac，則ac邊上的高為 _ 12、已知abc、 、是abc的三邊，060b，那么222aaccb的值 _ a. 大于 0 b. 小于 0 c. 等于 0 d. 不確定13、在abc中，若c為鈍角，下列結(jié)論成立的是_ a. 222abcb. 222abcc. 222abcd. cos0c14、在abc中，222abc，且3sin2c，則c_ 15、在abc中，已知0260 ,bbac，則角a=_ 16、在abc中,角,a b c的對邊分別為, ,a b c,若2bac,且2ca,則cosb=

9、_. 17、在abc中，4,3bc,bc邊上的中線長372, 則a= ，a= . 18、在abc中,3,13,4abbcac,則ac邊上的高為 _. 19、在abc中,角,a b c的對邊分別為, ,a b c,若2bac,且2ca,則cosb=_ 20、在abc中，若137,8,cos14abc，則最大角的余弦值是_ 21、已知三角形的三邊長分別是2323322mmmmm，且0m，這個三角形的最大角為_。22、 在abc中，60a，且最大邊長和最小邊長是方程xx27110的兩個根， 第三邊的長 _。23、在abc中，已知cbasin2tan，給出以下四個論斷：1tantanba2sinsin

10、0ba1cossin22bacba222sincoscos其中正確的是_ 24、在abc中，角cba,的對邊分別為abc、 、。若222()tan3acbbac，則角 b 的值為 _ 25、abc的內(nèi)角cba,的對邊分別為abc、 、。若abc、 、成等差數(shù)列，且ac2。則bcos= 4 / 38 26、在abc中，若4:2:3sin:sin:sincba，則ccos的值為 _ 27、在abc中，已知3sin,sincos0,3 5,55aaaab，求c。解三角形的進一步討論利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)系， 從而確定三角形的形

11、狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形各種類型的判定方法；（3）三角形面積定理的應(yīng)用。已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況如已知a，b，a，則a為銳角a為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin aabsin absin aabababab解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解三角形面積公式：abcsbacscabssin21;sin21;sin21【典型例題】1、在abc中，已知, ,a b a，討論三角形解的情況。分析：先由sinsinbaba可進一步求出b；則0180()ca

12、b，從而sinacca1當(dāng) a 為鈍角或直角時，必須ab才能有且只有一解；否則無解。2當(dāng) a 為銳角時，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來討論：（ 1）若sinaba，則有兩解； （2）若sinaba，則只有一解； （3）若sinaba，則無解。評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)a為銳角且sinba ab時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。2、根據(jù)所給條件,判斷abc的形狀 . 1）在abc中，已知7a，5b，3c。2）;coscosbbaa3）ccbbaacoscoscos3、在abc中，若120ao，5ab，7bc，求abc的面積。5

13、 / 38 4、在 abc中，證明：2222112cos2cosbabbaa5、設(shè)abc的內(nèi)角cba,所對的邊長分別為abc、 、，且54cosb，2b。（ 1） 當(dāng)30a時，求a的值； (2) 當(dāng)abc的面積為3時，求ca的值6、在abc中，已知2,3 bcab。（）若63cosb，求csin的值； （）求角c的取值范圍【練習(xí)】1、在abc中，已知80a，100b，045a，試判斷此三角形的解的情況。2、在abc中，若1a，12c，040c，則符合題意的b 的值有 _個。3、在abc中，axcm，2bcm，045b，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x 的取值范圍。4、在abc中，已知sin

14、:sin:sin1:2:3abc，判斷abc的類型。5、在abc中，060a，1a，2bc，判斷abc的形狀。6、abc中，2222cosbabca，判斷該三角形的形狀。7、abc中, acbcasinsinlgsinlg2sinsinlg，判斷該三角形的形狀。8、在abc中，若sin asin bcosacosb，判斷abc的形狀。9、在abc中，若060 ,2bbac，判斷abc的形狀。10、在abc中，已知baccabsincos，判斷該三角形的形狀。11、在abc中，已知()()3abc abcab，且2cossinsinabc，試確定abc的形狀。12、abc中，如果2lgsinlg

15、lglgbca，并且b為銳角，試判斷此三角形的形狀。13、abc中，2cos22abcc（abc、 、分別為角cba,所對的邊），判斷此三角形的形狀。14、根據(jù)所給條件，判斷abc的形狀 . （）bbaacoscos；（）ccbbaacoscoscos15、在abc中，abc、 、分別為內(nèi)角abc、 、的對邊，且2 sin(2)sin(2)sinaabcbcbc（）求a的大小；（）若sinsin1bc，試判斷abc的形狀 . 16、在 abc中，3ab,1ac, a30，求 abc面積。6 / 38 17、在abc中，060a，1b，面積為32，求sinsinsinabcabc的值18、在ab

16、c中，若55a，16b，且此三角形的面積220 3s，求角 c 19、在abc中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積2224abcs，求角 c 20、已知在abc中，b=30 ,b=6,c=63, 求 a 及abc的面積21、在oab中，o 為坐標(biāo)原點，2,0(),1 ,(sin),cos, 1(ba，則當(dāng)oab的面積達最大值時，a6b4c3d222、已知cba,為abc的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為abc、 、，且0cos2cos22aa。(1) 求角a的值；(2) 若4,32cba，求abc的面積23、abc內(nèi)接于半徑為r的圓，且bbacarsin2sinsin222，求abc的面積的最

17、大值。24、 三角形的某兩邊長分別為cmcm 5,3, 其夾角的余弦值是方程06752xx的根，求此三角形的面積。在abc中，求證：（1）;sinsinsin222222cbacba（ 2）)coscoscos(2222cabbcaabccba. 25、已知在abc中，3,13,4abbcac，則ac邊上的高為（）a.322 b. 332 c. 32 d. 3 326、在abc中，已知a比b長 2，b比c長 2，且最大角的正弦值為32，則abc的面積等于 （）a. 1534b. 154c. 2134d. 353427、在abc中，已知030a，且3312ab，則c的值為( ) a. 4 b.

18、8 c. 4或 8 d. 無解28、在abc中，060 ,2aab，且abc的面積23abcs，則bc邊的長為（）a. 3b. 3 c. 7d. 7 7 / 38 29、在abc中,若abasin23, 則b = ( )a o30 b o60c o60或o120 d o30或o15030、abc中，sinsinsinsinsin222abbcc，則a等于（）a. 135b. 120c. 45d. 6031、在abc中，角cba,所對的邊分別為abc、 、。若( 3)coscosbcaac，則cosa= _32、已知在abc中，22sin:sin2 :1,2abcbbc，則三個內(nèi)角cba,的度數(shù)

19、依次是_ 33、在abc中，已知() :(): ()4:5: 6bccaab，給出下列結(jié)論： 由已知條件，這個三角形被唯一確定； abc一定是鈍角三角形；sin:sin:sin7:5:3abc； 若8bc，則abc的面積是15 32。其中正確結(jié)論的序號是_34、abc中，已知2220bbcc，且76,cos8aa，則abc的面積等于 _。35、在銳角abc中，1bc，ab2,則aaccos的值等于，ac的取值范圍是36、如圖，在abc中，已知045b，d是bc邊上的一點，abdcacad則,3,7,5_ 37、在abc中，內(nèi)角cba,所對邊的邊分別為abc、 、。已知2,3cc。（1）若abc

20、的面積等于3，求,a b；（2）若sin2sinba，求abc的面積。38、在abc中，內(nèi)角cba,對邊的邊長分別是abc、 、，已知3, 2 cc. (1) 若abc的面積等于3，求ba,；(2) 若aabc2sin2sinsin，求abc的面積39、abc的內(nèi)角abc、 、的對邊分別為abc、 、.己知sincsin2 sinsin,aacacbb () 求b； （）若75 ,2,.aba co求 ,40、在abc中，cba,的對邊分別是cba,，已知cbbcaacoscoscos3，求acos的值。a b d c 8 / 38 41、在abc中，cba,為角cba,所對的三邊，已知22(

21、)abcbc，求角a42、在abc中，abc、 、分別是角abc、 、的對邊，且cabcb2coscos. (1) 求角b的大??；(2) 若13b，4ca，求abc的面積43、在abc中，內(nèi)角a,cb,的對邊分別是cba,，設(shè)s為abc的面積，滿足22243cbas（ 1）求角 c的大??；（2）求basinsin的最大值。44、已知yxnxxm,cos,1 ,sin32cos2，滿足0nm。 （1）將y表示為x的函數(shù)xf，并求xf的最小正周期。 （2）已知abc內(nèi)角a,cb,的對邊分別是cba,，若32af，且2a，求cb的取值范圍1.2 應(yīng)用舉例解決實際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，

22、正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解。1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等2實際問題中的常用角(1) 仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角( 如圖 (1) (2) 方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如b點的方位角為( 如圖 (2) (3) 方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45，西偏東60等(4) 坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)距離測量問題9 / 38 【典型例題】1、如圖，設(shè)

23、a、b兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在a 的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點 c，測出 ac的距離是55m，bac=51，acb=75。求 a、b兩點的距離 (精確到 0.1m) 【練習(xí)】1、兩燈塔a、b與海洋觀察站c的距離都等于a km,燈塔 a 在觀察站 c 的北偏東30，燈塔 b 在觀察站c南偏東 60 ，則 a、b之間的距離為多少？2、 如 圖所示，為 了測量河對 岸ba,兩點 間的 距離，在這 岸定一 基線cd， 現(xiàn)已 測出acd和60acd，30bcd，105bdc，60adc，試求ab的長3、 如圖，dcba,都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)db,為兩島上的兩座燈塔的塔頂

24、，測量船于水面a處測得b點和d點的仰角分別為75，30，于水面c處測得b點和d點的仰角均為60，kmac1 .0. 試探究圖中b、d間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求b，d的距離高度測量問題【典型例題】1、ab 是底部 b 不可到達的一個建筑物，a 為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度ab 的方法。分析：求 ab長的關(guān)鍵是先求ae，在ace中，如能求出c點到建筑物頂部a 的距離 ca，再測出由c點觀察 a 的仰角，就可以計算出ae的長。10 / 38 【練習(xí)】1、如圖，在山頂鐵塔上b處測得地面上一點a 的俯角=5404，在塔底 c 處測得 a 處的俯角=501。已知鐵塔bc部分的高為27

25、.3 m,求出山高 cd(精確到 1 m) 2、 如圖 ,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到 a 處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂d 在東偏南 15的方向上 ,行駛 5km 后到達 b處,測得此山頂在東偏南25 的方向上 ,仰角為 8,求此山的高度cd. 3、 如圖， 山腳下有一小塔ab，在塔底b測得山頂c的仰角為60，在山頂c測得塔頂a的俯角為45，已知塔高mab20，求山高cd. 4、 如圖所示，測量河對岸的塔高ab時，可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩個測點c與d，現(xiàn)測得bcd，bdc，scd，并在點c測得塔頂a的仰角為，求塔高ab. 11 / 38 角度測量問題【典型例題】如圖，一艘海輪

26、從a 出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile 后到達海島b,然后從 b 出發(fā) ,沿北偏東32的方向航行54.0 n mile 后達到海島c.如果下次航行直接從a 出發(fā)到達c,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile) 【練習(xí)】1、在某點 b處測得建筑物ae的頂端 a 的仰角為，沿 be方向前進30m，至點 c 處測得頂端a的仰角為2，再繼續(xù)前進103m 至 d 點，測得頂端a 的仰角為4，求的大小和建筑物ae的高。2、某巡邏艇在a 處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距 9 海里的 c處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10 海里 /小時的速度

27、向我海岸行駛，巡邏艇立即以14 海里 /小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？3、 在某海岸a處，發(fā)現(xiàn)北偏東30方向，距離a處）（13n mile 的b處有一艘走私船在a處北偏西15的方向，距離a處6n mile 的c處的緝私船奉命以35n mile/h的速度追截走私船. 此時，走私船正以 5 n mile/h的速度從b處按照北偏東30方向逃竄， 問緝私船至少經(jīng)過多長時間可以追上走私船，并指出緝私船航行方向. 注： 在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際

28、問題的解。a c b 301512 / 38 第二章數(shù)列2.1 數(shù)列的概念與簡單表示方法數(shù)列的概念與簡單表示方法定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列 ，其中數(shù)列中的每一個數(shù)都是函數(shù)值，將數(shù)列中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項，和它在數(shù)列中的次序?qū)?yīng)起來，稱為第1 項，第 2 項，第n 項，。數(shù)列的一般形式：,321naaaa，簡記為na數(shù)列的分類：（1）按項數(shù)來分：有窮數(shù)列： 項數(shù)有限的數(shù)列；無窮數(shù)列： 項數(shù)無限的數(shù)列叫。（2）按項的大小來分：遞增數(shù)列 ：從第 2 項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列 ：從第 2 項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列 ：各項相等的數(shù)列擺動數(shù)列 ：從第 2 項起，有

29、些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列數(shù)列na的第 n 項與序號n 之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式 ?！镜湫屠}】1、已知數(shù)列na滿足31nnaa，則這個數(shù)列是（）a 遞增數(shù)列b 遞減數(shù)列c 擺動數(shù)列d 不確定2、數(shù)列，924,715-58 ,1-的一個通項公式是（）a 12)1(2nnnannb 12)3()1(nnnannc 121)1() 1(2nnannd 12)2()1(nnnann3、數(shù)列，11,22,5 ,2的一個通項公式是_【練習(xí)】1、下列數(shù)列是遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列？（1）,1,31,21, 1n（2）;2,2,2 , 1632

30、（3）, 1, 1 , 1, 1（4）,6 ,6 ,613 / 38 2、已知數(shù)列na滿足：21, 011nnaaa，則數(shù)列na是（）a. 遞增數(shù)列b. 遞減數(shù)列c.擺動數(shù)列d.不確定3、已知數(shù)列na滿足：31nnaa，則數(shù)列na是（）a. 遞增數(shù)列b. 遞減數(shù)列c.擺動數(shù)列d.不確定4、數(shù)列,1,51,41,31n中，第 10 項是 _ 5、已知數(shù)列，433221 ,0，其中 0.9 是它的第 _項。6、1,1,2,3,5.，這個數(shù)列的第八項是_ 7、觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第7個圖中有 _個小正方形。8、上述關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個數(shù)列，該數(shù)列的一個通項公式是（）a21nannb1

31、2nn nac12nn nad22nn na9、設(shè)數(shù)列2，5，2 2，11，則2 5是這個數(shù)列的（）a第6項b第7項c第8項d第9項10、數(shù)列7，77，777，7777，77777，的通項公式為_11、已知數(shù)列2nn，那么（）a0是數(shù)列中的一項b21是數(shù)列中的一項c702是數(shù)列中的一項d以上答案都不對12、若2nnan，則na與1na的大小關(guān)系是（）a1nnaab1nnaac1nnaa d不能確定13、根據(jù)下列數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式(1) ；，225,8 ,292,2114 / 38 （2）；，9 ,7-5 ,3-1（3）；，3 ,5 ,3 ,5 , 3,5（4）；，9999,99

32、9,99914、寫出下列數(shù)列的一個通項公式：（1）;,54,43,32,21（2）;,4,3,2 , 1（3）;,7,5,3 , 1（4）;,7777,777,77,715、一給定函數(shù))(xfy的圖象在下列圖中，并且對任意)1 ,0(1a，由關(guān)系式)(1nnafa得到的數(shù)列na滿足)(1nnaann，則該函數(shù)的圖象可能是( ) 16、已知數(shù)列na中的首項naann21211，則此數(shù)列的第三項是_ 17、已知數(shù)列na滿足)(133, 011nnaaaannn，則20a_ 18、練習(xí)：已知數(shù)列na滿足：nnaaaannnn,0, 121434,2009a_;2014a_ 19、設(shè))(1313121

33、1nnnan，則nnaa1_ a231nb. 13131nnc. 231131nnd. 23113131nnn20、已知數(shù)列na滿足)2()1(11naaannnn，且, 11a則35aa的值是 _21、數(shù)列na中，,32, 121aa且)2,(21111nnnaaannn，則6a_. 15 / 38 22、已知數(shù)列na的第 1項是 1，第 2項是 2，以后各項由)2(21naaannn給出，（1）寫出這個數(shù)列的前5項； （2）利用上面的數(shù)列na，通過公式nnnaab1構(gòu)造一個新的數(shù)列nb的前 5項。2.2 等差數(shù)列等差數(shù)列 ：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)

34、，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）等差中項 :如果，這三個數(shù)成等差數(shù)列，那么2ba我們把2ba叫做和的等差中項等差數(shù)列的通項公式：dnaan)1(1【變式：nadmnam)(】性質(zhì)：若na是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、*q） ，則mnpqaaaa【典型例題】1、已知數(shù)列1，4，7，10， 3n+7,其中后一項比前一項大3. （1）指出這個數(shù)列的通項公式；（2）指出 1+4+（3n5）是該數(shù)列的前幾項之和.2、將一個等差數(shù)列的通項公式輸入計算器數(shù)列nu中，設(shè)數(shù)列的第s 項和第t 項分別為su和tu，計算tsuuts的值，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你的

35、結(jié)論【練 習(xí)】1、 （1）求等差數(shù)列3，7，11，的第4 項與第 10 項 . （2）求等差數(shù)列10，8，6，的第20 項. （3）100 是不是等差數(shù)列2，9， 16，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. （4） 20 是不是等差數(shù)列0， 321， 7，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 2、在等差數(shù)列 na中， （1）已知4a=10,7a=19,求1a與 d; （2）已知3a=9, 9a=3,求12a. 3、在等差數(shù)列na中，已知105a，3112a，求1a,d,naa ,204、 梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10 級，各級的寬度成等差數(shù)列，計

36、算中間各級的寬度5、 已知數(shù)列 na的通項公式qpnan，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？6、已知為等差數(shù)列，則等于a. -1 b. 1 c. 3 d.7 16 / 38 7、已知na為等差數(shù)列，且7a24a 1, 3a0,則公差 da.2 b.12c.12d.2 8、等差數(shù)列na中，12981aaal且2310171aaal，則公差d= 9、各項不為零的等差數(shù)列na中，02211273aaa，則7a的值為（）a0b4 c04或d210、已知等差數(shù)列na中，12497,1,16aaaa則的值是（）a15 b30 c31 d 64 11、等差數(shù)列na

37、中，51130aa，47a，則12a的值為a15 b23 c25 d37 12、設(shè)na是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若12315aaa，12380a a a，則111213aaa（）a 120 b 105 c 90 d 7513、若一個等差數(shù)列前3 項和為 34,后 3 項和為 146,且所有項的和為390,求這個數(shù)列項數(shù). 14、在等差數(shù)列 an中 ,mananm,，則nma，的值為（）a nmb )(21nmc)(21nmd 0 15、已知在等差數(shù)列na中，0,455aas，求47: aa16、在等差數(shù)列na中，若113,aa是方程016102xx的兩根，則7a_ 17、若ba，兩個等差數(shù)列bx

38、xa,21與byyya,321的公差分別為21,dd，則21dd_ 18、等差數(shù)列na的前 10項的和,10010s前 100項的和10100s,求前 110項的和.110s19、 萊茵德紙草書是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，請解答書中的一道題目，把100 個面包分給5 個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且是較多的三分之和的71是較少的兩份之和，求最少一份的量。20、 已知數(shù)列na的前 n 項和為ns， 點)(1,1nnaapnnn）（在曲線214)(xxf， 且0.11naa，求證：數(shù)列21na是等差數(shù)列，并求na。21、如果1a，2a，8a為各項都大于零的等差數(shù)列，公差0d，則 ( ) a 1a

39、8a45a ab8a1a45a ac1a+8a4a+5ad1a8a=45a a17 / 38 22、 已知是一次函數(shù)， 其圖象過點， 又成等差數(shù)列， 求)()2()1(nfff的值 . 23、已知數(shù)列21na成等差數(shù)列，且713,61153aa，求8a的值。2.3 等差數(shù)列的前n 項和等差數(shù)列的前n項和的公式：12nnn aas；112nn nsnad等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：若項數(shù)為*2n n，則21nnnsn aa，且ssnd偶奇，1nnsasa奇偶若項數(shù)為*21nn，則2121nnsna，且nssa奇偶，1snsn奇偶（其中nsna奇，1nsna偶） 。【典型例題】1、已知等差數(shù)列na的

40、前 n 項之和記為sn，s10=10 ，s30=70，則 s40等于。2、已知一個等差數(shù)列na的通項公式an=255n，求數(shù)列|na的前 n 項和；【練習(xí)】1、 等差數(shù)列 -10，-6，-2，2， 前_項的和是54？2、 （1）求正整數(shù)列前n 個偶數(shù)的和；（2）求正整數(shù)列前n 個奇數(shù)的和。3、 如果等差數(shù)列na的前 4 項的和是 2，前 9 項的和是 -6，求其前n 項和的公式。4、根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列na的有關(guān)未知數(shù)：（1）151,5,66nads求 n 及na； （2）12,15,10,nndnaas求及5、等差數(shù)列na、nb的前 n 項和為 sn、tn.若),(2741

41、7nnnntsnn求77ba；6、已知一個等差數(shù)列的前10 項的和是 310，前 20 項的和是1220，求前 n 項和。7、設(shè)ns是等差數(shù)列na的前 n 項和，已知23a，611a，則7s等于 ( ) a13 b35 c 49 d 63 8、等差數(shù)列na的前 n 項和為ns，且3s=6，1a=4， 則公差 d 等于（）a1 b 53c.- 2 d 3 18 / 38 9、等差數(shù)列na的前 n 項和為ns，已知2110mmmaaa，2138ms,則m（）a.38 b.20 c.10 d.9 10、若等差數(shù)列na的前 5 項和525s，且23a，則7a( ) a.12b.13c.14d.15 1

42、1、已知na是等差數(shù)列，124aa，7828aa，則該數(shù)列前10 項和10s等于（）a64 b100 c110 d 120 12、記等差數(shù)列na的前n項和為ns，若112a，420s，則6s（）a16 b24 c36 d48 13、等差數(shù)列na的前n項和為xs若則432,3, 1saa（）a12 b 10 c8 d 6 14、設(shè)等差數(shù)列na的前n項和為ns，若39s，636s，則789aaa（）a63 b45 c36 d27 15、已知兩個等差數(shù)列na和nb的前n項和分別為an和nb，且7453nnanbn，則使得nnab為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（）a2 b3 c4 d5 16、等差數(shù)列 an

43、中， a1=1,a3+a5=14，其前 n 項和 sn=100,則 n=（）a9 b10 c11 d12 17、設(shè)等差數(shù)列na的前n項和為ns，若4510,15ss，則4a的最大值為 _ 18、設(shè) sn=是等差數(shù)列 an的前 n 項和， a12=-8,s9=-9,則 s16= . 19、已知等差數(shù)列na的前n項和為ns，若1221s，則25811aaaa20、若數(shù)列na的前n項和210 (1 2 3)nsnn nl，則此數(shù)列的通項公式為； 數(shù) 列nna中數(shù)值最小的項是第項21、各項均不為零的等差數(shù)列na中，若2110(,2)nnnaaannn，則2009s等于（）a0 b2 c2009 d40

44、18 22、已知等差數(shù)列an的前 n 項和為 sn，若714s，則35aa的值為（）a2 b4 c7 d8 19 / 38 23、在等差數(shù)列na中，284aa,則 其前 9 項的和 s9等于（）a18 b 27 c 36 d 9 24、在等差數(shù)列na中，39741aaa，27963aaa，則數(shù)列na的前 9 項之和9s等于（）a.66b99c144d.29725、設(shè)等差數(shù)列na的前 n 項和為1413121184,20,8,aaaasssn則若（）a18 b17 c16 d15 26、已知等差數(shù)列na共有 100 項，前三項的和為7，最后三項和為3，那么前100 項和為 _ 27、等差數(shù)列na

45、前 m 項的和為30，前 2m 項和為 100，那么它的前3m 項和為 _ 28、設(shè)等差數(shù)列na的前n項和為ns，若972s,則249aaa= 11、設(shè)等差數(shù)列na的前n項和為ns，若535aa則95ss29、等差數(shù)列na的前n項和為ns，且53655,ss則4a30、設(shè)ns為數(shù)列na的前n項和，2nsknn，*nn，其中k是常數(shù)，求1a及na；31、設(shè)數(shù)列na的通項公式為(,0)napnq nnp. 數(shù)列nb定義如下：對于正整數(shù)m，mb是使得不等式nam成立的所有n 中的最小值 . （）若11,23pq，求3b；（）若2,1pq，求數(shù)列mb的前 2m 項和公式；（）是否存在p 和 q，使得3

46、2()mbmmn？如果存在，求p 和 q 的取值范圍；如果不存在，請說明理由 . 32、已知等差數(shù)列na中，, 0,166473aaaa求na前 n 項和ns. 33、已知 an是一個公差大于0 的等差數(shù)列，且滿足 a3a655, a2+a716. ()求數(shù)列 an的通項公式：2.4 等比數(shù)列概念： 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列 ，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比若等比數(shù)列na的首項是1a，公比是q，則通項公式 為11nnaa q20 / 38 通項公式的變形：n mnmaa q；11nnaa q；11nnaqa；nmnmaqa等比中項：在a與

47、b中間插入一個數(shù)g，使a，g，b成等比數(shù)列，則g稱為a與b的等比中項若2gab，則稱g為a與b的等比中項若na是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、*q） ，則mnpqaaaa；若na是等比數(shù)列，且2npq（n、p、*q） ，則2npqaaa【典型例題】1、在等比數(shù)列na中，（1）3,274qa，求7a；（2）8,1842aa，求qa ,1（3）6,475aa，求9a（4）6,152415aaaa，求3a2、求下列各組數(shù)的等比中項（1）53-7537與（2）)0,0(224224bababbaa與3、在等比數(shù)列中na中，11a，公比1q，若54321aaaaaam，則 m= 4、設(shè)na是由正數(shù)組

48、成的等比數(shù)列，且公比不為1，則18aa與45aa的大小關(guān)系為（）a1845aaaab1845aaaac1845aaaad與公比的值有關(guān)5、若不等于1 的三個正數(shù)a，b， c 成等比數(shù)列，則(2log)(1log)bcaa_。6、若數(shù)列是等比數(shù)列，下列命題正確的個數(shù)是（）2na，2na是等比數(shù)列l(wèi)gna成等差數(shù)列1na，na成等比數(shù)列nca，nak(0)k成等比數(shù)列。a 5 b4 c3 d2 【練習(xí)】1、在等比數(shù)列na中，64,283aa，求na。2、在等比數(shù)列na中，11a，公比1q，若54321aaaaaam，則 m=_ 21 / 38 3、已知na為等比數(shù)列，6, 3876321aaaaa

49、a，求131211aaa的值。4、在公比為整數(shù)的等比數(shù)列na中，且nnnaaa212，求公比q=_ 5、已知等比數(shù)列na的公比為21，且609931aaa，則100642aaaa_ 6、在等比數(shù)列na中，baaaaa2019109,，則10099aa_ 7、已知na是等比數(shù)列，且0na，243546225a aa aa a，那么35aa8、在等比數(shù)列na中，公比2q，且30303212?aaaa，那么?30963aaaa_ 9、三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為44，各數(shù)平方和為84，則這三個數(shù)為（）a2，4，8 b8，4，2 c 2，4，8，或 8，4，2 d1428 56,33310、設(shè)na是由正數(shù)

50、組成的等比數(shù)列，且公比不為1，則18aa與45aa的大小關(guān)系為（）a1845aaaab1845aaaac1845aaaad與公比的值有關(guān)11、已知等比數(shù)列na的公比為正數(shù)，且3a9a=225a，2a=1，則1a= a. 21b. 22c. 2d.2 12、設(shè)na是公差不為0 的等差數(shù)列，12a且136,a a a成等比數(shù)列，則na的前n項和ns=（）a2744nnb2533nnc2324nnd2nn13、已知na是等比數(shù)列，41252aa，則13221nnaaaaaa=（）a.16（n41）b.6（n21）c.332（n41）d.332（n21）14、在等比數(shù)列 an中， a28， a564，

51、 ，則公比q 為（）a2 b3 c4 d8 15、若互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且310abc，則aa4 b2 c 2 d 4 16、在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項a1=3 ，前三項和為21，則 a3+ a4+ a5=( ) a .33 b. 72 c. 84 d .189 22 / 38 17、若數(shù)列na是公比為4 的等比數(shù)列，且12a =，則數(shù)列2logna是（）a. 公差為 2 的等差數(shù)列b. 公差為lg 2的等差數(shù)列c. 公比為 2 的等比數(shù)列d. 公比為lg 2的等比數(shù)列18、已知等差數(shù)列na的公差0d，且931,aaa成等比數(shù)列，則1042931aaaaaa的值為1

52、9、等比數(shù)列na，9, 14321aaaa，則54aa20、等比數(shù)列na中，641211109?aaaa，則?138aa21、等比數(shù)列na中，362,0645342aaaaaaan，則53aa22、有三個正數(shù)成等比數(shù)列，其和為21，若第三個數(shù)減去9，則它們成等差數(shù)列，這三個數(shù)分別為_。2.5 等比數(shù)列的前n 項和等比數(shù)列na的前n項和的公式：11111111nnnna qsaqaa qqqq等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：若項數(shù)為*2n n，則sqs偶奇nnmnmssqsns，2nnss，32nnss成等比數(shù)列【典型例題】1、公差不為零的等差數(shù)列na的前n項和為ns.若4a是37aa與的等比中項 , 832s,則10s等于a. 18 b. 24 c. 60 d. 90 2、設(shè)等比數(shù)列na的公比12q，前n項和為ns，則44sa3、設(shè)等比數(shù)列 na的前 n 項和為ns。若3614, 1ssa，則4a= 4、設(shè)有數(shù)列na，156a，若以123,na aaal為系數(shù)的二次方程2110nnaxa x都有根,，且滿足331。（1）求證：數(shù)列12na是等比數(shù)列。（2）求數(shù)列na的通項na以及前 n 項和ns。23 / 38 5、設(shè)na是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，ns是其前 n 項和，證明0.50.520.51logloglog2nnnsss。6、在等比數(shù)列中，13a