2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點難點精講精析 1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點難點精講精析：1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件一、命題的關(guān)系與真假的判斷1、相關(guān)鏈接（1）對于命題真假的判定，關(guān)鍵是分清命題的條件與結(jié)論，只有將條件與結(jié)論分清，再結(jié)合所涉及的知識才能正確地判斷命題的真假。（2）四種命題的關(guān)系的應(yīng)用掌握原命題和逆否命題，否命題和逆命題的等價性，當(dāng)一個命題直接判斷它的真假不易進(jìn)行時，可以轉(zhuǎn)而判斷其逆否命題的真假。注：當(dāng)一個命題有大前提而寫出其他三種命題時，必須保留大前提，大前提不動。2、例題解析例1】(1)(2012·蘇州模擬)命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是_.(2)(2012·岳陽模擬)命

2、題“若ab，則a-1b-1”的否命題是_(3)給出命題：若函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象不過第四象限.在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是_.【解題指導(dǎo)】(1)、(2)先分清原命題的條件和結(jié)論，再根據(jù)四種命題的概念，寫出逆命題、否命題.(3)在判斷四種命題的真假時，可根據(jù)原命題與其逆否命題、原命題的逆命題與否命題的等價性來判斷.【解析】(1)逆命題是將原命題的結(jié)論與條件互換位置，故該命題的逆命題是“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”.(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題，故該命題的否命題是“若ab，則a-1b-1”.(3)原命題與逆否

3、命題等價，而原命題為真，所以逆否命題為真命題；原命題的逆命題為：若y=f(x)的圖象不過第四象限，則函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù)，此命題為假命題，又因為逆命題與否命題同真同假，所以否命題為假命題，故真命題的個數(shù)是1.答案：(1)若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)(2)若ab，則a-1b-1(3)1例2以下列命題為原命題，分別寫出它們的逆命題，否命題和逆否命題內(nèi)接于圓的四邊形的對角互補；已知a、b、c、d是實數(shù)，若ab，cd，則acbd；分析：首先應(yīng)當(dāng)把原命題改寫成“若p則q”形式，再設(shè)法構(gòu)造其余的三種形式命題解析：對：原命題：“若四邊形內(nèi)接于圓，則它的對角互補”；逆命題：“若四邊形對角互補，則它必內(nèi)

4、接于某圓”；否命題：“若四邊形不內(nèi)接于圓，則它的對角不互補”；2 / 9逆否命題：“若四邊形的對角不互補，則它不內(nèi)接于圓”對：原命題：“已知a、b、c、d是實數(shù)，若ab，cd，則acbd”，其中“已知a、b、c、d是實數(shù)”是大前提，“ab，cd”是條件，“acbd”是結(jié)論所以：逆命題：“已知a、b、c、d是實數(shù)，若acbd，則ab，cd”；否命題：“已知a、b、c、d是實數(shù)，若ab或cd，則acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab或cd”只需要至少有一個不等即可)；逆否命題：“已知a、b、c、d是實數(shù)，若acbd則ab或cd”逆否命題還可以寫成：“已知a、b、c、d是實數(shù)，若acbd則ab

5、，cd兩個等式至少有一個不成立”說明：要注意大前題的處理試一試：寫出命題“當(dāng)c0時，若ab，則acbc”的逆命題，否命題，逆否命題，并分別判定其真假二、充分條件與必要條件的判定1、相關(guān)鏈接（1）利用定義判斷若，則p是q的充分條件；注：“p是q的充分條件”是指有p就有q，但無p也可能有q如“兩個三角形全等”是“兩個三角形面積相等”的一個充分(不必要)條件，但無“兩個三角形全等”也可推出“兩個三角形面積相等”，如“兩個三角形同底等高”就又是“兩個三角形面積相等”的另一個充分(不必要)條件若，則p是q的必要條件；注： “q是p的必要條件”是指有q才能有p，但有q未必有p如，一個偶數(shù)未必能被6整除(q

6、：為偶數(shù)，p：能被6整除)，即無必然無，可見對于來說必不可少。若且，p是q的充要條件；p是q的必要而不充分條件（2）利用集合判斷記條件p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，則：若若，則p是q的充分不必要條件；若若，則p是q的必要不充分條件；若A=B，則p是q的充要條件；若，且，則是的既不充分也不必要條件。注：p與q之間的關(guān)系的方向性，充分條件與必要條件方向正好相反，不要混淆。2、例題解析例1(1)設(shè)集合A=xR|x-2>0, B=xR|x<0,C=xR|x(x-2)>0,則“xAB”是“xC”的( )(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要

7、條件(2012·駐馬店模擬)已知條件p:(1-x)(x+1)0，條件有意義，則的( )(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【解題指導(dǎo)】(1)求出集合C及AB，根據(jù)兩集合的關(guān)系判斷.(2)化簡條件p、q，求出與后根據(jù)集合間的關(guān)系判斷.解析：(1)選C.集合C的解集是x|x<0或x>2,AB=x|x<0或x>2,AB=C，故選C.(2)選B.由(1-x)(x+1)0,得-1x1，即條件p:-1x1，則或x1.由得-1x1.即條件q:-1x1，則或x1. 但是的必要不充分條件，故選B.例2已知p：x1，x2是方程x25x6

8、0的兩根，q：x1x25，則p是q的 A充分但不必要條件B必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件分析：利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)換解析：x1，x2是方程x25x60的兩根，x1，x2的值分別為1，6，x1x2165因此選A說明：判斷命題為假命題可以通過舉反例三、充要條件的證明例1（12分）求證方程ax2+2x+1=0有且只有一個負(fù)數(shù)根的充要條件為a0或a=1.分析：（1）討論a 的不同取值情況；（2）利用根的判別式求a的取值范圍. 解答：充分性：當(dāng)a=0時，方程變?yōu)?x+1=0,其根為x=,方程只有一個負(fù)根；當(dāng)a=1時，方程為x2+2x+1=0.其根為x=-1,方程只有一個負(fù)根。當(dāng)a<0時

9、，=4（1-a）>0,方程有兩個不相等的根，且<0,方程有一正一負(fù)根。必要性：若方程ax2+2x+1=0有且僅有一個負(fù)根。當(dāng)a=0時，適合條件。當(dāng)a0時，方程ax2+2x+1=0有實根，則=4（1-a）0，a1,當(dāng)a=1時，方程有一個負(fù)根x=-1.若方程有且僅有一負(fù)根，則 a<0綜上方程ax2+2x+1=0有且僅有一負(fù)根的充要條件為a0或a=1注：（1）條件已知證明結(jié)論成立是充分性，結(jié)論已知證明條件成立是必要性；（2）證明分為兩個環(huán)節(jié)，一是充分性；二是必要性。證明時，不要認(rèn)為它是推理過程的“雙向書寫”，而應(yīng)該進(jìn)行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件下的兩次證明；（3）證明條件時易出現(xiàn)必要性與充分性混淆的情形，這就要分清哪是條件，哪是結(jié)論。例給出下列各組條件：(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：xy0，q：|x|y|xy|；(3)p：m0，q：方程x2xm0有實根；(4)p：|x1