拉普拉斯變換公式總結(jié)

1、拉普拉斯變換公式總結(jié)(9556EUATWKMWUBWUNN-INNULDDQTY-Kn拉普拉斯變換、連續(xù)時間系統(tǒng)的S域分析基本要求通過本章的學習，學生應深刻理解拉普拉斯變換的定義、收斂域的概念： 熟練掌握拉普拉斯變換的性質(zhì)、卷積定理的意義及它們的運用。能根據(jù)時域電 路模型畫出s域等效電路模型，并求其沖激響應、零輸入響應、零狀態(tài)響應和 全響應。能根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布情況分析、判斷系統(tǒng)的時域與頻域特 性。理解全通網(wǎng)絡、最小相移網(wǎng)絡的概念以及拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān) 系。會判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。知識要點1. 拉普拉斯變換的定義及定義域(1) 定義單邊拉普拉斯變換：正變換 af(t) = F(s

2、) = Qf(t)e-s，dt逆變換JFG) = /(,) =丄廣用尸”也2龍丿0C匸雙邊拉普拉斯變換：正變換 F)= y)e逆變換fit)=丄廣嚴f(2) 定義域若時，Inn= 0則fQ)ea，在b的全部范圍內(nèi)收斂，積分匸7(尢存在，即/的拉普拉斯變換存在。b>久就是/的單邊拉普拉斯變換的收斂域。久與函數(shù)/的性質(zhì)有關(guān)。2. 拉普拉斯變換的性質(zhì)(1) 線性性若 們=好(S), <(01 =毆)，口心為常數(shù)時,則細加)+k2/2 (r)=阻恥)+k2F2 (5)(2) 原函數(shù)微分若(01 = F(5)則飢竽=sF(s) -f(0_)H-ldtn-工嚴-嚴(0-)r=0式中f (0_)

3、是階導數(shù)啤単在0_時刻的取值。 at(3) 原函數(shù)積分若門/(。=尸，則幾)如=少+廠珥°-)式中/(0_)= f° f(t)dt J-xSSJ-x(4) 延時性若af (01 = F(5),則</(r-t0)u(t-tQ) =嚴F(S)(5) s域平移若af (01 = F(5),則少嚴 = F(5 + a)(6) 尺度變換1 r若/(01 = F(5),則af(at) = -F(-) (a>0)a a 初值定理 lHii/(r) = /(0+) = limsF /To*.v->x 終值定理 11111 /(/) = 111115(5)/->+X.

4、V->X(9)卷積定理若 G71(f) = EG), G厶(。=的(s),則有 <LA(r)*£(f) = G)/y$)GZ (0/2 (01 = J-耳 G) * f2 ($)=J-廣"F&p 応(5 -p)dp2兀j2兀嚴產(chǎn)3.拉普拉斯逆變換(1)部分分式展開法首先應用 海維賽展開定理將FG)展開成部分分式，然后將各部分分式逐項進行逆變換，最后疊加起來即得到原函數(shù)f。(2)留數(shù)法留數(shù)法是將拉普拉斯逆變換的積分運算轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在圍線中所有 極點的留數(shù)運算，即LTF ($)=圭匚:F Wds =占如尸($片加=刀F(W的留數(shù)丿J若P,為一階級點，則在

5、極點S = Pi處的留數(shù)t; = (5- /z)F(s)eJ/應X；仁/=!若門為k階級點，則尸芒加(，-必燈門匚4.系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡函數(shù))H (s)(1)定義系統(tǒng)零狀態(tài)響應的拉普拉斯變換與激勵的拉普拉斯變換之比稱為系統(tǒng)函數(shù).即H=宴衛(wèi)沖激響應/?(f)與系統(tǒng)函數(shù)HG)構(gòu)成變換對，即H® = 4加)系統(tǒng) E(s)的頻率響應特性H(jw) =片(訓嚴式中，片(川)|是幅頻響應特性,0(旳是相頻響應特性。(2)零極點分布圖丹 _ N(s) 一 Kd)($7)(s- j)式中 日一麗(-"()(-幾)式中H(s)的零點；兒P一,化為H(s)的極點。在s平面上，用CT表示零點，“X”

6、表示極點。將H(s)的全部零點和極點畫在s平面上得到的圖稱為系統(tǒng) 的零極點分布圖。對于實系統(tǒng)函數(shù)而言，其零極點要么位于實軸上，要么關(guān)于 實軸成鏡像對稱分布。(3)全通函數(shù) 如果一個系統(tǒng)函數(shù)的極點位于左半平面零點位于右半平面，而且零點與極點 對于丿力軸互為鏡像，那么這種系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)，此系統(tǒng)則為全通系統(tǒng)或 全通網(wǎng)絡。全通網(wǎng)絡函數(shù)的幅頻特性是常數(shù)。(4) 最小相移函數(shù)如果系統(tǒng)函數(shù)的全部極點和零點均位于s平面的左半平面或丿W軸，則稱這種函 數(shù)為最小相移函數(shù)。具有這種網(wǎng)絡函數(shù)的系統(tǒng)為最小相移網(wǎng)絡。(5) 系統(tǒng)函數(shù)H(s)的求解方法由沖激響應"(f)求得，即H(s) = JM) o對系統(tǒng)

7、的微分方程進行零狀態(tài)條件下的拉普拉斯變換，然后由H(s)= 學E(s)獲得。根據(jù)s域電路模型，求得零狀態(tài)響應的像函數(shù)與激勵的像函數(shù)之比，即為H。5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性若系統(tǒng)對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應也是有界的，則此系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。(1) 穩(wěn)定系統(tǒng)的時域判決條件匚(充要條件)若系統(tǒng)是因果的，貝IJ式可改寫為(2) 對于因果系統(tǒng)，其穩(wěn)定性的s域判決條件 若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點落于s左半平面，則該系統(tǒng)穩(wěn)定； 若系統(tǒng)函數(shù)H(s)有極點落于s右半平面，或在虛軸上具有二階以上的極點， 則該系統(tǒng)不穩(wěn)定； 若系統(tǒng)函數(shù)H(s)沒有極點落于s右半平面但在虛軸上有一階極點，則該系 統(tǒng)臨界穩(wěn)定。內(nèi)容摘要J拉氏變換

8、的定義和收拉普拉嫻J斂域f部分分式展開二.單邊拉氏變換逆變換的兔法三拉氏變換的基本性質(zhì)四用拉普拉斯變換法分析電路系統(tǒng)函數(shù)的定義五系統(tǒng)函彳由零極點的決定系統(tǒng)的時域特性 數(shù)上T7 I- X.L. / I r- F" /亠丄厶 T舛亠JUI例題例題1:求拉氏變換例題2 :求拉氏變換，拉氏變換的性質(zhì)例題3 :拉氏變換的微分性質(zhì)例題4 :系統(tǒng)函數(shù)，求解系統(tǒng)的響應例題5 :用拉氏變換法分析電路例41求下列函數(shù)的拉氏變換/(/)=加(r-l)分析拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換,為了區(qū)別起見，本書以尸(s)表示/(f)單邊拉氏變 換，以耳(S)表示/(/)雙邊拉氏變換。若文字中未作說明，則指單邊拉氏變

9、換。單 邊拉氏變換只研究f no的時間函數(shù)，因此，它和傅里葉變換之間有一些差異，例如 在時移定理，微分定理和初值定理等方面。本例只討論時移定理。請注意本例各 函數(shù)間的差異和時移定理的正確應用。解答F(s)=1)=厶(f l)w(f l)+u(f-1)=(丄+ 丄 e5I s- s)例42求三角脈沖函數(shù)f(/)如圖4-2 (a)所示的象函數(shù)0<t<l1/(0l<t<2 其他分析和傅里葉變換類似，求拉氏變換的時，往往要借助基本信號的拉氏變換和拉氏 變換的性質(zhì)，這比按拉氏變換的定義式積分簡單，為比較起見，本例用多種方 法求解。解答方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時移

10、性質(zhì)求解方法三：利用微分性質(zhì)求解 方法四：利用卷積性質(zhì)求解7方法一：按定義式求解1一于方法二：利用線性疊加和時移性質(zhì)求解由于f (r)=2(t l)u(f 1)+ (t- 2)u(t 2)恥)詁£/(°)=F($)嚴于是F(滬Z(l_2嚴+嚴)方法三：利用微分性質(zhì)求解分析信號的波形僅由直線組成，信號導數(shù)的象函數(shù)容易求得，或者信號經(jīng)過幾次微分后出現(xiàn)原信號，這時利用微分性質(zhì)比較簡單。將/(f)微分兩次，所得波形如圖4-2 (b)所示。顯然屮繆卜巫（'）亠（l）+次一 2）卜（1 - ）根據(jù)微分性質(zhì)屮沖卜碎）-用）-金）由圖4-2 （b）可以看出/（0-）=0,廣（0）=

11、0于是s2F（s）=（l e-'）2 弘）詁（1-叭方法四：利用卷積性質(zhì)求解/（/）可看作是圖4-2（c）所示的矩形脈沖久（/）自身的卷積于是，根據(jù)卷積性質(zhì)1F（$）=F«訊（QO而邛N（嚴）所以 環(huán)）=電（1-圖42S例43應用微分性質(zhì)求圖4-3 （a）審（從広（'），埔豪函數(shù)下面說明應用微分性質(zhì)應注意 的問%隔細砂）從）,從）是的競R +誠）的波形。A從）=必）3 321圖43 （a）°1/1，（0= 3刃）（臚。）趙）（i）4 £。）=死）r Tr T圖4-4 （b）說明（1）對于單邊拉氏變換、由于7；"）= （少（）,故二者的象函

12、數(shù)相同，即琲）=幾（訂=半雖.（0=（4但人«）興厶（0因而仍）"徹）對于Z（“ 由 T7,（o_）=o,故心）=曲（$）-0 = 3對丁乞（“由于人（0_）=2,故Lf）=sF（s）-2 = l（3）g紺階導數(shù)相同，fifz（o_）=2, /3（0_）=0,因此/2（0=a（x）dx + /2（O）=a（x）dx + 2人 «）= J：工（Qd x + /3（0_）= £<5 （x）d x因而璘）JfM）+2（0）JsssF3（s）=iF5（0+i/3（O.）=isss這是應用微分性質(zhì)應特別注意的問題。由圖4-3 （b）知L /；（r）=5F（5

13、）-0 = 3則 （5）=-L/：（r）=5F（5）-2 = l則 F2（）=|/3（0= £ 3（x）dx則&（$）=耳5（/）+1 人（0一）=丄例44某線性時不變系統(tǒng)在非零狀條件不變的情況下，三種不同的激勵信號作用于系統(tǒng)。當輸入（。二雄耐，系統(tǒng)的輸出為總）=滅）+曠噸）；當輸入心（0+（必肘，系統(tǒng)的輸出滾（0=3誠）；當輸入"（J為圖中所示的矩形脈沖時，求此時系統(tǒng)爵打出八從）1-萬 123 t(0=兒("+ 兒(0 =兒(0+ 火)川)=兒(f )+W卜兒(f )+曠叫)=兒(f )+g(f )兒0）-兒（0=（0+曠叫）=馳）-2嚴階躍響應則兒(0

14、=兒 0)+gC-i)-g«-3)=2w(z)+ *)u(t 一 1)_ e«3)u(t - 3)例4-5電路如圖45 (a)所示(1) 求系統(tǒng)的沖激響應。(2) 求系統(tǒng)的起始狀余(°)%(°4系統(tǒng)的零輸入響應等于沖激響應。求系統(tǒng)的起始狀鑫系統(tǒng)對"(詢激勵時的気全響應仍為u(t解答(1)求系統(tǒng)的沖激響應。系統(tǒng)沖激響應與系統(tǒng)函數(shù)H(s)是一對拉氏變換的關(guān)系。對H($)求逆變換可求得/心)，這種方法比在時域求解微分方程簡便。sC利用s域模型圖45 (b)可直寫出圖45 (a)電路的系統(tǒng)函數(shù)H(s卜|vc(O,)-Q 譏)s2 + 2s + 1s &

15、quot;T 4 一5 (b)113沖激響應/?（r）= £*/（s）=re_/ u（r）（2）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)為求得系統(tǒng)的零輸入響應，應寫出系統(tǒng)的微分方程或給出帶有初值的S域模型。下面我們用$域模型求解。圖4.5（a）電路的s域模型如圖4-5（b）o由圖4-5（b）可以寫出八恥）-典（0）+匚（0）1 1匕（滬一一2 + s + -s二 E（$）| « + 2九（0）+匚（0）s2 + 2s + 1s2 + 2s + 1零狀態(tài)響應零輸入響應上式中第二項只和系統(tǒng)起始狀態(tài)有關(guān)，因此該項是零輸入響應的拉氏變換。依 題意的要求，該項應和H（$）相等，從而得（$ + 2c（0J+L

16、（0）=1故系統(tǒng)的起始狀態(tài)%（oj=o 匚（0）=1說明通過本例可以看出，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)可以使系統(tǒng)的完全響應滿足某些特定要求。本質(zhì)上，系統(tǒng)的零輸入響應完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)決定，對一個穩(wěn)定系統(tǒng)而言，零輸入響應是暫態(tài)響應中的一部分，因此，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)只能改變系統(tǒng)的暫態(tài)響應，使暫態(tài)響應滿足某些特定要求，例如，本例要求暫態(tài)響 應為零。(3) 求系統(tǒng)的起始狀態(tài)當激勵信號如)="(/)根據(jù)式(1)求得完全響應 匕心,+(mj' 's2 + 2s + ls2 + 2s + 1_ 1 一$一20 + 2九(0)+ h(0 Js +2s + l52 + 2s + 1由該式容易

17、看出，要僥全響血礙于激勵信號有(s + 2>c(0.)+/l(0.)-s-2 = 0從而求得系統(tǒng)的起始狀態(tài)Vc(0-)=l的=0附錄A拉普拉斯變換及反變換1.表AT拉氏變換的基本性質(zhì)1線性定 理齊次性購W=aF(s)疊加性厶人土厶(/) = F】G)±F2(s)2微分定 理般形式忤me吆® "ST"厶嚴?, $”F(s) - 2： s“7 fZ(0)dtA-i嚴“ 一加初始條件為0時L> = s"F(s)3積分定 理般形式Jss可血劇=弘）+嘰+U"映九S'S's厶口 7W/）" =牛+£

18、; 召“門z*SX-l $初始條件為0時子（曲）"=乎4延遲定理（或稱f域平移定 理）Lf(t-TW-T) = eTsF(s)5衰減定理（或稱s域平移定 理）Lf(t)e-a, = F(S + a)6終值定理lim f(t) = lim sF(s)/->x5 ->07初值定理lun f(t) = lull sF (s)/->05->0C8卷積定理耳龐（1）朋）必=或川）人（1）如=：仟（s）& （s）2.表A-2常用函數(shù)的拉氏變換和z變換表序號拉氏變換E（s）時間函數(shù)e（t）Z變換E(z)11d(t)121出犯-M）Jt-0z1-嚴Z-l31s1(f)

19、zZ-l41tTzrG-i)'51r尸火+ 1）s322Q - 1)J61tn嚴川d nl 宀-L71zs + aeZ eaT81£1/TzeaT(s + d)te9al-ea,（1-宀乙s(s + a)（乙-1）（乙-嚴）10b-a（5 + a）（s + b）ea, - eb,zzr-aTr-bTZ-ez-e11osinersiii6?Ts + a>Z1 一 2zcos 曲 + 112sCOSOJtZ（Z-cosqT）S2 + CDZ2 -2zcoseT + 113（5 + «）2 + corf/e sm cotzeaT sm coTV - 2zeaT coscoT + e2aT14s + a（s + a）2 +a2嚴cos曲Z2 - zeal cos （STZ2 - 2ze'aT cos oT + e2aT151s-（1/7、） Inc嚴z二一a3.用查表法進行拉氏反變換用查表法