高等數(shù)學(xué)對弧長的曲線積分教案

1、1 時(shí)間-月- 日星期- 課題11.1 對弧長的曲線積分教學(xué)目的使學(xué)生對弧長的曲線積分的定義與計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)對弧長的曲線積分的計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)對弧長的曲線積分的計(jì)算。課型專業(yè)基礎(chǔ)課教法選擇講 授教學(xué)過程教法運(yùn) 用及 板 書要點(diǎn)我們已經(jīng)把定積分的概念推廣到了重積分，被積函數(shù)是二元函數(shù)或三元函數(shù)，積分區(qū)域是平面區(qū)域或空間區(qū)域，積分概念還可以推廣到曲線積分和曲面積分。本章將介紹曲線積分、曲面積分的概念、應(yīng)用、計(jì)算方法，以及它們和重積分之間的聯(lián)系。一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)金屬曲線的質(zhì)量設(shè)有一有限長的金屬曲線 c，其上不均勻地分布著質(zhì)量，因此金屬曲線 c 的線密度是變量。設(shè)其在 xoy 面內(nèi)的一段

2、曲線弧l它的端點(diǎn)是a,b,在l 上任一點(diǎn)),(yx處，它的線密度為),(yx，現(xiàn)在要計(jì)算這金屬曲線c 的質(zhì)量 m. 把曲線分成n 小段s1s2sn( si也表示弧長 ) 任取 (ii)si得第 i 小段質(zhì)量的近似值iiis),(， 于是整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為iiinism),(1令maxs1s2sn0則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為iiinism),(lim10這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會(huì)遇到定義設(shè)l為xoy面內(nèi)的一條光滑曲線弧函數(shù)f(xy) 在l上有界在l上任意插入一點(diǎn)列a1a2an1把l分在n個(gè)小段 . 設(shè)第i個(gè)小段的長度為si又 (ii) 為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)作乘積f(ii)si (

3、i1 22 n )并作和iiinisf),(1如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值0這和式的極限總存在則稱此極限為函數(shù)( , )fx y在曲線弧l上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作dsyxfl),(即iiinilsfdsyxf),(lim),(10其中( ,)f x y叫做被積函數(shù)l叫做積分弧段曲線積分的 存在性當(dāng)( , )f x y在光滑曲線弧l上連續(xù)時(shí)對弧長的曲線積分dsyxfl),(是存在的以后我們總假定( ,)f x y在l上是連續(xù)的根據(jù)對弧長的曲線積分的定義曲線 c 的質(zhì)量就是曲線積分dsyxl),(的值其中(xy) 為線密度對弧長的曲線積分的推廣到積分弧段為空間曲線的情況iiiinis

4、fdszyxf),(lim),(10如果l( 或) 是分段光滑的則規(guī)定函數(shù)在l( 或)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和例如設(shè)l可分成兩段光滑曲線弧l1及l(fā)2則規(guī)定dsyxfdsyxfdsyxfllll),(),(),(2121閉曲線積分如果l是閉曲線那么函數(shù)( , )f x y在閉曲線l上對弧長的曲線積分記作dsyxfl),(對弧長的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì) 1設(shè)c1、c2為常數(shù)則dsyxgcdsyxfcdsyxgcyxfclll),(),(),(),(2121性質(zhì) 2若積分弧段l可分成兩段光滑曲線弧l1和l2則dsyxfdsyxfdsyxflll),(),(),(21性質(zhì) 3 設(shè)在

5、l上f(xy)g(x y)則lldsyxgdsyxf),(),(特別地有l(wèi)ldsyxfdsyxf| ),(|),(|3 二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法若曲線l的參數(shù)方程為x(t)y (t) (t)則質(zhì)量元素為dtttttfdsyxf)()()(),(),(22曲線的質(zhì)量為dtttttf)()()(),(22即dtttttfdsyxfl)()()(),(),(22定理設(shè)( , )f x y在曲線弧l上有定義且連續(xù)l的參數(shù)方程為tytxt其中tt ,在 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且0,2/2/tt則曲線積分dsyxfl),(存在且dtttttfdsyxfl)()()(),(),(22（1）應(yīng)注意的問題定積分

6、的下限一定要小于上限討論 (1)若曲線l的方程為xybxa則dxxxxfdsyxfbal)(1)(,),(2/（2）(2) 若曲線l的方程為yxdyc則dyyyyfdsyxfdcl1)(),(),(2（3） (3) 若曲的方程為tztytx,，t，則dtttttttfdszyxf)()()()(),(),(),(222（ 4）例 8.1計(jì)算lxyds，其中l(wèi)為橢圓tbytaxsincos在第一象限的部分。解： 由公式：22 ( ),( )( )( )lxydsftttt dt222220sin 2cos2.222ababbattdt222222cos211().4223(utababbaab

7、aabbuduab4 例 8.2 計(jì)算lyds其中l(wèi)是拋物線y x2上點(diǎn)2, 1與點(diǎn)2,2之間的一段弧解： 由2yx得12yx，由公式（ 2）可知33222211112112(53 )23lydsxdxxdxx例 8.3 計(jì)算()lxy ds，l為連接三點(diǎn)0,0o，0, 1a，1 , 1b的直線段。解：()()()()()()()22ll oal abl boxy dsxy dsxy dsxy ds例 8.4 計(jì)算曲線積分dszyx2221其中為螺旋線cosxat，sinybt，zbt的第一圈（上相應(yīng)于t 從 0 到達(dá) 2的一段弧）解：22222( )( )( )dsxtytztab dt，由（ 4）式有22222222222012arctandtabbdsabxyzab taba練習(xí)：計(jì)算半徑為r、中心角為2的圓弧l對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量i( 設(shè)線密度為1)解 取坐標(biāo)系如圖所示則ldsyi2曲線l的參數(shù)方程為x rcosy rsin ( )于是ldsyi2drrr2222)cos