求極限的常用方法

1、上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)x 一、時(shí)，型（方法：用最大項(xiàng)除分子分母）型（方法：用最大項(xiàng)除分子分母）35(23) (2) lim(21)xxxx例3512(2) (1) =lim1(2)xxxx1 =8解：分子、分母除以x5原式22411lim.sinxxxxxx 例2解：分子、分母除以-x，得原式2211141limsin1xxxxxx 1 =2上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)二、利用無(wú)窮小的性質(zhì)二、利用無(wú)窮小的性質(zhì)例例3 3lnsin)1ln(sinlimxxx 2111lim2sin ln(1)cos ln()220.xxxx注：有界量注：有界量無(wú)窮小無(wú)窮小= =無(wú)窮小無(wú)窮小解：原式nnnnn 3!sinl

2、im例例4 4解：原式3limsin !nnnnn=0=0上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)三、通過(guò)代數(shù)變形求極限三、通過(guò)代數(shù)變形求極限2220lim11xxxx例例5 5解：原式22220( 11)lim2xxxxx1注：如果出現(xiàn)根式差，先通過(guò)注：如果出現(xiàn)根式差，先通過(guò)有理化化簡(jiǎn)，再求極限有理化化簡(jiǎn)，再求極限例例6 6sin0limsinxxxeexxsinsin0(1)limsinxxxxeexxsin0(sin )lim1sinxxexxxx解：原式注：如果出現(xiàn)指數(shù)差，先提出注：如果出現(xiàn)指數(shù)差，先提出一個(gè)因子，再尋求求極限的一個(gè)因子，再尋求求極限的方法方法上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)四、利用兩個(gè)重要極限求極限

3、四、利用兩個(gè)重要極限求極限例例7 72sin0lim (12 )xxx解：原式142sin0lim(12 )xxxxx4e注：兩個(gè)重要極限注：兩個(gè)重要極限0sin(1)lim1xxx1(2)lim(1)xxex30tansinlimsinxxxx例例8 830sinsincoslimsinxxxxx原式20222sin2lim4sincos22xxxx1.2201 coslimsincosxxxx上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)五、利用無(wú)窮小量等價(jià)代換求極限五、利用無(wú)窮小量等價(jià)代換求極限22011limsin 2xxx例例9 9解：原式2201()2lim(2 )xxx18 30tansinlimsinx

4、xxx例例101030tan (1 cos )limxxxx230112lim2xxxx2031lim1 cosxxx例例1111解：原式202ln3lim2ln312xxx注：常用等價(jià)無(wú)窮小量注：常用等價(jià)無(wú)窮小量sin xxtan xxln(1) xx21 cos2xx1lnxaxa11nxxn上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)六、六、利用羅比達(dá)法則求極限利用羅比達(dá)法則求極限例例121220tanlim.tanxxxxx30tanlimxxxx220sec1lim3xxx220tan1lim33xxx解：原式例例131311lim().ln1xxxx注：注： 型不定式極限可直型不定式極限可直接使用羅比達(dá)法

5、則接使用羅比達(dá)法則00，解：原式11lnlim(1)lnxxxxxx 11 ln1lim1lnxxxxx1lnlimln1xxxxxx 1ln11limln1 12xxx 注：注： 型不定式極限可型不定式極限可通過(guò)通分變?yōu)橥ㄟ^(guò)通分變?yōu)?之一之一00，上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)例例14140limlnxxx10lnlimxxx0解：原式120limxxx0lim()xx注注(1)(1) 型不定式極限可通型不定式極限可通過(guò)把一項(xiàng)的倒數(shù)放到分母上變過(guò)把一項(xiàng)的倒數(shù)放到分母上變?yōu)闉?之一之一000，0(2) lim1.xxx10limxxxx(1)ln0limxxxxeln0lim (1)lnxxxexe02

6、 limlnxxxe例例1515解：原式ln(1)ln0limxxexxe20limlnxxxe102lnlimxxxe210lnlimxxxe01e六、六、利用羅比達(dá)法則求極限利用羅比達(dá)法則求極限上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)六、六、利用羅比達(dá)法則求極限利用羅比達(dá)法則求極限1ln0lim(cot ).xxx01limln(cot )lnxxx而2011cotsinlim1xxxx0lim-1cossinxxxx1.e故， 原式x01limlncotlnxxe例例1616解：原式10lim()xxxxe例例1717解：原式1ln()0limxx exxe01limln()xxx exe01lim2xxxex eee上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)六、六、利用羅比達(dá)法則求極限利用羅比達(dá)法則求極限1230lim() .3xxxxxeee例例1818解：原式23x01limln()3xxxeeexe而2301limln()3xxxxeeex230ln() ln3limxxxxeeex2323023lim2xxxxxxxeeeeee注：注： 型不定式極限可直型不定式極限可直接使用羅比達(dá)法則接使用羅比達(dá)法則00，上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)七、七、利用利用Ta