林建偉大學(xué)物理振動(dòng)

1、第四章第四章 振動(dòng)與波動(dòng)振動(dòng)與波動(dòng)4.1 4.1 振振 動(dòng)動(dòng) (vibration)4.1.1 4.1.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述4.1.2 4.1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)與旋轉(zhuǎn)矢量簡(jiǎn)諧振動(dòng)與旋轉(zhuǎn)矢量4.1.4 * 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)4.1.3 4.1.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)( (動(dòng)力學(xué)部分動(dòng)力學(xué)部分) )4.1.6 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成4.1.5 受迫振動(dòng)與共振受迫振動(dòng)與共振4.1.8 垂直方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成垂直方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成4.1.7. 同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成4.1.9 諧振分析諧振分析火山火山xxf0matltx4.14.1 振振 動(dòng)

2、動(dòng) (vibration)振動(dòng)的概念振動(dòng)的概念機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng) 電磁振動(dòng)電磁振動(dòng) 廣義振動(dòng)：任一物理量廣義振動(dòng)：任一物理量(如位移、電如位移、電 流等流等) 振動(dòng)分類振動(dòng)分類3 3、受迫振動(dòng)外界作用力下的振動(dòng)、受迫振動(dòng)外界作用力下的振動(dòng)1 1、自由振動(dòng)沒(méi)有能量的輸入與輸出、自由振動(dòng)沒(méi)有能量的輸入與輸出2 2、阻尼振動(dòng)振幅減少的振動(dòng)（介質(zhì)阻尼和輻射阻尼）、阻尼振動(dòng)振幅減少的振動(dòng)（介質(zhì)阻尼和輻射阻尼）在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。 4 4、參變振動(dòng)參數(shù)變化的振動(dòng)、參變振動(dòng)參數(shù)變化的振動(dòng)5 5、隨機(jī)振動(dòng)用概率統(tǒng)計(jì)的方法研究、隨機(jī)振動(dòng)用概率統(tǒng)計(jì)的方法研究4.1.1 4.1.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)

3、動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述一一. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義 表達(dá)式表達(dá)式 x(t)=acos( t+ ) 特點(diǎn)特點(diǎn) (1)等幅振動(dòng)等幅振動(dòng) (2)周期振動(dòng)周期振動(dòng) x(t)=x(t+t )二二. 描述描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量的特征量 1. 振幅振幅 a: 物體離開(kāi)平衡物體離開(kāi)平衡 位置的最大距離位置的最大距離2. 周期周期t 和圓頻率和圓頻率 t 2 ， = 1/t (hz) , = 2 3. 相位相位(1) 、 =( t + + )是是 t 時(shí)刻的相位時(shí)刻的相位 (2) 、 是是t =0時(shí)刻的相位時(shí)刻的相位 初相初相本章主要研究自由振動(dòng)，本章主要研究自由振動(dòng)，,而自由振動(dòng)中最基本的振動(dòng)是

4、而自由振動(dòng)中最基本的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它是其它一切振動(dòng)的基礎(chǔ)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它是其它一切振動(dòng)的基礎(chǔ)。說(shuō)明：相位是確定物體振動(dòng)狀態(tài)的物理量，不同說(shuō)明：相位是確定物體振動(dòng)狀態(tài)的物理量，不同的相反映不同的態(tài)的相反映不同的態(tài).。0,01vax avx ,0,220,3vax avx , 0,234 sinav cos)cos(ataxa00000avv0,25vax旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度mx0p旋轉(zhuǎn)矢量與參考方向旋轉(zhuǎn)矢量與參考方向x 的夾角的夾角旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的方向旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的方向旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的角速度振動(dòng)位相振動(dòng)位相振動(dòng)圓頻率振動(dòng)圓頻率振幅振幅 a逆時(shí)針向逆時(shí)針向(t)+x m 點(diǎn)

5、在點(diǎn)在x 軸上投影軸上投影p點(diǎn)點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：的運(yùn)動(dòng)規(guī)律： 4.1.2 4.1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)與旋轉(zhuǎn)矢量簡(jiǎn)諧振動(dòng)與旋轉(zhuǎn)矢量一、一、旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量)cos( taxatax)cos(adtdxv xmpav為為 在在x方向的分量方向的分量vmpxampxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限1v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限1v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限1v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限1v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限2v0mpxa注意：

6、旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限2v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限2v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限2v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限3v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限3v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限3v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限3v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限4v0mpxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限4v0m

7、pxa注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第 速度速度象限象限4 0稱兩振動(dòng)稱兩振動(dòng)反相反相= (2k+1) , ( k =0,1,2,),若位相差若位相差稱兩振動(dòng)稱兩振動(dòng)同步同步= 2k , ( k =0,1,2,),若位相差若位相差振動(dòng)振動(dòng) 1 滯后滯后振動(dòng)振動(dòng) 2a1a20a2a10a110 xa22二二. 相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)領(lǐng)先、落后以領(lǐng)先、落后以0, x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)，則，則 x2比比x1較早達(dá)到正最大。較早達(dá)到正最大。 三三. .簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度、加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度、加速度 ox aa1.1.速度速度)2cos(

8、ta)cos()(tat)sin( tatddxtv2t 速度也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)速度也是簡(jiǎn)諧振動(dòng) 比比x領(lǐng)先領(lǐng)先 /2ottx、 、ax 2a 0 0 0a 0 0 0減速減速加速加速減速減速加速加速 aa-a- a- 2a a2. 加速度加速度)cos(222 tatdxda)cos()(aatata 也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng) v 的周相超前的周相超前 x位相位相/2， a 與與 x 的周相相反。的周相相反。速度曲線是速度曲線是x(t)曲線的斜率曲線的斜率加速度曲線是加速度曲線是v(t)曲線的斜率曲線的斜率例例. 兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相

9、等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在在 x1= a/2 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在在 x 2= -a/2 處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位差。處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位差。)(cos11tax)(cos21taa31t0)(sin1t0)(sin11tav31t解：解：a-aoa/2/2- -a/2/2322t)cos(22taa0)(sin22tav322t)()(21tt)32(3a-aoa/2/2- -a/2/20sintfm0xkx由牛頓定律：由牛頓定律：kx = md xdt22m=k令令2=d xdt22kmx+0km=，4.1.3 4.1.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)

10、簡(jiǎn)諧振動(dòng)( (動(dòng)力學(xué)部分動(dòng)力學(xué)部分) )一一. . 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程1、動(dòng)力學(xué)、動(dòng)力學(xué)方程方程（彈簧振子的圓頻率）（彈簧振子的圓頻率） 當(dāng)當(dāng) t = 0 時(shí)時(shí)x0000a=xvv)2(tg2+=0 xacos0v=asinx=acos)(+t()+tv=asin2、初始條件、初始條件得得：d xdt22=+2x0振動(dòng)動(dòng)力振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程學(xué)方程二二. .簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量(以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例)1.1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量特點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量特點(diǎn)(1) 動(dòng)能動(dòng)能221 mek )(sin2122 tka0,21min2max kkekae 2411

11、kadtetetttkk (2) 勢(shì)能勢(shì)能221kxep )(cos2122 tka情況同動(dòng)能。情況同動(dòng)能。pppeee,minmax (3) 機(jī)械能機(jī)械能221kaeeepk 簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒2. 由起始能量求振幅由起始能量求振幅xtteepek(1/2)ka2okpee 221kae kekea022 三三. .簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法1.1.由分析受力出發(fā)由分析受力出發(fā) (由牛頓定律列方程由牛頓定律列方程) 2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā) (將將能量能量守恒式對(duì)守恒式對(duì)t求導(dǎo)求導(dǎo)) 例：例：k=?(a)(b)k1單獨(dú)存在單獨(dú)存在11/kfx

12、 k2單獨(dú)存在單獨(dú)存在22/kfx k1、k2同時(shí)存在同時(shí)存在)/ 1/ 1 (2121kkfxxx)/ 1/ 1/(1/21kkxfk111/kfx 222/kfx xxx21kxxkkfff)(212121kkkk1(a)k2fk2k1(b)k=?f(c)k1、的關(guān)系的關(guān)系?k2ll21k1k2結(jié)論：結(jié)論：串聯(lián)：串聯(lián)：21/1/1/1kkk并聯(lián)：并聯(lián)：21kkk設(shè)給彈簧施力設(shè)給彈簧施力f11xkf 1111llxk11lk22xkf 2222llxk22lk材料應(yīng)變lx2211lklkll21k1k2(c) 例例 一彈簧振子一彈簧振子 k = 8n/m, m= 2kg, x0=3m,v0=

13、8m/s。求：求：，a， 及振動(dòng)方程及振動(dòng)方程 v00=tgx8=2343若取若取則有則有（不合題意）（不合題意）02=126.87=0153.13,02 =126.87200= acosxx =05(2t)cos53.3=5cos()2t0.296 =31=21=t1+=13=2=56a2xxaa21.00tt = 0時(shí)時(shí)000 x=a2vt =1時(shí)時(shí)d110 x= 0v=dxt 、 以及振動(dòng)方程。以及振動(dòng)方程。求：求： 例例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。xa3x = a cos ( 56t3)32axat =1t = 0本題本題的另一種求法：的另一種求法：32)

14、(12tt65)(12tt例：例：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為)43cos(06. 0tx（si）(1)、當(dāng)、當(dāng) x=？系統(tǒng)勢(shì)能為總能量的一半？系統(tǒng)勢(shì)能為總能量的一半？(2)、系統(tǒng)由平衡位置到此位置所需的最短時(shí)間？、系統(tǒng)由平衡位置到此位置所需的最短時(shí)間？解：解： (1)、221kae總22212121kakxmax0424. 022(2)、st62tt12)4(412tt)(12tt 4/stt75. 0)4/(12例：例：一只鐘擺（單擺），在一只鐘擺（單擺），在 g=9.8m/s2處走時(shí)準(zhǔn)確，移到處走時(shí)準(zhǔn)確，移到另一地點(diǎn)，每天快另一地點(diǎn)，每天快10s，問(wèn)該地的重力加速度為多大？，問(wèn)該地的重力

15、加速度為多大？glt/200/2glt00ggttgglt2/321200/221gggl00/2tgtg0000/2tgtgggg)360024/(8 . 91028 . 9)(8023. 92ms解：解：方法一、牛頓定律法方法一、牛頓定律法動(dòng)動(dòng)+轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)正正方方向向mmgl 例例 、角振動(dòng)角振動(dòng) 單擺單擺glt2sinmgftdtdvm22dtdmlsin022lgdtdlg)cos(maxt動(dòng)動(dòng)+轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)正正方方向向mmgl方法二、能量法方法二、能量法ep=0取如圖位置重力勢(shì)能為取如圖位置重力勢(shì)能為0pkeeecos212mglmvdtdmgldtdvmvdtdesindtdmgldtddtdm

16、ldtde222dtdlv0022lgdtd例例 一落地座鐘的鐘擺是由長(zhǎng)為一落地座鐘的鐘擺是由長(zhǎng)為 l 的輕桿與半徑為的輕桿與半徑為 r 的的勻質(zhì)圓盤(pán)組成，如圖所示，如擺動(dòng)的周期為勻質(zhì)圓盤(pán)組成，如圖所示，如擺動(dòng)的周期為1s，則，則 r 與與 l 間間 的的 關(guān)系如何關(guān)系如何?rlmmgrlsin()+=jrm22+=12mrl ()+sin2dmj=dt2rmgrml22()+=12mrl ()+2ddt2mgrl ()+rgrl22()+=02rl ()+2ddt22解：解：rlmg+rgrl22()+=02rl ()+2ddt22=rgrl22()+2rl ()+2=rgrl22()+2r

17、l ()+2r2=0gl+62l242lr28gr+可得可得 r 與與 l 的關(guān)系式：的關(guān)系式：=2t由：由：=1+2=02ddt2比較上兩式得到：比較上兩式得到：b0 x平衡位置平衡位置自然長(zhǎng)度自然長(zhǎng)度取靜平衡位取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)置為坐標(biāo)原點(diǎn) 例例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。方程。b自然長(zhǎng)度自然長(zhǎng)度靜平衡時(shí)靜平衡時(shí)mgfkb - mg = 0方法一

18、：牛頓第二定律方法方法一：牛頓第二定律方法自然自然長(zhǎng)度長(zhǎng)度b平衡平衡位置位置x任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：=kmgb=gx = b cos (t + )b00當(dāng)當(dāng)t0 xb,=:v0得得a=b,=可見(jiàn)小球作諧振動(dòng)?？梢?jiàn)小球作諧振動(dòng)。mg - kb = 0f = mg - k ( b + x ) = - kxmgf0x方法二：能量法方法二：能量法自然自然長(zhǎng)度長(zhǎng)度b平衡平衡位置位置0 xxe =0p考慮任意位置考慮任意位置pkeeepemv 221mgxbxkmv22)(2121取平衡位置重力勢(shì)能為取平衡位置重力勢(shì)能為0dtdxmgdtdxbxkdtdvmvdt

19、de)(0dtdxkxdtdvmv022kxdtxdmkxdtdvm可見(jiàn)小球作諧振動(dòng)。可見(jiàn)小球作諧振動(dòng)。 例例 水面上浮有一方形木塊，在靜止時(shí)水面上浮有一方形木塊，在靜止時(shí)水面以上高度為水面以上高度為a,水面以下高度為水面以下高度為b。水密度。水密度不計(jì)水的阻力?，F(xiàn)用外力不計(jì)水的阻力?，F(xiàn)用外力木快密度為木快密度為為為將木塊壓入水中，使木快上表面與水面平齊。將木塊壓入水中，使木快上表面與水面平齊。 ab求證：木塊將作諧振動(dòng)，并寫(xiě)出諧振動(dòng)方程求證：木塊將作諧振動(dòng)，并寫(xiě)出諧振動(dòng)方程。平衡時(shí)：平衡時(shí)：任意位置木塊受到的任意位置木塊受到的合外力合外力為：為：合外力和位移成正比，方向和位移相反，木塊合外力

20、和位移成正比，方向和位移相反，木塊作諧振動(dòng)。作諧振動(dòng)。ac.b0 xxs y任任意意位位置置平平衡衡位位置置bca.s0 xy0)(gbsgsbagsxbgsbaf)()(gxs ac.b0 xxs y（由牛頓定律）（由牛頓定律）任任意意位位置置平平衡衡位位置置bca.s0 xyt =000vx=a= 0a = a=022)(dtxdsbagxs0)(22xbagdtxd)(bagtbagax)(cos例例 ：一物體放在水平平板上，此板沿水平方向作諧振：一物體放在水平平板上，此板沿水平方向作諧振動(dòng)，動(dòng)， 2hz,物體與板面間的摩擦系數(shù)物體與板面間的摩擦系數(shù) 0.50，問(wèn)：，問(wèn)：（1）、要使物體

21、在板上不滑動(dòng)，振幅的最大值是多少？）、要使物體在板上不滑動(dòng)，振幅的最大值是多少？（2）、若使該板作豎直方向的諧振動(dòng)，）、若使該板作豎直方向的諧振動(dòng)，a5cm,使使物體與板保持接觸的最大頻率是多少？物體與板保持接觸的最大頻率是多少？xfa解：（解：（1）、）、ammamgf2maxmax mga031.02 mxanmgox(2)、據(jù)分析可知物體應(yīng)該在、據(jù)分析可知物體應(yīng)該在平衡位置上方才能分離（當(dāng)平衡位置上方才能分離（當(dāng)在下方時(shí)，在下方時(shí)，nmg=ma0,不不可能分離）可能分離）此時(shí)，此時(shí)， mg-n=ma n= mg-ma = m(g-a)欲使物體不分離，需當(dāng)欲使物體不分離，需當(dāng)a=amax時(shí)

22、，時(shí)，n 0，即當(dāng)，即當(dāng) amax g時(shí)，物體時(shí)，物體m不分離。反之，不分離。反之，則分離。則分離。gaa2max hzag2 . 221max 若已知若已知 ，問(wèn)物體在何處分離？，問(wèn)物體在何處分離？gx 2 例例. 質(zhì)量為質(zhì)量為m的比重計(jì)，放在密度為的比重計(jì)，放在密度為 的液體中。已的液體中。已知比重計(jì)圓管的直徑為知比重計(jì)圓管的直徑為d。試證明，比重計(jì)推動(dòng)后，。試證明，比重計(jì)推動(dòng)后，在豎直方向的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。并計(jì)算周期。在豎直方向的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。并計(jì)算周期。解：解：取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)平衡時(shí)：平衡時(shí)：0 fmg浮力：浮力： vgf其中其中v 為比重計(jì)的排水體積為比重計(jì)

23、的排水體積0mgf2222dtxdmgxdvmgxmgddtxd42222222dtxdmxdgvgmg0 xxmgd2gmdt42一一.阻尼振動(dòng)方程阻尼振動(dòng)方程1. 系統(tǒng)受力系統(tǒng)受力 彈性力彈性力 -kx2. 振動(dòng)方程振動(dòng)方程阻尼力阻尼力tddxf tddxkxtdxdm 22 f -kxx0m4.1.4 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)*其中其中mmk2,0解得解得：022022xtddxtdxd1)cos(2020teaxt)cos(202taxtx方程的解為：方程的解為：0=220t =222tx00t x=a ecos()t+ta0x其中其中3是剛好是使物是剛好是使物體做非周期性的運(yùn)動(dòng)，體做非周期性

24、的運(yùn)動(dòng)，這種情況叫做臨界阻這種情況叫做臨界阻尼。處于這種狀態(tài)物尼。處于這種狀態(tài)物體從運(yùn)動(dòng)到靜止所需體從運(yùn)動(dòng)到靜止所需的時(shí)間是最短的。在的時(shí)間是最短的。在靈敏電流計(jì)等精密儀靈敏電流計(jì)等精密儀表中，為了使人們能表中，為了使人們能較快地進(jìn)行讀數(shù)測(cè)量，較快地進(jìn)行讀數(shù)測(cè)量，常使電流計(jì)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)常使電流計(jì)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)下處于臨界阻尼狀態(tài)下工作。工作。t02tttteeax202202132121034.1.5 受迫振動(dòng)與共振受迫振動(dòng)與共振一一. 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 在外來(lái)策動(dòng)力作用下的振動(dòng)在外來(lái)策動(dòng)力作用下的振動(dòng)1. 系統(tǒng)受力系統(tǒng)受力 彈性力彈性力 阻尼力阻尼力 tddx 強(qiáng)迫力的圓頻率強(qiáng)迫力的圓頻

25、率 0f力幅力幅 周期性干擾力（強(qiáng)迫力）周期性干擾力（強(qiáng)迫力）0f=fcos t-kx2、動(dòng)力學(xué)方程：、動(dòng)力學(xué)方程：令令hf0m=m=2,0km=2,得得0=d xdtdtdx222+ 2xhcos t方程的解為：方程的解為：dxdtf0kx+cost=d xdt22m+t 2000t2ax = a ecos()+cos(t+ )隨時(shí)間很快衰減為零隨時(shí)間很快衰減為零穩(wěn)定時(shí)的振動(dòng)方程穩(wěn)定時(shí)的振動(dòng)方程 tt 20002ax = a ecos()+cos(t+)在達(dá)到穩(wěn)定態(tài)時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)頻率等于強(qiáng)迫力的頻率。在達(dá)到穩(wěn)定態(tài)時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)頻率等于強(qiáng)迫力的頻率。3. 穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 x=acos( t+ )4.

26、 特點(diǎn)特點(diǎn)穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化的規(guī)律變化(1)頻率頻率: 等于策動(dòng)力的頻率等于策動(dòng)力的頻率 2/12222204)( ha (2)振幅振幅:求求a 的極值得：的極值得：a0較小較大00a =h022()222+40/dda(3)初相初相:2202tg 二二. .共振共振在一定條件下在一定條件下, 振幅出現(xiàn)振幅出現(xiàn) 極大值極大值, 振動(dòng)劇烈的現(xiàn)象。振動(dòng)劇烈的現(xiàn)象。1. 位移共振位移共振(1)共振頻率共振頻率 :2202 r(2)共振振幅共振振幅 :2202 har若若 則則 r 0 ar h/(2 ) 稱尖銳共振稱尖銳共振 2.速度共振速度共振一定條件下

27、一定條件下, 速度幅速度幅 a極大的現(xiàn)象。極大的現(xiàn)象。 r= 0 m r=h/2 v r=0速度共振時(shí)，速度與速度共振時(shí)，速度與策動(dòng)力同相，一周期策動(dòng)力同相，一周期內(nèi)策動(dòng)力總作正功，內(nèi)策動(dòng)力總作正功，此時(shí)向系統(tǒng)輸入的此時(shí)向系統(tǒng)輸入的能能量最大。量最大。 1940年，年，tacoma narrows大橋在通車大橋在通車4個(gè)月零個(gè)月零6天后因大風(fēng)引起扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，又因振動(dòng)頻率接近于大天后因大風(fēng)引起扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，又因振動(dòng)頻率接近于大橋的共振頻率而突然坍塌。橋的共振頻率而突然坍塌。 物體同時(shí)參與兩分振動(dòng)：物體同時(shí)參與兩分振動(dòng)：cosx222=+a()tcosx111=+a()t合振動(dòng)的合振動(dòng)的振幅為：振幅為：

28、xa11122=aaaaa+22212cos(1) 一、同方向同頻率振動(dòng)的合成一、同方向同頻率振動(dòng)的合成4.1.6 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成a xx12=+x iaia21 iaa)(21 ia )cos(ta a22 1a2aa 2 1 x22112211coscossinsintg aaaa22sin a2211coscos aa)cos(212212221 aaaaa11sin a x =a cos( t+ )cos(212212221 aaaaa22112211coscossinsintg aaaa 3.兩種特殊情況兩種特殊情況 (1)若兩分振動(dòng)同相若兩分振動(dòng)同相 2 1= 2k

29、(k=0,1,2,) (2)若兩分振動(dòng)反相若兩分振動(dòng)反相 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)如如 a1=a2 , 則則 a=0則則a=a1+a2 , 兩分振動(dòng)相互兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)加強(qiáng)則則a=|a1-a2|, 兩分振動(dòng)相互兩分振動(dòng)相互減弱減弱12aa1aa2例：設(shè)有例：設(shè)有n n個(gè)矢量個(gè)矢量naaaa, 3, 2, 1模的大小都為模的大小都為a a，相鄰兩個(gè)矢量依，相鄰兩個(gè)矢量依次構(gòu)成夾角次構(gòu)成夾角 ，求合矢量的大小和，求合矢量的大小和方向，并作討論。方向，并作討論。解：解：1a2a a3a r rnaaaaa3212sin2nra 3a2a1aan n 二二. 同方向同方向n個(gè)同頻率

30、的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成naaaaa, 3, 2, 12sin2nraa2sin2sinnaa)(21)(21n) 1(21n2sin2r1a2a3a a rn 二二. 同方向同方向n個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成11cosatax 22)cos(atax nnantax )1(cos2sin2 nra 2sin2 ra 2sin2sin naa 21n)cos( taxatax)cos(c )1(n n1a 2a3ana2 a cmtx)410cos(0 .21 例：三個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)例：三個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)cmtx)210cos(0 .22 cm

31、tx)4310cos(0 .23 試用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動(dòng)的方程試用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動(dòng)的方程1a2a3a4 解：三個(gè)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示解：三個(gè)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示cma83.422422 cmtx)210cos(83.4 a 2. 合振動(dòng)合振動(dòng)ttax)2cos()2cos(21212 合振動(dòng)不是合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)當(dāng)當(dāng) 2 1時(shí)時(shí) 2- 1 2+ 1其其中中tata)2cos(2)(12)2cos(cos12tt隨隨緩變緩變隨隨快變快變合 振 動(dòng) 可合 振 動(dòng) 可看 作 振 幅看 作 振 幅緩 變 的 簡(jiǎn)緩 變 的 簡(jiǎn)諧振動(dòng)諧振動(dòng)x = x1+ x2)cos()(ttax4.1.7

32、 同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1. 分振動(dòng)分振動(dòng) x1=acos 1 t x2=acos 2t xt1tx20.75s0.50s=1610.25s=218=2tx 3. 拍拍 合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象 tata)2cos(2)(12 例：第一音叉和第二音叉（例：第一音叉和第二音叉（f2=384hz)的標(biāo)準(zhǔn)音叉同時(shí)振的標(biāo)準(zhǔn)音叉同時(shí)振動(dòng)，它們每秒產(chǎn)生三個(gè)拍頻動(dòng)，它們每秒產(chǎn)生三個(gè)拍頻 。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)音叉的臂上涂了。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)音叉的臂上涂了一層石臘時(shí)，拍頻減少。試問(wèn)第一個(gè)音叉的頻率是多少？一層石臘時(shí)，拍頻減少。試問(wèn)第一個(gè)音叉的頻率是多少？,321 拍拍 ,mm

33、k211, ，拍拍hz38721拍拍 拍頻拍頻 : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)122 拍拍t121 拍拍拍拍t拍t212合振動(dòng)合振動(dòng)振幅為振幅為xya12a04.1.8 垂直方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成垂直方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.1.分振動(dòng)分振動(dòng)2. 合運(yùn)動(dòng)合運(yùn)動(dòng))cos(11tax)cos(22tay0) 1 (12xaay12)(sin)cos(21221221222212aaxyayax2221aaa)cos(11tax)cos(12tayyx1aa20rr 矢量旋轉(zhuǎn)的方向？矢量旋轉(zhuǎn)的方向？設(shè)：設(shè)：111)cos(atax01t0)2/cos(12tay0)(1tt111)(cos(attax0)2/)(cos(12ttayr 矢量作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，又稱右旋矢量作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，又稱右旋2/)2(121222212ayaxxy= 1+21222aa2yx1aa20rr 矢量旋轉(zhuǎn)的方向？矢量旋轉(zhuǎn)的方向？設(shè)：設(shè)：111)cos(atax01t0)2/cos(12tay0)(1tt111)(cos(attax0)2/)(cos(12ttayr 矢量作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，又稱左旋矢量作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，又稱左旋2/3) 2(12合振動(dòng)振幅為合振動(dòng)振幅為xya12a0 xy1a=2a12