高考數(shù)學(xué)湖北卷試題

1、201x年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理工類）一、選擇題：本大題共10 小題，每小題5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)21izi（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2已知全集為r，集合21|()1,|6802xaxbx xx，則 acrb=（）a|0 x xb|24xxc|024xxx或d|024xxx或3在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次，設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為（）a()()pqb()p

2、qc()()pqdpq4將函數(shù)3cossin ()yxx xr的圖象向左平移(0)m m個單位長度后， 所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是（）a12b6c3d565已知04，則雙曲線22221222222:1:1cossinsinsintanxyyxcc與的（）a實軸長相等b虛軸長相等c焦距相等d離心率相等6已知點( 1,1), (1,2),( 2, 1),(3,4)abcd，則向量abcd在方向上的投影為（）a3 22b3 152c3 22d3 1527一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度25( )73(1v tttt的單位： s, v 的單位： m/s）行駛至停止

3、，在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離（單位：m）是（）a 1+25ln5 b11825ln3c4+25ln5 d4+50ln2 8一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何組成，其體積分別記為1234,v v v v，上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有（）a1243vvvvb1324vvvvc2134vvvvd2314vvvv9如圖， 將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為 125 個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為x， 則x的均值()e x（）a126125b65c168125d7510已知a為常數(shù)，函數(shù)( )(ln

4、)f xxxax個兩個極值點1212,()x xxx（）a121()0,()2f xf xb121()0,()2f xf xc121()0,()2f xf xd121()0,()2f xf x二、填空題：本大題共6 小題，考生共需作答5 小題，每小題5 分，共 25 分請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分（一）必考題（11-14 題）11從某小區(qū)抽取100 戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50 至350 度之間，頻率分布直方圖如圖所示：（）直方圖中x的值為 _；（）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間100,250)內(nèi)的戶數(shù)為 _12 閱讀如圖所示的程序框圖，

5、運行相應(yīng)的程序， 輸出的結(jié)果i_13 設(shè), ,x y zr， 且 滿 足 ：2221,2314xyzxyz， 則xyz _14古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1，3，6，10， , ，第n個三角形數(shù)為2(1)11222n nnn記第n個 k邊形數(shù)為( , )(3)n n kk，以下列出了部分k 邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)211( ,3)22n nnn，正方形數(shù)2( ,4)n nn，五邊形數(shù)231( ,5)22n nnn，六邊形數(shù)2( ,6)2n nnn，,可以推測( , )n n k的表達式，由此計算(10,24)n_（二）選考題（請考生在第15、16 兩題中

6、任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2b 鉛筆涂黑如果全選，則按第15 題作答結(jié)果計分 ）15 （選修 4-1：幾何證明選講）如圖，圓 o 上一點 c 在直徑ab上的射影為d，點d在半徑 oc 上的射影為e若3abad ，則ceeo的值為 _16 （選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓 c 的參數(shù)方程為cos ,(sinxayb為參數(shù)，0ab） 在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點o 為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l 與圓 o 的極坐標(biāo)方程分別為2sin()(42m m為非零常數(shù)）與b若直線 l 經(jīng)過橢圓 c 的焦點，且

7、與圓o 相切，則橢圓 c 的離心率為 _三、解答題：本大題共6 小題，共75 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17 （本小題滿分12 分）在abc 中，角,a b c 對應(yīng)的邊分別是, ,a b c ，已知cos23cos()1abc（）求角a的大?。唬ǎ┤鬭bc 的面積5 3,5sb，求 sinsinbc 的值18 （本小題滿分12 分）已知等比數(shù)列na滿足：23123| 10,125.aaa a a（）求數(shù)列na的通項公式；（） 是否存在正整數(shù)m，使得121111maaa？若存在， 求m的最小值； 若不存在， 說明理由19 （本小題滿分12 分）如圖，ab是圓 o 的直徑，點c 是

8、圓 o 上異于,a b 的點，直線pc平面,abc e f 分別是,pa pc 的中點（） 記平面bef與平面 abc 的交線為 l ，試判斷直線l 與平面 pac 的位置關(guān)系，并加以證明；（）設(shè) （）中的直線 l 與圓 o 的另一個交點為d， 且點q滿足12dqcp 記直線pq與平面abc所成的角為，異面直線pq與ef所成的角為，二面角elc的大小為求證：sinsinsin20 （本小題滿分12 分）假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)x是服從正態(tài)分布2(800,50 )n的隨機變量記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900 的概率為0p（）求0p的值；（參考數(shù)據(jù)：若2(,),()0.6826,x

9、npx有(22 )0.9544,(33 )0.9974.)pxpx（）某客運公司用,a b 兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，,a b兩種車輛的載客量分別為36 人和 60 人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600 元/輛和 2400 元/輛公司擬組建一個不超過21 輛車的客運車隊，并要求b型車不多于a型車 7 輛若每天要以不小于0p的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應(yīng)配備a型車、b型車各多少輛？21 （本小題滿分13 分）如圖， 已知橢圓12cc與的中心在坐標(biāo)原點o，長軸均為 mn 且在x軸上， 短軸長分別為 2m ，2 ()

10、n mn，過原點且不與x軸重合的直線12,lc c與的四個交點按縱坐標(biāo)從大到小依次為,a b c d ，記mn，bdmabn和的面積分別為12ss和（）當(dāng)直線ly與軸重合時，若12ss，求的值；（）當(dāng)變化時，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l ，使得12ss？并說明理由22 （本小題滿分14 分）設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)（）求函數(shù)1( )(1)(1)1(1)rf xxrxx的最小值；（）證明：1111(1)(1)11rrrrrnnnnnrr；（ ） 設(shè)xr ， 記 x為 不 小 于 x的 最 小 整 數(shù) ， 例 如322,4,1.2令3333818283125,ss求的值（參考數(shù)據(jù)：444433

11、3380344.7,81350.5,124618.3,126631.7)201x年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理工類）試題參考答案一、選擇題1d 2c 3 a 4b 5d 6a 7c 8c 9b 10d 二、填空題11 （） 0.0044 （） 70 125 133 147141000 158 1663三、解答題17 （）由2cos23cos()1,2cos3cos20abcaa得，即(2cos1)(cos2)0aa，解得1coscos22aa或（舍去）因為 0a，所以3a（）由113sin5 3,20222sbcabcbcbc得又5,4bc知由余弦定理得2222cos2516

12、2021abcbca，故21a又由正弦定理得222035sinsinsinsinsin2147bcbcbcaaaaaa18 （）設(shè)等比數(shù)列na的公比為q，則由已知可得331211125,| 10,a qa qa q解得1155,31.3,aaqq或故1153,5 ( 1)3nnnnaa或（）若1533nna，則1131( )53nna，故1na是首項為35，公比為13的等比數(shù)列，從而1311( ) 1919531( ) 111031013mmmnna若1( 5) ( 1)nna，則1111( 1),5nnnaa故是首項為15，公比為1的等比數(shù)列，從而11,21(),150,2 ().mnnmk

13、knamk kn故111mnna綜上，對任何正整數(shù)m，總有111mnna故不存在正整數(shù)m，使得121111naaa成立19 （）直線l 平面 pac ，證明如下：連接ef，因為,e f 分別是,pa pc 的中點，所以ef ac ，又 ef平面 abc ，且 ac平面 abc ，所以ef平面 abc 而efbef平面，且平面bef平面 abcl ，所以ef l 因為 l平面 pac ，efpac平面，所以直線 l 平面 pac （） （綜合法）如圖1，連接bd，由（）可知交線l 即為直線bd，且 l ac 因為abo是的直徑，所以acbc ，于是 lbc 已知pcabc平面，而 l平面 abc

14、 ，所以 pcl 而pcbcc，所以 l平面 pbc 連接,be bf ，因為bfpbc平面，所以 lbc 故cbf 就是二面角elc 的平面角，即cbf由12dqcp，作dq,cp且12dqcp連接,pq df，因為fcp是的中點，2cppf ，所以dqpf，從而四邊形dqpf是平行四邊形，pqfd連接 cd ，因為 pc平面 abc ，所以cdfd是在平面 abc 內(nèi)的射影，故cdf 就是直線pq與平面 abc 所成的角，即cdf又bd平面 pbc ，有bdbf，知bdf，于是在,rt dcfrtfbdrtbcf 中，分別可得sin,sin,sin,cfbfcfdfdfbf從而sinsin

15、sin ,sinsincf bfcfbf dfdf即sin圖 1 圖 2 （） （向量法）如圖2，由12dqcp，作dq cp ，且12dqcp連接,pq ef be bf bd，由（）可知交線l 即為直線bd以點 c 為原點，向量,ca cb cp所在直線分別為, ,x y z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè),2 ,caa cbb cpc 則有1(0,0,0),( ,0,0),(0, ,0),(0,0,2 ),( , , ),(,0, ),(0,0, ).2ca abbpc q a b ceacfc于是1(,0,0),(, ),(0, )2feaqpab cbfb c，所以222| |c

16、os| |feqpafeqpabc，從而222222sin1cosbcabc，又取平面abc 的一個法向量為(0,0,1)m，可得222|sin,|m qpcmqpabc設(shè)平面bef的一個法向量為( , , )nx y z，所以由0,0.n fen bf可得10,(0, , ).20.axnc bbycz取于是22|cos| |m nbmnbc，從而222sin1cos.cbc故2222222222sinsinsinbcccabcbcabc，即sinsinsin20 （）由于隨機變量x服從正態(tài)分布2(800,50 )n，承故有800,50(700900)0.9544.px由正態(tài)分布的對稱性，可

17、得0( (900)(800)(800900)pp xp xpx11(700900)0.977222px（）設(shè)a型、b型車輛的數(shù)量分別為, x y輛，則相應(yīng)的營運成本為16002400 xy依題意，, x y還需滿足：021,7,(3660 )xyyxp xxyp由（）知，0(900)pp x，故0(36060 )p xxyp等價于3660900.xy于是問題等價于求滿足約束條件21,7,3660900,0, ,xyyxxyx yx yn且使目標(biāo)函數(shù)16002400zxy達到最小的,x y作可行域如圖所示，可行域的三個頂點坐標(biāo)分別為(5,12),(7,14),(15,6)pqr由圖可知，當(dāng)直線1

18、6002400zxy經(jīng)過可行域的點p時，直線16002400zxy在y軸上截距2400z最小，即z 取得最小值故應(yīng)配備a型車 5 輛，b型車 12 輛21依題意可設(shè)橢圓12cc和的方程分別為2222122222:1,:1xyxyccaman其中0,1mamnn（）解法1：如圖 1，若直線ly與軸重合，即直線l 的方程為0 x，則121111|,| |2222sbdoma bdsabona ab，所以12|.|sbdsab在12cc和的方程中分別令0 x，可得,abdym yn ym，于是|1|1bdabyybdmnabyymn若12,ss則11，化簡得2210.1由，可解得21故當(dāng)直線ly與軸

19、重合時，若12ss，則21解法 2：如圖 1，若直線ly與軸重合，則| |,| |bdobodmnaboaobmn；121111|,| |.2222sbdoma bdsabona ab所以12|1.|1sbdmnsabmn若12ss，則11，化簡得2210.1由，可解得21故當(dāng)直線ly與軸重合時，故12,ss則21圖 1 圖 2 （）解法1：如圖2，若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l ，使得12ss根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線:(0)lykx k，點(,0),( ,0)man a到直線 l 的距離分別為12,dd，則因為12222|0|0|,111akakakddkkk，所以12dd又112211|,|2

20、2sbd dsab d，所以12|sbdsab，即|bdab由對稱性可知| |abcd，所以| | (1) |,bcbdabab| |(1)|,adbdabab于是|1|1adbc將 l 的方程分別與12,c c的方程聯(lián)立，可求得222222,abamanxxa kma kn根據(jù)對稱性可知,cbdaxxxx，于是222222221|1|adbckxxadma knbcna kmkxx從而由和式可得2222221(1)a kna km令1(1)t，則由,1mnt可得，于是由可解得22 2222(1)(1)ntkat因為0k，所以20k于是式關(guān)于k 有解，當(dāng)且僅當(dāng)22222(1)0(1)ntat，

21、等價于2221(1)()0.1tt由，可解得11t，即111,1(1)由，解得12，所以當(dāng)112時，不存在與坐標(biāo)軸重合的直線l ，使得12ss；當(dāng)12時，存在與坐標(biāo)軸不重合的直線12lss使得解法2：如圖2，若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l ，使得12ss根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線:(0)lykx k，點(,0),( ,0)man a到直線 l 的距離分別為12,dd，則因為122222|0|0|,1111akakakakddkkkk，所以12dd又112211|,|22sbd dsab d，所以12|sbdsab因為221|1|bdabababkxxxxbdabxxkxx，所以11abxx由點(,),(,)aabba xkxb xkx分別在12,c c上，可得22222222221,1aabbxk xxk xaman，兩式相減可得22222222()0ababxxkxxam，依題意220,ababxxxx所以所以由上式解得22222222()()abbamxxkaxx因為20k，所以由2222222(