水平寬鉛垂高求三角形面積

1、作三角形鉛垂高是解決三角形面積問(wèn)題的一個(gè)好辦法 二次函數(shù)教學(xué)反思鉛垂咼如圖，過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間 的距離叫厶ABC的“水平寬” （a）,中間的這條直線在 ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫 ABC 的“鉛垂高” （h） 我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：SAABC=1 2 ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.最近教學(xué)二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)研究，我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問(wèn)題的一個(gè)好辦法。在課堂上我還風(fēng)趣地說(shuō)遇到“歪歪三角形中間砍一刀”，同學(xué)們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結(jié)如下：如圖1,過(guò)厶ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂

2、直的三條直線， 外側(cè)兩條直線之間的距離叫 ABC勺“水平寬”（a），中間的這條直線在 ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫厶ABC 的“鉛垂高（h） ”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S abc -ah，即三2角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.B鉛垂高C坐標(biāo)水平寬a圖1旋轉(zhuǎn)12yB13深圳）如圖，在直角0）結(jié)OAa將線段0x得到線段y，點(diǎn)A的0（1）求點(diǎn)BOB原點(diǎn) 0順時(shí)針x的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A O B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使厶BOCK周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在 x軸的下方

3、，那么 PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo)及 PAB的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng) 說(shuō)明理由.解：(1)B(1，3)(2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax( x+a)，代入點(diǎn) B( 1,護(hù))，得a魚(yú)，因此32-33(3)如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x二一1,當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)設(shè)直線AB為y=kx+b.所以kb 3,解得2k b 0.時(shí)， BOCK周長(zhǎng)最小.3 ，因此直線AB為y二x空，當(dāng)2、333，3X二一1時(shí)，y仝，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為(一1, 3/3 )3(4)如圖，過(guò)P作y軸的平行線交AB于D當(dāng)x=- 1時(shí)， PAB勺面積的最大值為罟，此時(shí)p右乎例2. (2014益陽(yáng))如圖2,拋

4、物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn) Q1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0), 交y軸于點(diǎn)B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限 內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA PB當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求 CAB勺鉛垂高CD 及Scab ； (3)是否存在一點(diǎn)P，使SapaB=9 S CA，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不8存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖-2k 1,b3 所以 y2 x 3 因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為（1 ,4）所以當(dāng)x =1時(shí)，yi = 4, y2= 2所以Ct>4-2=2s cab丄3 2 3（平方單位）2（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,A PAB勺鉛垂高為h,則h y1 y2 （ x2

5、 2x 3） （ x 3） x2 3x 由 Sapae=9 Skcab得-3 （ x2 3x） - 3化8 2 8簡(jiǎn)得：4x2 12x 9 0解得，x 3將x 3代入yi x2 2x 3中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為2 23 15（2,7）例3. （2015江津）如圖，拋物線yx2 bx c與x軸交于A（1,0）,B（- 3 ,0）兩點(diǎn)，（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在 該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) Q使得 QAC勺周長(zhǎng)最小？若存在，求出 Q點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否 存在一點(diǎn)卩，使厶PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn) P

6、的坐標(biāo)及厶PBC的面積 最大值.若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)將 A(1, 0), B(3, 0)代 yx2 bx c中得 1 煮°。二拋物線解析式為：yx2 2x 31對(duì)稱2x 3x1 3的解 存在。理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x二直線BC與 x 1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí) AQC周長(zhǎng)最小 v y C的坐標(biāo)為：（0,3）直線BC解析式為：y x 3 Q點(diǎn)坐標(biāo)即為- Q(-1, 2)(3)答:存在。理由如下:S四邊形BPCO有最大值， 則 S bpc 就最 大 ，P 點(diǎn)(X, X 2x 3)(3x0) s BPCs四邊形 BPCOs BOC s四邊形 BPCOS四邊形BP

7、CO= SRt BPES直角梯形PEOCbe PE 1OE(PE OC)2 21 21233 2927=-(x 3)( x 2x 3) -( x)( x 2x 3 3) = - (x -)2 2 2 22 8278當(dāng)x 3時(shí)，S四邊形BPCO最大值=927二Sbpc最大=97-2 28 282當(dāng) x 3時(shí)，x2 2x 3 15 點(diǎn) P坐標(biāo)為(3, )2424同學(xué)們可以做以下練習(xí):1.（ 2015浙江湖州）已知如圖，矩形OABC 的長(zhǎng) OA胡，寬 OC=1將 AOC沿 AC翻折得 APC（1） 填空：/ PCB= , P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）;（2）若P, A兩點(diǎn)在拋物線y二-x2+bx+c上，求3此拋

8、物線上；b, c的值，并說(shuō)明點(diǎn)C在（3）在（2）中的四邊形MCA啲最大值及此時(shí)明理由。2.（湖北省十線 y ax2 bx 3（ a軸交于點(diǎn)C. （1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱B( 3, 0)，與 y軸與x軸交于點(diǎn)M ,在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)/ P問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)巳使厶CM為等腰三角形？若存圖，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)I的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）如 點(diǎn)，連接 BE CE求四邊形BOC面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).圖圖3.（ 2015年恩施）如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y x2 bx c的圖象與X軸交于A B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐

9、標(biāo)為(3, 0),與y軸交于C (0,-3)點(diǎn), 點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(1) 求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.(2) 連結(jié)PO PC并把 POC沿 CO翻折，得到四邊形poPc,那么是否存 在點(diǎn)P,使四邊形poPc為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由.2 2 2舍去)二P點(diǎn)的坐標(biāo)為(210 ,3 )2 2(3) 過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q與OB交于點(diǎn)F,設(shè)P(X, X2 2x 3 ), 易得，直線BC的解析式為y X 3則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, x 3).2_ 3375=x228當(dāng)x 2時(shí),四邊形ABPC勺面積最大3 15的最大值為一此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為3,，四

10、邊形ABPC勺面積8 .2425. (2015綿陽(yáng))如圖，拋物線y二ax2 + bx + 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A (-4, 0)、B(2, 0)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D. E( 1, 2)為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G(1) 求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn) D的坐標(biāo);(2) 在直線EF上求一點(diǎn) 耳使厶CDH勺周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)；(3) 若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， EFK的面積最大？并求出最大面積.16a 4a 2b=1.4 0,所以拋物線的解析式為y4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(一1,(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M因?yàn)镋F垂

11、直平分BC即C關(guān)于直線2EG的對(duì)稱點(diǎn)為B,連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn) H,使DH+ CH最而 CD 12(9 4)2> 2小，即最小為 CDH勺周長(zhǎng)最小值為 CD + DR + CH :=53 13DH + CH = DH + HB = BD = bm2 dm 2 3 13 .2設(shè)直線BD的解析式為y二k1x + b ，則2k1ki所以直線BD的解析式為y二？x + 3 .2由于b10,9 解得k1壬,b1 = 3 . 2， 2BC = 2 5 , CE = BC/2 = .5 , Rtbi CEGp cob得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5 ,

12、 GO = 1.5 . G( 0, 1.5 ).同理可求得 直線EF的解析式為y = lx + 2 .2 2聯(lián)立直線BD與 EF的方程，解得使厶CDH勺周長(zhǎng)最小的點(diǎn)H(? , I5 ).48過(guò)K作x軸的垂線交EF于(3)如圖所示，設(shè)K (t ,It2 t 4), xFvt v xE. 2N.則 KN = yK yN =丄忙 t24 (丄 t + 3 )=丄 t22 2 2所以 S EFK = SA KFN + SA KNE =丄 KN (t + 322)+KN( 1 t ) = 2KN = t223t + 5 = (t + ?) 2 + 迢.24即當(dāng)t = 3時(shí)， EFK的面積最大，最大面積為

13、 2平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的求法29，此時(shí) K (-,4我們常常會(huì)遇到在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的問(wèn)題.解題時(shí)我們要注意其中的解題方法和解題技巧.1.有一邊在坐標(biāo)軸上:例1:如圖1,平面直角坐標(biāo)系中， ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(一3, 0), (0, 牛p.山卜II I I I I b * 申 沖 i I I I I1 I I I>r * fi i 分析：根據(jù)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以看出， ABC的邊BI- T 八3),( 0,- 1),求厶ABC勺面積.呻由圖形可得BC = 4，點(diǎn)A到BC邊的距離就是A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，"也就是了_十十一1111A點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值3，然后根

14、據(jù)三角形的面積公式求解.2.有一邊與坐標(biāo)軸平行:例2:如圖2,三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (4, 1), B (4, 5), C(-1 , 2)，求 ABC的面積.分析：由A( 4, 1), B( 4 , 5)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,與y軸平行，因而AB的長(zhǎng)度易求作AB邊上的高CD ,CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得三角形 ABC的面積.？?？?？?？?？?？?3.三邊均不與坐標(biāo)軸平行:例3：巳知平面內(nèi)三點(diǎn)的坐標(biāo)如圖所示，求AMC的面積.$廠”亍分析：由于三邊均不平行于坐標(biāo)軸，所以我們無(wú)法直接匚棗冷求邊長(zhǎng),也無(wú)法求高，因此得另想辦法.4.-I -IrhvaiIFkI*WPl|VIj,Ft匕*三傀

15、63;|tr r p it tbp - - j/n t b -!u ' - er * e - 8 +二1 ! T 黑 * * 1 穴a w i 丁 * i-»f & M * 1-2, p a-a ah* ewr ail r n m a * v * a r t * wr r Ji :三角形面積公式的過(guò)厶ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別作與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩 直線之間的距離叫 ABC的 “水平寬” (a),中間的這條直線在 ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫厶ABC的 “鉛垂高” (h).我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：ab(=1 ah2即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半例4:已知：直線11： y= - 2X+6與x軸交于點(diǎn)A ,直線12： y=x+3與y軸交于點(diǎn)B ,直線11、12交于點(diǎn)C. (I )建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出示意圖并求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；(II)利用閱讀材料提供的方法求 ABC的面積.5.鞏固練習(xí):(1)已知：如圖，直線y kx b與反比例函數(shù)y( x V 0)的圖象相交于點(diǎn)A、 x點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C ,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2,4),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為一4.(I)試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式;常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4),(H)求AOC的面積.(2)如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)y m ( x 0 , m是