泰勒級數(shù)與冪級數(shù)

1、第四節(jié) 泰勒級數(shù)與幕級數(shù)教學(xué)目的：理解幕級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握幕級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；了解幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分)會求一些幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和；了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件、掌握ex,sinx,cosx , ln(1 x)和(1 x)的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成幕級數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：幕級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；ex,sin x,cos x , ln(1 x)和(1 a)的麥克勞林展開式。教學(xué)難點(diǎn)：幕級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。教學(xué)時(shí)數(shù)：4教學(xué)內(nèi)容：一、函數(shù)項(xiàng)級

2、數(shù)的概念1 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)Un(x)(n 1,2,3L )都在D上有定義，則稱表達(dá)式Un(x) Ui(x) U2(X)Ln 1為定義在D上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，Un(X)稱為通項(xiàng)，Sn(x)Uk(x)稱為部分和函數(shù).k 12 .收斂域Xo D，若數(shù)項(xiàng)級數(shù)Un(Xo)收斂,n 1定義：設(shè)un(x)是定義在D上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù),n 1則稱Xo是Un(X)的一個(gè)收斂點(diǎn).所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為級數(shù)的收斂域.n 1S(x)，使得3 .和函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(x)的收斂域?yàn)镮，則任給X I，存在唯一的實(shí)數(shù)n 1S(x)un(x)成立.定義域?yàn)镮的函數(shù)S(x)稱為級數(shù)un(x)的和函數(shù).n

3、 1n 1評注：求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂域時(shí)，主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判別法.二、幕級數(shù)1.幕級數(shù)的定義an(x x0)n的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為x0處的定義：設(shè)an (n 0,1,2,L)是一實(shí)數(shù)列，則稱形如n 0幕級數(shù).X0 0時(shí)的幕級數(shù)為anXn n 02 .阿貝爾定理定理：對幕級數(shù)an(x x)n有如下的結(jié)論：n 0如果該幕級數(shù)在點(diǎn)X,收斂，則對滿足x x0 x, X)的一切的x對應(yīng)的級數(shù)an(x x0)n都絕對收斂；n 0如果該幕級數(shù)在點(diǎn)X2發(fā)散，則對滿足x 怡 x2 x0的一切的x對應(yīng)的級數(shù)an(x x0)n都發(fā)散.n 0例1：若幕級數(shù)an(x 2)n在x 1處收斂，問此級數(shù)在 x 4

4、處是否收斂，若收斂，是n 0絕對收斂還是條件收斂解：由阿貝爾定理知，幕級數(shù)an(x 2)n在x1處收斂，則對一切適合不等式n 0x 212 3 (即1 x 5 )的x該級數(shù)都絕對收斂.故所給級數(shù)在x 4處收斂且絕對收斂.3幕級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間如果幕級數(shù)an(x x)n不是僅在x 滄處收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則必定n 0存在一個(gè)正數(shù)R，它具有下述性質(zhì)：當(dāng)x xR時(shí),an(xn 0x0)n絕對收斂；當(dāng)x xR時(shí),an(xn 0x0)n發(fā)散.如果幕級數(shù)an(xX°)n僅在x x。處收斂，定義 R 0 ；如果幕級數(shù)an(x X0)n 在)內(nèi)收斂，則定義R則稱上述R為幕級數(shù)an(x

5、x0)n的收斂半徑稱開區(qū)間n 0(XoR, XoR)為幕級數(shù)an(x Xo)n的收斂區(qū)間.n 04幕級數(shù)收斂半徑的求法求冪級數(shù)an(xn ox0)n的收斂半徑R法一：求極限(xX。)limnan 1(x Xo)n 1an(x Xo)n令(xX。)Xo則收斂半徑為R法二：若an滿足an o ,則limnanan 1法三；求極限(x Xo)limnn an(x Xo)n令(XXo)1xo則收斂半徑為R例2：m .求下列幕級數(shù)的收斂域nXn 1 2nn!(x.f2n1 2n1x2n2解：收斂半徑limnanan 1limn12nn!2n1( n 1)!所以收斂域?yàn)?收斂半徑limnananlimn1

6、,nVnl 1當(dāng)x 51時(shí)，對應(yīng)級數(shù)為(9這是收斂的交錯(cuò)級數(shù),、n當(dāng)x 51時(shí)，對應(yīng)級數(shù)為11這是發(fā)散的P級數(shù),1 ： n于是該幕級數(shù)收斂域?yàn)?,6);由于(x)limn2n 1x2n2n(2n 1)x2n 2n1n 1令(x) 1，可得xJ2，所以收斂半徑為 R J22n 1當(dāng)x 2時(shí)，對應(yīng)的級數(shù)為竺，此級數(shù)發(fā)散，n 12于是原幕級數(shù)的收斂域?yàn)?(2,、2).5幕級數(shù)的性質(zhì)設(shè)幕級數(shù) an(x x0)n收斂半徑為R1；bn(x x0)n收斂半徑為R,，則n 0n 01.an(x x°)nbn(x 滄)"(an bn)(x x°)n，收斂半徑 Rmin(R1, R?

7、);n 0n 0n 02. an(x x°)nn 0bn(xn 0x°)nn(a,bn i)(x x°)n ,收斂半徑n 0 i 1R min( R1, R2)；3.幕級數(shù)an(x x0)n的和函數(shù)S(x)在其收斂域I上連續(xù);n 04幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，且求導(dǎo)后所得到的幕級數(shù)的收斂半徑仍為R 即有S (x) an(x X°)nan(x X°)nnan(x x°)n 1n 0n 0n 15幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，且積分后所得到的幕級數(shù)的收斂半徑仍為R 即有xS(x)dxx0x丄 0an(xx°)ndxx

8、n0xean(xx°)ndxX°)n4n 1x 1)例3:用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求下列幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)n 1 nx ( 1 x 1)n 1解：令 S(x)nxn 1( 1 x 1)，則n 1S(x)dxx0(nx1)dx1 x x 1 所S(x)廠丁 k,(1 x 1)令S(x)4n 1爲(wèi)(1)，則S(x)4nx1 4n 14nx14x4xx所以S(x) 0dx xxo(11 x2)dxxn 0(1x1) 4ln1 x1arcta nx2例4:求幕級數(shù)(2n01)xn的收斂域，并求其和函數(shù)。解：易求得收斂域?yàn)?1,1)因?yàn)?(2nn 0=2xn1)xn = 2n x

9、n + xn = 2x (xn)n 0n 0n 01 1 1 x2xH C R，% 5。1 x所以和函數(shù)為s(x)( 1,1)。三、函數(shù)展開成幕級數(shù)1函數(shù)展開成幕級數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，x0I，若存在幕級數(shù)an(x X°)nn 0，使得f(x)an(x X°)n, x In 0則稱f (x)在區(qū)間I上能展開成x0處的幕級數(shù).2展開形式的唯一性定理：若函數(shù)f (x)在區(qū)間I上能展開成x0處的幕級數(shù)f(x)an(x x°)n, x I則其展開式是唯一的，且f"%)n!(n 0,1,2,L ).3.泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)泰勒級數(shù)與麥克勞

10、林級數(shù)的定義 定義：如果f(X)在Xo的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱幕級數(shù)牛(X Xo)n f(Xo)晉(X Xo) L 今(X Xo)n L non!1!n!為函數(shù)f (X)在Xo點(diǎn)的泰勒級數(shù).當(dāng)Xo o時(shí)，稱冪級數(shù)皿疋f(o)dO)X L也Xn L n o n!1!n!為函數(shù)f (X)的麥克勞林級數(shù).函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的充要條件定理：函數(shù)f (x)在Xo I處的泰勒級數(shù)在I上收斂到f (x)的充分必要條件是：f (X)在Xo處的泰勒公式f(x) n(X Xo)k 尺(X)k ok!的余項(xiàng)Rn(x)在I上收斂到零，即對任意的x I，都有l(wèi)im尺(x) o 4函數(shù)展開成幕級數(shù)的方法直接法利用

11、泰勒級數(shù)的定義及泰勒級數(shù)收斂的充要條件，將函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上直接展開成指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)的方法.間接法通過一定的運(yùn)算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)，進(jìn)而利用新函數(shù)的幕級數(shù)展開將原來的函數(shù)展 開成幕級數(shù)的方法.所用的運(yùn)算主要是四則運(yùn)算、(逐項(xiàng))積分、(逐項(xiàng))求導(dǎo)、變量代換.利 用的幕級數(shù)展開式是下列一些常用函數(shù)的麥克勞林展開公式.幕級數(shù)常用的七個(gè)展開式nXn o n!2n 1n Xsin x ( 1), x (n o (2n1)!2nn Xcosx ( 1)n o (2n)!xn 1ln(1 x) ( 1)n,1 x 1f(x)石x)(2x)non 1(1 x)1x(1) 2xL ( 1)(2)L ( n 1)xn L ,x ( 1,1)2!n!1nx ,x(1,1)1 xn 01(1)nnx ,x (1,1)-1 xn 0例5:將f (x)In展開成x1的幕級數(shù)。1x解：由于f(x)In xln(1x),而In xln1(x 1)n 1(1)n1(x 1)n( 1 nx 11)；ln(1x)ln