《中考課件初中數學總復習資料》專題09 動態(tài)幾何定值問題（解析版）

1、玩轉壓軸題，爭取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數學解答題高端精品專題九 動態(tài)幾何定值問題【考題研究】數學因運動而充滿活力，數學因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數量關系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數關系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要 “以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)

2、問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！窘忸}攻略】動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動態(tài)幾何中的常見問題，其考點包括線段（和差）為定值問題；角度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成 ：先探求定值. 它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.【解題類型及其思路】在中考中，動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在中考壓軸題

3、中，動態(tài)幾何之定值（恒等）問題的重點是線段（和差）為定值問題，問題的難點在于準確應用適當的定理和方法進行探究?！镜淅敢款愋鸵?【線段及線段的和差為定值】 【典例指引1】已知：abc是等腰直角三角形，bac90°，將abc繞點c順時針方向旋轉得到abc，記旋轉角為，當90°180°時，作adac，垂足為d，ad與bc交于點e（1）如圖1，當cad15°時，作aec的平分線ef交bc于點f寫出旋轉角的度數；求證：ea+ecef；（2）如圖2，在（1）的條件下，設p是直線ad上的一個動點，連接pa，pf，若ab，求線段pa+pf的最小值（結果保留根號）【答

4、案】（1）105°，見解析；（2）【解析】（1）解直角三角形求出acd即可解決問題，連接af，設ef交ca于點o，在ef時截取em=ec，連接cm首先證明cfa是等邊三角形，再證明fcmace（sas），即可解決問題（2）如圖2中，連接af，pb，ab，作bmac交ac的延長線于m證明aefaeb，推出ef=eb，推出b，f關于ae對稱，推出pf=pb，推出pa+pf=pa+pbab，求出ab即可解決問題【詳解】解：由cad15°，可知acd=90°-15°=75°，所以aca=180°-75°=105°即旋轉角為

5、105°證明：連接af，設ef交ca于點o在ef時截取emec，連接cmcedace+cae45°+15°60°，cea120°，fe平分cea，ceffea60°，fco180°45°75°60°，fcoaeo，focaoe，focaoe，coefoa，coefoa，faooec60°，acf是等邊三角形，cfcaaf，emec，cem60°，cem是等邊三角形，ecm60°，cmce，fcamce60°，fcmace，fcmace（sas），fmae，

6、ce+aeem+fmef（2）解：如圖2中，連接af，pb，ab，作bmac交ac的延長線于m由可知，eafeab75°，aeae，afab，aefaeb，efeb，b，f關于ae對稱，pfpb，pa+pfpa+pbab，在rtcbm中，cbbcab2，mcb30°，bmcb1，cm，abpa+pf的最小值為【名師點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查旋轉變換相關，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質以及三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題，難度較大【舉一反三】如圖（1），已知,點為射線

7、上一點，且，、為射線和上的兩個動點（），過點作，垂足為點，且，聯(lián)結（1）若時，求的值； （2）設，求與之間的函數解析式，并寫出定義域；（3）如圖(2)，過點作的垂線，垂足為點，交射線于點，點、在射線和上運動時，探索線段的長是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數式表示的長【答案】（1）；（2）(x>2)；（3）oq的長度等于3.【解析】（1）根據有兩對角相等的三角形相似可證明capcob，由相似三角形的性質可知：，在由已知條件可求出ob的長，由正切的定義計算即可；（2）作aepc于e，易證paepca，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等，再利用平行線的性質即

8、可得到 ，所以，整理即可得到求y與x之間的函數解析式，并寫出定義域即可；（3）點b、c在射線om和on上運動時，探索線段oq的長不發(fā)生變化，由pahpba得：，即pa=phpb，由phqpob得：即pqpo=phpb，所以pa=pqpo，再由已知數據即可求出oq的長【詳解】（1）acp=ocb cap=o=90° capcob ap=2 在rtobp中， （2）作aepc，垂足為e，易證paepca mon=aec=90° aeom 整理得(x>2) （3）線段oq的長度不會發(fā)生變化 由pahpba 得 即由phqpob 得 即pa=2 po=4 pq=1 oq=3即

9、oq的長度等于3.【點睛】此題考查相似形綜合題，解題關鍵在于作輔助線類型二 【線段的積或商為定值】 【典例指引2】如圖，矩形中，將繞點從處開始按順時針方向旋轉，交邊（或）于點，交邊（或）于點.當旋轉至處時，的旋轉隨即停止.（1）特殊情形：如圖，發(fā)現(xiàn)當過點時，也恰好過點，此時是否與相似？并說明理由；（2）類比探究：如圖，在旋轉過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設時，的面積為，試用含的代數式表示；在旋轉過程中，若時，求對應的的面積；在旋轉過程中，當的面積為4.2時，求對應的的值.【答案】（1）相似；（2）定值，；（3）2，.【解析】（1）根據“兩角相等

10、的兩個三角形相似”即可得出答案；（2）由得出，又為定值，即可得出答案；（3）先設結合得出將t=1代入中求解即可得出答案；將s=4.2代入中求解即可得出答案.【詳解】（1）相似理由：，又，；（2）在旋轉過程中的值為定值，理由如下：過點作于點，四邊形為矩形，四邊形為矩形，即在旋轉過程中，的值為定值，；（3）由（2）知：，又，即：；當時，的面積，當時，解得：，（舍去）當的面積為4.2時，；【名師點睛】本題考查的是幾何綜合，難度系數較高，涉及到了相似以及矩形等相關知識點，第三問解題關鍵在于求出面積與ae的函數關系式.【舉一反三】如圖1,已知直線ya與拋物線交于a、b兩點(a在b的左側),交y軸于點c(

11、1)若ab4,求a的值(2)若拋物線上存在點d(不與a、b重合),使,求a的取值范圍(3)如圖2,直線ykx2與拋物線交于點e、f,點p是拋物線上的動點,延長pe、pf分別交直線y2于m、n兩點,mn交y軸于q點,求qm·qn的值。圖1 圖2【答案】（1）；（2）；（3）8【解析】（1）將兩個函數解析式聯(lián)立，解一元二次方程求得a、b的橫坐標，進而表示出ab，即可解答；（2）由（1）可得cd=ab=，設d ，過點d作dhy軸于點h，利用勾股定理可知，進而得到，得到，根據函數圖象可知，即可求得a的取值范圍；（3）設e（），f（），p（），分別表示ep和fp的解析式，當時，求得，聯(lián)立和yk

12、x2，得到，利用一元二次方程根與系數的關系得到，代入即可解答.【詳解】（1）聯(lián)立，解得： （2）由（1）知ab=，cd=ab= 設d 過點d作dhy軸于點h，則 又 又 （3）設e（），f（），p（）ep解析式為 將p，e代入可得： 當時，可求，同理可求fp的解析式為又聯(lián)立得： 【點睛】本題為二次函數與一次函數綜合題，難度大，主要考查二次函數與一次函數交點問題，還涉及了一元二次方程和勾股定理等知識，熟練掌握一次函數與二次函數的性質和相關知識點是解題關鍵.類型三 【角及角的和差定值】 【典例指引3】如圖，在abc中，abc60°，bac60°，以ab為邊作等邊abd（點c、d

13、在邊ab的同側），連接cd（1）若abc90°，bac30°，求bdc的度數；（2）當bac2bdc時，請判斷abc的形狀并說明理由；（3）當bcd等于多少度時，bac2bdc恒成立 【答案】（1）30°；（2）abc是等腰三角形，理由見解析；（3）當bcd=150°時，bac=2bdc恒成立.【解析】（1）證明ac垂直平分bd，從而可得cd=bc，繼而得bdc=30°；（2）設bdc=x，則bac=2x，證明acd=adc，從而得ac=ad，再根據ab=ad可得ab=ac，從而得abc是等腰三角形；（3）如圖， 作等邊bce，連接de，證明b

14、cdecd后可得到bde=2bdc，再通過證明bdebac得到bac=bde，從而得bac=2bdc.【詳解】（1）abd為等邊三角形，bad=abd=60°，ab=ad，又bac=30°，ac平分bad，ac垂直平分bd，cd=bc，bdc=dbc=abc-abd=90°-60°=30°； （2）abc是等腰三角形，理由：設bdc=x，則bac=2x，有cad=60°-2x，adc=60°+x，acd=180°-cad-adc=60°+x，acd=adc，ac=ad，又ab=ad，ab=ac，即abc是

15、等腰三角形；（3）當bcd=150°時，bac=2bdc恒成立，如圖， 作等邊bce，連接de，bc=ec，bce=60°.bcd=150°，ecd=360°-bcd-bce=150°，dce=dcb.又cd=cd，bcdecd.bdc=edc，即bde=2bdc.又abd為等邊三角形，ab=bd，abd=cbe=60°，abc=dbe=60°+dbc.又bc=be，bdebac.bac=bde，bac=2bdc.【名師點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質等，熟練掌握和運用相關性質、結合圖形正確添加輔助線

16、是解題的關鍵.【舉一反三】如圖1，拋物線的頂點為點，與軸的負半軸交于點，直線交拋物線w于另一點，點的坐標為 （1）求直線的解析式；（2）過點作軸，交軸于點，若平分，求拋物線w的解析式；（3）若，將拋物線w向下平移個單位得到拋物線，如圖2，記拋物線的頂點為，與軸負半軸的交點為，與射線的交點為問：在平移的過程中，是否恒為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由【答案】（1）；（2）；（3）恒為定值【解析】（1）由拋物線解析式可得頂點a坐標為（0，-2），利用待定系數法即可得直線ab解析式；（2）如圖，過點作于，根據角平分線的性質可得be=bn，由bnd=ced=90°，bnd=cde可

17、證明，設be=x，bd=y，根據相似三角形的性質可得ce=2x，cd=2y，根據勾股定理由得y與x的關系式，即可用含x的代數式表示出c、d坐標，代入y=ax2-2可得關于x、a的方程組，解方程組求出a值即可得答案；（3）過點作于點，根據平移規(guī)律可得拋物線w1的解析式為y=x2-2-m，設點的坐標為（t，0）（t0），代入y=x2-2-m可得2+m=t2，即可的w1的解析式為y=x2-t2，聯(lián)立直線bc解析式可用含t的代數式表示出點c1的坐標，即可得，可得，根據拋物線w的解析式可得點d坐標，聯(lián)立直線bc與拋物線w的解析式可得點c、a坐標，即可求出cg、dg的長，可得cg=dg，cdg=，即可證明

18、，可得，由cdg=45°可得bf=df，根據等腰三角形的性質可求出df的長，利用勾股定理可求出cd的長，即可求出cf的長，根據三角函數的定義即可得答案【詳解】（1）拋物線w：的頂點為點，點，設直線解析式為，b（1，0），解得：，拋物線解析式為：（2）如圖，過點作于，平分，設，則，點，點，點，點是拋物線w：上的點，x0，解得：(舍去)，拋物線解析式為：（3）恒為定值，理由如下：如圖，過點作軸于h，過點作軸g，過點作于點，a=，拋物線w的解析式為y=x2-2，將拋物線w向下平移m個單位，得到拋物線，拋物線的解析式為：，設點的坐標為，拋物線的解析式為：，拋物線與射線的交點為，解得：，(不合

19、題意舍去)，點的坐標，且軸，與軸交于點，點，與交于點，點，解得：或，點，a（0，-2），且軸，點，點，恒為定值【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、二次函數的圖象的平移、相似三角形的判定與性質及三角函數的定義，難度較大，屬中考壓軸題，熟練掌握相關的性質及判定定理是解題關鍵類型四 【三角形的周長為定值】 【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為的正方形abcd，點p 為正方形 ad 邊上的一點（不與點 a、點d 重合），將正方形紙片折疊，使點 b 落在 p 處，點 c 落在 g 處，pg 交dc 于h，折痕為 ef，連接 bp，bh.（1）求證：；（2）求證：；（3）當點p在邊ad上移動時，p

20、dh的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；（4）設ap為x，四邊形efgp的面積為s，求出s與x的函數關系式.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）周長固定，周長為.（4）【解析】（1）根據折疊的性質，對應邊相等，即能解決問題.（2）根據折疊的性質和問題（1）的結論即能解決問題.（3）通過證明過b點向pg作垂線，垂足為q，通過分別證明 和，將pdh的周長問題轉化成兩固定邊長之和，即能解決問題，【詳解】（1）證明：四邊形epgf由四邊形efcb折疊而來，eb與ep重疊ep = ebepb = ebp（2）證明四邊形epgf由四邊形efcb折疊而來，eb與ep重疊，pg與bc重疊

21、epg = ebc又epb = ebpepg - epb = ebc - ebp，即bph = pbc adbc,apb = pbc, apb = bph（3）解：pdh的周長不發(fā)生變化.如圖所示，過點b作bq丄pg于點q.在bpa和bpq中， ， qh=hcpdh的周長為：為固定值，固定不變.如圖，過點f作fm垂直ab于點m. 在abp和mfe中 在aep中，根據勾股定理，可得： 解得： ，即 即s關于x的關系式為：【點睛】本題考查了折疊的性質、勾股定理、三角形全等，二次函數、綜合性較強，解決本題的關鍵是熟練掌握折疊的性質、直角三角形各邊長之間關系及三角形全等的判定方法.【舉一反三】如圖，在

22、等腰直角三角形abc中，c90°，ab8，點o是ab的中點.將一個邊長足夠大的rtdef的直角頂點e放在點o處，并將其繞點o旋轉，始終保持de與ac邊交于點g，ef與bc邊交于點h.(1)當點g在ac邊什么位置時，四邊形cgoh是正方形.(2)等腰直角三角abc的邊被rtdef覆蓋部分的兩條線段cg與ch的長度之和是否會發(fā)生變化，如不發(fā)生變化，請求出cg與ch之和的值：如發(fā)生變化，請說明理由.【答案】(1)點g在ac的中點時，四邊形cgoh是正方形；(2)cg與ch的和不會發(fā)生變化，cg+ch8.【解析】(1)由三角形中位線定理可得ogbc，ogbc，可證四邊形cgoh是矩形，由等腰

23、直角三角形的性質可得acocog45°，可得cggo，可得結論；(2)由“asa”可證gochob，可得cgbh，即可得cg+chhb+chbc8.【詳解】解：(1)當點g在ac的中點時，四邊形cgoh是正方形，連接co，o為ab的中點，點g是ac中點，ogbc，ogbc，cgoc90°，gof90°，四邊形cgoh是矩形，acbc，acb90°，aobo，aco45°，且cgo90°，acocog45°，cggo，矩形cgoh是正方形；(2)cg與ch的和不會發(fā)生變化，理由如下：連接oc，abc是等腰直角三角形且點o為中點

24、gcob45°，cob90°，cobodof90°cob，gochob，且cobo，gcob45°，gochob(asa)hbgc，cg+chhb+chbcab8，bcac8cg+ch8.【點睛】此題考查的是中位線的性質、矩形的判定、正方形的判定、全等三角形的判定及性質和等腰直角三角形的性質，掌握中位線的性質定理、正方形的判定定理和用asa證明兩三角形全等是解決此題的關鍵.類型五 【三角形的面積及和差為定值】 【典例指引5】綜合與實踐：矩形的旋轉問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的旋轉”為主題開展數學活動具體要求：如圖1，將長與寬都相等的兩

25、個矩形紙片abcd和efgh疊放在一起，這時對角線ac和eg互相重合固定矩形abcd，將矩形efgh繞ac的中點o逆時針方向旋轉，直到點e與點b重合時停止，在此過程中開展探究活動操作發(fā)現(xiàn)：（1）雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉過程中，當邊ab與ef交于點m，邊cd與gh交于點n，如圖2、圖3所示，則線段am與cn始終存在的數量關系是 （2）雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉開始后，當兩個矩形紙片重疊部分為四邊形qmrn時，如圖3所示，四邊形qmrn為菱形，請你證明這個結論（3）雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題（2）中的四邊形qmrn中mqn與旋轉角aoe存在著特定的數量關系，請你寫出這一關系，并說明理由實踐探究：（4）

26、在圖3中，隨著矩形紙片efgh的旋轉，四邊形qmrn的面積會發(fā)生變化若矩形紙片的長為，寬為，請你幫助雄鷹小組探究當旋轉角aoe為多少度時，四邊形qmrn的面積最大？最大面積是多少？（直接寫出答案）【答案】（1）結論：amcn，理由見解析；（2）證明見解析；（3）結論：mqnaoe，理由見解析；（4）aoe45°或135°時，四邊形qmrn面積最大為【解析】(1)先證明aokaoj(asa)，推出okoj，akcj，aokajo，再證明ekmgjn(asa)即可的解；(2)過點q作qkef，qlcd，垂足分別為點k，l、先證明四邊形qmrn是平行四邊形，再證明qmqn即可的解

27、；(3)由三角形的外角的性質以及平行線的性質即可解決問題；(4)如圖3-2中，連接bd，在dc上取一點j，使得djad，則aj2，通過解直角三角形求出boc的度數，再結合圖象即可得解.【詳解】（1）結論：amcn理由：如圖2中，設ab交eg于k，cd交eg于j四邊形abcd是矩形，四邊形efgh是矩形，abcd，efeg，oaocoeog，mekjgn，oakoaj，aokaoj，aokaoj（asa），okoj，akcj，aokajo，ekjg，ekmako，gjncjo，ekmgjn，ekmgjn（asa），kmjn，aman（2）證明：過點q作qkef，qlcd，垂足分別為點k，l由題可

28、知：矩形abcd矩形efgh，adeh，abcd，efhg，四邊形qmrn為平行四邊形，qkef，qlcd，qkeh，qlad，qkmqln90°，qkql，又abcd，efhg，kmqmqn，mqnlnq，kmqlnq，qkmqln（aas），mqnq四邊形qmrn為菱形（3）結論：mqnaoe理由：如圖31中，qnd1+2，aoe1+3，又由題意可知旋轉前2與3重合，23，qndaoe，abcd，mqnqnd，mqnaoe（4）如圖32中，連接bd，在dc上取一點j，使得djad，則aj2，cd2+，cjaj2，jcajac，ajd45°jca+jac，acj22.5&

29、#176;，ocod，ocdodc22.5°，boc45°，觀察圖象可知，當點f與點c重合或點g與點d重合時，四邊形qmrn的面積最大，最大值，aoe45°或135°時，四邊形qmrn面積最大為【名師點睛】本題考查矩形的性質、菱形的性質和判定，解直角三角形和全等三角形等知識，解題的關鍵是能正確找到全等三角形.【舉一反三】如圖1，矩形abcd中，e是ad的中點，以點e直角頂點的直角三角形efg的兩邊ef，eg分別過點b，c，f30°.（1）求證：bece（2）將efg繞點e按順時針方向旋轉，當旋轉到ef與ad重合時停止轉動.若ef，eg分別與ab

30、，bc相交于點m，n.（如圖2）求證：bemcen；若ab2，求bmn面積的最大值；當旋轉停止時，點b恰好在fg上（如圖3），求sinebg的值.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；2；.【解析】（1）只要證明baecde即可；（2）利用（1）可知ebc是等腰直角三角形，根據asa即可證明；構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題；如圖3中，作ehbg于h設ng=m，則bg=2m，bn=en=m，eb=m利用面積法求出eh，根據三角函數的定義即可解決問題.【詳解】（1）證明：如圖1中，四邊形abcd是矩形，ab=dc，a=d=90°，e是ad中點，ae=de，baecde，b

31、e=ce（2）解：如圖2中，由（1）可知，ebc是等腰直角三角形，ebc=ecb=45°，abc=bcd=90°，ebm=ecn=45°，men=bec=90°，bem=cen，eb=ec，bemcen；bemcen，bm=cn，設bm=cn=x，則bn=4-x，sbmn=x（4-x）=-（x-2）2+2，-0，x=2時，bmn的面積最大，最大值為2解：如圖3中，作ehbg于h設ng=m，則bg=2m，bn=en=m，eb=meg=m+m=（1+）m，sbeg=egbn=bgeh，eh=m，在rtebh中，sinebh=【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形

32、的性質、等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、旋轉變換、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題，學會添加常用輔助線，學會利用參數解決問題【新題訓練】1已知在平行四邊形abcd中，ab=6，bc=10，bad=120°，e為線段bc上的一個動點（不與b，c重合），過e作直線ab的垂線，垂足為f，fe與dc的延長線相交于點g，（1）如圖1，當aebc時，求線段be、cg的長度（2）如圖2，點e在線段bc上運動時，連接de，df，bef與ceg的周長之和是否是一個定值，若是請求出定值，若不是請說明理由（3）如圖2，設be=x，def的面積為y，試求出y關于

33、x的函數關系式【答案】（1）be=3，eg =；（2）是定值，為15+5；（3）y=x2+（0x10）【解析】（1）先求出be，ae，進而求出bf，ef，再用平行四邊形的面積求出fg，即可得出結論；（2）先求出bh，ah，再用相似表示出bf，ef，進而得出cg，eg，即可得出結論；（3）利用三角形的面積公式即可得出結論【詳解】（1）四邊形abcd是平行四邊形，adbc，abcd，bad+b=180°，bad=120°，b=60°，aebc于e，在rtabe中，bae=30°，ab=6，be=3，ae=3，efab，bfe=90°，在rtbef中

34、，bef=30°，bf=be=，ef=，sabcd=bc×ae=ab×fg，10×3=6fg，fg=5，eg=fgef=；（2）如圖2，過點a作ahbc于h，b=60°，bh=3，ah=3，ahb=bfe=90°，b=b，abhebf，設be=a，bf=a，ef=a，abcd，befceg，cg=（10a），eg=（10a），cbef+cceg=be+bf+ef+ce+cg+eg=a+a+a+10a+（10a）+（10a）=10+5+5=15+5；（3）同（2）的方法得，ef=x，cg=（10x），dg=cd+cg=6+5x=11x，

35、sdef=ef×dg=×x×（11x）=x2+（0x10）【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、勾股定理、二次函數的應用，運用相似三角形的性質是解決第（2）小題的關鍵2如圖，邊長為8的正方形oabc的兩邊在坐標軸上，以點c為頂點的拋物線經過點a，點p是拋物線上點a、c間的一個動點（含端點），過點p作pfbc于點f，點d、e的坐標分別為（0，6），（4，0），連接pd，pe，de（1）求拋物線的解析式；（2）小明探究點p的位置是發(fā)現(xiàn)：當點p與點a或點c重合時，pd與pf的差為定值，進而猜想：對于任意一點p，pd與pf的差為定值，請你判定該猜

36、想是否正確，并說明理由；（3）請直接寫出pde周長的最大值和最小值【答案】（1）yx2+8；（2）正確，d|pdpf|為定值2；理由見解析；（3）pde周長的最大值是2+14，最小值是2+10【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線解析式即可；（2）首先表示出p，f點坐標，再利用兩點之間距離公式得出pd，pf的長，進而求出即可；（3）過e作efx軸，交拋物線于點p，求得cpdeedpepdedpepf2ed2（pepf），當p、e、f三點共線時，pepf最??；當p與a重合時，pepf最大；即可解答【詳解】（1）邊長為8的正方形oabc的兩邊在坐標軸上，以點c為頂點的拋物線經過點a，c（0，8），

37、a（8，0），設拋物線解析式為：yax2+c，則，解得：拋物線解析式為yx2+8（2）設p（x，x2+8），則f（x，8），則pf8（x2+8）x2pd2x2+6（x2+8）2x4+x2+4（x2+2）2pdx2+2，d|pdpf|x2+2x2|2d|pdpf|為定值2；（3）如圖，過點e作efx軸，交拋物線于點p，由d|pdpf|為定值2，得cpdeed+pe+pded+pe+pf+2ed+2+（pe+pf），又d（0，6），e（4，0）decpde2+2+（pe+pf），當pe和pf在同一直線時pe+pf最小，得cpde最小值2+2+82 +10設p為拋物線ac上異于點a的任意一點，過p作

38、pmx軸，交ab于點m，連接me，如圖2由于e是ao的中點，易證得mepe（當點p接近點a時，在pme中，顯然mpe是鈍角，故mepe，與a重合時，等號成立），而meae+am，所以peae+am所以當p與a重合時，pe+pf最大，ae844，pd10得cpde最大值2+4+102+14綜上所述，pde周長的最大值是2+14，最小值是2+10【點睛】此題主要考查了二次函數綜合以及兩點距離公式以及配方法求二次函數最值等知識，利用數形結合得出符合題意的答案是解題關鍵3如圖，四邊形abcd中，adbc，abc=90°(1)直接填空：bad=_°.(2)點p在cd上，連結ap，am

39、平分dap，an平分pab，am、an分別與射線bp交于點m、n設dam=°求ban的度數(用含的代數式表示)若anbm，試探究amb的度數是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請用的代數式表示它【答案】(1)90；(2)ban=(45-)°；amb=45°.【解析】(1)依據平行線的性質，即可得到bad的度數；(2)根據am平分dap，dam=°，即可得到bap=(90-2)°，再根據an平分pab，即可得到ban=(90-2)°=(45-)°；根據am平分dap，an平分pab，即可得出man=map+pan=

40、45°，再根據anbm，即可得到amb的度數為定值【詳解】解：(1)adbc，abc=90°，bad=180°-90°=90°故答案為：90；(2)am平分dap，dam=°，dap=2°，bad=90°，bap=(90-2)°，an平分pab，ban=(90-2)°=(45-)°；am平分dap，an平分pab，pam=pad，pan=pab，man=map+pan=pad+pab=90°=45°，anbm，anm=90°，amb=180°-9

41、0°-45°=45°【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補4將在同一平面內如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點a旋轉，連接bc，de探究sabc與sadc的比是否為定值（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，sabc：sade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖）（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30°角的直角三角板時，sabc：sade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖）（3）兩塊三角板中，bae+cad180°，aba，aeb，acm，adn（a，b，m，n為常數

42、），sabc：sade是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結論，不寫推理過程），如果不是，說明理由（圖）【答案】（1）結論：sabc：sade1，為定值理由見解析；（2）sabc：sade，為定值，理由見解析；（3）sabc：sade，為定值理由見解析.【解析】（1）結論：sabc：sade=定值如圖1中，作dhae于h，cgba交ba的延長線于g首先證明dae=cag，利用三角形的面積公式計算即可（2）結論：sabc：sade=定值如圖1中，作dhae于h，cgba交ba的延長線于g首先證明dae=cag，利用三角形的面積公式計算即可（3）結論：sabc：sade

43、=定值如圖1中，作dhae于h，cgba交ba的延長線于g首先證明dae=cag，利用三角形的面積公式計算即可【詳解】（1）結論：sabc：sade定值理由：如圖1中，作dhae于h，cgba交ba的延長線于gbaecad90°，bac+ead180°，bac+cag180°，daecag，abaeadac，1（2）如圖2中，sabc：sade定值理由：如圖1中，作dhae于h，cgba交ba的延長線于g不妨設adc30°，則adac，aeab，baecad90°，bac+ead180°，bac+cag180°，daecag

44、，（3）如圖3中，如圖2中，sabc：sade定值理由：如圖1中，作dhae于h，cgba交ba的延長線于gbaecad90°，bac+ead180°，bac+cag180°，daecag，aba，aeb，acm，adn【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，30度的直角三角形的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型5.（解決問題）如圖1，在中，于點點是邊上任意一點，過點作，垂足分別為點，點（1）若，則的面積是_，_（2）猜想線段，的數量關系，并說明理由（3）（變式探究）如圖2，在中，若，點是內任意一點，且，

45、垂足分別為點，點，點，求的值（4）（拓展延伸）如圖3，將長方形沿折疊，使點落在點上，點落在點處，點為折痕上的任意一點，過點作，垂足分別為點，點若，直接寫出的值【答案】（1）15，8；（2），見解析；（3）；（4）4【解析】解決問題（1）只需運用面積法：，即可解決問題；（2）解法同（1）；（3）連接、，作于，由等邊三角形的性質得出，由勾股定理得出，得出的面積，由的面積的面積的面積的面積，即可得出答案；（4）過點作，垂足為，易證，過點作，垂足為，由解決問題（1）可得，易證，只需求出即可【詳解】解：（1），的面積，且，.故答案為：15，8.（2），且，.（3）連接、，作于，如圖2所示：，是等邊三角形

46、，的面積，的面積的面積的面積的面積，.（4）過點作，垂足為，如圖3所示：四邊形是矩形，由折疊可得：，四邊形是矩形，由解決問題（1）可得：，即的值為4.【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質與判定、等腰三角形的性質與判定、平行線的性質與判定、等邊三角形的性質、勾股定理等知識，考查了用面積法證明幾何問題，考查了運用已有的經驗解決問題的能力，體現(xiàn)了自主探究與合作交流的新理念，是充分體現(xiàn)新課程理念難得的好題6如圖，已知銳角abc中，ab、ac邊的中垂線交于點o（1）若a=（0°90°），求boc；（2）試判斷abo+acb是否為定值；若是，求出定值，若不是，請說明理由【答案

47、】（1）2；（2）是定值【解析】試題分析：（1）根據線段垂直平分線的性質得到ao=bo=co，根據等腰三角形的性質得到oab=oba，oca=oac，根據周角定義即可得到結論；（2）根據等腰三角形的性質得到obc=ocb，于是得到obc=90°，根據三角形的內角和即可得到結論解：（1）ab、ac邊的中垂線交于點o，ao=bo=co，oab=oba，oca=oac，aob+aoc=（180°oaboba）+（180°oacoca），aob+aoc=（180°2oab）+（180°2oac）=360°2（oab+oac）=360°

48、;2a=360°2，boc=360°（aob+aoc）=2；（2）abo+acb為定值，bo=co，obc=ocb，oab=oba，oca=oac，obc=（180°2a）=90°，abo+acb+obc+a=180°，abo+acb=180°（90°）=90°【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，周角的定義，三角形的內角和，等腰三角形的性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵7o的直徑ab15cm，有一條定長為9cm的動弦，cd在弧ab上滑動（點c和a、點d與b不重合），且cecd交ab于e，dfcd交ab于f（1）求

49、證：aebf（2）在動弦cd滑動過程中，四邊形cdfe的面積是否為定值，若是定值，請給出證明，并求這個定值，若不是，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）四邊形cdfe面積是定值，證明見解析.【解析】（1）要證：ae=bf，就要從點o向cd作垂線，然后利用垂徑定理和平行線等分線段定理可知ae=bf；（2）是定值，要求四邊形的面積就要分析這個四邊形是什么形狀的，從圖中可以看出是梯形，那就要利用梯形的計算公式計算，即（上底+下底）×高÷2，從圖中給出的數量關系可知，上底加下底是定值，高也是定值，所以面積是定值【詳解】（1）如圖，過o作ogcd于g，則g為cd的中點,又eccd

50、，fdcd,ecogfd,o為ef的中點，即oe=of,又ab為o的直徑,oa=ob,ae=bf（等式性質）, (2)四邊形cdfe的面積是定值,理由如下：過點o作ogcd于g，連接od.則 在ogd中, 根據勾股定理得 則gd=4.5cm.od、dg是定值，og是定值,ceogdf，g為cd中點，o為ef中點，當cd與ab不平行時og為梯形cdfe的中位線，ce+df=2og=2×6=12cm，梯形的高也是定值9cm，梯形的面積是定值=12×9÷2=54cm2.當cdab時，四邊形ecdf是矩形，og=ec=fd=6，矩形的面積=6×9=54cm2是定

51、值.綜上所述，四邊形cdfe的面積是定值.【點睛】考查了垂徑定理和平行線的性質，要學會幾何圖形的綜合應用的解法，充分利用已知條件求證結論.8如圖，動點在以為圓心，為直徑的半圓弧上運動（點不與點及的中點重合），連接.過點作于點，以為邊在半圓同側作正方形，過點作的切線交射線于點，連接、.（1）探究：如左圖，當動點在上運動時；判斷是否成立？請說明理由；設，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；設，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；（2）拓展：如右圖，當動點在上運動時；分別判斷（1）中的三個結論是否保持不變？如有變化，請直接寫出正確的結論.（均不必說明理由）【答案】(1)成立，理由見解析