由麥克斯韋速率分布律推出平動動能分布律

1、由麥克斯韋速率分布律推出平動動能分布律學院名稱：工程技術(shù)學院 專業(yè)名稱：物理系101本 學生姓名 學 號：麥克斯韋首先把統(tǒng)計學的方法引入分子動理論，首先從理論上導(dǎo)出了氣體分 子的速率分布率，現(xiàn)根據(jù)麥克斯韋速率分布函數(shù)，求出相應(yīng)的氣體分子平動動能 分布律，并導(dǎo)出與麥克斯韋分布函數(shù)類似的一些性質(zhì)，求出平動動能的最概然值 及平均值。采用類比的方法，用同樣的思維，在麥克斯韋速率分布函數(shù)的基礎(chǔ)上，作進 一步研究，導(dǎo)出能反映平均動能在£附近的單位動能區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子 數(shù)的比的函數(shù)于（0）的表達式。并由此進一步推出與麥克斯韋分布函數(shù)相對應(yīng) 的一些性質(zhì)，并比較分析一些不同點，并且由此驗證其正確

2、性。關(guān)鍵字麥克斯韋速率分布最概然值及平均值平動動能1. 緒論42. 麥克斯韋速率分布律 53. 推導(dǎo)及演繹 7總結(jié) 9參考文獻 10麥克斯韋把統(tǒng)計方法引入了分子動理論，首先從理論上導(dǎo)出了氣體分子的速 分分布律。這是對于大量氣體分子才有的統(tǒng)計規(guī)律?，F(xiàn)做進一步研究，根據(jù)其成 果麥克斯韋速率分布函數(shù)，導(dǎo)出相應(yīng)的平動動能分布律，并導(dǎo)出與麥克斯韋分布 函數(shù)類似的一些性質(zhì)并求出平動動能的最概然值及平均值，并且山此驗證其正確 性。本文在前人已有的基礎(chǔ)之上做進一步試探性的研究，衍生出新的知識點，也 有助于深刻的理解原有的知識1.麥克斯韋速率分布律:/(v) =dNNd這個函數(shù)稱為氣體分子的速率分布函數(shù)麥克斯韋

3、進一步指出，在平衡態(tài)下,分子速率分布函數(shù)可以具體地寫為/(v)=clNAW?3式中廠是氣體系統(tǒng)的熱力學溫度，斤是玻耳茲曼常量，加是單個分子的質(zhì)量。 式(8-30)稱為麥克斯韋速率分布律。圖像如下圖1麥克斯韋速率分布函數(shù)圖1畫出了/(卩)與卩的關(guān)系曲線，這條曲線稱為速率分布曲線。由圖可見，曲線 從坐標原點出-發(fā)，隨著速率的增大，分布函數(shù)迅速到達一極大值，然后很快減 小，隨速率延伸到無限大，分布函數(shù)逐漸趨于零。速率在從刃到卩2之間的分子 數(shù)比率A7V/W,等于曲線下從訕到卩2之間的面積，如圖中陰影部分所示。顯然，因為所有N個分子的速率必然處于從0到8之間，也就是在速率間隔從0到s 的范圍內(nèi)的分子數(shù)

4、占分子總數(shù)的比率為1,即這是分布函數(shù)/W)必須滿足的條件，稱為歸一化條件。AN"n-表示在平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在力到巾區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。而應(yīng)用麥克斯韋速率分布函數(shù)可以求出氣體分子三個重要的速率:(1) 最概然速率叮f(v)的極大值所對應(yīng)的速率其物理意義為：在平衡態(tài)的條件下，理想氣體分子速率分布在附近的單位速 率的分布區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占氣體總分子的白分率最大。(2) 平均速率卩，用于研究分子碰撞8燈勿7()V =嘰1.60RT(3) 方均根速率'G7,用于研究分子平均平動動能,3RT反映的是大量分子無規(guī)則運動速率的二次方的平均值的二次方根稱為方均根 速率。2.推

5、導(dǎo)及演繹:兩邊同時取微分有2vdv -dsm由于分子的平動動能可表示為61 ,:=mv"2帶入到麥克斯韋速率函數(shù)有2 =現(xiàn)定義為/(&)為氣體分子的平動動能的分布函數(shù)。平動動能在從®到之間的分子數(shù)比率dV/M等于曲線下從耳到g?之間的面 積，如圖中陰影部分所示。顯然，因為所有N個分子的速率必然處于從0到8之 間，也就是在速率間隔從0到00的范圍內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的比率為1,+即 這說明和麥克斯韋分布率相似平動動能分布函數(shù)/(£)同樣必須滿足歸一化條 件。ANJ 6而 =J表示在平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在©到區(qū)間卜J名的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。

6、同樣我們也可以根據(jù)平動動能分布函數(shù)求出最概然平動動能0以及平均平動動 能£粒子的最概然平動動能乞同樣地，最概然平動動能乞也是對應(yīng)著/(g)的極值IIIdf_=0化簡-(好)為丄尹幺, =0Q 兀2kT p解出 e=-kT2而其所對應(yīng)的速率匕屮=山此我們看到，最概然平動動能所對應(yīng)的速率并不是麥克斯韋速率所求得的 最概然速率。初看起來似乎很奇怪，可仔細想想，最概然速率代表的是速率分布 在附近的單位速率的分布區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占氣體總分子的白分率最大時的速率。 而最平動動能的概然值代表的是平動動能分布在附近的單位動能的分布區(qū)間內(nèi) 的分子數(shù)占氣體總分子的口分率最大時的動能，其對應(yīng)的速率卻不是最該

7、然速 率。而計算發(fā)現(xiàn)這是其實是山于兩個方程求極大值時對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)不同。很顯然 求的的極大值也不同。(2)粒子的平均平動動能£同樣的,j s e0vdN0N其中因為=0所以_23尸乙_4二 kT石（府）廠兀巧kT這個結(jié)果是顯然的：有麥克斯韋分布律已經(jīng)得到，這也證明了上面的推導(dǎo)的 正確性?？偨Y(jié):通過以上的討論和分析，我們不僅進一步了解了麥克斯韋速率分布函數(shù)，及 其結(jié)論，還能挖掘出衍生出來的氣體平動動能的分布情況，這樣我們會對氣體動 理論的本質(zhì)有跟家深刻的理解。要善于在前人已有的基礎(chǔ)之上做進一步試探性的研究，才能衍生出新的知識 點，也能有助于深刻的理解原有的知識。參考文獻:1. 物理學概論同濟大學出版社 作者：王曉鷗。2. 物理學方法論浙江教育出版社作者：張憲魁。3. 熱學高等教育出版社作者：李椿章立源錢尚武。4. 世界物理學史吉林教育出版社作者：董光璧等1994年版5. 倪光炯等著近代物理上?？萍汲霭嫔缱髡撸耗吖饩嫉?979年版6. 物理學思想史與方法論湖南大學出版社作者：何維杰歐陽玉2001.9.7. 普通物理學（第6版）高教京版作者：程守洙江之永2008年11月8. 大學物理學（第2版），科學出版社 作者：余虹2008年5月9. 大學基礎(chǔ)物理學（第2版）清華大學