線代總復(fù)習(xí)簡綱

1、線性代數(shù)線性代數(shù)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)1 行列式行列式2 矩陣矩陣3 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4 線性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 提提 綱綱5 內(nèi)積、施密特正交化內(nèi)積、施密特正交化6 特征值與特征向量、矩陣對角化特征值與特征向量、矩陣對角化7 二次型標(biāo)準(zhǔn)形二次型標(biāo)準(zhǔn)形1、行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)降階法、化上三角形法降階法、化上三角形法2、行列式的計(jì)算方法行列式的計(jì)算方法結(jié)論：結(jié)論：上（下）三角行列式的值上（下）三角行列式的值=對角線上元素之積對角線上元素之積3、特殊關(guān)系式、特殊關(guān)系式是是數(shù)數(shù)，則則階階方方陣陣是是設(shè)設(shè)knBA,1,nkAkA1nAA 112,A

2、A1*,nAA3,ABBAA B0AA BCB展開定理展開定理一、行列式一、行列式分塊矩陣分塊矩陣二、矩陣二、矩陣?yán)媚婢仃嚽蠼饩€性方程組利用逆矩陣求解線性方程組逆矩陣逆矩陣矩陣的秩矩陣的秩主要內(nèi)容主要內(nèi)容矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的初等變換矩陣的初等變換1、定義、定義： 由由mn個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)ija(i=1,2, ,m; j=1,2, ,n)排成的排成的m行行n列數(shù)表列數(shù)表稱為一個(gè)稱為一個(gè)m行行n列矩陣，列矩陣， 簡稱為簡稱為mn矩陣矩陣.1111nmmnaaAaa特別：特別： 零零矩陣、矩陣、n階方陣、行（列）矩陣、對稱矩陣、階方陣、行（列）矩陣、對稱矩陣、n階對角陣、三角矩陣、單位矩

3、陣、行最簡形矩陣階對角陣、三角矩陣、單位矩陣、行最簡形矩陣2、矩陣的線性運(yùn)算、矩陣的線性運(yùn)算矩陣的相等，加法，數(shù)乘，乘法矩陣的相等，加法，數(shù)乘，乘法 4 種運(yùn)算種運(yùn)算3、矩陣乘法運(yùn)算律、矩陣乘法運(yùn)算律 BCACAB1 ,3ACABCBACABAACB BABAAB2注意：注意： (1) 矩陣乘法不適合矩陣乘法不適合交換交換律，一般的律，一般的 (2) 矩陣乘法矩陣乘法消去消去律不成立，律不成立， (3) 不能由不能由.BAAB .CBACAB 不能得到不能得到.OBOAOAB 或或TTTABAB)( )4(定義定義nnA則稱則稱A是是可逆方陣可逆方陣, ,則則B是是A的一個(gè)逆矩陣的一個(gè)逆矩陣,

4、 ,記為記為EBAAB4、可逆矩陣的定義和等價(jià)條件、可逆矩陣的定義和等價(jià)條件中若中若存在方陣存在方陣B, 使得使得.1 ABn 階方陣階方陣A可逆可逆0 AEBAEABB或或，使使存存在在方方陣陣nAnn秩秩性無關(guān)性無關(guān)的行（列）向量組線的行（列）向量組線 AEA（即齊次線性方程組）僅有零解。（即齊次線性方程組）僅有零解。0XAnn111(1),()AAAA可逆可逆且可逆可逆且111(2),0,()AkkAkAAk可逆可逆且可逆可逆且11(4),()()TTTAAAA可逆可逆且可逆可逆且11(5) AAA可逆可逆11(6), ()()AAAA 可逆可逆可逆可逆5、逆矩陣的性質(zhì)、逆矩陣的性質(zhì)(3

5、),A B111,()ABABB A可逆 且可逆 且同階可逆*11, 0 1AAAAA且且可可逆逆則則如如果果BAA1可可逆逆，且且則則或或使使如如果果存存在在方方陣陣, , 2EBAEABB 1, 3AAEEA可可逆逆，且且則則如如果果行行變變換換EAAAAA基本關(guān)系式：基本關(guān)系式：6、求方陣、求方陣A的逆矩陣的方法的逆矩陣的方法8、初等矩陣、初等矩陣;jirr ;krijikrr 共共三種三種)(,(kjiE;ijE( ( );E i k互換陣互換陣倍加陣倍加陣倍乘陣倍乘陣用初等方陣左（右）乘用初等方陣左（右）乘 A，相當(dāng)于對，相當(dāng)于對 A 作初等行作初等行（列）變換得到的矩陣（列）變換得

6、到的矩陣.7、矩陣的初等行變換、矩陣的初等行變換9、矩陣、矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形AArnm則則設(shè)設(shè), 1)(初等變換初等變換nmrOOOE10、矩陣的秩、矩陣的秩1) 定義定義：A的不為的不為0的子式的最大階數(shù)。的子式的最大階數(shù)。2) 秩的基本關(guān)系式秩的基本關(guān)系式)()()(ArArbT,min)(0)(nmAranm),( )()()()()(可可逆逆QPAQrPArArPAQrc)()()()()(ABrnBrArBArd )(),(min)()(BrArABre3) 關(guān)于秩的重要結(jié)論關(guān)于秩的重要結(jié)論矩陣的秩；矩陣的秩；矩陣的初等變換不改變矩陣的初等變換不改變 )a可逆可逆階方陣，則階方陣

7、，則是是設(shè)設(shè)AAnArnAb0)( )不可逆不可逆AAnAr0)( 2)(01)(1)()(nArnArnArnAr(c) 設(shè)設(shè) A為為 n 階方陣階方陣 , ,證明證明)2( n11、分塊對角陣及其性質(zhì)、分塊對角陣及其性質(zhì)sAAAA21),21(00siAAi，,1111sAAAsiiArAr1)()( A1A2AsAkskkAAA1三、向量組的線性相關(guān)性三、向量組的線性相關(guān)性定義定義1 1如如果果設(shè)設(shè)向向量量組組,21nmR,21線性相關(guān)線性相關(guān)則稱向量組則稱向量組m推論：推論：使使存存在在不不全全為為零零的的,21Rm線線性性相相關(guān)關(guān)m,21否則稱為線性無關(guān)。否則稱為線性無關(guān)。(1) 有

8、非零解。有非零解。線線性性無無關(guān)關(guān)m,21(1)只有零解。只有零解。(1) 02211mm 定義定義2如如果果存存在在設(shè)設(shè)向向量量組組,21nmR是是線線性性表表示示，或或稱稱向向量量可可由由則則稱稱向向量量m,21使使,21Rkkkmmmkkk2211稱稱為為組組合合系系數(shù)數(shù)。的的一一個(gè)個(gè)線線性性組組合合mmkkk,2121推論：推論：線線性性表表示示能能由由m,21(2) 有解有解(2)滿滿足足的的一一個(gè)個(gè)部部分分組組如如果果向向量量組組rT,21定義定義3線線性性無無關(guān)關(guān)；r, 121線線性性表表示示。，中中每每一一向向量量都都可可由由rT, 221都構(gòu)成都構(gòu)成T的極大無關(guān)組。的極大無關(guān)

9、組。注意：注意：如果如果 r( T ) =r，則，則T中任意中任意r個(gè)線性無關(guān)的向量個(gè)線性無關(guān)的向量則稱則稱是是向量組向量組T 的一個(gè)的一個(gè)極大線性無關(guān)組。極大線性無關(guān)組。r,21r稱為稱為T的秩，記為的秩，記為.)(rTr定理定理1線性相關(guān)線性相關(guān)向量組向量組2,21mm定理定理2線性線性線性無關(guān)線性無關(guān)設(shè)向量組設(shè)向量組,2121mm關(guān)鍵：關(guān)鍵：至少有一個(gè)，但不能保證是哪一個(gè)。至少有一個(gè)，但不能保證是哪一個(gè)。定理定理3 r(A)= =A的列秩的列秩=A的的行秩行秩個(gè)個(gè)線線性性表表示示中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)可可由由其其余余1,21mm且表法惟一。且表法惟一。線性表示線性表示必可有由必可有由則

10、則相關(guān)相關(guān),21m定理定理4 矩陣的初等行變換不改變列向量組的線性關(guān)系。矩陣的初等行變換不改變列向量組的線性關(guān)系。定理定理5線線性性表表示示可可由由向向量量m,21定理定理6線線性性相相關(guān)關(guān)向向量量組組m,21mrm,21有有解解 2211mmxxx有有解解線線性性方方程程組組 ,121mmxx,2121mmrr有有非非零零解解 02211mmxxx有有非非零零解解齊齊次次線線性性方方程程組組 0,121mmxx線性方程組線性方程組解的存在性定理解的存在性定理各種解法各種解法解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)四、線性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)四、線性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)定義定義維向量維向量設(shè)有設(shè)有nTnTnyyx

11、x),(,),(11 TTnnyxyxyx 2211),(通常稱為通常稱為),( 的的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。,),(22221nxxx 長度長度范數(shù)范數(shù)的的維向量維向量為為稱稱n . ,1為為稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)單位向量單位向量. ,0),( 與與稱稱向向量量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)正交正交五、內(nèi)積、施密特正交化五、內(nèi)積、施密特正交化定義定義1定義定義2., 1;, 0,jijiji滿滿足足中中，若若在在歐歐氏氏空空間間nnR,21.,21為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基稱稱n定義定義3 定義定義4 .是是正正交交矩矩陣陣稱稱階階方方陣陣，若若是是AEAAnATA 是正交矩陣是正交矩陣EAAT TAA 1A 的列組是規(guī)范正交組的

12、列組是規(guī)范正交組A 的行組是規(guī)范正交組的行組是規(guī)范正交組六、特征值與特征向量、矩陣的對角化六、特征值與特征向量、矩陣的對角化內(nèi)容：內(nèi)容：矩陣的特征值與特征向量的定義、求法、性質(zhì)；矩陣的特征值與特征向量的定義、求法、性質(zhì)；相似矩陣的概念、性質(zhì)；相似矩陣的概念、性質(zhì)；矩陣對角化的條件和方法。矩陣對角化的條件和方法。(1) A是正交矩陣，則是正交矩陣，則 和和 都是正交矩陣；都是正交矩陣；1 A A(2) A，B都是正交矩陣，則都是正交矩陣，則AB也是正交矩陣；也是正交矩陣；(3) A是正交矩陣，則是正交矩陣，則 ；1 A(4) P是正交矩陣，則是正交矩陣，則 ,nRxxPx ,即即保持向量的長度不

13、變。保持向量的長度不變。性質(zhì)性質(zhì) 施密特正交化過程施密特正交化過程11 ,1112122 222321113133, 設(shè)設(shè) 線性無關(guān)線性無關(guān)r ,21是正交向量組。是正交向量組。則則321,111/222/333/321,等價(jià)的規(guī)范正交組等價(jià)的規(guī)范正交組是與是與特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的求法即為所求特征向量。即為所求特征向量。即為特征值；即為特征值；求出求出0 ) 1 ( EA0)( )2(xEAxAx把得到的特征值把得到的特征值 代入上式，代入上式，i求齊次線性方程組求齊次線性方程組的非零解的非零解x0)(xEAi齊次線性方程組齊次線性方程組的通解的通解x (去掉零解去掉零解）

14、0)(xEAi即為與即為與 對應(yīng)的全部特征向量。對應(yīng)的全部特征向量。i)() 1 (221121AtraaannnAn21)2(特征值的性質(zhì)特征值的性質(zhì)特征向量的性質(zhì)特征向量的性質(zhì)(1)(1)方陣屬于不同特征值的特征向量必線性方陣屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān)無關(guān)。(2)(2)實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量必實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量必正交正交。n階方陣階方陣A可對角化的條件、方法可對角化的條件、方法1、一個(gè)充要條件：一個(gè)充要條件：n階方陣階方陣A可對角化可對角化A有有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量2、兩個(gè)充分條件：兩個(gè)充分條件：1) 如果如果A有有n個(gè)互異的特征值

15、，則個(gè)互異的特征值，則A必可對角化必可對角化2) 如果如果A是實(shí)對稱矩陣，則存在正交矩陣使得是實(shí)對稱矩陣，則存在正交矩陣使得A對角化對角化3、對角化方法：對角化方法：nnnA,2121個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量的的是是設(shè)設(shè)nAPP2114、正交對角化正交對角化: :可可逆逆，并并且且，則則令令是是相相對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征值值PPn,21七、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形七、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形1、二次型二次型二次齊次多項(xiàng)式；二次齊次多項(xiàng)式； 標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣對角陣對角陣二次型的矩陣表示二次型的矩陣表示 f =XTAX2、二次型的矩陣二次型的矩陣前提：實(shí)對稱矩陣前提：實(shí)對稱矩陣；標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形僅含有平方項(xiàng)的二次型僅含有平方項(xiàng)的二次