兩個變量的線性相關(guān)分析

1、232兩個變量的線性相關(guān)一、教學(xué)目標(biāo)重點：了解最小二乘法和回歸分析的思想，根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立回歸方程.難點：如何通過數(shù)學(xué)方法刻畫“從整體上看，各點與此直線的距離最小”，并在此過程中了解最小二乘法思想.知識點：根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立回歸方程能力點：探究體會數(shù)形結(jié)合的方法及最小二乘法的數(shù)學(xué)思想教育點：學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)和探究式學(xué)習(xí)的方式完成一個完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程自主探究點：自學(xué)例 2.考試點：根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立回歸方程易錯易混點：如何化簡復(fù)雜的代數(shù)表達(dá)式，學(xué)生缺乏處理的經(jīng)驗，在計算能力的要求上也較高 拓展點：事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程三者

2、關(guān)系.二、復(fù)習(xí)引入引例：在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6問題1.作出散點圖，并指出上面的兩個變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？【設(shè)計意圖】為本節(jié)課學(xué)生能夠更好的建構(gòu)新的知識做好充分的準(zhǔn)備，對舊的知識進(jìn)行簡要的提問復(fù)習(xí), 為能夠順利的完成本節(jié)課的內(nèi)容提供必要的基礎(chǔ).【設(shè)計說明】 學(xué)生動手操作得出散點圖回答.問題2.觀察下面這兩幅圖，看有什么特點？【設(shè)計意圖】通過討論比較，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣，

3、活躍課堂氣氛.【設(shè)計說明】 設(shè)計該問題，弓I導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，鼓勵學(xué)生大膽表達(dá)自己的看法，充分暴露思維過程. 發(fā)現(xiàn)：圖1很亂，兩個變量沒有相關(guān)關(guān)系；圖2呈上升趨勢，圖中點的分布呈條狀，所有點都落在某一直線的附近，這樣由圖 2自然地引出線性相關(guān)、回歸直線的概念，同時引入課題.引入：為此我們引入今天的課題-回歸直線及其方程 【設(shè)計意圖】循序漸進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.三、探究新知（一）探索回歸直線的概念1.回歸直線的定義：如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具 有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.【設(shè)計意圖】培養(yǎng)自學(xué)能力和數(shù)學(xué)閱讀能力.【設(shè)計說明】 讓學(xué)生閱讀

4、教材，通過閱讀教材學(xué)習(xí)線性相關(guān)，回歸直線，回歸方程的概念，并分析概念中 應(yīng)注意的問題.注意：概念的前提是點的分布在一條直線附近.（二）探索回歸直線的找法結(jié)合引例一年齡與體內(nèi)脂肪含量相關(guān)性 的散點圖觀察，思考以下問題.問題1.對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，你認(rèn)為其回歸直線是一條還是幾條？【設(shè)計意圖】讓學(xué)生通過觀察、分析，自己發(fā)現(xiàn)回歸直線的條數(shù)只有一條，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題 的能力.問題2.回歸直線與散點圖中各點的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？【設(shè)計意圖】讓學(xué)生分析兩者的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者整體上最接近，以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分 析問題的能力.問題3.那么在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準(zhǔn)

5、確畫出回歸直線？【設(shè)計意圖】讓學(xué)生動手操作畫回歸直線，建立回歸思想，以分解難點、突破難點，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作 能力.問題4.如果能夠求出回歸方程，那么我們就可以比較清楚的了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性那么我們 應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個回歸方程呢？對于求回歸直線方程，你有哪些想法？【設(shè)計意圖】充分暴露學(xué)生的思維過程，通過討論比較，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣，活躍課堂氣氛 培養(yǎng)學(xué)生動腦思考問題的能力.【設(shè)計說明】結(jié)合教材，學(xué)生會出現(xiàn)以下方案.方案一：采用測量的方法，先畫出一條直線，測量出各點與它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個使距離的 和最小的位置，測出此時的斜率和截距，就是回歸方程了如圖方案二：在圖中

6、選兩點作直線，使直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同.如圖5IJIJ11IIL.020253035404550556065 年齡方案三：如果多取幾對點，確定多條直線，再求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸直線的斜率和 截距，得回歸方程如圖問題5.以上這些方法是不是真的可行？為什么？【設(shè)計意圖】結(jié)合以上三個方案讓學(xué)生畫圖，然后教師引導(dǎo)學(xué)生討論、交流方案的可行性，體會回歸直線 的特征.【設(shè)計說明】教師先展示學(xué)生畫圖情況，學(xué)生說明理由；然后教師總結(jié)回歸直線的特征：整體上看散點圖 中的點到此直線的距離最小.問題6.如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看，各點到此直線的距離小”？【設(shè)計意圖】這樣設(shè)疑符合學(xué)生的認(rèn)知

7、規(guī)律，增強了學(xué)生的求知欲.x在RtAABC中按照一對一的 關(guān)系，直角邊AB越小，斜邊AC也越小.【設(shè)計說明】教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行下面的分析：引導(dǎo)學(xué)生以等效性和簡化計算為目標(biāo)，將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為自變量x取值一定時，縱坐標(biāo)的偏差這樣自然引出下面求回歸方程的方法.問題7.結(jié)合以上分析，我們認(rèn)為以“偏差”最小的直線作為回歸直線比較恰當(dāng)，那你能用代數(shù)式來刻畫“從整體上看，各點與此直線的偏差最小”嗎？【設(shè)計意圖】幾何問題代數(shù)化，為下一步探究作好準(zhǔn)備，經(jīng)歷“幾何直觀”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表達(dá)”過程，為 引出“最小二乘法”作準(zhǔn)備.【設(shè)計說明】假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（, y1） , （x

8、2, y2），,（xn,yn） 當(dāng)自變量x取x （i =1,2，n）時，可以得到0=bx +a（i =1,2，n）,它與實際收集到的 之 間的偏差（如圖）是 yi= % -（bXj - a） （i =1,2，,n）.y tIOx問題8教師啟發(fā)學(xué)生比較下列三個模型，哪個模型比較可行?模型一：n遲(y -?)最小i 土n模型二：1最小i 土n模型三：(yi-?)2 最小i生n【設(shè)計意圖】先向?qū)W生說明7 的意義，體會如何選取恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ń⒒貧w方程的過程，提高學(xué)生分i £析問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力.【設(shè)計說明】教師指出：模型一中（ -？）可能有正有負(fù)，互相抵消怎么辦？學(xué)生一般會

9、想到加絕對值.模型二中1% -? I去絕對值非常困難（可以提問，讓學(xué)生思考），是否有其它的方法，同時可以類比方差的處理方法，引導(dǎo)學(xué)生思考.師生一起分析后，得出用模型三來制定標(biāo)準(zhǔn)評價一條直線是否為“最好”的直線較為方便.（三）利用最小二乘法推導(dǎo)回歸系數(shù)公式nn問題9.通過對上述問題的分析，我們知道可以用（y-?）2 =送（yj -bXj -a）2最小來表示偏差最i di=1小，那么在這個式子中，當(dāng)樣本點的坐標(biāo)（Xi,y）確定時，a, b等于多少，Q能取到最小值呢？【設(shè)計意圖】體會最小二乘法思想，不經(jīng)歷公式化簡無法真正理解其意義，而直接從n個點的公式化簡，教學(xué)要求、教學(xué)時間、學(xué)生能力都沒達(dá)到這個高

10、度因而由具體到抽象，由特殊到一般，將是學(xué)生順利完 成這一認(rèn)知過程的一般性原則.通過這個問題，讓學(xué)生了解這個式子的結(jié)構(gòu)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，同 時滲透最小值的思想.【設(shè)計說明】我們采用n個偏差的平方和 Q= （y - bx - a）2 （y2 - bx2 - a）2亠'亠（yn -b - a）2表示nn個點與相應(yīng)直線在整體上的接近程度：記Q=v (yj bXj - a)2 通過化簡，得到的其實是關(guān)于a、b的i 4二元二次函數(shù)求最值的問題，一定存在這樣的a、b,使Q取到最小值.教師指出：Q為最小值時的b的值的線(1) 在此基礎(chǔ)上，視 Q為b的二次函數(shù)時，根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，可求出使 性

11、回歸方程系數(shù)公式：n_-乞(Xi -x)(yi -y) i 4bn' (Xii 1-X)2n二 Xi yi 一 nx y i丄n、x2i 4-2一 nx-bx.b ,a，即回歸方程為44截距為y 二 bx a(2)(X, y)稱為樣本點的中心，可以證明回歸直線一定過樣本點的中心，所以可得這樣，回歸方程的斜率為最小二乘法：這種通過上式的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平 方和最小的方法叫做最小二乘法.四、理解新知例1進(jìn)一步探究引例一年齡與體內(nèi)脂肪含量表年齡23394550545760脂肪9.521.227.528.230.230.835.2表二：年齡232

12、7394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6(1)根據(jù)表一數(shù)據(jù)，需要計算哪些新數(shù)據(jù)，才能求出線性回歸方程系數(shù)？【設(shè)計意圖】公式形式化程度高、表達(dá)復(fù)雜，通過分解計算，可加深對公式結(jié)構(gòu)的理解.同時，通過例題, 反映數(shù)據(jù)處理的繁雜性，體現(xiàn)計算器處理的優(yōu)越性._ nn【設(shè)計說明】可讓學(xué)生觀察公式，充分討論，通過計算：xyi、n、X、y、xiyixi2六個數(shù)據(jù)帶入回歸方程公式得到線性回歸方程，體會求線性回歸方程的原理與方法.而后教師可偕同學(xué)生，對計算 器操作方式提供示范，師生共同完成，

13、得出回歸直線方程為：y =0.6541x-4.5659.(2) 利用計算器，根據(jù)表二，請同學(xué)們獨立解決求出表中兩變量的回歸方程.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生獨立體驗運用計算器求回歸直線方程，在重復(fù)求解回歸直線的過程中，使學(xué)生掌握利4用計算器求回歸直線的操作方法.得出回歸直線方程為：y二0.5765X - 0.4478.【設(shè)計說明】學(xué)生獨立運用計算器求回歸直線方程，對于不會操作的學(xué)生，教師給予必要的指導(dǎo).繼續(xù)思 考下列問題：問題1.請同學(xué)們從表格中選取年齡 x的一個值代入上述回歸直線的方程，看看得出的數(shù)據(jù)與真實數(shù)值之間的關(guān)系.如：x=50時，得出估計值為 28.3772，而實際值為28.2，有偏差為什么？

14、4【設(shè)計意圖】使學(xué)生理解線性回歸方程的真正意義與作用，明確y只是y的一個估計值，將x值帶入后肯定有誤差.問題2.試預(yù)測某人37歲時，他體內(nèi)的脂肪含量，并說明結(jié)果的含義.設(shè)計意圖】進(jìn)一步理解線性回歸方程的真正意義與作用.【設(shè)計說明】學(xué)生代入計算得 20.883.教師進(jìn)一步提問：我們能不能說他的體內(nèi)脂肪含量的百分比一定是20.883% ?學(xué)生思考回答：不能，只能說他體內(nèi)的脂肪含量在20.90%附近的可能性比較大.問題3同樣問題背景，為什么回歸直線不止一條？回歸方程求出后，變量間的相關(guān)關(guān)系是否就轉(zhuǎn)變成確定 關(guān)系？設(shè)計意圖】明確樣本的選擇影響回歸直線方程，體現(xiàn)統(tǒng)計的隨機思想同時，明確其揭示的是相關(guān)關(guān)系

15、 而非函數(shù)的確定關(guān)系，而且最小二乘法只是某一標(biāo)準(zhǔn)下的一種數(shù)據(jù)處理方法，使學(xué)生更全面的理解回歸直 線這一核心概念.設(shè)計說明】教師說明回歸直線方程由數(shù)據(jù)唯一決定，提供的數(shù)據(jù)不同，回歸直線方程當(dāng)然不同，同時回 歸直線方程又能反映數(shù)據(jù)的本質(zhì).理解回歸系數(shù)公式思考1.線性回歸方程y = bx a為何不記為y = bx a ?你能說明對于確定的 x，根據(jù)y = bx a計算出 的y的意義嗎？【設(shè)計意圖】使學(xué)生理解線性回歸方程的真正意義與作用，明確y只是y的一個估計值.【設(shè)計說明】學(xué)生思考，教師幫助學(xué)生理解線性回歸方程的意義與作用.思考2.這個公式不要求記憶，但要會運用這個公式進(jìn)行運算，那么，要求b,a的值

16、，你會按怎樣的順序求呢？【設(shè)計意圖】公式不要求推導(dǎo)，又不要求記憶，學(xué)生對這個公式缺少感性的認(rèn)識，通過這個問題，使學(xué)生 從感性的層次上對公式有所了解.b,a時，必須要有條理，先求什么，再求什x2順序來求，再代入公式.【設(shè)計說明】由于這個公式比較復(fù)雜，因此在運用這個公式求_ nn么.比如，我們可以按照 x yi、n、x、y、無xi yi ' Z iAiA五、運用新知例2有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲 杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：1、畫出散點圖；2、從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；3、求回歸方程；4、如果某天的氣溫是

17、2攝氏度，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)。攝氏溫度熱飲杯數(shù)-51560150413271281213015116191042389279331763654(1)散點圖圖3-1(2) 2、從圖3-1看到，各點散布在從左上角到由下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相 關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少。(3) 從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此利用公式1求出回歸方程的系數(shù)。Y= -2.352X+147.767(4) 當(dāng)x=2時，丫=143.063 因此，某天的氣溫為 2攝氏度時，這天大約可以賣出143杯熱飲?！驹O(shè)計意圖】通過此題，讓學(xué)生完整經(jīng)歷求回歸直線過程其中第4問，讓學(xué)

18、生體會到即使是相比下“最優(yōu)”的所獲得的回歸直線，也存在著一定的誤差， 從中體會無論方法的優(yōu)劣， 統(tǒng)計學(xué)中隨機性無法避免. 在預(yù)測值的計算中，體現(xiàn)了回歸直線的應(yīng)用價值，加深學(xué)生對回歸方程的理解，體驗數(shù)學(xué)在實際生活中的 應(yīng)用.【設(shè)計說明】本題不能用計算器運算，以考查學(xué)生的運算能力； 本題讓學(xué)生自學(xué)，爬黑板板書過程，教師進(jìn)一步規(guī)范學(xué)生的解題步驟； 結(jié)合這兩個例題讓學(xué)生總結(jié)求回歸直線方程的步驟.拓展：通過對以上兩個案例的分析，思考：事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程三者關(guān)系.1數(shù)據(jù)采樣本身就具有隨機性，同樣23歲的人，脂肪含量可能 9.5%，也有可能30%，這種誤差我們稱之為隨機誤差，隨機誤差是不可避免的.

19、2回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定關(guān)系中的某種確定性，雖然一個數(shù)據(jù)具有隨機誤差，但總體還是具有 某種確定的關(guān)系.3在數(shù)據(jù)采樣都符合統(tǒng)計要求的情況下，取三個回歸直線方程中的任意一個都是合理的，不存在哪條最合 適的問題，但一般情況下，選擇數(shù)據(jù)多一些的比較合理.因此，事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程三者具有如下的關(guān)系：六、課堂小結(jié)教師提問：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生作答: 1知識：求回歸直線方程的方法.求回歸直線方程的步驟： 先判斷變量是否線性相關(guān)； 若線性相關(guān)，可按下面的步驟求回歸直線方程;第一步，計算平均數(shù) x、y ；nn第二步，求和v xx、a x1 2 3 ；i 4i

20、4n,Z (Xi -x)(yi - y)第三步，計算b二斗廠Z (x -x)2i丄n' Xi% - nxy2Xi2一 nx第四步，寫出回歸直線方程為 y = bx a 利用回歸方程對生活實際問題進(jìn)行分析與預(yù)測.(3)回歸直線方程的作用及意義.2思想：數(shù)形結(jié)合、歸納、類比、最小二乘法和回歸分析的思想.教師總結(jié)：提醒學(xué)生：在學(xué)習(xí)新知時，也要經(jīng)常復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容，“溫故而知新” 在應(yīng)用中增強對知識的理解，及時查缺補漏，從而更好地運用知識，解題要有目的性，加強對數(shù)學(xué)知識、思想方法的認(rèn)識與自 覺運用.【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生自主梳理知識能力，加強對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo).七、布置作業(yè)1書面作業(yè)1有5個

21、學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(單位：分)如下表:數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462(1) 畫出散點圖，判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系，若相關(guān)，求出回歸方程；(2) 關(guān)于兩個變量之間的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？2.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x (噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y (噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.51h11iliiL電L11I1 11 LO圖(1)1cO圖(2)【設(shè)計說明】第一個是線性相關(guān)，可以求回歸方程，后一個是非線性相關(guān)，直線不能很好地反映圖中兩個變量之間的關(guān)系顯然求回歸直線的方程是沒有意義的有些變量線性相關(guān)，有些非線性相關(guān)，怎樣衡量

22、 變量的線性相關(guān)程度呢？帶著這個問題讓學(xué)生課后閱讀第92頁的內(nèi)容.【設(shè)計意圖】 設(shè)計書面作業(yè)必做題，是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣書面作業(yè)的 布置，是為了讓學(xué)生進(jìn)一步掌握求回歸直線方程的步驟；課外思考的安排，是讓學(xué)生在應(yīng)用知識的同時開 闊了學(xué)生視野，將課堂內(nèi)涵延伸到課外.八、教后反思1本教案的亮點是整個教學(xué)設(shè)計過程采用研究性學(xué)習(xí)方法，由學(xué)生自己去探究，去解決問題不是生硬的 拋出，而是水到渠成例題也是變講為練，都是學(xué)生在獨立或小組討論中解決的，很好的調(diào)動學(xué)生的積極 性與主動性，提高了學(xué)生的解題能力.2.由于各校的情況不同， 建議教師在使用本教案時靈活掌握，但必須在求回歸直線方程

23、的步驟上下足功夫.3本節(jié)課的弱項是課容量大，時間所限，在課堂上沒有充分暴露學(xué)生的思維過程，感覺一節(jié)課下來比較緊,學(xué)生理解不透徹，尤其是學(xué)生對回歸直線的找法還存在一定的困難.九、板書設(shè)計2.3.2回歸直線及其方程一、知識點1回歸直線的定義：如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性 相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.注意：概念的前提是點的分布在一條直線附近.2最小二乘法：這種通過上式的最小值而得到回歸直線的 方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和 最小的方法叫做最小二乘法.3回歸方程：44444y=bx+a，回歸方程的斜率為 b，截距為a . 其中回歸方程系數(shù)公式：rnn亠 Z (Xi x)(yi -y) 送 XiYi nxyb =n_ 2門 2_2 7為(Xi x)無 x nx7i =1a = y _bx.說明：(l)y只是y的一個估計值；(2) 這個公式不要求記憶，但要會運用這個公式進(jìn)行運 n n算，運算順序可以按照x yi、n、x、y、為xi yixi2i =1i =1順序來求，再代入公式.(3) 回歸直線一定過樣本點的中心 (x, y) 4.求回歸直線方程的步驟：先判斷變量是否線性相關(guān)；(2)利用計算器，根據(jù)表二，請同學(xué)們獨立解決 求出