第2章光波在自由空間和波導中的傳播

1、第2章 光波在自由空間和波導中的傳播內(nèi)容提要： 光的傳播是光電信息系統(tǒng)研究的基本問題之一，也是光能夠記錄、存儲、處理和傳送信息的基礎。為了解釋光在光電器件之間傳播現(xiàn)象，需要研究光在自由空間和波導中傳播的行為。本章首先介紹平面波角譜的概念，并從角譜的傳播導出光在自由空間傳播的規(guī)律；同時利用光的直線傳播和波動理論，介紹光在波導中的傳播行為。2.1 球面波和平面波的復振幅表示我們知道，光是電磁波，求解(1.10)和(1.11)關于電磁波傳播的波動方程，可以準確解決光的傳播問題。衍射是光波動傳播過程的普遍屬性，是光具有波動性的具體表現(xiàn)。電磁波是矢量波，精確解決光的衍射問題，必須考慮光波的矢量性。用矢量

2、波處理衍射過程非常復雜，這是因為電磁場矢量的各個分量通過麥克斯韋方程聯(lián)系在一起，不能單獨處理。但是，在光的干涉、衍射等許多現(xiàn)象中，只要滿足：(1) 衍射孔徑比波長大得多；(2) 觀察點離衍射孔不太靠近。把光作為標量處理的結果與實際極其接近。因此，這里只討論光的標量衍射理論。從光場的分解可知，任何復雜的波都可以用球面波或平面波的線性組合來表示，球面波和平面波都是波動方程的基本解。因此，可將平面波作為基元函數(shù)來描述衍射現(xiàn)象，這就是研究平面波衍射的角譜方法。2.1.1 球面波的復振幅表示球面波是波動方程的基本解。從點光源發(fā)出的光波，在各向同性介質(zhì)中傳播時形成球形的波面，稱為球面波。一個復雜的光源常常

3、可以看做是許多點光源的集合，它所發(fā)出的光波就是球面波的疊加。這些點光源互不相干時是光強相加，相干時則是復振幅相加。因此，研究球面波的復振幅表示是很重要的。球面波的等相位面是一組同心球面，每個點上的振幅與該點到球心的距離成反比。如圖2.1所示，位于平面任意點的單色發(fā)散球面波在光場中任何一點產(chǎn)生的復振幅可寫做 (2.1)式中，為離開點光源單位距離處的振幅；為觀察點離開點光源的距離。對于會聚球面波，則有 (2.2)圖2.1 球面波在x-y平面上的等相位線光學問題中所關心的是特定平面上的光場分布，例如，衍射場中的孔徑平面和觀察平面，成像系統(tǒng)中的物面和像面等。因而光波在某一特定平面上產(chǎn)生的復振幅分布具有

4、重要意義。在圖2.1中，點光源位于平面上點，考察與其相距z(z>0)的平面上的光場分布，r可寫為 (2.3)當x-y平面上只考慮一個對S點張角不大的區(qū)域時，取的一階近似 (2.4)將式(2.4)代入式(2.1)，因為所考慮的區(qū)域相對z很小，各點的光振動的振幅近似相等。式(2.1)中分母上的r可用z近似，但在指數(shù)函數(shù)上的相位因子中，由于光的波長極短，k=數(shù)值很大，近似式(2.4)中第二項不能省略。因此，發(fā)散球面波在x-y平面上產(chǎn)生的復振幅分布為 (2.5)在式(2.5)中，exp(jkz)是常量相位因子；隨x-y平面坐標變化的項exp為球面波的(二次)相位因子。當平面上復振幅分布的表達式中

5、包含有這種因子時，一般就可以認為距離該平面z處有一個點光源發(fā)出的球面波經(jīng)過這個平面。x-y平面上等相位線方程為 (2.6)式中，C表示某一常量。不同C值所對應的等相位線構成一個同心圓族，它們是球形波面與x-y平面的交線。相位值相差的同心圓之間的間隔由下式?jīng)Q定 (2.7)因此同心圓族由中心向外愈來愈密集。當光源位于x0-y0平面的坐標原點時，在傍軸近似下，發(fā)展球面波在x-y平面上的復振幅分布為 (2.8)若z<0，上式也可以用來表示會聚球面波，或者寫做 (2.9)它表示經(jīng)過x-y平面向距離|z|處會聚的球面波在該平面產(chǎn)生的復振幅分布。2.1.2 平面波的復振幅表示如圖2.2所示，波矢量k表

6、示光波的傳播方向，。在任意時刻，與波矢量相垂直的平面上振幅和相位為常數(shù)的光波稱為平面波。圖2.2 平面波在x-y平面上的等相位線若空間某點P(x, y, z)的位置矢量為r，則平面波傳播到P點的相位為，該點復振幅的一般表達式為 (2.10)當觀察面已定，Z 變?yōu)槌?shù)時，式(2.10)可表示為 (2.11)于是復振幅可寫為 (2.12)式(2.12)表征了與z軸垂直并距原點z處的任一平面上平面波的復振幅分布。上式右邊可分成與(x, y)坐標有關的和與(x, y) 坐標無關的A兩部分。前者是表征平面波特點的特征相位因子，當平面上復振幅分布的表達式中包含有這種因子時，即表明有一個方向余弦為、的平面波

7、經(jīng)過這個平面；后者即A的模是個常數(shù)，不像球面波的模與距離成反比。A的幅角則與z坐標成正比。平面波等相位線方程為 (2.13)式中，C表示某一常量。不同C值所對應的等相位線是一些平行直線。圖2.2中用虛線表示出相位值相差的一組波面與x-y平面的交線，即等相位線。它們是一組平行等距的斜直線。由于相位值相差的點的光振動實際相同，所以平面上復振幅分布的基本特點是相位值相差的周期性分布。這是平面波傳播的空間周期性特點在x-y平面上的具體表現(xiàn)，也是下面將要提出的平面波空間頻率概念的基礎。2.2 平面波的角譜及角譜的傳播2.2.1 平面波的空間頻率在單色平面波中，引入與傳播方向有關的量 (2.14a)平面波

8、的復振幅的一般表達式變?yōu)?(2.14b)式(2.14a)定義的為平面波在方向上的空間頻率?？梢姡臻g頻率與平面波有一定的聯(lián)系，如圖2.3所示，一平面波的波矢量為k，時間頻率為，其等相位面為平面，并與波矢量k垂直。圖中畫出了由原點起沿波矢量方向每傳播一個波長周期性重復出現(xiàn)的兩個等相位面。相鄰兩等相位面與x、y、z軸的兩交點距離分別為 (2.15)由式(2.15)可知，空間頻率表示在x、y、z軸上單位距離內(nèi)的復振幅周期變化的次數(shù)。這就是平面空間頻率的物理意義。圖2.3 傳播矢量k位于x0-z平面的平面波在x-y平面上的空間頻率空間頻率的意義可總結如下：(1) 對于一列平面波而言，它的空間頻率是一個

9、常數(shù)，其大小由平面波的傳播方向決定。因此，“單頻信號”與一列平面波相對應。(2) “多頻信號”代表各個方向的不同的平面波的組合，對于單色波，空間頻率與平面波的方向余弦是一一對應的，因而多頻信號(復色信號)可視為方向不同的多個平面波的疊加?？臻g頻率不同的平面波對應不同的傳播方向，傳播方向與空間頻率一一對應。由于空間頻率與平面波方向相聯(lián)系，即與角度有十分密切的關系，所以空間頻率可稱為“角頻率”。 如果光沿一個平面如傳播，對應“零頻”，即光波沿z軸方向傳播；越大，意味著越小，稱為“低頻”；越小，越大，稱為“高頻”；當時，即波沿x軸方向傳播，此時，稱為極限高頻(見圖2.4)。圖2.4 空間頻率與傳播方

10、向的關系(3) 光柵線密度越小，則一級衍射平面波的空間頻率越低。當平面波垂直入射到平面光柵上時，產(chǎn)生的多級平面衍射波具有不同的傳播方向。由光柵方程dsinq=kl 可知，對于同樣波長而言，光柵常數(shù)d越大則一級衍射波的衍射角越小，由此可知光柵線密度越小則一級衍射平面波的空間頻率越低。一個普通光學圖像可視為由多種空間頻率的光信號組合而成，低頻分量反映圖像的宏觀結構，高頻分量則反映圖像的精細結構，也就是圖像的細節(jié)。空間頻率的量綱是長度單位的倒數(shù)，通常取cm-1或mm-1。2.2.2 平面波的角譜及其物理解釋平面上任意一個單色光場函數(shù)都可以分解成無窮多個具有不同傳播方向、不同振幅的平面波加權的線性組合

11、，沿不同方向傳播的平面波具有不同的空間頻率?；仡櫳险露S傅立葉變換的定義，對平面上任意一個單色光場函數(shù)可做空間二維傅立葉變換，可知，平面波就是二維傅里葉變換的核。將平面上任意一個單色光場函數(shù)分解成不同空間頻率的平面波，這就是平面波的空間頻譜即角譜。角譜的數(shù)學推導如下：設有一單色光波沿z方向投射到x-y平面上，在z處光場分布為U(x, y, z)，則函數(shù)U(x, y, z)在x-y平面上的二維傅里葉變換是 (2.16)這就是光場復振幅分布U(x, y, z)的角譜。同時有逆變換為 (2.17)U(x, y, z)可理解為不同空間頻率的一系列基元函數(shù)的和，其疊加權重為。由式(2.17)可以看出，基

12、元函數(shù)就是空間頻率為的平面波。權重因子為該方向平面波即該空間頻率平面波的復振幅。因此，式(2.17)說明，單色光波在某一平面上的光場分別可以看做是不同傳播方向的平面波的疊加，在疊加時各平面波有自己的振幅和相位，它們的值分別為角譜的模和幅角。因為，則也可利用方向余弦表示為 (2.18)由(2.18)可以看出，空間頻譜是以平面波傳播方向的角度的余弦為自變量，因此將其稱做角譜。2.2.3 平面波角譜的傳播1. 平面波角譜傳播的推導研究角譜的傳播就是要找到z=0平面上的角譜和z=z平面上的之間的關系?，F(xiàn)在研究一個與平面平行且離它距離為的平面上的光場的復振幅分布的角譜。根據(jù)式(2.17)，圖2.5中z=

13、0平面上的光場分布和平面上的光場分布可以分別表示如下圖2.5 復振幅分布及其角譜的傳播 (2.19) (2.20)在所有的無源點上，必須滿足 (2.21)將式(2.20)代入式(2.21)表示亥姆霍茲方程，改變積分與微分的順序，注意到角譜僅是z的函數(shù)，而復指數(shù)函數(shù)中不含z變量，可以導出必須滿足的微分方程 (2.22a)該二階常微分方程的一個基本解是式中，由初始條件決定。z=0平面上的角譜為，因而有最后得到 (2.22b) 這是一個十分重要的結果，它給出了兩個平行平面之間角譜傳播的規(guī)律。在由已知平面上的光場分布得到其角譜后，可以利用式(2.22b)求出它傳播到z=z平面上的角譜，再通過傅里葉逆變

14、換求出其光場分布。角譜的傳播公式(2.22b)表明，當方向余弦滿足時，平面波傳播一段距離距離z的效應只是改變了各個角譜分量的相對相位。 這是由于每個平面波分量以不同方向傳播，它們到達給定的點所經(jīng)過的距離不同，引入一個相位延遲因子。對于的情況，不能將、解釋為方向余弦。由于是場分布的傅立葉變換，而孔徑平面上對場施加了邊界條件即卷積，因此可能出現(xiàn)滿足的情況，這時，式(2.22b)中的平方根是虛數(shù)，于是公式變成 (2.23)式中，。由于是正實數(shù)，式(2.23)說明，一切滿足的波動分量，將隨z的增大而按指數(shù)衰減，在幾個波長的距離內(nèi)很快衰減到零。對應于這些傳播方向的波動分量稱為倏逝波，它們與在截止頻率以下

15、驅(qū)動的微波波導中所產(chǎn)生的波非常相似。在滿足標量衍射理論近似的情況下忽略不計。對于，即的情況，波動分量的傳播方向垂直z軸，它在z軸方向的凈能量流為零。2. 在空間頻域平面波的傳播現(xiàn)象等效于對光波做空間濾波令，把式(2.22b)改寫為 (2.24)如果將和分別看做一個線性不變系統(tǒng)的輸出和輸入函數(shù)的頻譜，系統(tǒng)在頻域的效應可由傳遞函數(shù)表征為 (2.25)在滿足標量衍射理論近似條件情況下，倏逝波可忽略不計，因而傳遞函數(shù)可表示為 (2.26)公式(2.26)表明，可以把光波的傳播現(xiàn)象看做一個空間濾波器。如圖2.6所示，在頻譜面上半徑為1/l的圓形區(qū)域內(nèi)，傳遞函數(shù)的模為1，對各頻率分量的振幅沒有影響，但要引

16、入與頻率有關的相移。在這一圓形區(qū)域外，傳遞函數(shù)為零。由此可知，對空域中比波長還要小的精細結構，或者說空間頻率大于1/l的信息，在單色光照明下不能沿z方向向前傳遞。光在自由空間傳播時，攜帶信息的能力是有限的。圖 2.6 傳播現(xiàn)象的有限空間帶寬2.2.4 衍射孔徑對角譜的效應假設在z=0平面處有一無窮大的不透明屏，它包含衍射結構，即開一孔，現(xiàn)在研究該衍射屏幕對光波擾動的角譜的影響。定義該孔的透過率函數(shù)為 (2.27)這里，沿z方向傳播的光波入射到該孔徑上的復振幅為Ui(x, y, 0)，則緊靠孔徑后的平面上出射光場的復振幅Ut(x, y, 0)為 (2.28)對上式兩邊做傅里葉變換，并利用傅立葉變

17、換的卷積性質(zhì)，角譜可表示為 (2.29)式中，為孔徑函數(shù)的傅里葉變換。由于卷積運算具有展寬帶寬的性質(zhì)，因此，引入使入射光波在空間上受限制的衍射孔徑的效應就是展寬了光波的角譜，而不同的角譜分量相應于不同方向傳播的平面波分量，故角譜的展寬意味著在出射波中除了包含入射光波相同方向傳播的分量之外，還增加了一些與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的波，這就是衍射波。2.3 用角譜理論推導光在自由空間的傳播2.3.1 標量衍射的推導及直觀解釋本節(jié)用平面波角譜理論即從頻域的角度推導常用的衍射公式。前面已經(jīng)討論過頻域的角譜傳播問題，在由已知平面上的光場分布得到其角譜后，可以利用角譜的傳播

18、公式(2.22b)求出它傳播到z=z平面上的角譜。通過傅里葉反變換，最后得到用表示的衍射光場分 (2.30)這就是平面波譜衍射的基本公式。對孔徑平面的積分實際上只需對孔徑內(nèi)的場做積分。式(2.30)的四重積分使用起來仍很不方便，還需要按照菲涅耳的方法進行化簡?？紤]一列平面波通過一個孔徑，在孔徑后不同的平面上觀察其輻射的圖樣。如圖2.7所示，在緊靠孔徑后的平面上，光場分布基本上與孔徑的形狀相同，這個區(qū)域稱為幾何投影區(qū)；隨著傳播距離的增加，衍射圖像與孔的相似性逐漸消失，衍射圖的中心產(chǎn)生亮暗變化，從這個區(qū)域開始到無窮遠處，均稱為菲涅耳衍射區(qū)；當傳播距離進一步增加時，衍射圖樣的相對強度關系不再改變，只

19、是衍射圖的尺寸隨距離的增加而變大，幅度隨之降低，這個區(qū)域稱為夫瑯禾費衍射區(qū)。夫瑯禾費衍射區(qū)包含在菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)，但是通常不太確切地把前者稱做遠場衍射，后者稱做近場衍射。圖2.7 按傳播距離劃分衍射區(qū)2.3.2 菲涅耳衍射公式假定孔徑和觀察平面之間距離z遠遠大于孔徑的線度，并且只對z軸附近的一個小區(qū)域內(nèi)進行觀察，則有此條件等同于這里，L0=為孔徑的最大尺寸；L1=為觀察區(qū)的最大區(qū)域。這種近似稱為菲涅耳近似或傍軸近似。在這種情況下，對 展開，只保留(l f )2項，略去高次項，即這樣式(2.30)可寫為 (2.31)上式還可表示為 (2.32)這就是常用的菲涅耳衍射公式。上一節(jié)已證明，因為波動的可

20、疊加性，可以把光波的傳播現(xiàn)象看做一個線性系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)由式(2.26)表示。在菲涅耳近似下這一傳遞函數(shù)可進一步表示為 (2.33)它表示在菲涅耳近似下角譜傳播的相位延遲。因子代表一個總體相位延遲，它對于各種頻率分量都是一樣的，因子代表與頻率有關的相位延遲，不同的頻率分量，其相位延遲不一樣。2.3.2 夫瑯禾費衍射與傅里葉變換在菲涅耳衍射公式中，對衍射孔采取更強的限制條件，即取 (2.34)則平方相位因子在整個孔徑上近似為1，于是 (2.35)這就是夫瑯禾費衍射公式。在夫瑯禾費近似條件下，觀察平面上的場分布等于衍射孔徑上場分布的傅里葉變換和一個二次相位因子的乘積。對于僅響應光強不響應相位的光電

21、探測器，夫瑯禾費衍射就是光場的傅里葉變換。2.4 光波在光波導中的傳播光在光波導中的傳播行為可以用幾何光學的射線理論和電磁場在受限介質(zhì)中波動理論進行分析。2.4.1 基于幾何光學的光纖維導光原理光在光纖中的傳播可以用簡單的幾何光學原理即全內(nèi)反射原理來說明。典型光纖的橫截面示意圖如圖2.8所示。光纖由折射率略高的纖芯、折射率略低的包層及表面涂層組成。根據(jù)纖芯折射率徑向分布的不同，光纖可分為階躍折射率分布光纖和漸變折射率分布光纖，如圖2.9所示。圖2.8 光纖的橫截面示意圖 圖2.9 光纖纖芯折射率分布光纖的導光原理可用射線理論與導波理論兩種方法進行分析。當纖芯直徑遠大于光波波長時，基于幾何光學的

22、射線理論可以很好地解釋光纖的導光原理和特性。當纖芯直徑與光波波長可比擬時，則須用導波理論進行分析。這里，僅對階躍折射率分布光纖的射線理論分析方法進行介紹。圖2.10表示光波在階躍折射率分布光纖中的傳播路徑。一束光線以與光纖軸線成的角度入射到芯區(qū)中心，在光纖空氣界面發(fā)生折射，折射光與光纖軸線的夾角由折射定律決定 (2.36)式中，和分別為空氣和纖芯的折射率。折射光到達光纖芯包層界面時，若入射角大于臨界角時，將發(fā)生全反射，若包層折射率為，則定義為 (2.37)所有的光線都將被限制在光纖芯中，這就是光纖導光的基本原理。圖2.10 光波在階躍折射率分布光纖中的傳播路徑下面介紹光纖對光線的接收角，即數(shù)值

23、孔徑。為實現(xiàn)全反射，對光線的入射角有一個最大值限制，與有關系式成立。以替代，并利用式(2.32)和式(2.37)可得 (2.38)稱為光纖的數(shù)值孔徑，代表光纖的集光能力。對于，可近似為 (2.39)式中，為光纖的纖芯與包層相對折射率差；是光纖的接收角。當入射角時，光線在纖心和包層的界面發(fā)生全內(nèi)反射，因而光線在光纖中傳播時不會有嚴重的衰減；然而，當時，光線在纖心和包層的界面上會發(fā)生能量泄漏，造成嚴重的衰減。這就是幾何光學關于光線在光纖中傳播的基本原理。由于光纖很長，因此光在傳播過程中要發(fā)生很多次反射。為了保證低衰減，我們需要百分之百地完全反射，每次反射中的一小點衰減在多次反射后將導致巨大的衰減。

24、到此為止，我們從幾何光學的觀點解釋了光線如何在光纖中傳播。下一個需要了解的問題是帶寬有多大，對此可做如下估計。假設光纖長為，當入射角時，光線穿過光纖的最短時間為tmin。從理論上，tmin由下式給出 (2.40)當光線以臨界角入射穿過光纖時需花費的時間最長，為時，光線在光纖中的傳播距離為 (2.41)因此，最大傳播時間為 (2.42)上述兩種情況下，光纖傳播的時間差為 (2.43)值得注意的是，傳播時間差從根本上限制了傳送信息的最大帶寬。為了避免不同傳播時間的信息相互混淆，最大帶寬為 (2.44)為了對式(2.44)有一定量的認識，我們來看下面的例子。例2.1 階躍折射率光纖的纖心折射率為，包

25、層折射率為，長度，請計算此光纖的最大比特率。解：此光纖的最大比特率為從這個例子可以看出，遠小于光學載波頻率(數(shù)量級是 Hz)。為了解決這個問題，必須減小光線沿不同路徑傳播的時間差。有一種光纖(即單模光纖)，它只允許光線沿一條路線傳播，這樣可以獲得更大的帶寬。不過，簡單幾何光學理論不能完全解釋這個現(xiàn)象，其必須由下節(jié)所描述的更為精確的波動理論來闡述。2.4.2 基于光的波動光學的波導導光理論當光纖的橫向尺度與光的波長相比擬，需要更為精確的波動光學理論來分析，尤其是模式理論，才能解釋發(fā)生在光纖中的現(xiàn)象。波動光學法從著名的麥克斯韋方程出發(fā)。光纖是絕緣介質(zhì)，因此它的自由電荷密度，傳導電流密度。另外還可假

26、設光波是簡諧振蕩波，對這一線性系統(tǒng)，一般可以用基于傅里葉變換的加權求和來處理。在這些假設下，準單色光場的電場滿足下面的波動方程 (2.45)式中，是波數(shù)；是光的時間角頻率；c是真空中的光速；是光纖的材料折射率，它可能是角頻率的函數(shù)，即。由于一般光纖具有圓柱對稱性，因此在柱坐標下解式(2.45)很方便。注意式(2.45)是一個矢量微分方程，為了簡單起見，首先處理電場在軸方向的分量。這時，式(2.45)變成下面簡單的標量微分方程 (2.46)在如圖2.10所示的柱坐標下，式(2.46)可以寫成 (2.47)式(2.47)是一個線性偏微分方程，包括三個變量?？梢酝ㄟ^分離變量法求解，即可假設 (2.4

27、8)把式(2.48)代入式(2.47)，可以得到下面三個方程 (2.49a) (2.49b) (2.49c) 式中，是整數(shù)；是常數(shù)。式(2.49a)的解是 (2.50)此式描述了光波是如何在軸方向傳播的，一般稱為傳播常數(shù)。式(2.49b)的解是 (2.51)此式描述了光場在徑向是如何變化的。，必須是整數(shù)。式(2.49c) 比較復雜，對階躍折射率光纖能得到一個解析解。在圖2.11中，階躍光纖的折射率分布可描述為 (2.52)圖2.11 柱坐標下的光纖式中，是纖心的半徑。把式(2.52)代入式(2.49c)，得到下面的方程組 (2.53a) (2.53b)式(2.53a) 和式(2.53b)可以通

28、過定義兩個新常數(shù)得到進一步簡化，這兩個常數(shù)是 (2.54a) (2.54b)把式(2.54a) 和式(2.54b)代入式(2.53a) 和式(2.53b)，得到 (2.55a) (2.55b)式(2.55a)是著名的貝塞爾方程，而式(2.55b)是修正的貝塞爾方程。這兩個方程的解都是貝塞爾函數(shù)，因此，可以表達為 (2.56) 式中，是階一類貝塞爾函數(shù)；是階二類貝塞爾函數(shù)；是階二類修正貝塞爾函數(shù)；是階一類修正貝塞爾函數(shù)；均是常數(shù)。當時，由于光能不能為無窮大，必須為零(即)。同樣地，當時，而光能也不能為無窮大，必須為零(即)。這樣，式(2.56)簡化為 (2.57)貝塞爾函數(shù)和可以通過查貝塞爾函數(shù)

29、表得到，或者可以由其級數(shù)表達式用計算機算出。它們的級數(shù)表達式是 (2.58a) (2.58b) (2.58c) (2.59)把式(2.50)，式(2.51)及式(2.57)代入式(2.48)，可以得到光場的最終解 (2.60)然后，通過麥克斯韋方程可以求得。下面，利用纖心和包層表面的邊界條件求常數(shù)和。此邊界條件在數(shù)學上可表述為 (2.61)把式(2.60)代入式(2.61)，可得 (2.62a) (2.62b)式中，撇號表示對變量求導。把式(2.62a)和式(2.62b)相除，得到下式(稱為色散關系式) (2.63)為了理解式(2.63), 把式(2.54)中代入得 (2.64)式(2.64)

30、決定了傳播常數(shù)的可能值，討論如下：(1) 由于因子描述了光在軸方向的傳輸，故稱為傳播常數(shù)。對于無衰減傳播，必須是實數(shù)。為了簡單起見，假定光僅在一個方向傳輸，而對此選定的方向必須大于零。(2) 由條件和，可得；由條件和，可得。這樣就得到導波模式下的全面約束條件 (2.65)(3) 定義為光場傳播常數(shù)為的光纖的有效折射率，把式(2.65)兩邊同乘以，得 (2.66)從式(2.66)可以看出，有效折射率在包層折射率和纖芯折射率之間。(4) 對一給定的值，可以求得一系列的解，用分別標記之。這樣，對應于不同的和，可以得到可能的傳播常數(shù)。由于和都是整數(shù)，是離散的數(shù)值，每一個對應一個可能的傳播模式。例如，表

31、示一個模式，而表示另一個模式。(5) 為了得出光纖中傳播的模式數(shù)，定義一個重要的參數(shù)歸一化頻率 (2.67)當時，式(2.64)中的只有一個解。換句話說，在這種情況下光纖中只可能有一個傳輸模式，這種光纖稱為單模光纖。既然只有一個模式在光纖中傳播，模間色散就不存在，因此在長距離通信中單模光纖可以有更寬的帶寬。當更大時，光纖中存在的模式數(shù)大約等于 (2.68)這對應于多模光纖的情況。例2.2 設一光纖的纖心直徑為m，工作波長m，請計算其模式數(shù)。解：既然，可以用近似公式來計算其模式數(shù)因此，在普通的多模光纖中，傳播的模式多達上千個。例2.3 一光纖工作在單模狀態(tài)下，求其所允許的最大纖心半徑。已知，工作

32、波長。解：單模運行條件是，因此最大半徑是此結果告訴我們，單模光纖的半徑很小。例2.4 一光纖半徑，相對折射率差工作波長, 請計算此光纖的傳輸常數(shù)和有效折射率。 解：根據(jù)相對折射率差的定義可得波數(shù)為歸一化頻率為因此，光纖中只有一個模式在傳播，這就是單模光纖的情形。求解方程(2.64)可得到傳播常數(shù)，即求解下式單模光纖只有一個基模在傳播，它對應于的情況。把代入上面的方程得利用貝塞爾函數(shù)恒等關系式，即和，此方程可以進一步簡化。這樣可得 (2.69)方程(2.69)是一個超越方程，它沒有解析解，采用圖解法可求得傳播常數(shù)b。把方程(2.69)的兩邊分別看做b函數(shù)，用MathCAD程序可以分別畫出它們的曲

33、線圖。如圖2.12所示，兩條曲線的交點就給出了傳播常數(shù)b的值，b=7.103，所以有效折射率?？梢钥闯?，有效折射率小于n1，大于n2，這和理論分析相一致。圖2.12 方程(2.69)的左式和右式作為函數(shù)的曲線圖2.4.3 光纖中的衰減正如在2.4.1節(jié)及2.4.2節(jié)中所討論的，基于全內(nèi)反射原理，光線可以被限制在光纖里。然而，光纖中的一些機制可能導致衰減，圖2.13說明了衰減是波長的函數(shù)。當工作波長時，損耗主要來自瑞利散射，它正比于。而當時，紅外吸收損耗變得越來越大。在處有一個損耗峰值，這主要是由氫氧根的吸收造成的。因此，為了將損耗減到最少，當前的通信系統(tǒng)工作在中心波長為或1.55的低損耗窗口。

34、圖2.13 光的光學損耗(或衰減)2.4.4 單模光纖的橫模正如前面幾節(jié)所討論的，電場具有式(2.60)所描述的分布狀態(tài)。本節(jié)將討論單模光纖的場分布。這對應于基模的情況，也就是。把代入式(2.60)，則的歸一化橫向分布為 (2.70)為便于計算,對的情況有一個簡便的經(jīng)驗公式。歸一化電場可以表述為 (2.71)上式是高斯函數(shù)。為了理解式(2.70)和式(2.71),我們來看下面的例子。例2.5 一單模硅光纖半徑，纖心折射率，包層折射率工作波長。(a) 對精確的公式即式(2.70)和高斯近似經(jīng)驗公式(2.71)，請分別畫橫向電場分布的曲線圖。(b) 如果光纖半徑變?yōu)椋刈銮€圖。解： (a) 首先

35、，計算式 (2.70) 和式 (2.71) 中的參數(shù)。在(a)情況下，波數(shù)。歸一化頻率。傳播常數(shù)可以用例2.4中所描述的圖解法計算，結果為。這樣，可算出參數(shù)和基于這些參數(shù)，用MathCAD程序可以畫出的曲線圖，如圖2.14(a)所示。從圖2.14(a)可以看出，精確公式和經(jīng)驗公式之間的差別非常小。這表明，當時，高斯近似是可行的。本例中落在這個區(qū)間內(nèi)。(b) 依照新的半徑，我們重算了電場分布，如圖2.14(b)所示，兩條曲線有明顯的差別。注意在這種情況下，不屬于區(qū)間1.2,2.4。這再次說明使用式(2.71)時的必要條件是。在結束這一節(jié)之前，我們將給出在高斯近似條件下纖芯中的能量百分比 (2.7

36、2)式中，由式(2.71)決定。因此，實際上是歸一化頻率的函數(shù)?？梢杂嬎?，當時，纖芯中大約有75%的光能；而當V變小時，纖芯中的光能百分比也隨之減小。圖2.14(a) 近似較好時橫向電場沿徑向的分布。實線表示精確解，虛線表示高斯近似解；(b) 近似較差時橫向電場沿徑向的分布。實線表示精確解，虛線表示高斯近似解2.4.5 單模光纖的色散在光纖光學中，色散影響光纖通信系統(tǒng)的比特率及帶寬。由于色散的存在，窄脈沖信號在光纖中傳播后會展寬。正如前面章節(jié)所討論的，不同的模式具有不同的傳播常數(shù)。因此，對一多模光纖來說，一個窄脈沖輸入可含有不同的模式，而這些模式傳播速度不同。這樣，輸出信號就增寬了，如圖2.1

37、5所示。這種類型的色散稱為模間色散，其數(shù)值較大。例如，一階躍折射率光纖參數(shù)為長度，則其輸出信號展寬為相應的最大比特率，因此多模光纖不適用于高速長距離通信。圖2.15 多模光纖模間色散的圖解幸運的是，當歸一化頻率時，可以實現(xiàn)單模工作。在這種情況下只有一個模式，不存在模間色散，因而色散將非常小，但色散仍然不為零，這時存在由材料色散和波導色散導致的模內(nèi)色散。1. 單模光纖的材料色散任何實際的光源總是有一定的光譜帶寬，光纖材料的折射率也是波長的函數(shù)，不同波長的光將以不同的速度傳播，也就是)，這種色散叫做材料色散。長距離光纖通信系統(tǒng)采用的光源是單縱模半導體二極管激光器，這種激光器光譜線寬很窄，因此材料色

38、散非常低。材料色散的數(shù)學表達式是 (2.73)例2.6 一全硅光纖長，激光光源的光譜線寬工作波長，并且請利用式(2.73)計算由材料色散和最大比特率導致的脈沖加寬。解：相應的最大比特率是。2. 單模光纖的波導色散除了材料色散，單模光纖中還有波導色散。即便是常數(shù)，由于傳播常數(shù)依賴于歸一化頻率V，而V又依賴于，這樣就產(chǎn)生波導色散。波導色散可以寫成 (2.74)(歸一化傳播常數(shù))例2.7 對一單模階躍折射率光纖，有n1=1.4508，n2=1.446918，a=4.1mm，l=1560nm，Dl=1nm，L=1km。請求其波導色散的大小。解：步驟一：計算歸一化頻率步驟二：計算步驟三：計算單模光纖的總

39、色散是材料色散和波導色散之和。圖2.16給出了標準硅光纖在和時總色散的曲線圖，色散隨工作波長而變。對純硅單模光纖，色散的數(shù)量級是幾十個ps/nm-km,遠比多模光纖的小(幾十個ns/nm-km)。當時，得到零色散。既然波導色散分布Dw依賴于光纖參數(shù)(如纖心半徑和相對折射率差)，就有可能設計出一種光纖，使得零色散點移到1.55附近，如圖2.16所示。這種光纖稱為色散位移光纖。而設計波導使得總色散在一個較寬的波長范圍(如從1.3到1.6)相對較小，這也是可能的。這種光纖稱為色散平坦光纖，如圖2.16所示。圖2.16 不同類型的單模硅光纖的色散(作為工作波長的函數(shù))參考文獻1. Joseph WGoodman著秦克誠，劉培森，陳家璧，曹其智譯傅里葉光學導論北京：電子工業(yè)出版社，20